Оптимизационные методы ,применяемые при решении экономических задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1.Функция полезности. Основные свойства

2.Функция спроса. Основные свойства

3.Общая модель потребительского выбора

4.Модель Стоуна

4.1. Решение задачи Стоуна для случая двух товаров

4.2. Минимизация расходов потребителя: обратная задача

4.3. Пример

5.Уравнение Слуцкого

Литература



Введение

Современная математика характеризуется интенсивным проникновением в другие науки, во многом этот процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Математика стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчёта, но также методом точного исследования и средством предельно чёткой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с её развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы не возможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Актуальность данной темы состоит в том, что в современной экономике используются оптимизационные методы, которые составляют основу математического программирования сетевого планирования теории массового обслуживания и других прикладных наук.

Изучение экономических приложений математических дисциплин составляющих основу актуальной экономической математики позволяет приобрести некоторые навыки решения экономических задач и расширить знания в этой области.

Целью данной работы является изучение некоторых оптимизационных методов, применяемых при решении экономической задачи.

При написании курсовой работы были поставлены следующие задачи:

Рассмотрение задачи потребительского выбора и составление математической модели; изучение функции потребительского предпочтения Стоуна.

стоун слуцкий математическая потребительское



1. Функция полезности. Основные свойства

Будем считать, что потребитель располагает доходом Q, который он полностью тратит на приобретение благ (продуктов) Учитывая структуру цен, доход и собственные предпочтения, потребитель приобретает определённое количество благ, и математическая модель такого его поведения называется моделью потребительского выбора.

В некоторых задачах выделяют один продукт, а вторым считают все остальные. Поэтому сначала рассмотрим модель с двумя видами продуктов. Потребительский набор - это вектор (x₁,x₂), координата x₁ которого равна количеству единиц первого продукта, а координата x₂ равна количеству единиц второго продукта.

Выбор потребителя характеризуется отношением предпочтения, суть которого состоит в следующем. Считается, что потребитель про каждые два набора может сказать, что-либо один из них более желателен, чем другой, либо потребитель не видит между ними разницы. Отношение предпочтения транзитивно, т.е. если набор А=(а₁,а₂) предпочтительнее набора B=(b₁,b₂), а набор B=(b₁,b₂) предпочтительнее набора С=(с₁,с₂), то набор А=(а₁,а₂) предпочтительнее набора С=(с₁,с₂).

На множестве потребительских наборов (x₁,x₂) определена функция u(x₁,x₂) (называемая функцией полезности потребителя), значение u(x₁,x₂) которой на потребительском наборе (x₁,x₂)равно потребительской оценке индивидуума для этого набора. Потребительскую оценку u(x₁,x₂) набора (x₁,x₂) принято называть уровнем (или степенью) удовлетворения потребительского индивидуума, если он приобретает или потребляет данный набор (x₁,x₂). Каждый потребитель имеет, вообще говоря, свою функцию полезности. Если набор А предпочтительнее набора В, то u(А)>u(В).

Функция полезности удовлетворяет следующим свойствам:

1.Возрастание потребления одного продукта при постоянном потреблении другого продукта ведёт к росту потребительской оценки, т.е.

если x>x, то u(x,x₂)> u(x,x₂);

если x>x, то u(x₁, x)> u(x₁, x).

Иначе говоря, u(x₁,x₂)=u>0 , u(x₁,x₂)=u>0.

Первые частные производные u и u называются предельными полезностями первого и второго продуктов соответственно.

2.Предельная полезность каждого продукта уменьшается, если объём его потребления растёт (закон убывания предельной полезности). Из свойства второй производной следует, что

u(x₁,x₂)<0, u(x₁,x₂)<0.

3.Предельная полезность каждого продукта увеличивается, если растёт количество другого продукта. В этом случае продукт, количество которого фиксировано, оказывается относительно дефицитным. Если блага могут замещать друг друга в потреблении, свойство не выполняется.

u(x₁,x₂)=u₁₂>0, u(x₁,x₂)=u₂₁>0.

