Построение и оценка статической модели объекта по данным пассивного эксперимента

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

государственное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный технологический

университет растительных полимеров»

Курсовая работа

По дисциплине: «Моделирование систем»

На тему: «Построение и оценка статической модели объекта по данным пассивного эксперимента.»

Выполнил

студент 542 гр.

Шаранов В. П.

Проверила

Селянинова Л.Н.

Санкт-Петербург, 2014



1. Блочная схема объекта. Результаты пассивного эксперимента

Пассивный эксперимент основан на регистрации контролируемых переменных в установившемся режиме работы.

Изобразим объект с указанием всех переменных:

Рис. 1. Объект управления

X -- входные переменные;

Y -- выходные переменные, зависящие от X;

Yf -- неконтролируемые входные факторы;

Y обусловлено действием всех входных переменных, т.е. Y = f(X^X2).

Статическая модель объекта устанавливает соответствие между входными и выходными переменными объекта в установившемся режиме.



2. Статистический анализ результатов пассивного эксперимента

2.1 Формирование экспериментов из параллельных опытов исходных данных

Пассивный эксперимент основан на регистрации контролируемых переменных в установившемся режиме работы (X1,X2,Y). Регистрация происходит через длительные моменты времени, чтобы не было взаимного влияния измерений друг на друга.

Результаты первого эксперимента:

Результаты второго эксперимента:

Результаты третьего эксперимента:

f_выб1 = l1 -1 =2-1=1 - число степеней свободы

Для каждого эксперимента необходимо рассчитать и выб как оценку точности. дисперсия эксперимент переменный блочный

Для обработки данных необходимо из каждого эксперимента учитывать только один выделенный опыт, поэтому из исходных данных в нашем случае нужно убрать 1 измерение из первого эксперимента и 1 измерение из второго.

2.1.1 Расчёт выборочного математического ожидания и дисперсии для каждого эксперимента

Выборочное мат. ожидание:

Выборочная дисперсия:

Для первого эксперимента:

Для второго эксперимента:



Для третьего эксперимента:

2.2 Корреляционный анализ данных эксперимента

Корреляционный анализ показывает взаимосвязь между значениями переменных. Если значения располагаются близко друг к другу и образуют линию, то это означает, что связь между ними сильная и проводить дальнейшие расчёты не имеет смысла.

2.2.1 Качественная оценка типа связи между входными переменными по виду поля корреляции

Оценка производится визуально при построении поля корреляции. В этом случае в осях координат откладываются значения переменных.



2.2.2 Расчёт уравнения линии предсказания

Выведем уравнение линии предсказания:

,

Значение =-0,314 берётся из матрицы входных переменных.

Получаем b1 = -0,314 = -0,27

b0=тх2-b1mxl =0,77268 - (- 0,27)·0,75455 = 0,99 подставляем:

= 0,99-0,27•х1 и получаем линию предсказания. Линия предсказания нанесена на поле корреляции.

Вывод: по полю корреляции можно сделать вывод об отсутствии линейной связи. Возможно применить метод МНК.

Построив корреляционную функцию ошибки, могу сделать вывод, что связь слабая отрицательная.

2.3 Оценка однородности выборочных дисперсий по критерию Фишера

При проведении параллельных опытов необходимо определить являются ли результаты измерений в первом, втором и третьем эксперименте статистически одинаковыми (т.е. принадлежат ли эти все измерения одной генеральной совокупности, а именно имеют одни и те же генеральные параметры).

Допустим, что первый эксперимент характеризуется генеральным значением , второй, а третий .

Выдвигается нулевая гипотеза Н₀: полагается, что две выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, т.е. у них одно и то же значение генеральной дисперсии

Н₀: =

А выборочные дисперсии - это случайные оценки этой дисперсии;

>,

поэтому выдвигается альтернативная гипотеза

Н₁: .

Задаемся уровнем ошибки первого рода а = 0,05.

Для проверки такой нулевой гипотезы используется статистика Фишера F, которая зависит от а и двух некоторых показателей степеней свободы f₁ и f₂. Причём всегда F(б,f₁,f₂) > 1.

