Моделювання та оптимальне керування процесами трансформування відношень власності і інфляції

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

"КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ"

УДК 62-50, 519.86

МОДЕЛЮВАННЯ ТА ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ПРОЦЕСАМИ ТРАНСФОРМУВАННЯ ВІДНОШЕНЬ ВЛАСНОСТІ І ІНФЛЯЦІЇ

01.05.04. - "Системний аналіз і теорія оптимальних рішень"

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

ГОГОЛАДЗЕ Ніно Гурамівна

Київ-2003



Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в науковому відділі математичних методів системного аналізу Навчально-наукового комплексу "Інститут прикладного системного аналізу" Міністерства освіти і науки України та НАН України при Національному технічному університеті України "Київський політехнічний інститут" (НТУУ "КПІ").

Науковий керівник - Доктор технічних наук, професор Бідюк Петро Іванович, Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" Міністерства освіти і науки України та НАН України при НТУУ "КПІ", провідний науковий співробітник відділу математичних методів системного аналізу.

Офіційні опоненти: Доктор технічних наук, професор Бакан Геннадій Михайлович, Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" Міністерства освіти і науки України та НАН України при НТУУ "КПІ", професор кафедри математичних методів системного аналізу;

Кандидат технічних наук Житецький Леонід Сергійович, Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій та систем НАН України та Міністерства освіти і науки України, старший науковий співробітник.

Провідна установа - Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, кафедра математичних методів еколого-економічних досліджень.

Захист відбудеться " 21 " квітня 2003 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.002.03 при НТУУ "КПІ" за адресою: 03056, Київ, пр. Перемоги, 37, корпус № 35, аудиторія №006.

В.о. вченого секретаря

спеціалізованої вченої ради д.т.н., професор Новіков О.М.



АНОТАЦІЯ

Гоголадзе Н.Г. Моделювання та оптимальне керування процесами трансформування відношень власності і інфляції. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.04 - Системний аналіз і теорія оптимальних рішень. - Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут", Київ, 2003.

Дисертація присвячена аналізу та розв'язку проблем побудови математичних моделей економічних процесів перехідного періоду та їх застосування для керування вибраними макроекономічними процесами - процесом трансформування відношень власності та інфляції.

Побудовано математичну модель процесу трансформування відношень власності у вигляді системи диференціальних рівнянь та модель процесу інфляції у вигляді різницевого рівняння другого порядку. Отримані моделі представлено у просторі станів та використано для оптимального керування цими процесами. Розроблено алгоритми оптимального керування із застосуванням узагальненого методу множників Лагранжа та методу динамічного програмування. Виконано комп'ютерне моделювання алгоритмів керування та побудовано оптимальні траєкторії руху процесів на заданому часовому інтервалі та із врахуванням обмежень на змінні. Розроблено систему підтримки прийняття рішень з відкритою архітектурою для керування вибраними макроекономічними процесами, яка побудована на основі розроблених математичних моделей та алгоритмів оптимального керування. Результати роботи використовуються в навчальному процесі в Навчально-науковому комплексі "Інститут прикладного системного аналізу" при НТУУ "КПІ". власність інфляція економічний математичний

Ключові слова: системний аналіз, математичне моделювання, процеси економіки перехідного періоду, оптимальне оцінювання станів, оптимальне керування, прогнозування економічних змінних, система підтримки прийняття рішень.



АННОТАЦИЯ

Гоголадзе Н.Г. Моделирование и оптимальное управление процессами трансформирования отношений собственности и инфляции. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.04 - Системный анализ и теория оптимальных решений. - Национальный технический университет Украины "Киевский политехнический институт", Киев, 2003.

Диссертация посвящена анализу и решению задач построения математических моделей экономических процессов переходного периода (ЭПП) и их применению к управлению выбранными макроэкономическими процессами - процессом трансформирования отношений собственности и инфляции.

Построена математическая модель процесса трансформирования отношений собственности в виде системы дифференциальных уравнений и модель процесса инфляции в виде разностного уравнения второго порядка. Полученные модели представлены в пространстве состояний и использованы для оптимального управления этими процессами. Разработаны алгоритмы оптимального управления с применением обобщенного метода множителей Лагранжа и метода динамического программирования. Выполнено компьютерное моделирование алгоритмов управления и построены оптимальные траектории движения выбранных процессов на заданном временном интервале с учетом ограничений на переменные. Разработана система поддержки принятия решений с открытой архитектурой для управления выбранными макроэкономическими процессами, которая построена на основе разработанных математических моделей и алгоритмов оптимального управления. Результаты работы используются в учебном процессе Учебно-научного комплекса "Институт прикладного системного анализа" при НТУУ "КПИ".

