Выявление динамики выработки натурального цемента в расчёте на одного человека на Рижском цементном заводе
Уравнение линейной парной регрессии. Качественная оценка тесноты связи величин на основе шкалы Чеддока. Алгоритм оценки статистической значимости уравнения регрессии в целом. Методика расчета гиперболической, полулогарифмической и степенной моделей.
Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
Вид | контрольная работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 17.04.2014 |
Размер файла | 84,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
Введение
Цемент -- искусственное неорганическое вяжущее вещество, как правило, гидравлическое, одно из основных строительных материалов. При растворении водой, водными растворами солей и другими жидкостями образует пластичную массу, которая затем затвердевает и превращается в камневидное тело. В основном используется для изготовления бетона и строительных растворов.
Цемент принципиально отличается от других минеральных вяжущих (гипса, воздушной и гидравлической извести), которые твердеют только на воздухе.
Натуральный цемент представляет из себя совмещение известняка и глины. Исключительно эта смесь, затвердевая, формирует надёжный, прочнейший материал. Еще его обозначают как клинке.
Целью данной курсовой работы является выявление динамики выработки натурального цемента в расчёт на одного работника на Рижском цементном заводе.
1. Линейная регрессия
Если в естественных науках большей частью имеют дело со строгими (функциональными) зависимостями, при которых каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой, то между экономическими переменными, в большинстве случаев, таких зависимостей нет. Поэтому в экономике имеют дело с корреляционными зависимостями.
В зависимости от количества факторов, включенных в уравнение регрессии, принято различать простую (парную) и множественную регрессии.
Регрессия - зависимость среднего значения какой-либо случайной величины от некоторой другой величины (парная регрессия) или нескольких величин (множественная регрессия).
Уравнение линейной парной регрессии имеет вид:
.
Для оценки параметров a, b методом наименьших квадратов (МНК) необходимо решить систему нормальных уравнений:
Можно воспользоваться готовыми формулами решения системы:
, ,
где - среднее значение фактора X; - среднее значение результативной переменной Y; - среднее значение произведения переменных X и Y; - среднее значение квадрата переменной Х; - ковариация переменных Х и Y; - дисперсия переменной Х.
Коэффициент регрессии b показывает, на сколько единиц в среднем по совокупности изменится результирующая переменная Y, если факторная переменная Х увеличится на одну единицу.
Для оценки тесноты линейной связи между переменными используют линейный коэффициент парной корреляции:
,
где - среднеквадратическое отклонение (СКО) переменной Х; - среднеквадратическое отклонение (СКО) переменной Y.
Можно считать, что:
1) если , то имеется прямая линейная связь между переменными Х и Y;
2) если , то имеется обратная линейная связь между переменными Х и Y;
3) если (), то линейная связь между переменными Х и Y отсутствует.
Качественная оценка тесноты связи величин Х и Y может быть выявлена на основе шкалы Чеддока:
Табл. 1
Тестона связи |
Значение коэффициента корреляции |
|
Слабая |
0,1-0,3 |
|
Умеренная |
0,3-0,5 |
|
Заметная |
0,5-0,7 |
|
Высокая |
0,7-0,9 |
|
Весьма высокая |
0,9-0,99 |
Для оценки качества уравнения регрессии использую коэффициент детерминации .
Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака (квадрат коэффициента корреляции):
.
Коэффициент детерминации показывает, какую часть вариации (изменения) результативной переменной Y объясняет вариация (изменение) фактора X. Чем ближе к единице, тем лучше регрессионная модель.
Оценка статистической значимости уравнения регрессии в целом осуществляется с помощью F-критерия Фишера. Проверяется гипотеза Н0 о статистической незначимости уравнения регрессии. Для этого рассчитывается фактическое значение критерия по формуле:
,
где n - число единиц совокупности; m - число параметров при переменных х.
Если применяется линейное уравнение регрессии, то расчет Fфакт упрощается:
.
Fтабл - это максимально возможное значение критерия, которое могло сформироваться под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости . Уровень значимости - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Имеются таблицы критических (табличных) значений F-критерия: F(; k1; k2), где , . Для линейного уравнения парной регрессии с уровнем значимости = 0,05 необходимо в таблице значений (приложение №4) найти значение F(0,05; 1; n - 2).
Если Fтабл < Fфакт, то гипотеза Н0 о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции рассчитывается t-критерий Стьюдента. Выдвигается гипотеза H0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Наблюдаемые значения t-критерия рассчитываются по формулам:
, , ,
где - случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции.