Линия, соединяющая потребительские наборы (x₁,x₂), имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей называется линией безразличия. Линия безразличия есть не что иное, как линия уровня функции полезности. Множество линий безразличия называется картой линий безразличия. Линии безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей не пересекаются и не касаются. Чем выше и правее расположена линия безразличия, тем большему уровню удовлетворения потребностей она соответствует. Условия 1-3 означают, что линия безразличия убывает и является выпуклой вниз.



2. Функция спроса. Основные свойства

Спрос есть платежеспособная потребность, а платежеспособность предполагает соответствие цен и дохода. Поэтому мы можем утверждать, что общее решение задачи потребителя вычисляется как функция от цен и дохода:. Точно так же как .

Решение оптимизационной задачи - это лишь один из способов определения спроса, который схематично можно представить так:

где - отображение, представленное максимизацией функции с учетом бюджетного ограничения. В общем случае - это некоторая совокупность правил, с помощью которых потребитель определяет свой спрос.

Пусть - множество допустимых наборов товаров, - пространство цен. Функцией спроса (индивидуального потребителя) называется отображение , которое каждой паре ставит в соответствие множество наиболее предпочтительных наборов товаров:

(2.1)

где - множество всех подмножеств множества . Это же отображение можно записать как:

Любая точка называется спросом (при ценах и доходе ).

Итак, в общем случае функция спроса - это многозначное отображение. Действительно, если - вектор спроса, а множество не пусто, то любая точка множества является спросом.

Для отображения имеем:

Если функция полезности строго вогнута, то функция спроса однозначна, т.е. множество состоит из одной точки максимума функции .

В случае неоднозначности функции спроса возникает дополнительная проблема выбора единственной точки .

Принимая во внимание тот факт, что доход потребителя зависит от цен товаров, , можно в пространстве определить функцию спроса , так что .

При увеличении цен на товары, вообще говоря, доход потребителя должен быть компенсирован. Это требование формализуется как свойство однородности первой степени (или линейной однородности) функции дохода: для любых .Ясно, что если повышение цен пропорциональным образом компенсируется повышением дохода, то спрос должен оставаться на прежнем уровне.

Если для любых



то говорят, что функция спроса однозначна нулевой степени (относительно всех цен и дохода). Это есть инвариантность спроса относительно пропорционального повышения цен и дохода.

Для функций спроса

это свойство выполнено. Действительно, при изменении цен в деформируется в следующую: при ограничениях

Оптимальной решение этой задачи обозначим (). Бюджетное ограничение можно записать как . Так как , то мы приходим к исходной задаче, так что

Для функции спроса однородной нулевой степени объем потребления зависит не от цен, как таковых, и дохода, а от отношений цен (относительных цен) и от отношения денежного дохода к цене (реального дохода). Выбирая какой-либо товар, например, товар , в качестве "единицы измерения" (эквивалента) и полагая коэффициент пропорциональности , функцию спроса можно записать в виде:

где - относительная цена, - реальный доход. В качестве коэффициента пропорциональности можно выбрать, например, величины



Чувствительность спроса на изменение цен и дохода измеряется эластичностью. Эластичность спроса по цене показывает, какое процентное изменение спроса последует за однопроцентным увеличением цены товара:

Так как (2.4) (закон спроса для нормальных товаров), , то . Так как при движении по кривой безразличия величина меняется (за исключением некоторых тривиальных случаев) и тем более изменяются и , то эластичность спроса по цене в различных точках кривой безразличия различна.

Тривиальным является случай, когда функция спроса линейна:

В этом случае постоянна и равна - , однако, эластичность не постоянна, ввиду непостоянства отношения . Например ( рис. 1), в случае одного товара:

(рис.1)

Имеется еще два тривиальных (особых) случая эластичности спроса по цене, показанных на (рис. 2)

(рис.2)

В случае а) - имеется только одна цена , по которой потребитель будет приобретать товар; даже при малейшем увеличении цены выше этого уровня требуемое количество товара упадет до нуля, и любое снижение цены приведет к неограниченному росту спроса. Кривая же спроса, изображенная на (рис. 2) б) совершенно неэластична. Потребитель приобретет фиксированное количество товара независимо от цены.

