Экономико-математическое моделирование

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Построить математическую модель и решить задачу потребительского выбора для заданной функции полезности на товары х1 и х2 при ценах р1=1, р2=1,5 и доходе I=210. Найти максимальное значение функции полезности. Построить взаимное расположение кривой безразличия и бюджетной прямой в оптимальной точке. Проиллюстрировать, как изменится положение точки локального рыночного равновесия, если доход возрастет на 20% при неизменных ценах.

Решение:

Математическая модель задачи

х1 + 1,5х2 = 210.

Это задача нелинейного программирования (задача на условный экстремум). Поскольку функции полезности определимы лишь с точностью до монотонного преобразования, удобно прологарифмировать функцию U и работать далее с функцией

Итак, имеем следующую задачу

х1 + 1,5х2 = 210.

Для решения этой задачи обратимся к методу Лагранжа.

Построим функцию Лагранжа

Исследуем полученную функцию на безусловный экстремум. Для этого вычислим и приравняем нулю ее частные производные по :

Составим систему:

Исключая из этой системы, получим

Таким образом, по необходимому условию существования экстремума дифференцируемой функции получаем стационарную точку M(56,25; 102,5) возможного условного экстремума функции .

Сформулируем достаточные условия существования экстремума в стационарной точке.

Обозначим через А, Б, С значения производных

в стационарной точке . Если

то

В нашем случае:

Тогда

Так как

и , то M(56,25; 102,5) - точка максимума функции .

Оптимальный набор потребителя: при этом полезность составит: .

Построим кривую безразличия определяемую уравнением:

Полученное уравнение разрешим относительно:

Далее построим бюджетную прямую определяемую уравнением:

х1 + 1,5х2 = 210

Кривая безразличия	Бюджетная прямая
х1	х2	х1	х2
165,9	70	105,0	70
135,8	75	97,5	75
112,8	80	90,0	80
94,9	85	82,5	85
80,7	90	75,0	90
69,4	95	67,5	95
56,25	102,5	56,25	102,5
46,5	110	45,0	110
41,3	115	37,5	115
36,9	120	30,0	120
33,3	125	22,5	125
30,1	130	15,0	130
27,4	135	7,5	135



Проиллюстрируем, как изменится положение точки локального рыночного равновесия, если доход возрастет на 20% при неизменных ценах.

Математическая модель задачи

.

Это задача на условный экстремум. Поскольку функции полезности определимы лишь с точностью до монотонного преобразования, удобно прологарифмировать функцию U и работать далее с функцией

Итак, имеем следующую задачу



х1 + 1,5х2 = 252.

Для решения этой задачи обратимся к методу Лагранжа.

Построим функцию Лагранжа

Исследуем полученную функцию на безусловный экстремум. Для этого вычислим и приравняем нулю ее частные производные по :

Составим систему:

Исключая из этой системы, получим



Таким образом, по необходимому условию существования экстремума дифференцируемой функции получаем стационарную точку M(66,75; 123,5) возможного условного экстремума функции .

Сформулируем достаточные условия существования экстремума в стационарной точке.

Обозначим через А, Б, С значения производных

в стационарной точке . Если

то

В нашем случае:

M(66,75; 123,5)

Тогда

Так как

и , то M(66,75; 123,5) - точка максимума функции .

Оптимальный набор потребителя: при этом полезность составит: .

Построим кривую безразличия определяемую уравнением:

Полученное уравнение разрешим относительно:

Далее построим бюджетную прямую определяемую уравнением:

х1 + 1,5х2 = 252

Кривая безразличия	Бюджетная прямая
х1	х2	х1	х2
164,6	90	117,0	90
140,7	95	109,5	95
121,3	100	102,0	100
105,5	105	94,5	105
92,4	110	87,0	110
81,5	115	79,5	115
66,7	123,5	66,8	123,5
57,9	130	57,0	130
52,3	135	49,5	135
47,4	140	42,0	140
43,2	145	34,5	145
39,5	150	27,0	150
36,2	155	19,5	155

Задача 2

Для заданной производственной функции . Провести содержательный экономический анализ:

1)Определить среднюю производительность (эффективность) каждого ресурса А1, А2.

2)Определить предельную производительность (эффективность) ресурсов М1, М2.

3)Найти эластичности выпуска по ресурсам (Е1 и Е2); эластичность производства (Е) и сделать вывод о характере производства;

4)определить предельную норму замены одного ресурса другим и эластичность замещения;

5)построить изокванты соответствующие двум различным значениям выпуска;

Выполнить имитационные расчеты вариантов изменения производства, если в следующем периоде планируется:

А) увеличить объем выпуска на 12%, при этом трудозатраты должны остаться на прежнем уровне (объем выпуска в базовом периоде - 100ед.);

Б) сократить затраты труда на 7%, при этом объем выпуска должен остаться на прежнем уровне (затраты труда в базовом периоде - 30ед.).