Для линейной парной регрессии выполняется равенство , поэтому проверки гипотез о значимости коэффициента регрессии при факторе и коэффициента корреляции равносильны проверке гипотезы о статистической значимости уравнения регрессии в целом.
Вообще, случайные ошибки рассчитываются по формулам:
, , .
где - остаточная дисперсия на одну степень свободы:
.
Табличное (критическое) значение t-статистики находят по таблицам распределения t-Стьюдента при уровне значимости б = 0,05 и числе степеней свободы . Если tтабл < tфакт, то H0 отклоняется, т.е. коэффициенты регрессии не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора.
2. Постановка и решение задачи
Постановка задачи: выявить динамику выработки натурального цемента в расчёте на одного человека на Рижском цементном заводе.
По данным таблицы проанализируем следующие модели: гиперболическую, полулогарифмическую и степенные модели, рассчитаем прогнозное значение при Х=
Табл. 2
X |
Y |
|
1 |
673 |
|
2 |
694 |
|
3 |
711 |
|
4 |
786 |
|
5 |
797 |
|
6 |
782 |
|
7 |
810 |
|
8 |
832 |
|
9 |
834 |
|
10 |
878 |
|
11 |
900 |
|
12 |
890 |
|
13 |
931 |
|
14 |
915 |
|
15 |
938 |
|
16 |
927 |
|
17 |
950 |
|
18 |
958 |
|
19 |
940 |
|
20 |
961 |
X - года.
Y - Динамика выработки.
Рис. 1
3. Гиперболическая модель: y=a+b/x
Regression Summary for Dependent Variable: Y (Spreadsheet1)
R= ,80659089 R?= ,65058887 Adjusted R?= ,63117714
F(1,18)=33,515 p<,00002 Std.Error of estimate: 55,652
Табл. 3
Коэф. модели |
Отклонения |
t(18) |
Ур. значимости |
||
Константа |
914,844 |
16,13902 |
56,68524 |
0,000000 |
|
1/x |
-330,731 |
57,12859 |
-5,78924 |
0,000017 |
линейный статистический регрессия гиперболический
Коэффициент корреляции = 0,80659089.
Коэффициент детерминации = 0,65058887.
Скорректированный детерминации = 0,63117714.
Критерий Фишера = 33,515.
Ур. Значимости = 0,000000.
Ур. Регрессии = 914,844+(-330,731*1028)= -339077.
4. Полулогарифмическая модель: y=Log(x)
Regression Summary for Dependent Variable: Y (Spreadsheet1).
R= ,97118656 R?= ,94320333 Adjusted R?= ,94004796
F(1,18)=298,92 p<,00000 Std.Error of estimate: 22,437
Табл. 4
Коэф. модели |
Отклонения |
t(18) |
Ур. значимости |
||
Константа |
623,5498 |
14,31515 |
43,55872 |
0,000000 |
|
Log |
109,5060 |
6,33374 |
17,28930 |
0,000000 |
Коэффициент корреляции = 0,97118656.
Коэффициент детерминации = 0,94320333.
Скорректированный детерминации = 0,94004796.
Критерий Фишера = 298,92.
Ур. Значимости = 0,000000.
Ур. Регрессии = 623,5498+109,506*1028=113195,7.
5. Степенная модель: y=a+bxб
x0.1.
Regression Summary for Dependent Variable: Y (Spreadsheet1).
R= ,97755125 R?= ,95560644 Adjusted R?= ,95314013.
F(1,18)=387,46 p<,00000 Std.Error of estimate: 19,837.
Табл. 5
Коэф. модели |
Отклонения |
t(18) |
Ур. значимости |
||
Константа |
-296,059 |
58,66225 |
-5,04683 |
0,000084 |
|
X0.1 |
928,915 |
47,19112 |
19,68411 |
0,000000 |
Коэффициент корреляции = 0,97755125.
Коэффициент детерминации = 0, 95560644.
Скорректированный детерминации = 0,95314013.
Критерий Фишера = 387,46.
Ур. Значимости = 0,000084.
Ур. Регрессии = -296,059+928,915*10280,1=1562,495.
x0.2.
Regression Summary for Dependent Variable: Y (Spreadsheet1).
R= ,98177584 R?= ,96388380 Adjusted R?= ,96187735.
F(1,18)=480,39 p<,00000 Std.Error of estimate: 17,892.