Ключевые слова: системный анализ, математическое моделирование, процессы экономики переходного периода, оптимальное оценивание параметров и состояний, система поддержки принятия решений.



ABSTRACT

Gogoladze N.G. Modeling and optimal control of the processes of transforming the property relations and inflation. - Manuscript.

Thesis for candidate's degree by the specialty: 01.05.04 - System analysis and theory of optimal decisions. - National Technical University of Ukraine “Kyiv Polytechnical Institute”, Kyiv, 2003.

The thesis is aiming to analysis and solving the problem of mathematical model building for economic processes in transition and their application to optimal control of the processes selected: the process of transforming the property relations and inflation. As a result of thorough analysis of conditions relevant to the processes implementation it was found that they are influenced by a number of disturbances of various nature in the form of unstable legal system, fleeing of capital abroad, ruining earlier existed economic and financial relations between enterprises, payment delays, and many others. Most of the disturbances are of stochastic nature what requires application of modern techniques of optimal filtering and control. Taking into consideration this fact we concentrated on construction of stochastic models that allow to take into consideration state disturbances and errors of measurements or statistical data. The system analysis approach is to be applied in this case that provides a possibility of analyzing complex processes in conditions of influence of external disturbances of various nature, structural and statistical uncertainties.

As a result of application of theory of mathematical model construction the model for the process of transforming property relations was built in the form of a system of ordinary first order differential equations. The basic input variable of the process is the rate of property transforming which indicates how many enterprises are transformed into private property within selected unit of time (months or quarter). The basic output variables are as follows: total instant employment in the economy branch (or an area) considered, total instant volume of production, and total instant income resulted from sale of state owned enterprises. The model had been generalized so that to get a possibility to apply it to the economy branch that could be characterized by a set of various products and a set of enterprises to be transformed into private property.

The model developed was used to perform the problem statement for optimal control of the property relations transforming process using as a restriction percentage of unemployment resulting from transition to private property. Several penalty functions were proposed to perform the problem statement and to solve the optimal control problem. The first one maximizes total volume of production within specific branch of economy on the time horizon selected. The second criterion minimizes unemployment, and the third one maximizes the income resulted from the sale of enterprises that are transformed into private property. Each criterion allows to perform specific problem statement and to compute respective trajectories showing the dynamics of the process implementation. The state space representation of the model is very convenient for optimal control problem statement and the problem solving so that to determine optimal trajectories for input and output variables acceptable for further implementation.

Another model was built for inflation process using respective statistical data for Ukraine. It is presented in the form of a stochastic difference equation where stochastic term represents disturbances, measurement errors and parameter estimation errors. An input variable selected is the money aggregate in circulation that helps to control general situation with inflation. This simplified approach to modeling inflation but it is useful from the point of view of short term forecasting and possibility to control level of inflation by making use of the money aggregate. The algorithms were selected for estimation of statistical characteristics of state disturbance and measurement errors, which had been applied to real statistical data collected in Ukraine. Among the algorithms considered the best result was achieved with the algorithm proposed by Podladchikov.

Both models were transformed into more convenient and general state space representation, and optimal trajectories for input and output variables were found with application of dynamic programming method and generalized Lagrange multipliers approach. Both algorithms turned out to be applicable to the problem solving, but the generalized Lagrange multipliers provides a possibility to take into consideration all restrictions on basic variables available. To solve the optimal control problem a new approach was proposed how to select appropriate values for weighting matrices of the penalty function used. It guaranties control system stability, and does not require complicated time consuming computing. Computer simulation showed its high efficiency of application in several practical cases. Computing expenses are reduced substantially and quality of control is acceptable practically in all cases selected for the simulation.

The models and algorithms developed had been used to develop architecture of the decision support system to be used to determine optimal trajectories for implementing the processes of transforming property relations and inflation. The system is helpful to compute optimal trajectories of the processes selected and to select the most suitable solution for the practical implementation. The decision support system has open architecture what provides a possibility to easily expand her functional properties, and to add new control and forecasting algorithms. Another useful feature of the system is that it allows to process a number of various requests. The latter include requests for data input, retrospective analysis of former results, types of output representation, adding new forecasting and control algorithms, etc. The request for retrospective analysis turned out to be especially useful due to the fact that it provides a possibility for a decision making person to analyze formerly made decisions and to select the best one from the point of view experience available. Several types of interfaces were considered in the last chapter of the dissertation and the most suitable was proposed for practical implementation. The system prototype is ready to use so that to demonstrate its possibilities.

