Размещено на http://www.allbest.ru/

3

Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области

«Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

Факультет Естественных и Инженерных наук

Кафедра прикладной математики и информатики

Курсовая работа по «Теории вероятности и математической статистики»

Статистическая обработка результатов испытаний одномерных и двумерных случайных величин

Студентки II курса группы 2241

Селиверстовой Дарьи Валерьевны

Руководитель:

Доц. к. т.н.: Богомолова Е. В.

Дубна, 2012 г.



Оглавление

Введение

Статистическая обработка

Интервальные оценки

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения

Двумерные случайные величины

Выборочное корреляционное отношение

Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии

Заключение

Список использованной литературы



Введение

В данной курсовой работе проводим статистическую обработку результатов испытаний для двух разных задач. В первой задаче представлены контрольные обмеры 100 валиков. Для статистической обработки строим полигон и гистограмму частот, это позволяет нам определить вид распределения. Проверяем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона. Вычисляем числовые характеристики выборки: выборочную среднюю, моду, медиану, выборочную дисперсию, коэффициент вариации, коэффициенты асимметрии и эксцесса. Оцениваем математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенного признака генеральной совокупности с помощью доверительных интервалов с заданной надежностью.

Во второй задаче представлена корреляционная таблица распределения 100 предприятий по капиталовложениям Х (млн. руб.) и выписка продукции Y (млн. руб.). По данным этой таблицы находим выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y, строим их графики. Вычисляем коэффициент корреляции, который позволяет нам судить о прямой или обратной зависимости прямых линий регрессии и их силе. Также находим выборочное корреляционное отношение, которое оценивает тесноту связи между Y и X, X и Y. Вычисляем интервальные оценки для генеральных коэффициентов регрессии.

Для статистической обработки результатов используем различные методы: метод моментов, наибольшего правдоподобия, метод произведений вычисления выборочных средней дисперсии, метод сумм вычисления выборочных средней дисперсии, используем разделы теории корреляции и статистической проверки статистических гипотез.

интервальная оценка корреляционная модель капиталовложение



Статистическая обработка

Одномерные случайные величины

Задача №1. Контрольные обмеры 100 валиков дали следующие результаты:

Табл.№1

7,39	7,43	7,54	7,64	7,4	7,55	7,4	7,26	7,42	7,5
7,32	7,31	7,28	7,52	7,46	7,63	7,38	7,44	7,52	7,53
7,37	7,33	7,24	7,13	7,53	7,53	7,39	7,57	7,51	7,34
7,39	7,47	7,51	7,48	7,62	7,58	7,57	7,33	7,51	7,4
7,3	7,48	7,4	7,57	7,51	7,4	7,52	7,56	7,4	7,34
7,23	7,37	7,48	7,48	7,62	7,35	7,36	7,4	7,45	7,29
7,48	7,58	7,44	7,56	7,28	7,59	7,47	7,62	7,54	7,2
7,38	7,43	7,35	7,56	7,51	7,47	7,4	7,29	7,2	7,46
7,42	7,44	7,41	7,29	7,48	7,39	7,5	7,38	7,45	7,5
7,45	7,42	7,29	7,53	7,34	7,55	7,33	7,32	7,69	7,46

Составим интервальный ряд для контрольных обмеров 100 валиков. Для этого находим максимальные и минимальные варианты и, используя заданный шаг h=0,07 - расстояние между двумя соседними вариантами, прибавляем h к х=7,13 до тех пор пока не перекроем максимальное значение х=7,69; От интервального вариационного ряда переходим к дискретному вариационному ряду, приняв за новые варианты у - середины интервалов; Перейдем к условным вариантам: u=(y-C)/h, где u - условная варианта середины интервала, С - ложный нуль (С=7,38)

Табл.№2

интервалы:	У	n		U	n*u		n*(	n*	n*	n*
7,13-7,20	7,17	1	0,01	-3	-3	-3,95	15,6025	9	-27	81
7,20-7,27	7,24	5	0,05	-2	-10	-2,95	43,5125	20	-40	80
7,27-7,34	7,31	13	0,13	-1	-13	-1,95	49,4325	13	-13	13
7,34-7,41	7,38	23	0,23	0	0	-0,95	20,7575	0	0	0
7,41-7,48	7,45	18	0,18	1	18	0,05	0,045	18	18	18
7,48-7,55	7,52	23	0,23	2	46	1,05	25,3575	92	184	368
7,55-7,62	7,59	11	0,11	3	33	2,05	46,2275	99	297	891
7,62-7,69	7,66	6	0,06	4	24	3,05	55,815	96	384	1536
сумма	-	100	-	-	95	-3,6	256,75	347	803	2987

Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х₁; n₁), (х₂; n₂), … (x_k;n_k).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты х_i, а на оси ординат - соответствующие им частоты n_i. Точки (x_i;n_i). Соединяют отрезками прямых и получают полигоны частот.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁;W₁) … (x_k;W_k).Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты х_i, а на оси ординат - соответствующие им относительные частоты W_i. Точки …(x_i;W_i).соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

Для построения полигона используем частоты и варианты у - середины интервалов дискретного вариационного ряда.



Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению n_i/h (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии n_i/h.

Площадь i-го частичного прямоугольника равна hn_i/h=n_i - сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению W_i/h (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительны частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии W_i/h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна hW_i/h=Wi - относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Для построения гистограммы используем частоты и интервалы интервального ряда



Выборочная средняя:

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n. Выборочной средней х_в называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности. Если все значения х₁, x₂,…,x_n признака выборки объема n различны , то

=(х₁, x₂,…,x_n)/h.

Если значения признака х₁, x₂,…,x_k имеют соответственно частоты n₁,n₂…,n_k, причем n₁+n₂+…+n_k=n, то

=(n₁х₁+n₂х₂+…+n_kх_k)/n, или =, [1]

т.е. выборочная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равным соответствующим частотам. По данным интервального ряда 7,4465 Выборочная дисперсия:

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения , вводят свободную характеристику - выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсией D_в называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения . Если все значения х₁, x₂,…,x_n признака выборки объема n различны, то

D_в=(?(х_i-)²)/n.

Если же значения признака х₁, x₂,…,x_k имеют соответственно частоты n₁,n₂,…,n_k, причем n₁+n₂+…+n_k=n, то



D_в=(, [2]

т.е. выборочная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствующим частотам.

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой - средним квадратическим отклонением.

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратический корень из выборочной дисперсии:

??_в = [3]

Вычисление дисперсии можно упростить, используя теорему:

Теорема: Дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат общей средней:

D= [4]

Доказательство: Справедливость теоремы вытекает из преобразований:

D_в=(=

Выборочная дисперсия является смешенной оценкой генеральной дисперсии, т.е. математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно М(D_в)= D_г. [5]

Чтобы найти исправленную дисперсию, которую обозначают S² нужно умножить D_в на дробь .

Для контрольных обмеров валика:

Выборочная дисперсия - D_в=0,012581,

Выборочное среднее квадратическое отклонение - ??_в =0,11216394,

Исправленная дисперсия - S=0,113297.

Модой М₀ называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Медианой m_e называют варианту, которая делит вариационный ряд на 2 части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно, т.е. n=2k+1, то m_e=x_k+1; при четном n=2k медиана m_e=(x_k+ x_k+1)/2.

Коэффициентом вариации V называют выраженное в процентах отношение выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней:

V= [6]

Коэффициент вариации служит для сравнения величин рассеяния по отношению к выборочной средней двух вариационных рядов. Тот из рядов имеет большее рассеяние по отношению к выборочной средней, у которого коэффициент вариации больше. Коэффициент вариации - безразмерная величина, поэтому он пригоден для сравнения рассеяний вариационных рядов, варианты которых имеют различную размерность.

По результатам контрольного обмера валиков:

Медиана - m_e=7,44

Мода - Мо=7,44

Коэффициент вариации - V=21,51806%

Для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального используют различные характеристики, к числу которых относятся асимметрия и эксцесс.

Асимметрия эмпирического распределения определяется равенством

А_s=m₃/у_в³, где m₃ - центральный эмпирический момент третьего порядка [7]

Эксцесс эмпирического распределения определяется равенством

Е_к=m₄/у⁴_в - 3, где m₄ - центральный эмпирический момент четвертого порядка [8]

m₃=[M₃-3M₂M₁+2(M₁)³]*h³ [9]

m₄=[M₄ - 4M₃M₁+6M₂(M₁)² - 3(M₁)⁴]*h⁴ [10]

m₂=[M₂ - (M₁)²]*h² [11]

M_k=(?n_ix_i^k)/n [12]

Для данного интервального ряда условные и эмпирические моменты:

M1	0,95
M2	3,47
M3	8,03
M4	29,87
m3	-5E-05
m4	0,000377

Тогда можно вычислить: As= 0,03518 и = 0,61796

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона

Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот. Для того чтобы при заданном уровне значимости б проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, надо:

1) Перейти к дискретному вариационному ряду, взяв середины интервалов за новые варианты.

