Рассмотрение возможности выпуска 4 видов продукции из сырья трех видов
Составление плана выпуска продукции по видам с учетом имеющихся ресурсов. Формулировка в экономических терминах двойственной задачи и ее математической модели. Нахождение интервалов устойчивости двойственных оценок. Расчет цены единицы готовой продукции.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.05.2014 |
| Размер файла | 132,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Санкт-Петербургский государственный политехнический университет"
Инженерно-экономический институт
Кафедра Информационные системы в экономике и менеджменте
Курсовая работа
по дисциплине "Теория систем и системный анализ"
Выполнил:
Студент группы №В33704
Иньков К.И.
Приняла:
к.н.т., доц. Широкова С.В.
Содержание
1. Постановка задачи
2. Экономико-математическая модель
3. Решение задачи симплекс-методом
4. Анализ оптимального плана
5. Анализ целесообразности выпуска новой продукции
Заключение
1. Постановка задачи
На предприятии имеется возможность выпускать 4 вида продукции. При ее изготовлении используются 3 вида сырья. Размеры допустимых затрат ресурсов. На предприятии имеется возможность выпускать n видов продукции. При ее изготовлении используются 3 вида сырья. Размеры допустимых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2, b3. Расход ресурса i-го (i=1, 3) вида на единицу продукции j-го вида составляет aij единиц. Цена единицы продукции j-го вида равна cj, ден.ед., j=1,n.
Требуется:
найти план выпуска продукции по видам с учетом имеющихся ограниченных ресурсов, который обеспечивал бы предприятию максимальный доход. Дать содержательный ответ, вскрыв экономический смысл всех переменных, участвующих в решении задачи;
сформулировать в экономических терминах двойственную задачу и составить ее математическую модель;
найти оптимальное решение двойственной задачи;
обосновать рентабельность составленного оптимального плана производства;
указать статус ресурсов (дефицитный, недефицитный);
найти интервалы устойчивости двойственных оценок по каждому виду ресурса
оценить целесообразность приобретения дополнительно bk единиц k-го ресурса по цене pk ден.ед за единицу;
установить, целесообразно ли выпускать новую продукции l -го вида, на единицу которого ресурсы расходуются в количествах a1l, a2l, a3l единиц, а цена единицы готовой продукции составляет cl ден.ед.
Все необходимые числовые данные приведены в таблице (табл. 1.1.).
Таблица 1.1
|
n |
b1 |
b2 |
b3 |
a11 |
a12 |
a13 |
a14 |
a21 |
a22 |
a23 |
a24 |
a31 |
a32 |
|
|
4 |
24 |
12 |
35 |
1 |
2 |
4 |
8 |
3 |
5 |
1 |
0 |
6 |
0 |
|
|
a33 |
a34 |
c1 |
c2 |
c3 |
c4 |
k |
pk |
l |
a1l |
a2l |
a3l |
cl |
||
|
3 |
1 |
0.4 |
0.2 |
0.5 |
0.8 |
1 |
0.5 |
0.02 |
5 |
4 |
2 |
3 |
8 |
2. Экономико-математическая модель
Прямая задача
Переменные: a1, a2, a3, a4 объемы выпуска продукции первого, второго, третьего и четвертого видов соответственно.
Доход от реализации продукции:
Ограничение допустимого производства продукции:
Двойственная задача
Переменные: y1, y2, y3 прикидочные цены первого, второго и третьего видов ресурсов соответственно.
Совокупная стоимость ресурсов:
3. Решение задачи симплекс-методом
Для решения задачи оптимизации плана производства симплекс-методом необходимо выполнить преобразование общей задачи линейного программирования к каноническому виду, что требует привлечения трех дополнительных переменных: х5, х6, х7, интерпретируемых как резервы ресурсов первого, второго и третьего видов соответственно.
Построение первого опорного плана:
|
№1 |
v |
||||||||||
|
c |
0,4 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0 |
0 |
0 |
||||
|
Базис |
cl |
b |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
||
|
> |
a5 |
0 |
24 |
1 |
2 |
4 |
8 |
1 |
0 |
0 |
|
|
a6 |
0 |
12 |
3 |
5 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
||
|
a7 |
0 |
35 |
6 |
0 |
3 |
1 |
0 |
0 |
1 |
||
|
Fi |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||
|
?i |
0,4 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0 |
0 |
0 |
Т.к. ?1, ?2, ?3, ?4 > 0, то опорный план оптимальным не является.