Координатная запись функции спроса (2.3).

говорит о том, что спрос на один вид товара зависит, вообще говоря, от цен и других товаров.

Процентное изменение количества товара вида при однопроцентном увеличении цены товара вида называется перекрестной эластичностью спроса по цене:

или

Для взаимозаменяемых товаров (таких, как чай и кофе) повышение цены товара увеличивает спрос на товар , поэтому перекрестная эластичность положительна. Для взаимодополняющих друг друга товаров (таких, как кофе и сахар) повышение цены одного товара влечет понижение спроса на другой, поэтому перекрестная эластичность отрицательна.

До сих пор мы говорили о точечной эластичности, т.е. о эластичности, измеряемой в отдельной точке кривой спроса. Если требуется измерение эластичности на отрезке (точнее, на дуге) кривой спроса, то применяют дуговую эластичность спроса по цене:

Где

- цена и количество товара в начальной (конечной) точке рассматриваемой дуги кривой спроса. Дуговая эластичность тем точнее, чем ближе друг к другу точки и . Устремляя расстояние между ними к нулю, очевидно, мы получим формулу точечной эластичности.

Пример. Пусть кривая спроса имеет вид . Требуется вычислить эластичность спроса по цене при изменении последней от до (рис.3). Прежде всего, пользуясь формулой спроса, найдем соответствующие этим ценам количества товаров:

(рис.3)

Отбрасывая отрицательные значения корней, как не имеющих смысла, найдем: , . Теперь наша задача сводится к вычислению дуговой эластичности спроса по цене для участка (дуги) кривой спроса от точки A=(136,8) до точки B=(119,9) . Пользуясь формулой (2.6) , получаем:

Для сравнения вычислим точечную эластичность в точке A:

(Здесь мы учли неравенство ).

Представляет определенный интерес также эластичность спроса по доходу. Это есть процентное изменение количества требуемого товара (спроса) при однопроцентном изменении дохода:



Пользуясь схемой проведенного выше анализа эластичности спроса по цене, читатель самостоятельно может провести анализ эластичности спроса по доходу.



3.Общая модель потребительского выбора

В прошлом деятели рынка учились понимать своих потребителей в процессе повседневного торгового общения с ними. Однако рост размеров фирм и рынков лишил многих распорядителей маркетинга непосредственных контактов со своими клиентами. Управляющим приходится все чаще прибегать к исследованию потребителей. Они тратят больше, чем когда-либо раньше, на изучение потребителей, пытаясь выяснить, кто именно покупает, как именно покупает, когда именно покупает, где именно покупает и почему именно покупает.

Основной вопрос: как именно реагируют потребители на разные побудительные приемы маркетинга, которые фирма может применить? Фирма, по-настоящему разобравшаяся в том, как реагируют потребители на различные характеристики товара, цены, рекламные аргументы и т.п., будет иметь огромное преимущество перед конкурентами.

Именно поэтому и фирмы и научные работники тратят так много усилий на исследование зависимостей между побудительными факторами маркетинга и ответной реакцией потребителей. Отправной точкой всех этих усилий является простая модель, представленная на рис. 4.

Рисунок 4. Простая модель покупательского поведения

На нем показано, что побудительные факторы маркетинга и прочие раздражители проникают в "черный ящик" сознания покупателя и вызывают определенные отклики (предпочтет либо не предпочтет товар).

На рис. 5 эта же модель представлена в развернутом виде. В левом прямоугольнике - побудительные факторы двух типов. Побудительные факторы маркетинга включают в себя четыре элемента: товар, цену, методы распространения и стимулирования. Прочие раздражители слагаются из основных сил и событий из окружения покупателя; экономической, научно-технической, политической и культурной среды. Пройдя через "черный ящик" сознания покупателя, все эти раздражители вызывают ряд поддающихся наблюдению покупательских реакций, представленных в правом прямоугольнике: выбор товара, выбор марки, выбор дилера, выбор времени покупки, выбор объема покупки.

