Определение оптимального плана заказов костюмов по критерию максимизации прибыли магазина

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Целью данной курсовой работы является определение оптимального плана заказов костюмов по критерию максимизации прибыли магазина.

Задачи:

построение математической модели задачи;

ее решение с помощью надстройки «Поиск решения» пакета MS Excel и создание отчетов;

анализ полученных отчетов;

ответы на поставленные вопросы в задаче.

Курсовая работа состоит из пяти разделов, включает шесть рисунков, три таблицы и четыре приложения.

Линейное программирование включает в себя математическое обобщение класса задач, не находивших должных способов решения в арсенале методов классической математики. Линейное программирование - наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования. Это объясняется следующим:

математические модели большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;

данный тип задач в настоящее время наиболее изучен. Для него разработаны специальные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие программы для ЭВМ;

многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли широкое применение;

некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.

Основными задачами линейного программирования являются:

рациональное использование сырья и материалов;

оптимизации производственной программы предприятий;

оптимального размещения и концентрации производства;

составление оптимального плана перевозок;

управления производственными запасами;

многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

Линейное программирование изучают на всех экономических и математических факультетах высших учебных заведений, элементарные сведения о нем даются в школьных учебниках. Его включают в состав прикладного программного обеспечения, которое постоянно совершенствуется. Без его применения теперь немыслим экономический анализ. Линейное программирование во многих случаях дает возможность установить, как следует распорядиться имеющимися ресурсами для достижения наилучшего результата. Подобные задачи постоянно возникают у экономистов в связи со сложными вопросами производственного планирования.

1. Основные теоретические сведения

оптимизация производственная программа предприятие

Для теоретического представления о задачах планирования рассмотрим пример основанный на планировании производства продукции при ограничениях на ресурсы.

Постановка задачи. Для производства продукции n типов требуются ресурсы m видов. Нормы расхода ресурсов на производство одной единицы продукции каждого типа заданы матрицей {aij}, где aij - количество ресурса i-го вида, необходимое для производства одной единицы продукции j-го типа. Известно количество ресурсов (bi, где i = 1,..., m) каждого вида, которое имеется в наличии у предприятия. Известны также величины прибыли (Сj), которую получит предприятие при реализации одной единицы продукции j-го типа. Требуется найти оптимальный план производства продукции, т. е. количество продукции каждого типа, которое нужно произвести, чтобы получить наибольшую прибыль. Условие задачи можно представить в виде таблицы 1. 1.

Таблица 1. 1

Исходные данные к задаче планирования производства продукции

Ресурсы	Продукция	Наличие ресурсов
	Тип 1	Тип 2	…	Тип n
Ресурс 1	a11	a12	…	a1n	b1
Ресурс 2	a21	a22	…	a2n	b2
…	…	…	…	…	…
Ресурс m	am1	am2	…	Amn	bm
Прибыль	C1	C2	…	Cn	-

Обозначим через xj количество продукции j-го типа, которое планируется выпустить (j = 1,..., n). Тогда математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом:

(1)

(2)

(3)

Целевая функция задачи (1) представляет собой общую прибыль от производства всей продукции. Ограничения (2) выражают условие, при котором потребление ресурса i-го вида не должно превышать запаса этого ресурса (bi). Условия неотрицательности переменных (3) вытекают из смысла переменной xj: количество продукции не может быть отрицательным.

Канонической называется следующая форма записи ЗЛП:

Чтобы привести к виду равенства ограничение вида

,

в левую часть неравенства прибавляют дополнительную переменную:

.

Аналогично, чтобы привести к каноническому виду ограничение вида

,

из левой части неравенства вычитают дополнительную переменную:

.

Дополнительные переменные вводятся в целевую функцию с коэффициентами, равными 0:

.

Таким образом, задача (1) - (3) может быть записана в следующем каноническом виде:

(4)

(5)

(6)

(7)

Экономический смысл переменных yi (i = 1, …, m) следующий: это остатки ресурсов каждого вида. Если при оптимальном решении какой-либо ресурс будет использован полностью, то ограничение исходной задачи (2) будет выполнено в виде равенства, а yi = 0. Такое ограничение в отчетах Exсel называется связанным.

