Теория игр в разрешении конфликтов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Каковы основные черты конфликта?

С чем связано понятие оптимальности в теории игр?

Практическое задание

Заключение

Список литературы

Введение

конфликт игра матрица доминирование

Теория игр -- это раздел математической экономики, изучающий решение конфликтов между игроками и оптимальность их стратегий. Конфликт может относиться к разным областям человеческого интереса: чаще всего это экономика, социология, политология, реже биология, кибернетика и даже военное дело. Конфликтом является любая ситуация, в которой затронуты интересу двух и более участников, традиционно называемых игроками. Для каждого игрока существует определенный набор стратегий, которые он может применить. Пересекаясь, стратегии нескольких игроков создают определенную ситуацию, в которой каждый игрок получает определенный результат, называемый выигрышем, положительным или отрицательным. При выборе стратегии важно учитывать не только получение максимального профита для себя, но так же возможные шаги противника, и их влияние на ситуацию в целом.

Каковы основные черты конфликта?

Конфликт есть качество взаимодействия между людьми (или элементами внутренней структуры личности), выражающееся в противоборстве сторон ради достижения своих интересов и целей.

Основой всех конфликтов являются противоречия, возникающие между людьми или внутри структуры самой личности. Именно противоречия и вызывают противоборство между сторонами конфликта. Они могут быть объективными, не зависящими от сознания людей, субъективными, обусловленными субъективными личностными факторами, а также мнимыми.

Часто сам конфликт определяют как предельное обострение противоречий между участниками взаимодействия, проявляющееся в их противоборстве.

Всякий конфликт - это всегда взаимодействие социальных субъектов. Однако не всякое взаимодействие является конфликтом. Там, где нет противоборства, отсутствуют острые противоречия, сопровождающиеся отрицательными эмоциями, там нет и конфликта. К таким взаимодействиям относятся отношения товарищеского, дружеского сотрудничества, любовные отношения, коллективистские связи.

Выяснение сущности конфликта позволяет также говорить о том, что конфликт - это явление социальное, в нем действуют субъекты, одаренные сознанием, преследующие свои цели и интересы. И простого взаимодействия каких-либо сторон для наличия конфликта, конечно, еще недостаточно. Всякий конфликт как качество социального взаимодействия возникает на основе деятельности людей и их интересов. И в этом состоит его главное отличие от борьбы за существование в мире животных. Конфликт носит временный характер.

Всякий конфликт возникает только при наличии его объекта. Объектом конфликта является ценность, по поводу которой возникает столкновение интересов противоборствующих сторон. Это могут быть самые различные материальные и духовные ценности: собственность, власть, ресурсы, статус, идея и т.д.

В общем смысле объектом конфликта можно назвать ту часть реальности, которая вовлечена во взаимодействие с субъектами конфликта. В отличие от этого предметом конфликта являются те противоречия, которые возникают между взаимодействующими сторонами и которые они пытаются разрешить посредством противоборства.

Объект конфликта может быть как истинным, реальным, так и потенциальным, ложным, иллюзорным. Люди вступают в борьбу не только за реальные материальные блага и ресурсы, но и утверждая и отстаивая призрачные идеалы и идеи. Но предмет конфликта всегда реален и всегда актуален. Борьба, являющаяся выражением противоречия между оппонентами, всегда реальна и порой ведется не на жизнь, а на смерть, даже когда отстаиваются утопические идеи.

В связи с рассмотренным характером объекта конфликта выделяют два вида конфликтов: реалистический и нереалистический.

Конфликт, служащий средством для достижения какого-либо результата, находящегося вне конфликта, является реалистическим. Конфликтология в основном изучает именно реалистические конфликты, выступающие средством достижения реальных объектов, лежащих за рамками самого противоборства.

Другой вид - нереалистический конфликт. Его объект неотделим от самого конфликта и совпадает с ним. Так, существуют случаи, когда конфликт возникает исключительно из-за агрессивных импульсов, которые ищут для себя выражения. При этом сам предмет, на который он направлен, не представляет никакого значения, он выбирается совершенно спонтанно.

С чем связано понятие оптимальности в теории игр?