Решение:

1)Средний продукт по х1:

Средний продукт по х2:

2)Предельный продукт по х1:

Предельный продукт по х2:

3) Коэффициент эластичности по х1:

При изменении х1 на 1%, производительность изменится на

%

Коэффициент эластичности по х2:

При изменении х2 на 1%, производительность изменится на %

4) предельная норма замены одного ресурса другим:

Изокванта Y0=100

Оптимальное значение выпуска равно 100. следовательно построим изокванту определяемую уравнением:

Полученное уравнение разрешим относительно:

Изокванта
х1	х2
1365,6	300
1300,0	400
1234,4	500
1168,8	600
1103,1	700
1037,5	800
971,9	900
906,3	1000
840,6	1100
775,0	1200
709,4	1300
643,8	1400
578,1	1500

А) увеличить объем выпуска на 12%, при этом трудозатраты должны остаться на прежнем уровне (объем выпуска в базовом периоде - 100ед.). Новый объем выпуска составит:

Б) сократить затраты труда на 7%, при этом объем выпуска должен остаться на прежнем уровне (затраты труда в базовом периоде - 30ед.). Новые затраты труда составят:

Задача 3

На основе заданной производственной функции . Определить минимум издержек при фиксированном объеме выпуска 180, при ценах р1=2, р2=5. Построить изокванту и изокосту в оптимальной точке.

Решение:

Математическая модель задачи

Это задача нелинейного программирования (задача на условный экстремум).



Ресурсы должны затрачиваться в количестве: , при этом минимум издержек составит: .

Следовательно построим изокванту определяемую уравнением:

Полученное уравнение разрешим относительно:

Далее построим изокосту для уровня издержек:

Изокванта	Изокоста
х1	х2	х1	х2
116,6	20,0	112,8	5,0
96,4	22,0	100,3	10,0
81,0	24,0	87,8	15,0
69,0	26,0	75,3	20,0
59,5	28,0	62,8	25,0
51,8	30,0	50,3	30,0
41,8	33,4	41,8	33,4
38,1	35,0	37,8	35,0
29,2	40,0	30,3	38,0
23,0	45,0	25,3	40,0
18,7	50,0	17,8	43,0
15,4	55,0	12,8	45,0
13,0	60,0	5,3	48,0

Задача 4

На основании заданных коэффициентов прямых материальных затрат и объемов конечной продукции в межотраслевом балансе для трех отраслей требуется:

а) проверить продуктивность матрицы коэффициентов прямых материальных затрат;

б) рассчитать коэффициенты полных материальных затрат;

в) найти объемы валовой продукции отраслей;

восстановить схемы межотраслевого материального баланса.

отрасль	Коэффициенты затрат	Конечная продукция
	1	2	3
1	0,4	0,2	0,3	260
2	0,2	0,3	0,2	40
3	0,3	0,2	0,2	20

Решение.

Составим технологическую матрицу прямых затрат .

Для данных нашей задачи получаем:

Для выяснения вопроса о ее продуктивности воспользуемся следующим критерием.

Критерий продуктивности неотрицательной матрицы:

Матрица продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы, то есть

и существует номер j такой, что

.

Так как все элементы нашей матрицы , положительны, то требование выполнено.

Найдем:

Следовательно, матрица продуктивная.

Если технологическая матрица (матрица прямых затрат) продуктивна, то матрица полных затрат неотрицательна и для любого ассортиментного вектора конечной продукции можно найти вектор валового выпуска .

Найдем матрицу полных затрат

.

Для нахождения обратной матрицы необходимо убедиться, что определитель матрицы отличен от 0, то есть, что она - неособенная.

Так как в нашем случае

=В

,

то матрица неособенная, и для нее в силу теоремы существует обратная матрица

,

где - матрица, присоединенная к матрице

В нашем случае

где - алгебраические дополнения элементов матрицы .

Найдем все элементы присоединенной матрицы :

Таким образом, обратная матрица имеет вид

Проверим правильность вычислений, то есть что

,

где - единичная матрица третьего порядка. По определению произведения матриц получим:

Проверка подтвердила правильность найденной нами матрицы.

Заметим, что элементы матрицы определяют полные (прямые и косвенные) затраты продукции i-й отрасли, необходимые j-й отрасли для производства единицы ее конечной продукции.

найдем вектор валовой продукции. Проведем расчет по формуле :

Для выпуска конечной продукции рассматриваемого предприятия в объемах

у1 = 270, у2 = 115, у3 = 35 валовой выпуск их продукции должен составлять

х1 = 500, х2 = 300, х3 = 250.

Составляя технологическую матрицу прямых затрат . Ее элементы показывают затраты продукции i-го цеха (отрасли) на производство единицы продукции j-го цеха (отрасли): ; предполагается, что в некотором промежутке времени коэффициенты постоянны и зависят только от сложившейся технологии производства. Можем восстановить схему межотраслевого материального баланса.

отрасль	Потреблено продукции в отрасли	Сумма	у	х
	1	2	3
1	81	11,5	7	99,5	270	500
2	27	23	10,5	60,5	115	300
3	54	34,5	3,5	92	35	250
Сумма	162	69	21
z	338	231	229
x	500	300	250

Список использованной литературы

математический модель нелинейный программирование

1. Исследование операций в экономике: Учебное пособие / Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 1997.

2. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие / Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 1997.

3. Калихман И.Л. Сборник задач по математическому программированию. М. Высшая школа, 1997.

4. Просветов Г. И. Математические методы и модели в экономике: Задачи и решения: Учебно-практическое пособие. - М.: Издательство «Альфа-Пресс», 2008.

5. Экономико-математические методы и модели: учебное пособие под редакцией С. И. Макарова. - М.: КНОРУС, 2007.

Размещено на Allbest.ru