Двойственность в линейном программировании. С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной. Первоначальная задача при этом называется исходной, или прямой. Связь этих задач заключается, в частности, в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой.

Рассмотрим двойственную задачу, связанную с рассматриваемой нами задачей планирования производства продукции (таблица 1. 2).

Таблица 1. 2

Двойственная задача

Исходная задача	Двойственная задача
(1)	(8)
(2)	(9)
(3)	(10)

Эта задача составляется по следующим правилам:

Поскольку исходная задача составляется на максимум, то двойственная - на минимум целевой функции.

В исходной задаче ограничения имеют знаки неравенств ««, а в двойственной - ««.

Каждому ограничению исходной задачи соответствует переменная двойственной задачи, а каждой переменной исходной задачи - ограничение двойственной задачи.

Матрица системы ограничений двойственной задачи является транспонированной матрицей системы ограничений исходной задачи.

Правые части ограничений в двойственной задаче равны коэффициентам при переменных в целевой функции исходной задачи.

Коэффициенты при переменных в целевой функции двойственной задачи равны правым частям ограничений исходной задачи.

В двойственной задаче, как и в исходной, накладываются ограничения на неотрицательность переменных.

Экономический смысл двойственной задачи. Допустим, что у предприятия есть возможность реализации всех ресурсов некоторой организации вместо того, чтобы организовывать свое производство. Необходимо установить прикидочные цены на ресурсы. Обозначим эти цены как z1, z2, …, zm. Они должны быть установлены исходя из несовпадающих интересов предприятия и покупающей организации.

Общую стоимость ресурсов покупающая организация стремится уменьшить, т. е.

FД = b1 z1 + b2 z2 + … + bm zm min.

Предприятие согласно продать ресурсы только по таким ценам, при которых оно получит за них выручку, не меньшую той, которую могло бы получить, организовав собственное производство. Таким образом, предприятие откажется от выпуска изделий 1-го типа, если

a11 z1 + a21 z2 +... + am1 zm C1

Аналогично получаем ограничения для всех остальных типов изделий. По смыслу цена неотрицательна, поэтому накладываются ограничения (10).

В отчетах Excel, получаемых с помощью надстройки Поиск решения, оптимальное значение двойственной переменной zi* называется теневой ценой, или множителем Лагранжа. Отметим, что теневая цена не есть некоторая реальная цена на рынке. Это лишь оценка значимости ресурса, вытекающая из конкретных условий задачи.

1-я теорема двойственности. Если существует единственное решение исходной задачи, то существует и единственное решение двойственной задачи, причем значения целевых функций на оптимальных решениях совпадают:

max F = min FД.

Эту теорему можно интерпретировать так: предприятию безразлично, производить ли продукцию по оптимальному плану X* и получить максимальную прибыль либо продать ресурсы по оптимальным ценам Z* и получить такую же сумму. Для всех других (неоптимальных) планов X и Z прибыль от выпуска продукции всегда меньше внутренней стоимости затраченных ресурсов. Таким образом, F < FД, а величина FД - F характеризует производственные потери.

Следствие (теорема об оценках). Двойственная оценка zi* (теневая цена) показывает, как изменится целевая функция исходной задачи при изменении ресурса bi на одну единицу:

F = bi zi*.

Таким образом, по теневым ценам можно судить о том, насколько целесообразно изыскивать резервы для увеличения количества i-го ресурса: если соответствующая теневая цена равна нулю, то увеличение количества этого ресурса никак не повлияет на рост прибыли. С другой стороны, чем больше теневая цена ресурса, тем больше увеличится прибыль при увеличении количества этого ресурса на одну единицу. Поэтому тот ресурс, который имеет большую теневую цену, считается более дефицитным.

Однако эта теорема справедлива только тогда, когда при изменении количества ресурса bi значения переменных zi* в оптимальном плане двойственной задачи остаются неизменными. В отчете Excel по устойчивости можно получить границы изменения bi (b- и b+), в пределах которых теневая цена есть коэффициент увеличения (уменьшения) целевой функции исходной задачи при изменении доступного количества ресурсов.

Понятие нормированной стоимости. Ограничения двойственной задачи так же, как и исходной, можно привести к виду равенства:

Экономический смысл дополнительных двойственных переменных vj следующий: это производственные потери на одну единицу изделия j-го типа. В самом деле, рассмотрим j-е ограничение двойственной задачи:

.