Keywords: system analysis; mathematical modeling; processes of economy in transition; optimal state and parameter estimation; optimal control; forecasting of economic variables; decision support system.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Подальше підвищення якості керування соціально-економічними процесами вимагає застосування сучасних методів системного аналізу, моделювання та оптимального керування. Це особливо стосується економіки перехідного періоду, для якої характерні наявності невизначеностей параметричного та структурного типу. Процеси економіки перехідного періоду розвиваються в умовах впливу різнорідних збурень, які призводять до погіршення показників на мікро- та макрорівні. На сьогоднішній день є багато досліджень та публікацій, присвячених моделюванню мікро- і макроекономічних процесів, а також спробам застосування до них методів оптимального оцінювання параметрів і станів, а також оптимального керування. Так, у роботах вітчизняних і закордонних авторів (Згуровський М.З., Ляшенко І.М., Панкратова Н.Д., Волошин О.Ф., Ларічев О.І., Олексюк О.С., Altez S.A., Bonczek R.H., Holsapple C.W., Sprague R.H. і багато ін.) розглядаються сучасні методи моделювання і керування економічними процесами та процесами менеджменту, методи побудови систем підтримки прийняття рішень (СППР) при керуванні та прогнозуванні соціально-економічних процесів. Зокрема, запропоновано математичні моделі інфляційних процесів у вигляді алгебраїчних і диференціальних рівнянь, а також деяких соціальних процесів у вигляді нейронних мереж. В фаховій літературі приводяться численні приклади використання різницевих рівнянь типу авторегресії, авторегресії з ковзним середнім та їх модифікації, що застосовуються, в основному, для короткострокового прогнозування. Разом з тим, необхідно зазначити, що багато досліджень закінчуються на теоретичному рівні. Тому актуальною є задача побудови таких математичних моделей, що були б придатні для практичного застосування. Використання таких моделей у системах підтримки прийняття рішень оптимізаційного типу дозволяє підвищувати якість рішень, що приймаються, завдяки застосуванню сучасних методів оптимального керування та прогнозування.

В роботі розроблено математичні моделі двох процесів - процесу трансформування відношень власності та процесу інфляції. Побудовані моделі застосовано для розробки алгоритмів оптимального керування даними процесами в умовах стохастичних збурень стану та випадкових похибок статистичних даних. На основі математичних моделей вибраних процесів розроблено систему підтримки прийняття рішень при управлінні даними процесами та при їх прогнозуванні. СППР має відкриту структуру, що дозволяє розширювати її функціональні можливості за рахунок введення нових математичних моделей, методів керування та прогнозування.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана згідно з планами наукових досліджень Навчально-наукового комплексу "Інститут прикладного системного аналізу" Міністерства освіти і науки України та НАН України при НТУУ "КПІ" у рамках держбюджетних тем:

2217 - "Розробка теоретичних основ і реалізація сучасних методів аналізу, прогнозування і керування мікро- і макроекономічними системами", номер держреєстрації 0100U004788;

2221 - "Системний аналіз, моделювання і керування соціальними й екологічними процесами в умовах невизначеності даних для економіки перехідного періоду", номер держреєстрації 0101U003526.

Мета і завдання дослідження. Мета дисертаційної роботи - аналіз і математичне моделювання вибраних макроекономічних процесів перехідного періоду, а також побудова системи підтримки прийняття рішень для керування цими процесами.

Для досягнення поставленої мети в роботі розв'язуються наступні задачі:

Здійснюється аналіз динаміки процесів перехідної економіки (трансформування відношень власності та інфляції).

Будуються математичні моделі зазначених процесів у вигляді систем диференціальних і різницевих рівнянь із врахуванням стохастичних впливів.

Вибираються методи оптимального керування зазначеними процесами та виконується комп'ютерне моделювання алгоритмів керування з метою визначення оптимальних траєкторій реалізації цих процесів.

Здійснюється аналіз підходів до побудови систем підтримки прийняття рішень і розробляється система підтримки прийняття рішень з відкритою архітектурою для керування макроекономічними процесами.

Об'єкт дослідження: макроекономічні процеси економіки перехідного періоду та динаміка їх розвитку в умовах впливу стохастичних збурень та похибок статистичних даних.

Предмет дослідження: методи та алгоритми визначення оптимальних структур моделей, їх параметрів та стратегій управління вибраними макроекономічними процесами - трансформування відношень власності та інфляції.

Методи досліджень: теоретичні дослідження при розробці математичних моделей та алгоритмів керування економічними процесами перехідного періоду базуються на методах системного аналізу, методах побудови структурних та функціональних моделей складних систем, теорії оптимального оцінювання параметрів і станів динамічних систем, теорії оптимального керування та на методах проектування систем підтримки прийняття рішень.