Рисунок 5. Развернутая модель покупательского поведения.

Задача деятеля рынка - понять, что происходит в "черном ящике" сознания потребителя между поступлением раздражителей и проявлением откликов на них. Сам "черный ящик" состоит из двух частей. Первая - характеристики покупателя, оказывающие основное влияние на то, как человек воспринимает раздражители и реагирует на них. Вторая часть-процесс принятия покупательского решения, от которого зависит результат.

Таким образом, мы можем кратко сформулировать некоторые принципы поведения потребителя на рынке, то есть модель его поведения.

- выбирая блага для потребления, покупатель руководствуется своими предпочтениями;

- поведение потребителя является рациональным, в частности он выдвигает определенные цели и руководствуется личным интересом, то есть действует в рамках разумного эгоизма;

- потребитель стремится максимизировать совокупную полезность, другими словами, стремится выбрать такой набор благ, который приносит ему наибольшую общую величину полезности;

- на выбор потребителя и его субъективные оценки полезности покупаемых благ влияет закон убывающей предельной полезности;

- при выборе благ возможности потребителя ограничены ценами благ и его доходом; данное ограничение называется бюджетным ограничением.

Модель поведения потребителя представляет собой связанные между собой общие принципы поведения потребителя на рынке, включающие в себя, прежде всего, максимизацию совокупной полезности, закон убывающей предельной полезности и бюджетное ограничение.

Изложенная выше модель поведения потребителя является простейшей моделью. Некоторые положения этой модели слишком абстрактны. Например, трудно представить, что, съев два беляша, мы мысленно определили количество полученного удовлетворения; более того, мы вряд ли думали о максимизации полезности в данном случае. Тем не менее, эта упрощенная модель поведения потребителя является очень полезной, многое объясняет в поведении покупателей на рынке, в том числе и то, от чего зависит спрос на товары.



4.Модель Стоуна

Пусть U - функция полезности потребителя. Задачу потребительского выбора можно записать в виде:

Набор товаров можно рассматривать в качестве минимальной корзины потребления. Для приобретения минимального набора необходимо, чтобы доход был больше стоимости этого набора, т.е.

Показатели степеней характеризуют относительную "ценность" соответствующих товаров для потребителя. Добавив к функции (*) бюджетные ограничения (**), получим задачу потребительского выбора, которую называют моделью Р. Стоуна.

4.1 Решение задачи Стоуна для случая двух товаров

Выведем оптимум потребителя при покупке им двух благ и (при необходимости число благ можно расширить до сколь угодно большого количества). Тогда наша задача состоит в том, чтобы максимизировать функцию полезности потребителя от этих двух благ - . Однако наш потребитель ограничен своим доходом (бюджетом), который он тратит без остатка на приобретение этих благ. В результате бюджет потребителя можно представить как .

Затем мы решаем задачу на условный локальный максимум (максимум с ограничением) методом множителей Лагранжа. Составляем следующее уравнение

где - так называемый «множитель Лагранжа». Его экономический смысл станет нам ясен несколько позже. Первое условие максимума с ограничениями получается в результате нахождения частных производных первого порядка по из уравнения (4.1.1) и приравнивания их к нулю. Получаем систему уравнений (4.1.2)

Последнее уравнение из (4.1.2) говорит нам о том, что доход (бюджет) потребителя расходуется на блага и без остатка. Однако нас больше интересуют первые два уравнения из (4.1.2). Из них следует, что

(4.1.3)



Правые части в (4.1.3) есть ни что иное, как и , то есть предельные полезности благ и . Отсюда получаем условие оптимума потребителя.

где может быть интерпретирована как предельная полезность денежной единицы. Ведь для любого блага , может трактоваться как темп возрастания полезности по мере увеличения затрат денег на покупку этого блага.

Для того, чтобы найти точки оптимума (или, что тоже самое, спрос на блага и ), надо знать функцию полезности. Допустим, . Тогда по методу Лагранжа получаем:

Решая систему уравнений (4.1.5) относительно и получаем

Пусть, например, доход потребителя равен 100 д.е, д.е, д.е. Тогда , . Если предположить, что стало равно 5 д.е., а снизилось до 4 д.е., то новые значения спроса на эти блага , а .