Если это ограничение выполняется в виде равенства, то оценка затраченных ресурсов равна прибыли и потерь нет. В этом случае vj = 0.

Если же это ограничение выполняется в виде строгого неравенства, то затраты на производство одной единицы продукции j-го типа больше прибыли, и следовательно производить этот вид продукции невыгодно. Разница между стоимостью ресурсов и прибылью представляет собой производственные потери:

.

В отчетах Excel оптимальное значение дополнительной двойственной переменной vj* называется нормированной, или редуцированной, стоимостью.

2-я теорема двойственности (теорема о дополняющей нежесткости). Оптимальные решения исходной и двойственной задач связаны соотношениями

zi* yi* = 0;

vj* xj* = 0.

Эта теорема означает, что между переменными исходной и двойственной задач существует следующая взаимосвязь:

x1, x2, …, xn, y1, y2, …, y

v1, v2, …, vn, z1, z2, …, zm.

Рассмотрим связь yi* (остаток ресурса i-го вида) и zi* (теневую цену ресурса i-го вида).

Если yi* = 0, то i-й ресурс использован полностью. Следовательно, он ограничивает дальнейшее увеличение целевой функции, является дефицитным. При увеличении количества этого ресурса может быть произведено больше продукции, следовательно, возрастет прибыль. Соответствующая теневая цена zi* > 0.

Если же yi* > 0, то имеется остаток ресурса i-го вида, т. е. ресурс не дефицитен. Увеличение количества этого ресурса не вызовет увеличение прибыли. Соответствующая теневая цена zi* = 0.

Рассмотрим связь xj* (оптимальный объем производства изделий j-го типа) и vj* (производственные потери на одну единицу изделия j-го типа).

Если xj* > 0, т. е. j-е изделие вошло в оптимальный план производства, то соответствующие потери для этого изделия составляют 0: vj* = 0.

Если же xj* = 0, т. е. изделие не вошло в оптимальный план производства, то это произошло потому, что данный вид продукции убыточен, т. е. соответствующие потери vj* > 0.

Свойство нормированной стоимости. Нормированная стоимость vj* показывает, насколько уменьшится целевая функция при принудительном выпуске одной единицы продукции j-го типа.

Пусть, например, продукция k-го вида не вошла в оптимальный план производства, т. е. xk* = 0. Однако существует некоторое плановое задание, предписывающее выпуск этого вида продукции в количестве Tk единиц. Тогда при производстве этого невыгодного вида продукции на него будут оттянуты ресурсы, и выгодной продукции будет выпущено меньше. Целевая функция (общая прибыль) уменьшится, причем это уменьшение можно количественно измерить:

F = Tk vk*. (11)

Следует отметить, что равенство (11) справедливо только в том случае, когда плановое задание Tk не нарушает номенклатуру остальных выпускаемых изделий, то есть, кроме “принудительно производимого” k-го изделия, ассортимент остальных выпускаемых «выгодных» изделий не изменится, а изменится только их количество. Определить предельную величину Tk, при которой равенство (11) справедливо, можно экспериментально.

Анализ устойчивости оптимального решения. Основные исходные данные рассматриваемой задачи - это запасы ресурсов (bi, где i = 1,..., m) и величина прибыли на одну единицу выпускаемой продукции (Cj, где j = 1,..., n). Исследовать устойчивость - значит определить пределы изменения исходных данных, при которых не изменяется решение или же его структура. Отчет Excel по устойчивости дает допустимое увеличение и допустимое уменьшение по целевому коэффициенту Cj, при которых решение задачи остается прежним. Кроме того, в отчете по устойчивости приведены пределы увеличения и уменьшения правых частей ограничений bi, при которых прежней остается структура решения. Под неизменностью структуры решения понимается следующее: те ресурсы, которые были дефицитными в исходном решении, остаются дефицитными и в новом оптимальном решении, хотя само решение (количество выпускаемых изделий) и значение целевой функции могут изменяться.