Проверить нулевую гипотезу, означает найти одну границу. Для этого надо найти расчётное значение F и посмотреть в какую область попадём.

F_расч= ;

причём f₁ - число степеней свободы числителя, а f₂ - число степеней свободы знаменателя.

F_расч=

По таблице нахожу критическое значение



= 161,4

Получаю, что

F_расч <

т.е. значения попадают в область нулевой гипотезы Н₀ с вероятностью ошибки 5%.

Это означает, что выборочные дисперсии для двух параллельных опытов статистически однородны, а экспериментальные данные принадлежат одной совокупности. Тогда для этих моделей из каждого эксперимента мы берём по одному опыту, а остальные убираем

Проверим нулевую гипотезу, для второго параллельного опыта. Для этого надо найти расчётное значение F и посмотреть в какую область попадём.

F_расч= ;

F_расч=

По таблице нахожу критическое значение

= 161,4

Получаю, что

F_расч <

т.е. значения попадают в область нулевой гипотезы Н₀ с вероятностью ошибки 5%.

Это означает, что выборочные дисперсии для двух параллельных опытов статистически однородны, а экспериментальные данные принадлежат одной совокупности. Тогда для этих моделей из каждого эксперимента мы берём по одному опыту, а остальные убираем

Проверим нулевую гипотезу, для третьего параллельного опыта. Для этого надо найти расчётное значение F и посмотреть в какую область попадём.

F_расч= ;

F_расч=

Это означает, что выборочные дисперсии для двух параллельных опытов статистически однородны, а экспериментальные данные принадлежат одной совокупности. Тогда для этих моделей из каждого эксперимента мы берём по одному опыту, а остальные убираем

Т.к. данные параллельных опытов статистически однородны, то рассчитываю общую оценку экспериментальных данных в виде дисперсии воспроизводимости.



3. Оценка точности данных эксперимента

3.1 Расчёт дисперсии воспроизводимости

Сравнивается погрешность модели относительно данных эксперимента и точность экспериментальных данных по параллельным опытам.

Точность экспериментальных данных оценивается дисперсией воспроизводимости и числом степеней свободы

f_вocnp = f_1выб + f_2выб+ f_3выб.

fвocnp = f1выб + f2выб+ f3выб=1+1+1=3.

3.2 Оценка значимости коэффициентов модели

С помощью программы было получено две модели: полная и выборочная.

Полная: y=10,35-1,113*x1-1,821*x2+2,085*x1x1+0,1119*x2x2-0,2063x1x2

Выборочная: y=12,96+1,140*x1+0,3330*x2+0,03203*x2x2

Все численные значения коэффициентов модели случайные величины. Они имеют нормальный закон распределения.

вi >N(вi, );

Где вi - генеральное математическое ожидание,

- генеральная дисперсия.

Для каждого из коэффициентов модели необходимо выяснить равно ли нулю генеральное математическое ожидание, если вi = 0, такой коэффициент называется не значимым и в нашей модели он случайно отличается от нуля. Его надо убрать из модели и модель снова пересчитать без него.

Задаюсь уровнем ошибки первого рода б = 0,05

Для проверки гипотезы применяется статистика Стьюдента (t-статистика)

Так как t_расч^> 0 всегда, то попасть в левую полуплоскость мы не можем. Поэтому сравниваем его только со 2 границей.

Если t_pacч> , то мы отвергаем нулевую гипотезу с вероятностью ошибки 5%. Значит у данного коэффициента генеральное математическое ожидание в ? 0, т.е. Коэффициент значим.

Если t_pacч < , то я принимается нулевая гипотеза с вероятностью ошибки 5%. Коэффициент не значим, его нужно убрать из модели.

1. Полная модель.

y=10,35-1,113*x₁-1,821*x₂+2,085*x₁x₁+0,1119*x₂x₂-0,2063x₁x₂

f_ост=N-l=25-6

где N - число опытов,

l - число параметров.

= 2,09 (распределение Стьюдента)

Сравниваем Т-статистику и .