Построение второго опорного плана:
|
№2 |
v |
||||||||||
|
c |
0,4 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0 |
0 |
0 |
||||
|
Базис |
cl |
b |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
||
|
a4 |
0,8 |
3 |
0,125 |
0,25 |
0,5 |
1 |
0,125 |
0 |
0 |
||
|
> |
a6 |
0 |
12 |
3 |
5 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
a7 |
0 |
32 |
5,875 |
-0,25 |
2,5 |
0 |
-0,125 |
0 |
1 |
||
|
Fi |
2,4 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,8 |
0,1 |
0 |
0 |
|||
|
?i |
0,3 |
0 |
0,1 |
0 |
-0,1 |
0 |
0 |
Т.к. ?3, ?1 > 0, то опорный план оптимальным не является.
Построение третьего опорного плана:
|
№3 |
v |
v |
v |
||||||||
|
c |
0,4 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0 |
0 |
0 |
||||
|
Базис |
cl |
b |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
||
|
a4 |
0,8 |
2,5 |
0 |
0,041667 |
0,458333 |
1 |
0,125 |
-0,04167 |
0 |
||
|
> |
a1 |
0,4 |
4 |
1 |
1,666667 |
0,333333 |
0 |
0 |
0,333333 |
0 |
|
|
a7 |
0 |
8,5 |
0 |
-10,0417 |
0,541667 |
0 |
-0,125 |
-1,95833 |
1 |
||
|
Fi |
3,6 |
0,4 |
0,7 |
0,5 |
0,8 |
0,1 |
0,1 |
0 |
|||
|
?i |
0 |
-0,5 |
0 |
0 |
-0,1 |
-0,1 |
0 |
Т.к. ?1, ?2, ?3, ?4, ?5, ?6 ?7, ? 0, то опорный план является оптимальным.
4. Анализ оптимального плана
X* = (4; 0; 0; 2,5)
Оптимальный план производства заключается в выпуске 4 ед. продукции первого вида, 2,5 ед. четвертого вида и не производить продукцию второго и третьего вида.
Y * = (0,1; 0,1; 0)
Ресурсы первого вида следует продавать по цене не ниже 0,1 ден. ед., второго - 0,1 ден. ед., третьего - отказаться от продажи. В противном случае выгоднее производить продукцию.
Максимальный доход от реализации произведенной продукции равен доходу от реализации имеющихся ресурсов и составляет 3,6 ден. ед.
Подставляем компоненты оптимального вектора оценок ресурсов в ограничения двойственной задачи:
Полученные соотношения объясняют, почему оптимальный план производства предусматривает выпуск продукции первого и четвертого видов, и не предусматривает выпуск продукции второго вида.
Второе ограничение двойственной задачи выполняется как строгое неравенство. Это означает, что оценки ресурсов, расходуемых на производство единицы продукции второго вида, превышают цену единицы этой продукции. Следовательно, такую продукцию предприятию выпускать невыгодно. Выпуск продукции первого, третьего и четвертого видов оправдан, поскольку оценка израсходованных ресурсов совпадает с ценой единицы продукции.
Таким образом, в оптимальный план производства входит только та продукция, которая выгодна предприятию, и не входит убыточная продукция, что говорит о рентабельность оптимального плана.
Т.к. y1, y2 > 0 , то два вида ресурсов являются дефицитными: они используются полностью при оптимальном плане производства. В этом можно убедиться, подставив компоненты оптимального плана в ограничения прямой задачи:
При увеличении запаса ресурса первого вида на 1 значение целевой функции возрастет на 0,1 руб. Это увеличение будет достигнуто за счет увеличения выпуска продукции четвертого вида на 0,125 ед.
При увеличении запаса ресурса второго вида на 1 значение целевой функции возрастет на 0,1 руб. Это увеличение будет достигнуто за счет увеличения выпуска продукции первого вида на 0,333333 ед. и сокращения выпуска продукции четвертого вида на 0,04167 ед.