Наукова новизна отриманих результатів полягає у наступному:

Розроблено стохастичну математичну модель процесу трансформування відношень власності у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь, представлених у просторі станів, що відрізняється можливістю застосування до класу процесів трансформування відношень власності в будь-якій галузі промисловості чи регіоні.

Розроблено модель інфляційного процесу у вигляді стохастичної авторегресії, що представлена у просторі станів, яка відрізняється простотою структури і високим ступенем адекватності.

Виконано синтез структури системи оптимального керування процесами трансформування відношень власності та інфляції. Виконано комп'ютерне моделювання алгоритмів керування, що підтвердило можливість використання запропонованих моделей для прийняття оптимальних рішень при реалізації та прогнозуванні процесів, що досліджуються.

Побудовано систему підтримки прийняття рішень з відкритою архітектурою для керування макроекономічними процесами і прогнозування їх станів.

Практичне значення отриманих результатів полягає в тому, що розроблені математичні моделі та алгоритми керування є складовими частинами системи підтримки прийняття рішень при керуванні макроекономічними процесами. Запропоновані моделі використовуються також для прогнозування розвитку процесів трансформування відношень власності та інфляції. Крім того, вони можуть бути використані як основа для побудови систем підтримки прийняття рішень при прогнозуванні та керуванні макроекономічними процесами країни.

Більшість отриманих результатів використовується при викладанні курсів "Моделювання економіки перехідного періоду" та "Аналіз тимчасових рядів" в Інституті прикладного системного аналізу при НТУУ "КПІ" та для прогнозування конкретних економічних процесів.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи отримано автором самостійно. У наукових працях, що опубліковані у співавторстві, автору належать: [1] - побудова математичної моделі процесу приватизації; [2] - формулювання тверджень та їх доведення при розробці алгоритму керування; [3] - розробка алгоритму пошуку оптимальної траєкторії процесу приватизації і отримання результатів моделювання; [6] - розробка системи підтримки прийняття рішень; [7] - розробка алгоритму оптимальної фільтрації для моделі процесу трансформування відношень власності; [8] - визначення методу фільтрації змінних стану при негаусових шумах.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертації і результати досліджень доповідалися і обговорювалися на міжнародній конференції "Моделювання та оптимізація складних систем", МОСС-2001 (м. Київ, 2001р.); міжнародній конференції "Міжнародна конференція з індуктивного моделювання", МКІМ'2002 (м. Львів, 2002р.); міжнародній конференції "Автоматизація виробничих процесів", МНПК АВП-2002 (м. Хмельницький, 2002р.); міжнародній конференції з прикладної математики, присвяченій 65-річчю Б.М. Пшеничного, 1937-2000 (Kиїв, 2002р.); розширеному науковому семінарі Навчально-наукового комплексу "Інститут прикладного системного аналізу" Міністерства освіти і науки України та НАН України при НТУУ "КПІ".

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано у 5 статтях у фахових наукових журналах та збірниках наукових праць, а також у 4 матеріалах та тезах доповідей на конференціях.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів з висновками, загальних висновків та списку використаних джерел з 116 найменувань. Загальний обсяг дисертації 154 сторінок, з яких основний зміст викладено на 139 сторінках. Робота містить 31 рисунки та 4 таблиці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету та задачі дослідження, визначено наукову новизну та практичне значення отриманих результатів.

У першому розділі розглянуто особливості протікання процесів економіки перехідного періоду (ЕПП) і виконано аналіз проблем, що мають місце при моделюванні та керуванні макроекономічними процесами ЕПП. В результаті виконаного аналізу встановлено, що процеси ЕПП протікають в умовах впливу різнорідних випадкових збурень, зокрема, таких, як неплатежі між підприємствами, витік капіталу за кордон, недосконалість і нестабільність законодавства, нестійкість внутрішньої валюти, нестабільна податкова політика та багатьох інших. Визначено, що для якісного розв'язку задач прогнозування та керування сучасними процесами в перехідній економіці необхідно використовувати методи системного аналізу, математичного моделювання, оптимізаційні методи прогнозування та керування. Методи моделювання, прогнозування та керування можна об'єднати в рамках комп'ютерних систем підтримки прийняття рішень, які є ефективним інструментом рішення конкретних мікро- і макроекономічних задач.