2) Вычислить непосредственно выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение ??.

3) Вычислить теоретические частоты



, [13]

где n - объем выборки, вероятность попадания нормированной случайной величины в интервал [14]

, где Ф=. [15]

4) Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого:

А) составляют расчетную таблицу, по которой находят наблюдаемое значение критерия

. [16]

Б) по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости б и числу степеней свободы k=s-3 (s - число групп выборки) находят критическую точку =(б; k) правосторонней критической области. Если < - нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются не значимо. Если > - гипотезу отвергают, т.е. эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.

Составим расчетную таблицу, где и концы интервалов контрольных обмеров валиков, их частота, выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение ?? мы уже вычислили ранее, находим значение случайной величины Z, значение Ф(Z) нашли по таблице приложения №2, разность значений Ф() и Ф(). Уровень значимости б=0,05 и число групп выборки s=7, тогда число степеней свободы k=4. Критическая точка =(б; k)=(0,05; 4)=9,5.

Табл.№3

i						Ф()	Ф()		n'=n	(-n')2/n'
1	7,13	7,2	1	-?	-2,1977	-0,5	-0,4861	0,0139	1,39
2	7,2	7,27	5	-2,1977	-1,5736	-0,4861	-0,4418	0,0443	4,43	0,0056
3	7,27	7,34	13	-1,5736	-0,9495	-0,4418	-0,3289	0,1129	11,29	0,259
4	7,34	7,41	23	-0,9495	-0,3254	-0,3289	-0,1274	0,2015	20,15	0,4031
5	7,41	7,48	18	-0,3254	0,29867	-0,1274	0,1179	0,2453	24,53	1,7383
6	7,48	7,55	23	0,2987	0,92276	0,1179	0,3212	0,2033	20,33	0,3507
7	7,55	7,62	11	0,9228	1,54684	0,3212	0,4394	0,1182	11,82	0,0569
8	7,62	7,69	6	1,5468	?	0,4394	0,5	0,0606	6,06	0,0006
			100					1		2,8141

Из таблицы №3 находим 2,8141.

Так как =9,5, то следует, что (2,8141<9,5). Критерий Пирсона выполняется, значит, результаты контрольного обмера валиков имеют нормальное распределение.

Кривая Гаусса

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а и ??², где а - выборочное среднее значение и ??² - среднее квадратическое отклонение, если плотность распределения вероятностей имеет вид f(x)= График плотности f(x) нормального распределения называется кривой Гаусса. Для построения графика используем 5 точек:

1) точка максимума (а; )=(7,4465; 2,4904)

2) точка перегиба (а+??; )=(7,6067; 1,5105)

3) точка перегиба (а-??; )=(7,2863; 1,5105)

4) вспомогательная точка (а-2??; )=(7,1260; 0,9162)

5) вспомогательная точка (а+2??; )=( 7,7670; 0,9162)



Интервальные оценки

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика ??^*служит оценкой неизвестного параметра ??. Будем считать ?? постоянным числом (?? может быть и случайной величиной). ??^* тем точнее определяет параметр ??, чем меньше абсолютная величина разности | ?? - ??^*|.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка ??^* удовлетворяет неравенству | ?? - ??^*|<??; можно лишь говорить о вероятности ??, с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки ?? по ??^* называют вероятность ??, с которой осуществляется неравенство | ?? - ??^*|<??. Обычно надежность оценки задается наперед , причем в качестве ?? берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99; 0,999.

Пусть вероятность того, что | ?? - ??^*|<??, равна ??:



Р[| ?? - ??^*|<??]=??.

Заменив неравенство | ?? - ??^* | < ?? равносильным ему двойным неравенством -??<?? - ??^*<??, или ??^*-??< ?? < ??^*+??, имеем

Р[??^*-??< ?? < ??^*+??]=??.

Это соотношение следует понимать так: вероятность того что интервал (??^*-??,??^*+??) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр ??, равна ??.

Доверительным называют интервал (??^*-??; ??^*+??) который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью ??.

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности имеет нормальное распределение с неизвестным средним квадратическим отклонением ??. По выборке х₁, x₂,…,x_n требуется оценить математическое ожидание а.