Заметим, что в нашем случае функции спроса достаточно простые. Спрос зависят только от цены благ и дохода потребителя. В то же время они позволяют заметить, что

а) каждому значению цены блага и дохода отвечает одно значение спроса;

б) если все цены и доходы меняются в одной и той же пропорции, то спрос на блага не меняется.

4.2 Минимизация расходов потребителя: обратная задача.

В предыдущем разделе ставилась задача максимизировать полезность потребителя при ограниченном доходе. Теперь ставится обратная задача: как минимизировать расходы потребителя при постоянном значении функции полезности.

Эта проблема не является какой-то искусственно созданной математической задачей. Ей можно дать экономическое толкование. Представим данную кривую безразличия и соответствующее ей значение функции полезности как задающие определенный уровень жизни или уровень реального дохода потребителя. Каковы минимальные расходы, позволяющие достичь данный уровня жизни при некоторых фиксированных ценах? Такой подход также позволяет анализировать эффект ценовых изменений на эти расходы.

Теперь мы минимизируем при ограничении , где

- определенный фиксированный уровень полезности. Составляем уравнение Лагранжа для этого случая

Тогда имеем

Возьмем первые два уравнения из (4.2.1). Из них получаем

где - величина обратная предельной полезности денежной единицы, то есть равна 1/. Если заменить в (4.2.2) на 1/ и возвести уравнение в степень 1, то получим знакомое нам условие оптимума потребителя, совпадающее с (4.1.4).

4.3 Пример

Решите задачу потребительского выбора, найдя функцию спроса, при ценах благ и доходе , со следующими функциями полезности:

Изобразите допустимое множество и кривые безразличия.

1.Решение через функцию Лагранжа.

Для двух товаров целевая функция потребления имеет вид:

Вектор цен равен величина дохода равна 55.

Предельные полезности имеют вид

D=55

Необходимые условия оптимума дают следующую систему уравнений(

После подстановки первого уравнения во второе получим:

Выразив из третьего уравнения и подставив в последнее равенство, будем иметь:

Решая его относительно , получим:

При

2.Решение через модель Стоуна.

В нашем случае .

Используя формулу, получаем:

Далее составим таблицу с допустимым множеством значений и построим кривые безразличия и прямую бюджетного ограничения.

	4	5	6	7	8
	9	6,666667	4,333333	2	-0,33333
=max	10,04053	6,685473	5,230723	4,480089	4,046303
=3	5,279507	4,193243	3,72224	3,479207	3,338761
=2	3,675409	3,353553	3,213997	3,141987	3,100374
Umax	4,36894
	3
	2

Кривые безразличия

5.Уравнение Слуцкого

В алгебраической форме совместное влияние эффектов замены и дохода выражается уравнением Слуцкого:

Уравнение Слуцкого верно для различных сочетаний (как при

, например, так и при ?, то есть когда изменения спроса и цены относятся к одному и тому же товару или к разным товарам). Индекс означает «связанное с компенсацией», то есть с изменением номинального дохода, позволяющим потребителю поддерживать прежний реальный доход.

Первое слагаемое в правой части уравнения Слуцкого описывает действие эффекта замены, второе - действие эффекта дохода, выраженное в тех же единицах измерения (множитель X приводит их к одной размерности). Слева записано совместное (результирующее) воздействие эффектов замены и дохода на спрос. Оно складывается из изменения структуры потребления при замене одних (относительно подорожавших) благ другими (относительно подешевевшими) и общего изменения объемов потребления благ при изменении уровня реального дохода.

Результат совместного влияния эффекта замены и эффекта дохода зависит от их направления и величины. При росте цены данного блага эффект замены для этого вида благ всегда отрицателен, то есть состоит в сокращении объема спроса на дорожающий товар. Эффект же дохода различен в зависимости от отношения потребителя к данному виду благ. Спрос на нормальные (полноценные) блага растет при увеличении дохода, поэтому при понижении реального дохода соответствующий компонент в уравнении Слуцкого отрицателен. Сумма двух отрицательных величин также отрицательна, поэтому общий итог повышения цены для полноценных благ, несомненно, заключается в сокращении объема спроса на них. При этом влияние эффектов замены и дохода однонаправлено (рис. 5.1).

