Выявление динамики выработки натурального цемента в расчёте на одного человека на Рижском цементном заводе

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Цемент -- искусственное неорганическое вяжущее вещество, как правило, гидравлическое, одно из основных строительных материалов. При растворении водой, водными растворами солей и другими жидкостями образует пластичную массу, которая затем затвердевает и превращается в камневидное тело. В основном используется для изготовления бетона и строительных растворов.

Цемент принципиально отличается от других минеральных вяжущих (гипса, воздушной и гидравлической извести), которые твердеют только на воздухе.

Натуральный цемент представляет из себя совмещение известняка и глины. Исключительно эта смесь, затвердевая, формирует надёжный, прочнейший материал. Еще его обозначают как клинке.

Целью данной курсовой работы является выявление динамики выработки натурального цемента в расчёт на одного работника на Рижском цементном заводе.

1. Линейная регрессия

Если в естественных науках большей частью имеют дело со строгими (функциональными) зависимостями, при которых каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой, то между экономическими переменными, в большинстве случаев, таких зависимостей нет. Поэтому в экономике имеют дело с корреляционными зависимостями.

В зависимости от количества факторов, включенных в уравнение регрессии, принято различать простую (парную) и множественную регрессии.

Регрессия - зависимость среднего значения какой-либо случайной величины от некоторой другой величины (парная регрессия) или нескольких величин (множественная регрессия).

Уравнение линейной парной регрессии имеет вид:

.

Для оценки параметров a, b методом наименьших квадратов (МНК) необходимо решить систему нормальных уравнений:

Можно воспользоваться готовыми формулами решения системы:

, ,

где - среднее значение фактора X; - среднее значение результативной переменной Y; - среднее значение произведения переменных X и Y; - среднее значение квадрата переменной Х; - ковариация переменных Х и Y; - дисперсия переменной Х.

Коэффициент регрессии b показывает, на сколько единиц в среднем по совокупности изменится результирующая переменная Y, если факторная переменная Х увеличится на одну единицу.

Для оценки тесноты линейной связи между переменными используют линейный коэффициент парной корреляции:

,

где - среднеквадратическое отклонение (СКО) переменной Х; - среднеквадратическое отклонение (СКО) переменной Y.

Можно считать, что:

1) если , то имеется прямая линейная связь между переменными Х и Y;

2) если , то имеется обратная линейная связь между переменными Х и Y;

3) если (), то линейная связь между переменными Х и Y отсутствует.

Качественная оценка тесноты связи величин Х и Y может быть выявлена на основе шкалы Чеддока:

Табл. 1

Тестона связи	Значение коэффициента корреляции
Слабая	0,1-0,3
Умеренная	0,3-0,5
Заметная	0,5-0,7
Высокая	0,7-0,9
Весьма высокая	0,9-0,99

Для оценки качества уравнения регрессии использую коэффициент детерминации .

Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака (квадрат коэффициента корреляции):

.

Коэффициент детерминации показывает, какую часть вариации (изменения) результативной переменной Y объясняет вариация (изменение) фактора X. Чем ближе к единице, тем лучше регрессионная модель.

Оценка статистической значимости уравнения регрессии в целом осуществляется с помощью F-критерия Фишера. Проверяется гипотеза Н0 о статистической незначимости уравнения регрессии. Для этого рассчитывается фактическое значение критерия по формуле:

,

где n - число единиц совокупности; m - число параметров при переменных х.

Если применяется линейное уравнение регрессии, то расчет Fфакт упрощается:

.

Fтабл - это максимально возможное значение критерия, которое могло сформироваться под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости . Уровень значимости - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Имеются таблицы критических (табличных) значений F-критерия: F(; k1; k2), где , . Для линейного уравнения парной регрессии с уровнем значимости = 0,05 необходимо в таблице значений (приложение №4) найти значение F(0,05; 1; n - 2).

Если Fтабл < Fфакт, то гипотеза Н0 о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции рассчитывается t-критерий Стьюдента. Выдвигается гипотеза H0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Наблюдаемые значения t-критерия рассчитываются по формулам:

, , ,

где - случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции.

Для линейной парной регрессии выполняется равенство , поэтому проверки гипотез о значимости коэффициента регрессии при факторе и коэффициента корреляции равносильны проверке гипотезы о статистической значимости уравнения регрессии в целом.

Вообще, случайные ошибки рассчитываются по формулам:

, , .

где - остаточная дисперсия на одну степень свободы:

.

Табличное (критическое) значение t-статистики находят по таблицам распределения t-Стьюдента при уровне значимости б = 0,05 и числе степеней свободы . Если tтабл < tфакт, то H0 отклоняется, т.е. коэффициенты регрессии не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора.