Табл. 6
Коэф. модели |
Отклонения |
t(18) |
Ур. значимости |
||
Константа |
252,1921 |
27,80835 |
9,06893 |
0,000000 |
|
X0.2 |
390,3319 |
17,80888 |
21,91783 |
0,000000 |
Коэффициент корреляции = 0,98177584.
Коэффициент детерминации = 0,96388380.
Скорректированный детерминации = 0,96187735.
Критерий Фишера = 480,39.
Ур. Значимости = 0,000000.
Ур. Регрессии = 252,1921+390,3319*10280,2=1814,738.
x0.3.
Regression Summary for Dependent Variable: Y (Spreadsheet1).
R= ,98398677 R?= ,96822996 Adjusted R?= ,96646496.
F(1,18)=548,57 p<,00000 Std.Error of estimate: 16,781.
Табл. 7
Коэф. модели |
Отклонения |
t(18) |
Ур. значимости |
||
Константа |
435,5819 |
18,31086 |
23,78817 |
0,000000 |
|
X0.3 |
216,7713 |
9,25519 |
23,42160 |
0,000000 |
Коэффициент корреляции = 0,98398677.
Коэффициент детерминации = 0,96822996.
Скорректированный детерминации = 0,96646496.
Критерий Фишера = 548,57.
Ур. Значимости = 0,000000.
Ур. Регрессии = 435,5819+216,7713*10280,3=2171,782.
x0.4.
Regression Summary for Dependent Variable: Y (Spreadsheet1).
R= ,98434843 R?= ,96894184 Adjusted R?= ,96721638.
F(1,18)=561,56 p<,00000 Std.Error of estimate: 16,592.
Табл. 8
Коэф. модели |
Отклонения |
t(18) |
Ур. значимости |
||
Константа |
527,8468 |
14,30966 |
36,88746 |
0,000000 |
|
X0.4 |
134,3191 |
5,66814 |
23,69721 |
0,000000 |
Коэффициент корреляции = 0,98434843.
Коэффициент детерминации = 0,96894184.
Скорректированный детерминации = 0,96721638.
Критерий Фишера = 561,56.
Ур. Значимости = 0,000000.
Ур. Регрессии = 527,8468+134,3191*10280,4=2680,306.
x0.5.
Regression Summary for Dependent Variable: Y (Spreadsheet1).
R= ,98304889 R?= ,96638512 Adjusted R?= ,96451763.
F(1,18)=517,48 p<,00000 Std.Error of estimate: 17,262.
Табл. 9
Коэф. модели |
Отклонения |
t(18) |
Ур. значимости |
||
Константа |
583,7113 |
12,54946 |
46,51285 |
0,000000 |
|
X0.5 |
88,1000 |
3,87285 |
22,74812 |
0,000000 |
Коэффициент корреляции = 0,98304889.
Коэффициент детерминации = 0,96638512.
Скорректированный детерминации = 0,96451763.
Критерий Фишера = 517,48.
Ур. Значимости = 0,000000.
Ур. Регрессии = 583,7113+88,1*10280,5=3408,412.
x0.6.
Regression Summary for Dependent Variable: Y (Spreadsheet1).
R= ,98028693 R?= ,96096246 Adjusted R?= ,95879371.
F(1,18)=443,09 p<,00000 Std.Error of estimate: 18,602.
Табл. 10
Коэф. модели |
Отклонения |
t(18) |
Ур. значимости |
||
Константа |
621,3996 |
11,86698 |
52,36376 |
0,000000 |
|
X0.6 |
59,7691 |
2,83941 |
21,04981 |
0,000000 |
Коэффициент корреляции = 0,98028693.
Коэффициент детерминации = 0,96096246.
Скорректированный детерминации = 0,95879371.
Критерий Фишера = 443,09.
Ур. Значимости = 0,000000.
Ур. Регрессии = 621,3996+59,7691*10280,6=4455,58.
x0.7.
Regression Summary for Dependent Variable: Y (Spreadsheet1).
R= ,97626146 R?= ,95308644 Adjusted R?= ,95048014.
F(1,18)=365,68 p<,00000 Std.Error of estimate: 20,392.
Табл. 11
Коэф. модели |
Отклонения |
t(18) |
Ур. значимости |
||
Константа |
648,7098 |
11,72858 |
55,31016 |
0,000000 |
|
X0.7 |
41,4381 |
2,16694 |
19,12288 |
0,000000 |
Коэффициент корреляции = 0,97626146.
Коэффициент детерминации = 0,95308644.
Скорректированный детерминации = 0,95048014.
Критерий Фишера = 365,68.