Рассмотрим случайную величину Т=, где Z имеет нормальное распределение N(0,1); V имеет распределение ??² с «к» степенями свободы; Т имеет распределение Стьюдента «к» степенями свободы.

В качестве Z=, V=(k-1)(S²/??²), где S - исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение

Возьмем Т== имеет распределение Стьюдента с (к-1) степенями свободы. Пусть S(t,n) плотность распределения Стьюдента.

Р(||<t_??)=2(t,n) dt=??

Заменив неравенство в круглых скобках равносильным ему двойным неравенством, получим:



P( - t_??S/<a< + t_??S/)=??

Пользуясь распределением Стьюдента, нашли доверительный интервал покрывающий неизвестный параметр а с надежностью ??: ( - t_??S/ + t_??S/ [17]

и S находятся по выборке. По таблице приложения 3 по заданным n и ?? можно найти t_??.

В первой задаче надежность ?? =0,95; n=100, по таблице приложения №3 - t_??=1,984, тогда находим доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном ??: 7,4240<a<7,4690. Вывод: в генеральной совокупности средние размеры валиков заключены в пределах от 7,4240 до 7,4690.

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения ??

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально. Требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение ?? по х₁, x₂,…,x_n и «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению S. Нужно найти доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр ?? с заданной надежностью ??=Р(|у-S|<д)

-д<у-S<д

S-д<у<д+S

S(1-д/S)<у<(1+д/S)S

Обозначим q=д/S => S(1-q)<у<S(1+q) [18]

< ; ч=



< <

< <

Обозначим ч= имеющее распределение ч² с (n-1) степенями свободы

Пусть ее плотность R(t,n) распределения ч²,то Р(ч₁ <ч< ч₂)= =>P( < ч < )=г=. Из этого выражения находим q.

На практике q находят из таблицы приложения №4 по заданным n и г.

По данным таблицы интервального ряда:

По заданным надежности ?? =0,95 и объема n=100, по таблице приложения №4 q=0,143. Тогда доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения ?? контрольного обмера валиков имеет вид 0,0971<??<0,1295. Вывод: в генеральной совокупности средние квадратические отклонения размеров валиков заключены в пределах (0,0971; 0,1295).

Примечание: все таблицы приложения находятся в книге «В.Е. Гмурман “Теория вероятностей и математическая статистика”» 1998 г.»

Двумерные случайные величины

Задача №2: Распределение 100 предприятий по капиталовложениям Х (млн. руб.) и выпуску продукции Y (млн. руб.) приведено в таблице:

Табл.№4

У	Х
	12	17	22	27	32	37
25	2	4	-	-	-	-	6
35	-	6	3	-	-	-	9
45	-	-	6	45	4	-	55
55	-	-	2	8	6	-	16
65	-	-	-	4	7	3	14
	2	10	11	57	17	3	100

Перейдем к условным вариантам:

где =22, =5;

=45, =10;

Табл. №5

	U
V	-2	-1	0	1	2	3
-2	2	4	-	-	-	-	6
-1	-	6	3	-	-	-	9
0	-	-	6	45	4	-	55
1	-	-	2	8	6	-	16
2	-	-	-	4	7	3	14
	2	10	11	57	17	3	100

Корреляционная зависимость:

Одному значению случайной величины Х отвечает условное математическое ожидание другой случайной величины У.

В качестве оценок условных математических ожиданий применяют условные средние, которые находят по выборке.

Условным средним называют среднее арифметическое значений Y, соответствующих при Х=х.

Условным средним называют среднее арифметическое значений Х, соответствующее при Y=y.

Условное математическое ожидание М(Y|x) является функцией от х, его оценка, т.е. условное среднее _, также функция от х; обозначив эту функцию через f*(x), получим уравнение = f*(x).Это уравнение называют выборочным уравнением регрессии Y на Х; функцию f*(x) называют выборочной регрессией Y на Х, а ее график - выборочной линией регрессии Y на Х.

Аналогичное уравнение =??*(у) называют выборочным уравнением регрессии Х на Y; функцию ??*(у) называют выборочной регрессией Х на Y, ее график - выборочной линией регрессии Х на Y.

Пусть известны результаты n независимых опытов известны пары чисел (х₁, у₁), (х₂, у₂), …, (х_n, у_n).

Найдем по данным наблюдений выборочное уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии. Для определенности будем искать в виде

=kх+b регрессии Y на Х. Угловой коэффициент прямой линии регрессии У на Х называют выборочным коэффициентом регрессии Y на Х и обозначают ??_ух.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х вида Y= ??_ух х+b.