Получаем, что значимые коэффициенты: b₀, b₁₁.

2. Выборочная модель

y =12,96+1,140*x₁+0,3330*x₂+0,03203*x₂x₂

f_ост=N-l=25-4

= 2,07

Значимые коэффициенты: b₀, b₁.

Для первой модели:

Т.к. t_расч>t_кр1, для коэффициентов b₀ и b₁₁ => отвергаем нулевую гипотезу. Генеральное математическое ожидание этих коэффициентов в ? 0, коэффициенты является значимыми, => эти коэффициенты мы оставляем в модели.

Соответственно, остальные коэффициенты незначимы и в нашей модели они случайно отличаются от нуля. Такие коэффициенты из модели надо убрать, и модель пересчитать снова без них.

Итак, исключаем все незначимые коэффициенты из модели, оставляя только значимые. Новая структура модели будет иметь следующий вид:

= b₀ +b₁₁x₁x₁;

Для второй модели:

Т.к. t_pасч > t_кp2 для коэффициентов b₀ и b₁ => отвергаем нулевую гипотезу.

Генеральное математическое ожидание этих коэффициентов в ? 0, коэффициенты являются значимыми => эти коэффициенты мы оставляем в модели. Соответственно, остальные коэффициенты незначимы и в нашей модели они случайно отличаются от нуля. Такие коэффициенты из модели надо убрать, и модель пересчитать снова без них.

Итак, исключаем все незначимые коэффициенты из модели, оставляя только значимые. Новая структура модели будет иметь следующий вид:



= b₀+b₁x₁;

3.3 Оценка точности модели

Для первой модели (полной): ,^: = 12,76.

Для второй модели (выборочной): =1,554.

Генеральная дисперсия экспериментальных данных и генеральная дисперсия модели .

Первая модель:

Нулевая гипотеза H₀: ;

Альтернативная гипотеза H₁: .

Задаемся уровнем ошибки первого рода а = 0,05 .

Для проверки такой нулевой гипотезы используем статистику Фишера.

Проверить нулевую гипотезу, значит найти одну границу. Для этого надо найти расчётное значение F_расч и посмотреть в какую область попадём.

F_расч= ;

причём f₁ и f₂- число степеней свободы. f₁=19, f₂=3.

F_1расч= =1724,32

По таблице нахожу критическое значение = 8,67

Получаю, что

F_1расч >,

т.е. значения не попадают в область нулевой гипотезы Н₀ расхождение между оценками точности данных эксперимента и точности модели не случайна. Модель не адекватна с вероятностью ошибки 5%.

Вторая модель:

Нулевая гипотеза H₀: ;

Альтернативная гипотеза, H₁: , тогда H₁: .

Задаемся уровнем ошибки первого рода а = 0,05 .

Для проверки такой нулевой гипотезы используем статистику Фишера.

Проверить нулевую гипотезу, значит найти одну границу. Для этого надо найти расчётное значение F_расч и посмотреть в какую область попадём.

F_расч= ;

причём f₁ и f₂- число степеней свободы. f₁=21, f₂=3.

F_2расч= =210

По таблице нахожу критическое значение = 8,65

Получаю, что

F_2расч >,

т.е. значения не попадают в область нулевой гипотезы Н₀ расхождение между оценками точности данных эксперимента и точности модели не случайна. Модель не адекватна с вероятностью ошибки 5%.



4. Вывод

F_расч > следовательно, я отвергаю нулевую гипотезу и принимаю альтернативную гипотезу с вероятностью ошибки 5%.

Это означает, что данная модель также не адекватна данным эксперимента. Необходимы следующие варианты работы:

1. Изменить структуру модели.

2. Если это не поможет, то увеличить число экспериментальных данных и снова провести эксперимент.

3. Добавить новый фактор (еще один входной сигнал).

Использую выборочную модель

= b₀ +b₁x₁+b₁₁x₁x₁+b₁₂x₁x₂,

так как результаты программы показали, что данные коэффициенты модели значимы и точность данной модели лучше полной.

Предлагаю в дальнейшем использовать модель данного вида.

Размещено на Allbest.ru