2. Постановка задачи

Большой универсальный магазин собирается заказать новую коллекцию костюмов для весеннего сезона. Решено заказать 4 типа костюмов. Три типа - костюмы широкого потребления (из полиэстеровых смесей, шерстяные, хлопковые). Четвертый тип - дорогие импортные костюмы из различных тканей. Имеющийся у менеджеров магазина опыт и специальные исследования позволяют оценить средние затраты рабочего времени продавцов на продажу одного костюма каждого типа, объем затрат на рекламу и площади в расчете на один костюм каждого типа. Все эти данные, а также прибыль от продажи одного костюма каждого типа приведены в таблице 2. 1.

Таблица 2. 1

Исходные данные для решения задачи

Тип костюма	Прибыль, у. е.	Время, час	Реклама, у. е.	Площаль, м2
Полиэстер	35	0, 4	2	1, 0
Шерсть	47	0, 5	4	1, 5
Хлопок	30	0, 3	3	1, 25
Эластик	90	1, 0	9	3, 0

Предполагается, что весенний сезон будет длиться 90 дней. Магазин открыт 10 часов в день, без выходных. Два продавца постоянно будут в отделе костюмов. Выделенная отделу костюмов площадь составляет прямоугольник 100м*60 м. Бюджет, выделенный на рекламу всех костюмов на весенний сезон, составляет 15000 у. е. Необходимо составить план заказа костюмов по критерию максимизации прибыли магазина.

При решении задачи необходимо ответить на вопросы:

1. Сколько костюмов каждого типа надо закупить, чтобы максимизировать прибыль?

2. Допустим, что менеджер магазина считает необходимым закупить не менее 200 костюмов каждого типа. Как это требование повлияет на прибыль магазина?

3. Обосновать, будет ли каждое и предлагаемых решений полезно для магазина:

А) Отдать в распоряжение отдела костюмов 400 м2 от отдела женской спортивной одежды. Предполагается, что на этой площади магазин может получить прибыль от продажи спортивной одежды всего лишь 750 у. е. за последующие 90 дней.

Б) истратить дополнительно 400 у. е. на рекламу.

3. Математическая модель задачи

Составим математическую модель задачи. Пусть (х1, х2, х3, х4) - типы костюмов, а F - прибыль от продаж костюмов. В качестве критерия оптимального плана принимаем максимизацию прибыли.

Тогда математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом:

Так как бюджет выделил 1500 у. е на весенний сезон (в данной задаче указано, что это 90 дней), то на 1 день получается 17 у. е, а площадь магазина составляет 6000 квадратных метров.

Неотрицательность переменных следует из их смысла (количество продукции не может быть отрицательным).

Приведем исходную задачу к каноническому виду:

Экономический смысл дополнительных переменных (yi) следующий: остатки ресурсов каждого вида.

Предположим, что по какой-то причине магазин не может заказать необходимое количество костюмов. Естественно, что магазин желает получить от продажи костюмов, которые находятся в наличии, прибыль не меньшую чем от необходимого заказа. В свою очередь покупатели хотят купить товар по наиболее низким ценам. Встает вопрос: «По какой цене продавать имеющиеся костюмы?». Необходимо установить прикидочные цены на костюмы (zi).

Составим двойственную задачу к математической модели. Введем двойственные переменные zi - оценки ресурсов задачи. Цель, поставленная покупателем, отразится в целевой функции двойственной задачи.

Ограничения двойственной задачи отражают тот факт, что магазин в случае продажи меньшего количества костюмов получит прибыль не меньшую чем от необходимого заказа.

Так как стоимость костюма не может быть отрицательной, то в двойственной задаче также присутствует условие неотрицательности.

Экономический смысл переменных двойственной задачи (двойственных оценок) состоит в относительной оценке костюмов данного магазина. Оценки являются относительными, так как одни и те же костюм для разных магазинов представляет разную ценность.

С математической точки зрения за исходную и двойственную задачи может быть взята любая из взаимодвойственных задач, но на практике обычно считаются двойственными те задачи, в которых определяются значение цен и другие стоимостные показатели.

В двойственной задаче приведем ограничения к виду равенства, вычитая из левых частей ограничений дополнительные переменные (vj) :

Дополнительные двойственные переменные (vj) есть потери от брака на одну единицу продукции j-го типа.

4. Решение задачи в MS EXCEL

Вначале необходимо заполнить ячейки MS Excel соответствующими значениями (рисунок 1).