Подберем параметры ??_ух и b так, чтобы точки (х₁, у₁), (х₂, у₂), …, (х_n, у_n), построенные по данным наблюдений, на плоскости хОу лежали как можно ближе к прямой линии регрессии.

Воспользуемся методом наименьших квадратов. Так как каждое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений есть функция F этих параметров.

F(??, b)=?(Y_i-y_i)², или F(??, b)=?(??x_i+b-y_i)²

Для отыскания минимума приравниваем к нулю соответствующие частные производные:

dF/d??=2;



dF/db=2.

Выполнив элементарные преобразования, получим систему двух линейных уравнений относительно ?? и b:

(?х²)??+(?x)b=?xy; (?х)??+nb=?y.

Решив эту систему, найдем искомые параметры:

??_ху=(n?xy-?x?y)/(n?x²-(?x)²);

b=(?x²?y-?x?xy)/(n?x²-(?x)²).

Аналогично можно найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Х ни Y:

=х+С, где - выборочный коэффициент регрессии Х на У.

Допустим, что получено большое число данных, среди них есть повторяющиеся, и они сгруппированы в виде корреляционной таблицы. Воспользуемся тождествами:

?x=n; ?y=n; ?x²=n; ?xy=?xy, пара чисел (x, y)встретилась раз.

Подставив в систему

и сократив обе части второго уравнения на n, получим



Решив эту систему, найдем параметры и b и искомое уравнение

=х+b.

Однако более целесообразно, введя новую величину - выборочный коэффициент корреляции, написать уравнение регрессии в ином виде. Найдем b из второго уравнения второй системы: b=.

Подставив правую часть этого равенства в уравнение =х+b, получим

=(х - ).

Найдем из первой системы коэффициент регрессии, учитывая, что ²- ()²=??²_х:

??_ху==. [19]

Умножив обе части равенства на дробь ??_х/??_у

??_ух=. [20]

Обозначив правую часть через r_в - выборочный коэффициент корреляции



r_в=. [21]

Подставив r_в в =(х - ): = r_в. [22]

Отсюда = r_в [23]

то уравнение регрессии Y по Х имеет вид = r_в(х - ) [24]

Аналогично уравнение регрессии Х по Y: = r_в(y- [25]

Выборочный коэффициент корреляции определяется равенством:

r_в=, где и - варианты признаков Х и Y; частота пары вариант (х, у); n - объем выборки; , - выборочные средние квадратические отклонения; - выборочные средние.

Если величины Y и Х независимы, то r=0; если r=1 и r= -1, то У и Х связаны линейной функциональной зависимостью. Коэффициент корреляции измеряет силу (тесноту) линейной связи между Y и Х. Выборочный коэффициент корреляции является оценкой коэффициента корреляции генеральной совокупности и поэтому также служит для измерения линейной связи между величинами - количественными признаками Y и Х.

Если выборка имеет достаточно большой объем и хорошо представляет генеральную совокупность, то заключение о тесноте линейной зависимости между признаками, полученные по данным выборки, может быть распространено и на генеральную совокупность. Рассмотрим 2 вспомогательные таблицы:

Табл.№6 Умножение частоты n_ij на условную варианту U:

	U
V	-2	-1	0	1	2	3	U	v*U
-2	-4	-4	0	0	0	0	-8	16
-1	0	-6	0	0	0	0	-6	6
0	0	0	0	45	8	0	53	0
1	0	0	0	8	12	0	20	20
2	0	0	0	4	14	9	27	54
							сумма	96

Табл.№7 Умножение частоты на условную варианту V:

	U
V	-2	-1	0	1	2	3
-2	-4	-8	0	0	0	0
-1	0	-6	-3	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	2	8	6	0
2	0	0	0	8	14	6
V	-4	-14	-1	16	20	6	сумма
u*V	8	14	0	16	40	18	96

Вычислим выборочные характеристики случайных величин Х, переходя к условным вариантам

Табл.№8

Ui	Ni	Ui*ni	Ui^2*ni
-2	2	-4	8
-1	10	-10	10
0	11	0	0
1	57	57	57
2	17	34	68
3	3	9	27
сумма	100	86	170

По таблице находим =0,86, =1,7, тогда 0,98

Табл.№9

Vi	Ni	Vi*ni	Vi^2*ni
-2	6	-12	24
-1	9	-9	9
0	55	0	0
1	16	16	16
2	14	28	56
Сумма	100	23	105

По таблице находим = 0,23, = 1,05, тогда 0,998549

Тогда выборочный коэффициент корреляции по формуле [21] r_в=0,778885

Выборочное корреляционное отношение

Выборочным корреляционным отношением Y к Х называют отношение межгруппового среднего квадратического отклонения к общему среднему квадрати-ческому отклонению признака Y:

= или ??_ух= [26]

Здесь

,

где n - объем выборки; частота значения х признака Х; частота значения у признака Y; общая средняя признака Y; условная средняя признака У.