Устойчивость двойственных оценок
|
В |
A5 |
A6 |
-b/ A5 |
-b/ A6 |
|
|
2,5 |
0,125 |
-0,04167 |
-20 |
59,9952 |
|
|
4 |
0 |
0,33333 |
? |
-12 |
|
|
min из положительных |
? |
59,9952 |
|||
|
min из отрицательных |
-20 |
-12 |
-20 < ?b1 < ?
-12 < ?b2 < 59,9952
|
S |
В |
Min ?b |
Max ?b |
Min b |
Max b |
|
|
S1 |
2,5 |
-20 |
? |
2,5-20 = -17,5 |
? |
|
|
S2 |
4 |
-12 |
59,9952 |
4-12 = -8 |
4+59,9959 = 63,9959 |
При изменении запасов ресурса в интервалах:
-17,5 < b1 < ?
-8 < b2 < 63,9952
оптимальное решение двойственной задачи остается неизменным.
Вместе с ним остается неизменным и структура оптимального плана прямой задачи (наименования выпускаемой продукции). Числовые значения оптимальных объемов выпуска и получаемой прибыли меняются, но могут быть пересчитаны по формулам:
Таким образом, приобретение дополнительных 0,5 единиц первого ресурса по цене 0,02 ден. ед. за единицу целесообразно, а прибыль составит:
Дополнительный доход:
5. Анализ целесообразности выпуска новой продукции
Построение первого опорного плана
|
№1 |
v |
||||||||||||
|
c |
0,4 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
8 |
0 |
0 |
0 |
|||||
|
Базис |
cl |
b |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
a8 |
b/a |
||
|
> |
a6 |
0 |
24 |
1 |
2 |
4 |
8 |
4 |
1 |
0 |
0 |
6 |
|
|
> |
a7 |
0 |
12 |
3 |
5 |
1 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
6 |
|
|
a8 |
0 |
35 |
6 |
0 |
3 |
1 |
3 |
0 |
0 |
1 |
11,66667 |
||
|
Fi |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||||
|
?i |
0,4 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
8 |
0 |
0 |
0 |
Т.к. ?1, ?2, ?3, ?4, ?5 ? 0, то опорный план не является оптимальным.
Поскольку в последнем столбце присутствует несколько минимальных элементов 6, то номер строки выбираем по правилу Креко.
Метод Креко заключается в следующем.
Элементы строк, имеющие одинаковые наименьшие значения min=6, делятся на предполагаемые разрешающие элементы, а результаты заносятся в дополнительные строки.
За ведущую строку выбирается та, в которой раньше встретится наименьшее частное при чтении таблицы слева направо по столбцам.
продукция двойственный интервал цена
|
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
a8 |
||
|
a6 |
0,25 |
0,5 |
1 |
2 |
1 |
0,25 |
0 |
0 |
|
|
a7 |
1,5 |
2,5 |
0,5 |
0 |
1 |
0 |
0,5 |
0 |
Разрешающий элемент = 4
|
№1 |
v |
||||||||||||
|
c |
0,4 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
8 |
0 |
0 |
0 |
|||||
|
Базис |
cl |
b |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
a8 |
b/a |
||
|
> |
a6 |
0 |
24 |
1 |
2 |
4 |
8 |
4 |
1 |
0 |
0 |
6 |
|
|
a7 |
0 |
12 |
3 |
5 |
1 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
6 |
||
|
a8 |
0 |
35 |
6 |
0 |
3 |
1 |
3 |
0 |
0 |
1 |
11,66667 |
||
|
Fi |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||||
|
?i |
0,4 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
8 |
0 |
0 |
0 |
Построение второго опорного плана
|
№2 |
v |
|||||||||||
|
c |
0,4 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
8 |
0 |
0 |
0 |
||||
|
Базис |
cl |
b |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
a8 |
||
|
> |
a5 |
8 |
6 |
0,25 |
0,5 |
1 |
2 |
1 |
0,25 |
0 |
0 |
|
|
a7 |
0 |
0 |
2,5 |
4 |
-1 |
-4 |
0 |
-0,5 |
1 |
0 |
||
|
a8 |
0 |
17 |
5,25 |
-1,5 |
0 |
-5 |
0 |
-0,75 |
0 |
1 |
||
|
Fi |
48 |
2 |
4 |
8 |
16 |
8 |
2 |
0 |
0 |
|||
|
?i |
-1,6 |
-3,8 |
-7,5 |
-15,2 |
0 |
-2 |
0 |
0 |
Т.к. ?1, ?2, ?3, ?4, ?5, ?6, ?7, ?8 ? 0, то опорный план является оптимальным.