Основной задачей игр является не описание, а разрешение конфликтов, т.е. построение компромиссных взаимовыгодных решений, которые полностью или хотя бы частично согласовывают интересы всех взаимодействующих сторон.

Если удается формализовать (смоделировать) конфликт и определить принцип оптимальности, т.е. принцип выбора оптимального решения в игре, то получается математическая задача, которую можно решать математическими методами, без учета ее содержательной постановки. В теории игр используется разнообразный и хорошо разработанный математический аппарат (теория множеств, теория вероятностей, топология, теория функций, теория дифференциальных уравнений, методы оптимизации, вариационное исчисление, динамическое программирование, оптимальное управление и др.). Однако следует подчеркнуть, что математические модели теории игр (теоретико-игровые модели) имеют свою специфику. Они описывают процесс принятия решений, которые трудно формализовать. Поэтому в рамках теории игр развивается специфический математический аппарат, направленный на моделирование процессов принятия решений в сложных социально-экономических, политических и прочих конфликтах. При этом возникают новые ранее не изученные математические задачи. Как в любой математической дисциплине, в теории игр прослеживается несвязанное развитие двух направлений:

1) "чисто" математическое, определяемое внутренней логикой развития теории игр;

2) прикладное, ориентированное на широкий круг практически интересных задач. Возникновение теории игр и термина "игра" связано с попыткой использовать математику в задачах анализа ситуаций, возникающих в азартных играх, анализа конфликтных ситуаций в военном деле, при принятии решений в условиях неопределенности, поиска компромисса в неантагонистических конфликтах и т.д. При анализе возможностей приложений теории игр следует обратить внимание на то, что при моделировании конфликтных ситуаций, например процессов принятия решений в сложных социально-экономических системах, трудность вызывает формализация мотивации поведения этой системы. Сложность практических задач анализа конфликтных ситуаций приводит к необходимости использования современных методов анализа и вычислительной техники. Для решения задач принятия решений оказывается недостаточным ограничиться какой-то одной "универсальной" моделью или даже системой моделей. Необходимо иметь "инструмент" - системный проблемно-ориентированный комплекс, представляющий собой систему (сеть) ЭВМ и математическое обеспечение (система моделей, методов, алгоритмов и программ), ориентированную на решение конкретных классов проблем. Для создания и использования такого мощного инструмента необходимо привлечение коллектива людей различных (далеко не родственных) специальностей: системных аналитиков, специалистов в прикладной области, математиков, программистов и т. д. Фактически построение такого инструмента эквивалентно построению языка общения всех участвующих в работе специалистов и ЛПР.

Практические задания

Задание 1

Оба игрока называют одну из четырех букв а, б, в, г. Игрок, назвавший букву, стоящую раньше в ряду, получает единицу выигрыша. Если оба игрока называют одинаковую букву, игра заканчивается вничью.

Задание 2

Найти седловую точку матрицы, если она существует.

Седловая точка отсутствует.

Задание 3

Найти решение игры, заданной матрицы.

Решение:

Игроки B1 B2 a = min(Ai)

A1 1 3 1

A2 5 2 2

b = max(Bi) 5 3

Нижняя ценА игры a = max(ai) = 2, которая указывает на максимальную чистую стратегию A2. Верхняя цена игры b = min(bj) = 3. Отсутствии седловой точки, так как a ? b, тогда цена игры находится в пределах 2 <= y <= 3

Для игрока I

P1+5p2 = y

3p1+2p2 = y

p1+p2 = 1

Для игрока II

q1+3q2 = y

5q1+2q2 = y

q1+q2 = 1

Решая эти системы методом Гаусса, находим:

y = 2 3/5

p1 = 3/5 (вероятность применения 1-ой стратегии).

p2 = 2/5 (вероятность применения 2-ой стратегии).

Оптимальная смешанная стратегия игрока I: P = (3/5; 2/5)

q1 = 1/5 (вероятность применения 1-ой стратегии).

q2 = 4/5 (вероятность применения 2-ой стратегии).