2. Постановка и решение задачи

Постановка задачи: выявить динамику выработки натурального цемента в расчёте на одного человека на Рижском цементном заводе.

По данным таблицы проанализируем следующие модели: гиперболическую, полулогарифмическую и степенные модели, рассчитаем прогнозное значение при Х=

Табл. 2

X	Y
1	673
2	694
3	711
4	786
5	797
6	782
7	810
8	832
9	834
10	878
11	900
12	890
13	931
14	915
15	938
16	927
17	950
18	958
19	940
20	961

X - года.

Y - Динамика выработки.

Рис. 1

3. Гиперболическая модель: y=a+b/x

Regression Summary for Dependent Variable: Y (Spreadsheet1)

R= ,80659089 R?= ,65058887 Adjusted R?= ,63117714

F(1,18)=33,515 p<,00002 Std.Error of estimate: 55,652

Табл. 3

	Коэф. модели	Отклонения	t(18)	Ур. значимости
Константа	914,844	16,13902	56,68524	0,000000
1/x	-330,731	57,12859	-5,78924	0,000017

линейный статистический регрессия гиперболический

Коэффициент корреляции = 0,80659089.

Коэффициент детерминации = 0,65058887.

Скорректированный детерминации = 0,63117714.

Критерий Фишера = 33,515.

Ур. Значимости = 0,000000.

Ур. Регрессии = 914,844+(-330,731*1028)= -339077.

4. Полулогарифмическая модель: y=Log(x)

Regression Summary for Dependent Variable: Y (Spreadsheet1).

R= ,97118656 R?= ,94320333 Adjusted R?= ,94004796

F(1,18)=298,92 p<,00000 Std.Error of estimate: 22,437

Табл. 4

	Коэф. модели	Отклонения	t(18)	Ур. значимости
Константа	623,5498	14,31515	43,55872	0,000000
Log	109,5060	6,33374	17,28930	0,000000

Коэффициент корреляции = 0,97118656.

Коэффициент детерминации = 0,94320333.

Скорректированный детерминации = 0,94004796.

Критерий Фишера = 298,92.

Ур. Значимости = 0,000000.

Ур. Регрессии = 623,5498+109,506*1028=113195,7.

5. Степенная модель: y=a+bxб

x0.1.

Regression Summary for Dependent Variable: Y (Spreadsheet1).

R= ,97755125 R?= ,95560644 Adjusted R?= ,95314013.

F(1,18)=387,46 p<,00000 Std.Error of estimate: 19,837.

Табл. 5

	Коэф. модели	Отклонения	t(18)	Ур. значимости
Константа	-296,059	58,66225	-5,04683	0,000084
X0.1	928,915	47,19112	19,68411	0,000000

Коэффициент корреляции = 0,97755125.

Коэффициент детерминации = 0, 95560644.

Скорректированный детерминации = 0,95314013.

Критерий Фишера = 387,46.

Ур. Значимости = 0,000084.

Ур. Регрессии = -296,059+928,915*10280,1=1562,495.

x0.2.

Regression Summary for Dependent Variable: Y (Spreadsheet1).

R= ,98177584 R?= ,96388380 Adjusted R?= ,96187735.

F(1,18)=480,39 p<,00000 Std.Error of estimate: 17,892.

Табл. 6

	Коэф. модели	Отклонения	t(18)	Ур. значимости
Константа	252,1921	27,80835	9,06893	0,000000
X0.2	390,3319	17,80888	21,91783	0,000000

Коэффициент корреляции = 0,98177584.

Коэффициент детерминации = 0,96388380.

Скорректированный детерминации = 0,96187735.

Критерий Фишера = 480,39.

Ур. Значимости = 0,000000.

Ур. Регрессии = 252,1921+390,3319*10280,2=1814,738.

x0.3.

Regression Summary for Dependent Variable: Y (Spreadsheet1).

R= ,98398677 R?= ,96822996 Adjusted R?= ,96646496.

F(1,18)=548,57 p<,00000 Std.Error of estimate: 16,781.

Табл. 7

	Коэф. модели	Отклонения	t(18)	Ур. значимости
Константа	435,5819	18,31086	23,78817	0,000000
X0.3	216,7713	9,25519	23,42160	0,000000

Коэффициент корреляции = 0,98398677.

Коэффициент детерминации = 0,96822996.

Скорректированный детерминации = 0,96646496.

Критерий Фишера = 548,57.

Ур. Значимости = 0,000000.

Ур. Регрессии = 435,5819+216,7713*10280,3=2171,782.

x0.4.