Виконано аналіз умов протікання процесів ЕПП і обрано макроекономічні процеси для аналізу та моделювання, зокрема, трансформування відношень власності та інфляцію, для керування якими необхідно розробити систему підтримки прийняття рішень з метою підвищення ефективності реалізації цих процесів. Обрані процеси є одними з визначальних при проведенні економічних реформ, оскільки якість їхньої реалізації безпосередньо впливає на рівень і динаміку розвитку макроекономіки в цілому.

У другому розділі виконано аналіз шляхів переходу від державної до приватної форми власності, представлена динаміка трансформування відношень власності в Україні за останні роки. Виконано аналіз процесу трансформування відношень власності як процесу керування. В результаті виконаного аналізу встановлено, що основною вхідною керуючою змінною є швидкість проведення трансформування відношень власності, тобто кількість підприємств, відношення власності яких трансформується в одиницю часу. За вихідні змінні вибрано поточний обсяг виробництва в окремі галузі (або для галузей), поточну зайнятість і поточний прибуток від продажу державних підприємств. З'ясовано, що процес піддається впливу випадкових зовнішніх збурень, спільний вплив яких представлено у вигляді процесу білого шуму. Крім того, процес має бути реалізований за визначений скінчений проміжок часу. При цьому обмеженням є прийнятний рівень безробіття та нагромадження капіталу від продажу державних підприємств. В процесі трансформування відношень власності виділимо наступні три групи підприємств: перша група включає державні підприємства, друга - підприємства, що вже трансформовані на початок часового інтервалу, що розглядається, і третя - приватні підприємства, що утворюються.

Розроблена стохастична модель процесу трансформування відношень власності для галузей, у кожній з яких виробляється продуктів, із врахуванням впливу ряду зовнішніх збурень станів. Модель має вигляд:

,

,

,

де , - проміжок часу, протягом якого необхідно виконати трансформування відношень власності підприємств в -й галузі; , , - кількість підприємств -го типу в галузі , що повинні бути трансформовані протягом запланованого терміну ; - кількість працюючих на одному державному підприємств -го типу в галузі ; - кількість підприємств -го типу в галузі , що трансформуються за одиницю часу (швидкість трансформування відношень власності); - продуктивність одного державного підприємства -го типу у галузі в момент часу , що являє собою функцію швидкості трансформування відношень власності ; - продуктивність одного приватного підприємства -го типу в галузі в момент часу ; - кількість працюючих на одному приватному підприємстві -го типу в галузі ; - продуктивність одного працівника нового приватного підприємства -го типу в галузі , що створюється в процесі трансформування відношень власності; - поточна зайнятість на державних підприємствах -го типу в галузі в момент часу ; - поточний обсяг виробництва для підприємств -го типу усіх видів власності в галузі в момент часу ; - початкова вартість одного державного підприємства, що трансформується, -го типу в галузі ; - поточний приріст вартості одного державного підприємства -го типу в галузі в момент часу ; - коефіцієнт, що визначає число підприємств, що трансформуються шляхом продажу; - прибуток від продажу державних підприємств -го типу в галузі в момент часу ; - частина робітників, що втрачають роботу на державних підприємствах -го типу в галузі і знаходять її на створюваних приватних підприємствах в момент часу .

Припустимо, що , , - некорельовані нормально розподілені процеси з нульовими середніми і відповідними дисперсіями:

, , .

Початкові умови для базових змінних визначено у вигляді:



, , , , .

Обмеження для :

, , , , , , , , ,

де - рівень безробіття для -ї галузі; - обмеження знизу на обсяг очікуваного прибутку в -й галузі. Перше з наведених обмежень означає, що швидкість трансформування відношень власності не може бути від'ємною. Друга нерівність накладає обмеження на число підприємств, що може бути трансформоване протягом запланованого терміну. Інші обмеження стосуються рівня зайнятості і прибутку від продажу підприємств.

При отримана модель процесу трансформування відношень власності для окремої галузі, в якій усі підприємства виробляють однакову продукцію:

,,

з початковими умовами

, , ,

і обмеженнями



, , , , , , , .

Запропонована модель (1)-(3) представлена в стандартній формі простору станів у дискретному часі:

, (4)

, (5)

де - перехідна матриця стану вимірності ; - матриця керування вимірності ; - матриця вимірності ; - дискретний час, де - додатне ціле число; і - некорельовані гаусові послідовності з нульовими середніми та коваріаційними матрицями і , відповідно. Відзначимо, що збурення стану зумовлене випадковими впливами на процес трансформування відношень власності у вигляді законодавства, що постійно змінюється, податкової системи, коливань курсу валют, мінливістю попиту й інших факторів. Шум вимірів зумовлений тим, що статистичні дані, що надходять з різних джерел, мають, як правило, різні значення, а найчастіше ці розходження істотні. Припустимо, що початковий стан є випадковим гаусовим вектором з наступними статистичними характеристиками:

,

,

. (6)



Матриці та вектори рівняння (4) визначаються наступним чином:

, , ,

, .