В соответствии с расчетами оптимальный план производства:
В соответствии с расчетами должно производиться 6 единиц продукции пятого вида, а следовательно при заданных условиях производить дополнительную продукцию выгодно.
Заключение
В данной работе рассматривалась возможность выпускать 4 вида продукции из сырья трех видов. Оптимальный план производства заключается в выпуске 4 ед. продукции первого вида, 2,5 ед. четвертого вида. Продукцию второго и третьего вида производить не выгодно. Прибыль от реализации продукции составит 3,6 ден. ед. При этом два вида сырья оказались дефицитными и расходуются полностью в процессе производства.
Была рассмотрена возможность реализации сырья без производства продукции. Прикидочные цены равны 0,1 и 0,1 ден. ед. за единицу сырья первого, второго вида соответственно.
Были найдены интервалы устойчивости двойственных оценок по каждому виду ресурса. При изменении запасов ресурсов первого вида от -17,5 до ? единиц, второго вида от -8 до 63,9952 единиц оптимальное решение двойственной задачи остается неизменным.
Была обоснована целесообразность приобретения дополнительно 0,5 единиц продукции первого ресурса. При этом выяснилось, что в данном случае прибыль увеличится на 0,09 ден. ед.
Также была рассмотрена возможность выпуска новой продукции, и оказалось, что производить ее выгодно.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Составление математической модели и решение задачи планирования выпуска продукции, обеспечивающего получение максимальной прибыли. Нахождение оптимального решения двойственной задачи с указанием дефицитной продукции при помощи теорем двойственности.
контрольная работа [232,3 K], добавлен 02.01.2012Составление плана выпуска продукции. Определение остатков ресурсов после изготовления продукции. Нахождение лимитирующего фактора. Построение графика допустимых решений. Применение метода "2-х точек" в решении задач. Оптимальная программа выпуска.
контрольная работа [15,7 K], добавлен 26.11.2010Определение общего дохода от реализации продукции и общих транспортных издержек. Расчет теневых цен. Нахождение маршрута с наименьшей отрицательной теневой ценой. Составление плана производства двух видов продукции, обеспечивающего максимальную прибыль.
контрольная работа [161,9 K], добавлен 18.05.2015Моделирование задачи определения оптимального плана выпуска продукции, вывод ее в канонической форме. Решение задания с помощью надстройки MS Excel "Поиск решения", составление отчетов по устойчивости и результатам. Оптимальная прибыль при заданной цене.
курсовая работа [635,6 K], добавлен 07.09.2011Проведение финансово-экономического анализа предприятия: системы расчетов по продукции и работе, банковского кредитования, налогообложения, ликвидности, платежеспособности. Разработка математической модели оптимального планирования выпуска продукции.
дипломная работа [4,0 M], добавлен 21.03.2010Графический метод решения и построение экономико-математической модели производства. Определение выручки от реализации готовой продукции и расчет оптимального плана выпуска продукции. Баланс производства проверка продуктивность технологической матрицы.
задача [203,4 K], добавлен 03.05.2009Расчет связи пунктов отправления и назначения. Обеспечение вывоза всех грузов из пункта отправления и ввоза в места назначения необходимых объемов. Экономико-математическая модель задачи на максимум прибыли, расчет оптимального плана выпуска продукции.
курсовая работа [49,1 K], добавлен 29.07.2011Технико-экономические показатели производства продукции и потребления материальных ресурсов. Производительность и годовые фонды реакторов. Технологические способы изготовления эмалей. Составление экономико-математической модели задачи, анализ результатов.
контрольная работа [32,6 K], добавлен 06.01.2011Устойчивость двойственных оценок. Чувствительность оптимального решения задачи к изменению свободных членов. Графический метод решения задачи линейного программирования. Прогнозирование экономических процессов с использованием моделей временных рядов.
курсовая работа [2,3 M], добавлен 05.12.2011Экономико-математическая модель оптимального плана выпуска продукции. Оптимальная организация рекламной компании. Решение транспортной задачи: нахождение суммарных затрат на перевозку. Задача об оптимальном назначении (линейного программирования).
контрольная работа [812,0 K], добавлен 29.09.2010