Оптимальная смешанная стратегия игрока II: Q = (1/5; 4/5)

Цена игры:

y = 2 3/5

Задание 4

Графическим методом найти решение игры, заданной матрицей:

Решение:

Игроки B1 B2 B3 B4 a = min(Ai)

A1 2 3 1 5 1

A2 4 1 6 0 0

b = max(Bi) 4 3 6 5

Нижняя цена игры a = max(ai) = 1, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1. Верхняя цена игры b = min(bj) = 3. Отсутствие седловой точки, так как a ? b, тогда цена игры находится в пределах 1 <= y <= 3.

Находим решение игры в смешанных стратегиях.

Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:

1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии A1, правый - стратегии A2 (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1,p2).

2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии A1. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии A2.

Решение игры (2 x n) проводим с позиции игрока A, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.

Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых B2B2 и B3B3, для которых можно записать следующую систему уравнений:

y = 3 + (1 - 3)p2

y = 1 + (6 - 1)p2

Откуда

p1 = 5/7

p2 = 2/7

Цена игры, y = 17/7

Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений, исключив стратегию B1,B4, которая дает явно больший проигрыш игроку B, и, следовательно, q1 = 0,q4 = 0.

3q2+q3 = y

q2+6q3 = y

q2+q3 = 1

или

3q2+q3 = 17/7

q2+6q3 = 17/7

q2+q3 = 1

Решая эту систему, находим:

q2 = 5/7.

q3 = 2/7.

Ответ:

Цена игры: y = 17/7, векторы стратегии игроков:

Q(0, 5/7, 2/7, 0), P(5/7, 2/7)

Проверим правильность решения игры с помощью критерия оптимальности стратегии.

?aijqj ? v

?aijpi ? v

M(P1;Q) = (2*0) + (3*5/7) + (1*2/7) + (5*0) = 2.429 = v

M(P2;Q) = (4*0) + (1*5/7) + (6*2/7) + (0*0) = 2.429 = v

M(P;Q1) = (2*5/7) + (4*2/7) = 2.571 ? v

M(P;Q2) = (3*5/7) + (1*2/7) = 2.429 = v

M(P;Q3) = (1*5/7) + (6*2/7) = 2.429 = v

M(P;Q4) = (5*5/7) + (0*2/7) = 3.571 ? v

Все неравенства выполняются как равенства или строгие неравенства, следовательно, решение игры найдено верно.

Задание 5

Используя принцип доминирования, решить следующие игры.

Заключение.

Теория игр - наука, изучающая поведение многих участников, когда достигаемые каждым результаты зависят от действий остальных.

"Есть в современной математике одна область, она носит безобидное название теории игр, но ей, несомненно, суждено сыграть очень важную роль в человековедении самого ближайшего будущего, - говорил Джон фон Нейман, один из основоположников кибернетики. - Она занимается вопросами оптимального поведения людей при наличии противодействующего противника. Для ученого противник - это природа со всеми ее явлениями; экспериментатор борется со средой; математик - с загадками математического мира; инженер - с сопротивлением материалов".

Кооперативная теория игр, раздел игр теории, в котором игры рассматриваются без учёта стратегических возможностей игроков (тем самым кооперативная теория игр изучает некоторый класс моделей общих игр). В частности, в кооперативной теории игр входит исследование нестратегических (кооперативных) игр, лишённых с самого начала стратегического аспекта. В кооперативной игре задаются возможности и предпочтения различных групп игроков (коалиций) и из них выводятся оптимальные (устойчивые, справедливые) для игроков ситуации, в том числе распределения между ними суммарных выигрышей: устанавливаются сами принципы оптимальности, доказывается их реализуемость в различных классах игр и находятся конкретные реализации. В терминах кооперативных игр поддаются описанию многие экономические и социологические явления.

Список литературы

Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб.пособие. - 2-е изд., испр. - М.: Дело, 2002.

Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте. Учебное пособие. 2-е изд., испр. и доп. - М.: Издательство РДЛ. 2003.

Е. С. Вентцель, Исследование операций: задачи, принципы, методология. Из-во Дрофа, 2006

Теория игр - Петросян Л.А. - Учебное пособие, 2003г.

Колесник, Г.В. Теория игр: Учебное пособие / Г.В. Колесник. - М.: ЛИБРОКОМ, 2012.

Невежин, В.П. Теория игр. Примеры и задачи: Учебное пособие / В.П. Невежин. - М.: Форум, 2012.

Размещено на Allbest.ru