Оскільки на систему (4), (5) впливають збурення стану і шуми вимірів, то виникає необхідність у застосуванні процедур оцінювання станів. Якщо відомі всі статистичні характеристики моделі, а послідовності , , є гаусовими, то оптимальну незміщену оцінку вектора стану з мінімальною дисперсією при заданих вимірах забезпечує дискретний фільтр Калмана:

,

,

,

,

,

,

де - одинична матриця відповідної вимірності; - оцінка вектора стану , що визначається на основі вимірів ; - оцінка , що визначається вимірами ; - оптимальний матричний коефіцієнт підсилення фільтра; - апріорна коваріаційна матриця похибок оцінок ; - апостеріорна коваріаційна матриця похибок оцінок ; - нев'язка фільтра. Початковими умовами для фільтра є і .

В роботі зроблено огляд методів оцінювання невідомих статистичних параметрів збурень стану і шумів вимірів, зокрема, розглядаються методи адаптивного оцінювання Р. Мехра, В. Подладчікова, а також статистичний метод оцінювання В. Андерсона.

Розглянемо наступну стаціонарну систему:

,

,

,,, , , для всіх .

Метод оцінювання коваріаційних матриць збурень стану та шумів вимірів, запропонований В.Подладчіковим, базується на статистичній оцінці коваріаційної () и автокореляційної () функцій нев'язок фільтра. Оцінки матриць і визначаються шляхом розв'язку лінійних рівнянь:

,

,

, ,

, .

Зазначимо, що метод В. Подладчікова, у порівнянні з іншими методами, є кращим для ідентифікації шумів, простий у реалізації, має прийнятну збіжність та забезпечує високу точність оцінок.

Далі розглядається система рівнянь в дискретному часі:

,

,

,

з початковими умовами , , і обмеженнями

, , , , , , , .

Потрібно знайти оптимальну швидкість трансформування відношень власності , яка максимізує загальний об'єм продукції, що виробляється, тобто

.

Для розв'язку даної задачі застосовано метод множників Лагранжа. Гамільтоніан для цієї задачі має вигляд:



,

а Лагранжіан

,

де .

Розв'язок задачі оптимального керування повинен задовольняти необхідній умові . Будемо вважати, що всі розв'язки задачі є внутрішніми точками області, тоді . Таким чином, при , одержуємо:

, якщо , (7)

і , якщо ,

де

, , , .



Константи визначаються парами умов трансверсальності:

, , .

З огляду на, що

де - початкова продуктивність державних підприємств, - підвищена продуктивність державних підприємств, рівняння (7) приймає вигляд:

, якщо ,

і , якщо .

Достатньою умовою максимуму для внутрішніх стаціонарних точок є від'ємність другої похідної. З рівняння (7) маємо, що .

Поставлено наступну задачу оптимального керування: для системи (4), (5) з початковими умовами (6), необхідно знайти оптимальний закон керування , що мінімізує критерій якості



,

де і - симетричні невід'ємно визначені матриці, а - симетрична додатньо визначена матриця.

Для розв'язку задачі оптимального керування застосовано метод динамічного програмування та отримано аналітичний вираз для оптимального закону керування процесом трансформування відношень власності:

,

,

,

Значення керуючого впливу розраховані для всього періоду реалізації процесу трансформування відношень власності. Відповідні їм фазові траєкторії компонент вектора стану представляють собою оптимальні траєкторії реалізації даного процесу в часі.

Значення параметрів відповідають реальним статистичним даним по Жовтневому району м. Києва в 1994-1995рр. У третьому розділі виконано аналіз процесу інфляції в перехідній економіці, проаналізовано основні причини та наслідки інфляції. Показано, що протікання процесу має досить складний характер, тому для керування ним необхідно застосовувати сучасні методи оптимального керування.

Для цілей моделювання і керування процесом обрана та побудована на основі статистичних даних (Україна, 1996-2002 рр.) стохастична авторегресійна модель 2-го порядку, що відрізняється простотою структури та високим ступенем адекватності експериментальним даним. Модель інфляції має вигляд:

, (8)

де - індекс споживчих цін у момент ; - приріст грошової маси, що використовується як керуючий вплив; - обсяг грошової маси в момент ; - середнє значення обсягу грошової маси; ; , , , , - коефіцієнти, що визначені на підставі статистичних даних для індексу споживчих цін ; - випадкова компонента із нульовим середнім, зумовлена неврахованими регресорами та збуренням. Збуреннями в даному випадку є випадкові впливи на ціни у вигляді нерегулярних потоків імпорту, витоку капіталу, нестабільності законодавства.

