Построение множественного уравнения регрессии

Размещено на http://www.allbest.ru

Исходные данные

Имеются данные о посевной площади зерновых культур, валовом сборе и внесении минеральных удобрений на 1 га посевной площади (рис. 1). Обоснуйте выбор результирующего и факторных признаков. Постройте множественное уравнение регрессии, проанализируйте полученные результаты.

Рисунок 1. Х1 - посевная площадь, га; Х2 - валовой сбор, тыс. тонн; Х3 - внесено удобрений на 1 га, кг.

Задание:

1. Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции. Установите мультиколлинеарность факторов.

2. Постройте уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов.

3. Оцените статистическую значимость уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента.

4. Отберите информативные факторы. Постройте уравнение регрессии со статистически значимыми факторами. Рассчитайте коэффициенты эластичности.

5. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений.

6. Рассчитайте ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости 5 или 10% (а = 0,05; а = 0,10).

Решение задачи.

В качестве результирующего признака выбираем Х2 - валовой сбор зерновых культур, именно на него в конечном итоге влияют оставшиеся факторные признаки: Х1 - посевная площадь и Х3 - количество внесенных удобрений на 1 га.

Для импортирования исходных данных из текстового файла Вар11.txt в главное меню ППП Stat graphics Plus выполняем процедуры согласно методике выполнения лабораторной работы.

Рисунок 2

1. Проводим корреляционный анализ с целью отбора для множественного регрессионного анализа определяющих переменных.

Матрица коэффициентов парной корреляции:

Рисунок 3

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает отсутствие мультиколлинеарности между факторными признаками, так как:

,

.

На основе анализа матрицы коэффициентов парной корреляции делаем вывод о целесообразности построения двухфакторного регрессионного уравнения:

х₂=f(х₁, х₃).

2. Построим уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов.

регрессия множественный фишер стьюдент

Рисунок 4

По результатам вычислений получаем уравнение множественной регрессии вида:

.

3. Значения случайных ошибок параметров уравнения регрессии записаны в колонке Standard Error:

m_b0=1,09803;

m_b1=0,375102;

m_b2=0,0342131.

Они показывают, какое значение данной характеристики сформировалось под влиянием случайных факторов. Эти значения использованы при расчетном определении t-критерия Стьюдента, приведенные в колонке T Statistic:

t_b0= 0,69018;

t_b1=2,22671;

t_b2=1,92841.

Табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы f=15-2-1=12 равно t_т=2,1788.

В рассматриваемом примере расчетные значения t-критерия Стьюдента больше табличного значения t_т=2,1788 для параметра b₁, что подтверждает статистическую значимость этого параметра. Остальные параметры не являются статистически значимыми для уровня б=0,05.

Оценку надежности уравнения регрессии в целом и коэффициента детерминации дает расчетное значение F-критерия Фишера, равное F_р=12,50. Сравнение расчетного значения критерия с табличным позволяет проверить гипотезу об адекватности модели и значимости коэффициента детерминации. Табличное значение F-критерия Фишера для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы f₁=2, f₂=12 равно F_т=3,88. Расчетное значение F-критерия Фишера больше табличного значения F_р=12,50 > F_т=3,88. Этим подтверждается статистическая значимость всего уравнения и коэффициента детерминации R-squared.

4. Исключая неинформативный (статистически незначимый) фактор X3, строим линейное регрессионное уравнение со статистически значимым фактором X1:

Рисунок 5

По результатам вычислений получаем уравнение линейной регрессии вида:

.

Значения случайных ошибок параметров уравнения регрессии записаны в колонке Standard Error:

m_b0=1,2032;

m_b1=0,31193.

Они показывают, какое значение данной характеристики сформировалось под влиянием случайных факторов. Эти значения использованы при расчетном определении t-критерия Стьюдента, приведенные в колонке T Statistic:

t_b0=0,776533 : t_b1=4,19489.

Табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы f=13 равно t_т=2,1604.

В рассматриваемом примере расчетное значения t-критерия Стьюдента для параметра b₁ больше табличного значения t_т=2,1604, что подтверждает статистическую значимость параметра b₁.

Оценку надежности уравнения регрессии в целом и коэффициента детерминации дает расчетное значение F-критерия Фишера, равное F_р=17,60. Сравнение расчетного значения критерия с табличным позволяет проверить гипотезу об адекватности модели и значимости коэффициента детерминации. Табличное значение F-критерия Фишера для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы f₁=1, f₂=13 равно F_т=4,67. Расчетное значение F - критерия Фишера больше табличного значения F_р=17,60 > F_т=4,67. Этим подтверждается статистическая значимость всего уравнения и коэффициента детерминации R-squared.

Уравнение регрессии можно признать адекватным, а модель статистически значимой.

Расчет частных коэффициентов эластичности.

Рисунок 6

Частные коэффициенты эластичности рассчитываются по формулам:

где: b_i - коэффициент регрессии при x_i в уравнении множественной регрессии; среднее значение i-го фактора; - среднее значение результирующей переменной.

Для решаемой задачи получаем:

.

5. Построение прогноза.

Для построения прогноза вначале необходимо ввести в таблицу с исходными данными прогнозное значение выбранного фактора:

.

Рассчитаем прогнозируемое значение результирующей переменной (точечный прогноз):

Рисунок 7

Последняя строка таблицы содержит прогнозное значение результирующей переменной:

.

6. Определим интервальные значения прогнозируемой переменной для уровня значимости б=0,05.

Для рассматриваемого примера интервальный прогноз находится в нижней строке таблицы:

Рисунок 8

.

Размещено на Allbest.ru