Когда потребитель считает данное благо нейтральным (при изменениях дохода спрос на такое благо не меняется), то эффект дохода равен нулю и общее изменение потребления такого блага совпадает с эффектом замены (рис. 5.2).

В этом случае наклон кривой спроса будет, очевидно, более крутым, чем наклон кривой спроса на нормальное благо. Если потребитель считает благо неполноценным (спрос на него при увеличении дохода падает), но абсолютная величина эффекта дохода меньше величины эффекта замены, то общий результат повышения цены по-прежнему отрицателен, хотя он будет еще меньше по абсолютной величине, чем в предыдущем случае (рис. 5.3).

Если в последнем случае эффект замены и эффект дохода равны по абсолютной величине, то спрос на такое неполноценное благо будет абсолютно неэластичным (рис. 5.4).

Получается, что в этом случае закон спроса продолжает действовать, но его действие нейтрализуется равносильным действием понижения реального дохода для неполноценных благ.

И только когда абсолютная величина эффекта дохода при изменении цены менее ценного блага больше величины эффекта замены, то общий эффект повышения цены будет положительным. Такой товар будет называться благом (товаром) Гиффена, и кривая спроса на него будет иметь положительный наклон (рис. 5.5).

Данный анализ эффектов замены и дохода проведен по методологии Джона Хикса, при которой данный уровень реального дохода определяется как обеспечивающий данный уровень благосостояния потребителя (данный уровень полезности). Разработавший основные положения этого анализа Евгений Евгеньевич Слуцкий (его исследования были осуществлены двумя десятилетиями ранее, однако стали известны мировой экономической общественности позже результатов Хикса) использовал менее строгий с точки зрения теории полезности, но зато более эмпирически легкий и потому более прагматичный способ определения данного уровня реального дохода. Он предложил считать неизменным реальный доход в том случае, когда после изменения цен потребитель может купить тот же самый набор благ, что и до данного изменения. Поэтому при подходе Слуцкого промежуточная бюджетная линия должна проходить через точку, изображающую исходный оптимальный набор благ (рис. 5.6).

Таким образом, величины номинального денежного дохода, обеспечивающего данный уровень реального дохода, по Хиксу и по Слуцкому чаще всего не совпадают. Очевидно, что при методологии Слуцкого такая промежуточная бюджетная линия будет касаться чаще всего более высокой кривой безразличия, чем исходной кривой безразличия, что требуется при методологии Хикса. Поэтому, имея возможность купить тот же набор благ, что и до изменения цен, потребитель фактически окажется на более высоком уровне благосостояния, чем перед изменением цен. Это и определяет менее строгий подход к определению неизменного уровня реального дохода.



Литература

1. Замков, О.О. Математические методы в экономике: Учебник, под общ. ред. д.э.н., проф. А.В. Сидоровича, О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных; МГУ им. Ломоносова.-3-е изд., перераб. - М.: Издательство «Дело и сервис», 2001г

2. Красс, М.С. Основы математики и её приложения в экономическом образовании: Учебник. - 3-е изд. - М.: Дело,2002г..

3. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н Фридман. - М.: ЮНИТИ, 2002г..

4. «Экономико-математическое моделирование». Кундышева Е.С. М.: 2008г..

5. «Экономика-математические методы и модели» под ред. С.И. Макарова.

-изд. Кнорус, 2009г..

6. Шелобаев С.И. «Математические методы и модели»,М.:Юнити, 2001г..

7. Экономика. Учебник / Под ред. А. С. Булатова. - М.: Юристъ, 2001.

8. Микроэкономика. Учебники МГУ им. М. В. Ломоносова / Под ред. А. В. Сидоровича. - М.: ДИС, 2002.

Размещено на Allbest.ru