Загальний розв'язок рівняння (8) має наступний вигляд:

.

Отриманий вигляд розв'язку зручно використовувати для прогнозування процесу інфляції.

Прогнозоване значення на періодів дискретизації змін можна записати при , як



,

де , - початкові умови відносно -го моменту часу.

Функція прогнозування на кроків має вигляд:

.

Зазначимо, що похибка процесу за 3-4 кроки складає близько 25-30%.

Запропонована модель процесу інфляції представлена в просторі станів:

, (9)

, (10)

де - 2-вимірний вектор стану; - матриця динаміки вимірності ; - одновимірний вектор керування; - матриця коефіцієнтів керування вимірності ; - матриця вимірності ; - одновимірний вектор вимірів; - матриця коефіцієнтів вимірів розмірності ; - матриця збурювань станів вимірності ; - дискретний час; - некорельовані гаусові послідовності з нульовими середніми та коваріаційними матрицями і , відповідно. Припустимо, що початковий стан є випадковим гаусовим вектором з наступними статистичними характеристиками:

,

,

. (11)

В моделі (9), (10):

, , , , ,

, , .

Рівняння дискретного фільтра Калмана для системи (9), (10) мають вигляд:

,

,

,

,

,

,

де - одинична матриця відповідної вимірності; - оцінка вектора стану , яка заснована на вимірах ; - оцінка , що заснована на вимірах ; - оптимальний матричний коефіцієнт підсилення фільтра; - апріорна коваріаційна матриця похибок оцінки ; - апостеріорна коваріаційна матриця похибок оцінок ; - нев'язка фільтра. Початковими умовами для фільтра є наступні: і .

Далі поставлено задачу оптимального керування процесом інфляції: для системи (9)-(10) з початковими умовами (11), знайти оптимальний закон керування , що мінімізує критерій якості

,

де і - симетричні невід'ємно визначені матриці, а - симетрична додатньо визначена матриця.

Задачу оптимального керування процесом інфляції розв'язано методом динамічного програмування та отримано аналітичний вираз для закону оптимального керування:

,

,

,

.

Проведено чисельні розрахунки та отримано графічні ілюстрації можливих оптимальних траєкторій реалізації процесу інфляції при різних початкових умовах. Рис. 7-10 показують, що при різних початкових умовах та періодах часу, зменшення приросту грошової маси веде до зменшення інфляції до заданого значення.

У четвертому розділі запропоновано методологію побудови систем підтримки прийняття рішень з метою їхнього застосування при керуванні процесами економіки перехідного періоду. Деталізовано процес проектування СППР, що включає кілька етапів, а також визначено інструментарій для виконання конкретних етапів і встановлено результати виконання кожного етапу.

Виконано огляд типів архітектури систем підтримки прийняття рішень. Наведено можливі узагальнені структурні схеми СППР, що дозволяють вибрати найбільш зручну та ефективну структуру для розв'язку задачі керування економічними процесами. Визначено доцільним скористатись для цієї мети відкритою архітектурою системи підтримки прийняття рішень на основі оптимізаційних алгоритмів, що дозволяють обчислити оптимальні траєкторії того чи іншого процесу, визначити вхідні впливи на процес (наприклад, процес інфляції), що дозволяють здійснювати керування на макроекономічному рівні.

Розроблено систему підтримки прийняття рішень з відкритою архітектурою для керування і прогнозування процесами трансформування відношень власності та інфляції, в основу якої покладено розроблені математичні моделі процесів і алгоритми оптимального керування. Елементами системи підтримки прийняття рішень є наступні: підсистема введення даних і запитів (ПВДЗ), підсистема обробки даних і генерації результатів (ПОДГР), база даних і знань (БДЗ) і підсистема представлення результатів (ППР).

Крім того, розглянуто можливі типи запитів та інтерфейсів. Аналіз розглянутих типів інтерфейсів показав, що для створення спроектованої СППР кращим варіантом є інтерфейс на основі меню. Він забезпечує зручність введення запитів, цифрових даних, а також швидкий вибір потрібного режиму роботи системи.

Реалізовано програмно ряд основних модулів системи, що складають відкритий для розширення прототип. Розроблена СППР є зручним інструментом для розв'язку задач побудови оптимальних траєкторій протікання процесів, побудови дискретних математичних моделей по часових рядах, а також для визначення оцінок прогнозів досліджуваних процесів. Система успішно використовувалась для прогнозування реальних макроекономічних процесів.