Рисунок 1 - Экран Excel для решения задачи

Ячейки А3: D3 отведены под значения переменных х1, х2, х3 и х4. Этим ячейкам присваиваются начальные значения (0; 0; 0; 0). После решения задачи Excel запишет в эти ячейки найденные оптимальные значения данных переменных. Поэтому эти ячейки называются изменяемыми.

Далее нужно подготовить данные для задания ограничений задачи. В ячейки диапазона A6: D8 вносятся коэффициенты при неизвестных в ограничениях.

Для вычисления значения левой части первого ограничения при начальных значениях переменных необходимо ввести в ячейку F6 формулу:

=СУММПРОИЗВ ($A$3: $D$3; A6: D6).

Ячейки F7: F8 заполняются формулами аналогично. Формулу ячейки F6 можно скопировать с помощью автозаполнения. Таким образом, ячейки F6: F8 содержат значения использованных ресурсов (левые части ограничений). В ячейки G6: G8 вносится количество ресурса, имеющегося в наличии (правые части ограничений).

Чтобы вычислить значение целевой функции при начальных значениях, в ячейку F10 записывается формула вычисления общего дохода:

=СУММПРОИЗВ (A3: D3; A10: D10).

Ячейка, содержащая формулу вычисления значения целевой функции модели, называется целевой.

Экран Excel в режиме представления формул показан на рисунке 2.

Рисунок 2 - Экран Excel в режиме представления формул

Чтобы начать процесс поиска решения, необходимо выполнить команду Сервис / Поиск решения. На экране появится окно Поиск решения.

Для этого нужно установить курсор в поле Установить целевую ячейку и указать ячейку модели, значение которой должно быть изменено (максимизировано, минимизировано или приравнено к какому-либо определенному указанному значению). В данной модели целевой будет ячейка, содержащая формулу расчета прибыли F13 (рисунок 3).

Рисунок 3 - Окно Поиск решения

Целевая ячейка должна содержать формулу, которая прямо или косвенно ссылается на изменяемые ячейки.

С помощью переключателя Равной, который может находиться в трех положениях, задать максимизацию, минимизацию или установку определенного значения целевой ячейки. В последнем случае необходимо указать число в поле Значение. В данной задаче установить переключатель в положение Максимальному значению.

В поле Изменяя ячейки можно установить ссылки на ячейки, которые будут изменяться. Сделать это можно двумя способами: ввести адреса или имена ячеек с клавиатуры либо указать ячейку (диапазон ячеек) на рабочем листе с помощью мыши. В данное поле нужно ввести адрес диапазона А$3: D$3.

Следующий этап - определение ограничений. Для этого необходимо нажать кнопку Добавить. На экране появится окно диалога Добавление ограничения (рисунок 4).

В поле Ссылка на ячейку указывается адрес ячейки или диапазона ячеек, для которых должно действовать ограничение (левая часть ограничения). В списке операторов нужно выбрать необходимый оператор. В поле Ограничение указывается число или делается ссылка на какую-либо ячейку или диапазон (правая часть ограничения).

Рисунок 4 - Окно Добавление ограничения

Ограничения можно задать как для изменяемых ячеек, так и для целевой ячейки, а также для других ячеек, прямо или косвенно присутствующих в модели.

Если в поле Ограничение указана ссылка на диапазон ячеек, размер этого диапазона должен совпадать с размером диапазона, указанного в поле Ссылка на ячейку.

Для первого ограничения ввести (требование неотрицательности переменных) :

$A$3: $D$3>=0.

Нажать кнопку Добавить, чтобы продолжить ввод ограничений. Так как все 6 ограничений имеют один и тот же знак (), то можно ввести их одной записью:

$F$6: $F$8<=$G$6: $G$8.

Далее нажать кнопку ОК, чтобы завершить ввод ограничений и вернуться в окно Поиск решения. Заданные условия появятся в списке Ограничения.

С помощью кнопок Добавить и Изменить можно при необходимости откорректировать заданные ограничения.

Итак, целевая ячейка, изменяемые ячейки и ограничения для данной модели заданы (см. рисунок 3).

Далее можно изменить параметры поиска решения, заданные по умолчанию, а также сохранить созданную модель поиска решения, чтобы использовать ее в дальнейшем.

Для этого необходимо нажать кнопку Параметры в окне диалога Поиск решения. На экране появится окно Параметры поиска решения (рисунок 5).