Ур. Значимости = 0,000000.
Ур. Регрессии = 648,7098+41,4381*10280,7=5967,281.
x0.8.
Regression Summary for Dependent Variable: Y (Spreadsheet1).
R= ,97116355 R?= ,94315864 Adjusted R?= ,94000078.
F(1,18)=298,67 p<,00000 Std.Error of estimate: 22,446.
Табл. 12
Коэф. модели |
Отклонения |
t(18) |
Ур. значимости |
||
Константа |
669,5322 |
11,86585 |
56,42515 |
0,000000 |
|
X0.8 |
29,1548 |
1,68700 |
17,28209 |
0,000000 |
Коэффициент корреляции = 0,97116355.
Коэффициент детерминации = 0,94315864.
Скорректированный детерминации = 0,94000078.
Критерий Фишера = 298,67.
Ур. Значимости = 0,000000.
Ур. Регрессии = 669,5322+29,1548*10280,8=8156,476.
x0.9.
Regression Summary for Dependent Variable: Y (Spreadsheet1).
R= ,96517095 R?= ,93155495 Adjusted R?= ,92775245.
F(1,18)=244,98 p<,00000 Std.Error of estimate: 24,631.
Табл. 13
Коэф. модели |
Отклонения |
t(18) |
Ур. значимости |
||
Константа |
686,0219 |
12,13963 |
56,51096 |
0,000000 |
|
X0.9 |
20,7264 |
1,32420 |
15,65199 |
0,000000 |
Коэффициент корреляции = 0,96517095.
Коэффициент детерминации = 0,93155495.
Скорректированный детерминации = 0,92775245.
Критерий Фишера = 244,98.
Ур. Значимости = 0,000000.
Ур. Регрессии = 686,0219+20,7264*10280,9=11335,24.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Особенности расчета параметров уравнений линейной, степенной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной и экспоненциальной регрессии. Методика определения значимости уравнений регрессии. Идентификация и оценка параметров системы уравнений.
контрольная работа [200,1 K], добавлен 21.08.2010Расчет параметров уравнения линейной регрессии, экономическая интерпретация ее коэффициента. Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю. Построение степенной модели парной регрессии. Вариация объема выпуска продукции.
контрольная работа [771,6 K], добавлен 28.04.2016Понятие регрессии. Оценка параметров модели. Показатели качества регрессии. Проверка статистической значимости в парной линейной регрессии. Реализация регрессионного анализа в программе MS Excel. Условия Гаусса-Маркова. Свойства коэффициента детерминации.
курсовая работа [233,1 K], добавлен 21.03.2015Построение поля корреляции и формулирование гипотезы о форме связи. Параметры уравнений линейной, степенной и гиперболической регрессии. Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации. Оценка средней ошибки аппроксимации уравнения.
контрольная работа [136,3 K], добавлен 25.09.2014Построение уравнения регрессии. Эластичность степенной модели. Уравнение равносторонней гиперболы. Оценка тесноты связи, качества и точности модели. Индекс корреляции и коэффициент детерминации. Оценка статистической значимости регрессионных уравнений.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 25.03.2015Параметры парной линейной, линейно-логарифмической функции. Оценка статистической надёжности. Ошибка положения регрессии. Расчёт бета коэффициентов, уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Задача на определение тесноты связи рядов.
контрольная работа [192,2 K], добавлен 23.06.2012Анализ метода наименьших квадратов для парной регрессии, как метода оценивания параметров линейной регрессии. Рассмотрение линейного уравнения парной регрессии. Исследование множественной линейной регрессии. Изучение ошибок коэффициентов регрессии.
контрольная работа [108,5 K], добавлен 28.03.2018Определение количественной зависимости массы пушного зверька от его возраста. Построение уравнения парной регрессии, расчет его параметров и проверка адекватности. Оценка статистической значимости параметров регрессии, расчет их доверительного интервала.
лабораторная работа [100,5 K], добавлен 02.06.2014Основные методы анализа линейной модели парной регрессии. Оценки неизвестных параметров для записанных уравнений парной регрессии по методу наименьших квадратов. Проверка значимости всех параметров модели (уравнения регрессии) по критерию Стьюдента.
лабораторная работа [67,8 K], добавлен 26.12.2010Экономическое моделирование хозяйственных процессов. Множественная модель уравнения регрессии. Уравнение парной линейной регрессии, поиск необходимых значений. Выбор одного из значимых признаков для построения парной модели, расчет показателей.
контрольная работа [117,6 K], добавлен 17.04.2015