ВИСНОВКИ

В результаті виконання дисертаційної роботи отримано наступні результати:

Розглянуто особливості процесів економіки перехідного періоду і виконано аналіз проблем, що мають місце при моделюванні і керуванні макроекономічними процесами економіки перехідного періоду. Як представницькі обрано процеси трансформування відношень власності та інфляції.

Розроблено стохастичну модель процесу трансформування відношень власності в перехідний період для галузей, у кожній з яких виробляється продуктів. Поставлено задачу оптимального керування процесом трансформування відношень власності для окремої галузі і запропоновано алгоритми розв'язку цієї задачі узагальненим методом множників Лагранжа та методом динамічного програмування.

На основі статистичних даних для України розроблено стохастичну регресійну модель процесу інфляції, що має високий ступінь адекватності. Отримано функцію прогнозування на основі розв'язку різницевого рівняння. Поставлено задачу оптимального керування процесом інфляції, для розв'язку якої застосовано алгоритм, що базується на методі динамічного програмування.

Виконано комп'ютерне моделювання алгоритмів керування при різних початкових умовах і обмеженнях і знайдено оптимальні траєкторії процесів трансформування відношень власності та інфляції із врахуванням збурень станів і статистичних похибок.

Розроблено систему підтримки прийняття рішень з відкритою архітектурою, що дозволяє оперативно одержувати, аналізувати та вибирати рішення щодо конкретних траєкторій реалізації процесів трансформування відношень власності та інфляції. Система відрізняється зручністю використання при рішенні конкретних задач моделювання та керування. Система використовувалась для прогнозування реальних макроекономічних процесів.



ПЕРЕЛІК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Гоголадзе Н.Г., Бидюк П.И. Особенности моделирования процесса приватизации в переходный период // Системні технології: Регіональний міжвузівський збірник наукових праць. - Дніпропетровськ, 2000. - №1(9). - С. 20-29.

Здобувачем запропоновано математичну модель процесу приватизації.

Гоголадзе Н.Г., Бидюк П.И. Система поддержки принятия решений при переходе от государственной к частной форме собственности // Адаптивні системи автоматичного управління: Міжвідомчий науково-технічний збірник. - Дніпропетровськ: Системні технології, 2000. - №3(23). - С. 75-81.

Здобувачем сформульовано твердження і дано їхні докази при розробці алгоритму керування.

Бидюк П.И., Гоголадзе Н.Г., Кордзадзе Т.З. Система поддержки принятия решений при управлении процессом приватизации //Автоматизація виробничих процесів. - 2001. - №2(13). - С. 108-112.

Здобувачем розроблено алгоритм пошуку оптимальної траєкторії процесу приватизації і отримано результати моделювання.

Гоголадзе Н.Г. Оптимальное стохастическое управление процессом приватизации // Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці. - Київ. - 2002. - Вип. 15. - С. 90-97.

Гоголадзе Н.Г. Дуальное управление процессом трансформирования собственности // Автоматизація виробничих процесів. - 2002. - №2(15). - С.103-110.

Гоголадзе Н.Г., Кордзадзе Т.З. Принятие оптимальных решений в переходный период // Праці Міжнар. конф. "Моделювання та оптимізація складних систем" (МОСС-2001). - Т. 3. - Київ: Видавничо-поліграфічний центр "Київський університет". - 2001. - С. 128-130.

Здобувачем розроблено архітектуру системи підтримки прийняття рішень.

Гоголадзе Н.Г., Кордзадзе Т.З. Моделирование и оценивание динамики экономических процессов // Праці Міжнар. конф. "Міжнародна конференція з індуктивного моделювання" (МКІМ' 2002). - Т.3. - Львів: Держ. науково-дослідний інститут інформаційної інфраструктури. - 2002. - С. 38-42.

Здобувачем розроблено алгоритм оптимальної фільтрації для моделі процесу трансформування власності.

Гоголадзе Н.Г., Кордзадзе Т.З. Анализ и моделирование производственного и приватизационного процессов // Праці Міжнар. конф. "Автоматизація виробничих процесів" (МНПК АВП-2002). - Т.2. - Хмельницький. - 3.2002. - С. 180-184.

Здобувачем запропоновано метод фільтрації змінних стану при негаусових шумах.

Gogolalze N. Optimal Estimation of Dynamics of the Property Transforming Process // Abstracts of the International Conference of Applied Mathematics Dedicated to the 65-th Anniversary of B.N. Pshenichnyi (1937-2000). - Kyiv (Ukraine). - 2002. - P. 99.

Размещено на Allbest.ru