Рисунок 5 - Окно Параметры поиска решения

Элементы этого окна следующие:

поле Максимальное время, служащее для ограничения времени, отпускаемого на поиск решения задачи.

поле Предельное число итераций, ограничивающее число промежуточных вычислений.

поля Относительная погрешность и Допустимое отклонение, служащие для задания точности, с которой ищется решение. Рекомендуется найти решение с величинами данных параметров, заданными по умолчанию, а затем повторить вычисления с меньшей погрешностью и допустимым отклонением.

флажок Линейная модель должен быть установлен в случае линейной задачи, а в случае нелинейной - сброшен.

флажок Показывать результаты итераций служит для приостановки поиска решения и просмотра результатов промежуточных вычислений.

флажок Автоматическое масштабирование служит для включения автоматической нормализации входных и выходных значений, качественно различающихся по величине (например, при максимизации прибыли в процентах по отношению к вложениям, исчисляемым в миллионах рублей).

Установленные параметры и ограничения поиска решения можно сохранить в качестве модели. Для этого служит кнопка Сохранить модель в окне Параметры поиска решения.

В данной задаче следует установить флажок в строке Линейная модель и вернуться в окно Поиск решения, нажав кнопку ОК.

После того, как все параметры и ограничения будут заданы, нужно только инициировать поиск.

Для этого необходимо нажать кнопку Выполнить в окне диалога Поиск решения. По мере того, как идет поиск, отдельные его шаги будут отображаться в строке состояния. Когда поиск закончится, в таблицу будут внесены новые значения, и на экране появится окно, сообщающее о завершении операции (рисунок 6).

Рисунок 6 - Результаты решения

Поскольку полученные значения нас устраивают, нужно установить безымянный переключатель в положение Сохранить найденное решение, тогда таблица будет обновлена. Отменить результаты поиска можно, установив переключатель в положение Восстановить исходные значения.

В случае, если поиск закончился удачно, можно указать, какие отчеты следует вставить в рабочую книгу. Для этого в списке Тип отчета выделяется название нужного типа отчета (или несколько названий с помощью клавиши Ctrl). Оно будет вставлено на отдельном листе в рабочую книгу перед листом с исходными данными.

Когда решение найти невозможно, Ехсе1 выводит соответствующее сообщение в окне диалога Результаты поиска решения. В этом случае возможность создать отчет отсутствует, так как список Тип отчета становится недоступным.

Если планируется использовать созданную модель в дальнейшем, найденное решение можно сохранить как сценарий, нажав кнопку Сохранить сценарий в окне диалога Результаты поиска решения.

Итак, получено следующее решение задачи: х1 = 8, 5; х2 = 0; х3 = 0; х4 = 0; Fmax = 267, 5. Таким образом, следует сделать вывод о том, что продажа полиэстеровых костюмов (х1) наиболее выгодна магазину. Левые части ограничений представляют собой количество ресурсов, которые будут израсходованы при продаже товаров из заказа, а правые части - количество имеющихся в наличии ресурсов. Поэтому можно сделать вывод о том, какие ресурсы будут израсходованы полностью (левая часть равна правой), а каких ресурсов имеется остаток.

Таблицы с условиями и найденными значениями переменных, а также отчет по пределам и отчет по устойчивости представлены в приложениях (ПРИЛОЖЕНИЕ А, ПРИЛОЖЕНИЕ Б, ПРИЛОЖЕНИЕ В).

5. Анализ решения задачи

5.1 Сколько костюмов каждого типа надо закупить, чтобы максимизировать прибыль?

Для максимизации прибыли магазину выгодно продавать костюмы из полиэстеровых тканей (х1), следовательно их необходимо заказывать больше чем остальных (костюмов из шерсти х2, костюмов из хлопка х3, костюмов из эластика х4). Результаты вычислений: х1 =8. 5, х2 =0, х3 =0, х4 =0. Костюмы из полиэстера являются костюмами широкого потребления. F=267, 5- максимизация прибыли (Приложение В).

5. 2 Допустим, что менеджер магазина считает необходимым закупить не менее 200 костюмов каждого типа. Как это требование повлияет на прибыль магазина?