Regression Summary for Dependent Variable: Y (Spreadsheet1).

R= ,98434843 R?= ,96894184 Adjusted R?= ,96721638.

F(1,18)=561,56 p<,00000 Std.Error of estimate: 16,592.

Табл. 8

	Коэф. модели	Отклонения	t(18)	Ур. значимости
Константа	527,8468	14,30966	36,88746	0,000000
X0.4	134,3191	5,66814	23,69721	0,000000

Коэффициент корреляции = 0,98434843.

Коэффициент детерминации = 0,96894184.

Скорректированный детерминации = 0,96721638.

Критерий Фишера = 561,56.

Ур. Значимости = 0,000000.

Ур. Регрессии = 527,8468+134,3191*10280,4=2680,306.

x0.5.

Regression Summary for Dependent Variable: Y (Spreadsheet1).

R= ,98304889 R?= ,96638512 Adjusted R?= ,96451763.

F(1,18)=517,48 p<,00000 Std.Error of estimate: 17,262.

Табл. 9

	Коэф. модели	Отклонения	t(18)	Ур. значимости
Константа	583,7113	12,54946	46,51285	0,000000
X0.5	88,1000	3,87285	22,74812	0,000000

Коэффициент корреляции = 0,98304889.

Коэффициент детерминации = 0,96638512.

Скорректированный детерминации = 0,96451763.

Критерий Фишера = 517,48.

Ур. Значимости = 0,000000.

Ур. Регрессии = 583,7113+88,1*10280,5=3408,412.

x0.6.

Regression Summary for Dependent Variable: Y (Spreadsheet1).

R= ,98028693 R?= ,96096246 Adjusted R?= ,95879371.

F(1,18)=443,09 p<,00000 Std.Error of estimate: 18,602.

Табл. 10

	Коэф. модели	Отклонения	t(18)	Ур. значимости
Константа	621,3996	11,86698	52,36376	0,000000
X0.6	59,7691	2,83941	21,04981	0,000000

Коэффициент корреляции = 0,98028693.

Коэффициент детерминации = 0,96096246.

Скорректированный детерминации = 0,95879371.

Критерий Фишера = 443,09.

Ур. Значимости = 0,000000.

Ур. Регрессии = 621,3996+59,7691*10280,6=4455,58.

x0.7.

Regression Summary for Dependent Variable: Y (Spreadsheet1).

R= ,97626146 R?= ,95308644 Adjusted R?= ,95048014.

F(1,18)=365,68 p<,00000 Std.Error of estimate: 20,392.

Табл. 11

	Коэф. модели	Отклонения	t(18)	Ур. значимости
Константа	648,7098	11,72858	55,31016	0,000000
X0.7	41,4381	2,16694	19,12288	0,000000

Коэффициент корреляции = 0,97626146.

Коэффициент детерминации = 0,95308644.

Скорректированный детерминации = 0,95048014.

Критерий Фишера = 365,68.

Ур. Значимости = 0,000000.

Ур. Регрессии = 648,7098+41,4381*10280,7=5967,281.

x0.8.

Regression Summary for Dependent Variable: Y (Spreadsheet1).

R= ,97116355 R?= ,94315864 Adjusted R?= ,94000078.

F(1,18)=298,67 p<,00000 Std.Error of estimate: 22,446.

Табл. 12

	Коэф. модели	Отклонения	t(18)	Ур. значимости
Константа	669,5322	11,86585	56,42515	0,000000
X0.8	29,1548	1,68700	17,28209	0,000000

Коэффициент корреляции = 0,97116355.

Коэффициент детерминации = 0,94315864.

Скорректированный детерминации = 0,94000078.

Критерий Фишера = 298,67.

Ур. Значимости = 0,000000.

Ур. Регрессии = 669,5322+29,1548*10280,8=8156,476.

x0.9.

Regression Summary for Dependent Variable: Y (Spreadsheet1).

R= ,96517095 R?= ,93155495 Adjusted R?= ,92775245.

F(1,18)=244,98 p<,00000 Std.Error of estimate: 24,631.

Табл. 13

	Коэф. модели	Отклонения	t(18)	Ур. значимости
Константа	686,0219	12,13963	56,51096	0,000000
X0.9	20,7264	1,32420	15,65199	0,000000

Коэффициент корреляции = 0,96517095.

Коэффициент детерминации = 0,93155495.

Скорректированный детерминации = 0,92775245.

Критерий Фишера = 244,98.

Ур. Значимости = 0,000000.

Ур. Регрессии = 686,0219+20,7264*10280,9=11335,24.

Размещено на Allbest.ru