Аналогично определяется выборочное корреляционное отношение Х к Y:

= [27]

Составим две расчетных таблицы для вычисления выборочного корреляционного отношения:



Табл.№10

)	25
)	31
)	44,0909
)	47,807
)	56,7647
)	65
	47,3
	0,79007
	9,98549

Табл.№11

	15,3333
	18,6667
	26,8182
	28,25
	31,6429
	26,3
	0,41488
	4,9

Выборочное корреляционное отношение для 0,07912, а для 0,08467

По формуле [23] 1,587255; 0,43308;

Коэффициенты 5,555185, 5,815316; тогда уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии Y на Х имеет вид - =1,5873х+5,5552, а уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии Х на Y имеет вид - =0,3822у+8,2215

Вывод: т.к. r_в=0,778885, то связь между переменными Х и Y прямая (r>0) и сильная. При увеличении x на единицу, у в среднем увеличится на 1,5873. При увеличении y на 1, x в среднем увеличиться на 0,4331.



Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии

Проверка значимости выборочного коэффициента корреляции:

Пусть имеется двумерная генеральная совокупность (Х, У) с нормальным распределением. Из нее извлечена выборка объема n и найден выборочный коэффициент r_в?0. Требуется проверить гипотезу Н_о: r_г=0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Н₁: r_г?0.

Если Н_о отвергается, т.е. r_в значимо отличается от нуля, то Х и У коррелированны, т.е. между ними существует линейная зависимость. Если Н_о подтверждается, т.е. r_в не значимо отличается от нуля, тогда Х и У не коррелированны и между ними отсутствует линейная связь.

Для проверки Н_о используется случайная величина =r_в , [28]

имеющая распределение Стьюдента с k=n-2 степенями свободы. Критическое значение =t(б, к), находится из таблицы приложения №6 по заданным б и к для двухсторонней критической области.

Если |Т|<, то нет оснований отвергнуть гипотезу Н_о.

Если ||>, то Н_о отвергают.

Если r_в значим, то для генеральных коэффициентов регрессии и справедливы доверительные интервалы.

1) Регрессия Y по Х

[29]

Где и - исправленные выборочные средние квадратические отклонения, ??_ух - выборочный коэффициент регрессии Y по Х.

2) Регрессия Х по Y

[30]

По данным задачи по формуле [28] =12,2943, (0,05;98)=1,99, то Н_о отвергают, так как ||>, тогда r_в значимо отличается от нуля и Х и У коррелированны, т.е. между ними существует линейная зависимость.

Следовательно, справедливы доверительные интервалы для регрессии Y по Х:

1,3303361,844174, а для регрессии Х по Y: 0,3712140,494946



Заключение

В первой задаче по проведенному статистическому исследованию мы можем сделать вывод о контрольных размерах валиков во всей контролируемой партии валиков, т.е. в генеральной совокупности. Мы проверили гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона. По данным задачи вычислили 2,8141 и =9,5. Так как (2,8141<9,5), то критерий Пирсона выполняется. Следовательно, доказали что, контрольные обмеры валиков имеют нормальное распределение, вычислили их числовые характеристики.

Во второй задаче вычислили корреляционную зависимость распределения 100 предприятий по капиталовложениям Х (млн. руб.) и выпуску продукции Y (млн. руб.). Вычислили коэффициент регрессии r_в=0,778885 и проверили его значимость. Доказали, что r_в значимо отличается от нуля, тогда Х и Y коррелированны, т.е. между ними существует линейная зависимость. Нашли уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии Y на Х, имеющий вид - =1,5873х+5,5552, и уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии Х на Y: =0,4331у+5,8153. Статистическая обработка данных показала, что связь между переменными Х и Y прямая и сильная.



Список использованной литературы

1)В.Е. Гмурман «Теория вероятностей и математическая статистика» 1998 г.

2)В.Е. Гмурман «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» 2001 г.

3)Н.Ш. Кремер «Теория вероятностей и математическая статистика» 2009 г.

Размещено на Allbest.ru