Костюмы из таких тканей как полиэстер, шерсть и хлопок являются костюмами широкого потребления (из условия задачи), следовательно, их продажа приносит наибольшую прибыль магазину из-за большого спроса у потребителей. Костюмы из эластика являются дорогими импортными костюмами, рассчитанными на соответствующих потребителей. Можно сделать вывод о том, что закупка первых трёх видов костюмов принесёт магазину соответствующую прибыль, а закупка костюмов из тканей четвёртого вида большой степени прибыли не принесёт. Однако, по результатам вычислений видно, что наибольшее влияние на прибыль магазина окажет продажа костюмов из полиэстера (заказ данного вида костюмов необходимо увеличить), а продажа остальных трёх видов не выгодна в достаточной степени магазину (Приложение В).

5. 3 Обосновать, будет ли каждое из предлагаемых решений полезно для магазина:

А) Отдать в распоряжение отдела костюмов 400 м2 от отдела женской спортивной одежды. Предполагается, что на этой площади магазин может получить прибыль от продажи спортивной одежды всего лишь 750 у. е. за последующие 90 дней.

Данное решение не является полезным для магазина, так как площадь отведенная для отдела костюмов 100м*60м=6000 квадратных метров и так максимальна для него. Этому свидетельствует отчет по устойчивости, где даже допустимо уменьшение площади для отдела костюмов (Приложение Б).

Б) истратить дополнительно 400 у. е. на рекламу.

На рекламу было выделено 1500 у. е на весь сезон, который составляет 90 дней, следовательно, на один день отводится 1500: 90=17 у. е. по результатам отчёта по устойчивости видно, что все отведенные деньги были полностью израсходованы.

Можно сделать вывод, что такое решение будет полезно для данного магазина, но не в такой степени. Дополнительная реклама даст возможность повысить интерес покупателей, что увеличит спрос на товар. В отчете по устойчивости (Приложение Б) можно увидеть, что увеличение затрат на рекламу вполне допустимо, но затрата именно 400 у. е в данном случае необходимости не имеет (из отчете видно, что допустимое увеличение = 33).

Заключение

Применение методов линейного программирования актуально в настоящее время, так как использование математических моделей является важным направлением совершенствования планирования и анализа деятельности предприятий. Представление данных в виде математической модели позволяет конкретизировать информацию, создавать и моделировать варианты, выбирать оптимальные решения.

Использование метода линейного программирования представляет собой важность и ценность - оптимальный вариант выбирается из достаточно значительного количества альтернативных вариантов. Также все экономические задачи, решаемые с применением линейного программирования, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями.

В курсовой работе была построена математическая модель задачи определения оптимального плана выпуска продукции, приведена к канонической форме. Была построена математическая модель двойственной задачи и приведены её ограничения к виду равенства. Решена исходная задача с помощью настройки MS Excel ” Поиск решения” и получены ответы по устойчивости и по результатам.

Посредством данной работы можно утверждать о выгодности использования методов линейного программирования при планировании и анализе деятельности предприятий и его высоком экономическом значении.

Список использованных источников

Акулич И. Л. Экономико-математические методы и модели. Компьютерные технологии решения: учебное пособие. / И. Л. Акулич, Е. И. Велесько и др. - Минск: БГЭУ, 2003.

Бондарева В. В. Автоматизация решения задач линейного программирования. Пособие для студентов дневной формы обучения экономических специальностей. / В. В. Бондарева, О. И. Еськова. - Гомель: БТЭУ, 2003.

Еськова О. И. Экономико-математические методы и модели: курс лекций для студентов дневной формы обучения экономических специальностей - Гомель: БТЭУ, 2006.

Зайцев М. Г. Методы оптимизации управления для менеджеров. Компьютерно-ориентированный подход: учебное пособие для вузов - Москва: Дело, 2002.

Костевич Л. С. Математическое программирование: учебно-практическое пособие. - Минск: БГЭУ, 2003.

Миксюк С. Ф. Экономико-математические методы и модели: учебное пособие. / С. Ф. Миксюк, В. Н. Комкова. - Минск: БГЭУ, 2006.

Орлова И. В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. - Москва: Вузовский учебник, 2007.

Харлап Л. П. Методические требования к содержанию и оформлению курсовых работ. / Л. П. Харлап, Е. М. Сибагатова - Гомель: БТЭУ, 2004.

Размещено на Allbest.ru