Экономическая интерпретация коэффициента регрессии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

линейный регрессия дисперсия корреляция

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.).

Требуется:

Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков S²_е ; построить график остатков.

Проверить выполнение предпосылок МНК.

Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (б=0,05).

Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью f-критерия Фишера (б=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости б=0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

Представить графически фактическое и модельное значение Y точки прогноза.

Составить уравнения нелинейной регрессии:

- гиперболической;

- степенной;

- показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Таблица 1

Y	12	4	18	27	26	29	1	13	26	5
X	21	10	26	33	34	37	9	21	32	14

Решение.

Задача 1. Уравнение линейной регрессии имеет вид:

.

А значения параметров а и b линейной модели можно определить по данным формулам:

, .

Для определения параметров а и b заполним вспомогательную таблицу

b = (479,2-23,7x16,1)/( 360,1-16,1x 16,1)?0,97

a =23,7 -0,9677 x 16,1 ?8,12

Более точные значения параметров а и b указаны в таблице.

С помощью ППП Excel найдем параметры уравнения линейной регрессии. Порядок выселения следующий:

Активизируем инструмент Пакет анализа: Сервис >Настройки;

В диалоговом окне Настройки отметим пункт Пакет анализа> ОК.

Ведем исходные данные;

Сервис > Анализ данных > Регрессия>ОК (Рис. 1.);



Рисунок. 1. Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия

5

t	y	x	yx	xx	(yi-?)	(yi-?)2	(xi-?)	(xi-?)2	(yi-?)·(xi-?)	y	еi =yi-yi	еi 2	P	|ei/yi|·100%
1	21	12	252	144	-2,7	7,29	-4,1	16,81	11,07	19,73248	1,26751908	1,6066	0	6,035805144
2	10	4	40	16	-13,7	187,69	-12,1	146,41	165,77	11,99098	-1,990980276	3,964	1	19,90980276
3	26	18	468	324	2,3	5,29	1,9	3,61	4,37	25,53861	0,461393597	0,21288	1	1,774590758
4	33	27	891	729	9,3	86,49	10,9	118,81	101,37	34,24779	-1,247794628	1,55699	1	3,781195842
5	34	26	884	676	10,3	106,09	9,9	98,01	101,97	33,28011	0,719892953	0,51825	0	2,117332214
6	37	29	1073	841	13,3	176,89	12,9	166,41	171,57	36,18317	0,816830211	0,66721	1	2,207649219
7	9	1	9	1	-14,7	216,09	-15,1	228,01	221,97	9,087918	-0,087917534	0,00773	1	0,976861488
8	21	13	273	169	-2,7	7,29	-3,1	9,61	8,37	20,70017	0,2998315	0,0899	1	1,427769046
9	32	26	832	676	8,3	68,89	9,9	98,01	82,17	33,28011	-1,280107047	1,63867	1	4,000334523
10	14	5	70	25	-9,7	94,09	-11,1	123,21	107,67	12,95867	1,041332144	1,08437	0	7,438086742
Итого:	237	161	4792	3601		956,1		1008,9	976,3	237		11,3466	7	49,66942773
Ср.знач.	23,7	16,1	479,2	360,1		95,61		100,89	97,63	23,7		2,06302		4,966942773
Дисперсия						106,2333		112,1				1,41833
Станд. ошибки						10,30696		10,58773				1,19094
a	8,12023									еmax	1,26751908
b	0,967688									еmin	-1,990980276
rx,y	0,994048
R2	0,988132
F	666,1041
Eотн	4,966943

Рисунок 2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Заполним диалоговое окно ввода данных и параметров вывода:

Результаты регрессионного анализа для данных представлены на рис. 3.

Рис. 3. Результат применения инструмента Регрессия

В ячейках В17 и В18 расположены значения параметров а и b соответственно.

Вывод: уравнение регрессии имеет вид:

.

Коэффициент регрессии b показывает, что с ростом капиталовложений на 1 млн. руб. выпуск продукции увеличивается в среднем на 0,97 млн. руб.



Задача 2

Остатки определяются по формуле:

.

Соответственно остаточная сумма квадратов определяется по формуле:

.

На рис. 3 в ячейках С25:С34 уже вычислены остатки.

А также в таблице 2 столбец «e_i=y_i-y_i». Остаточную сумму квадратов найдем с помощью ППП Excel, использую функцию СТЕПЕНЬ (Задав степень 2). Результаты вычислений приведены в таблице столбец «e_i²».

Вывод: остаточная сумма квадратов равна 11,34 - она также вычислена с помощью Регрессии рис. 3 (ячейка D13).

Дисперсия остатков определяется по формуле:

.

Дисперсия случайных величин определяются по формулам:

и .

Поскольку остаточная сумма квадратов вычислена и равна ?11,35, а количество наблюдений 10, то можно найти дисперсию остатков.

Данные для вычисления дисперсий случайных величин получены в таблице.

Результат вычисления приведен в таблице 2 в строке Дисперсия В37.

Итак, дисперсия остатков составляет ?1,42 (она также вычислена с помощью Регрессии - рис. 3, ячейка D13).

График остатков уже построен с помощью инструмента Анализа данных Регрессия (рис. 3). Приведем график остатков в отдельный вид (Рис. 4)

Рис. 4. График остатков

Задача 3

Проверим выполнение предпосылок МНК. Свойства коэффициентов регрессии существенным образом зависят от свойств случайной составляющей. Для того чтобы МНК давал наилучшие результаты, должны выполняться условия Гаусса-Маркова.

Условие 1. Математическое ожидание случайной составляющей в любом наблюдении должно быть равно нулю: М(е_i)=0.

В нашем случае уравнение регрессии включает постоянный член и, следовательно, это условие выполняется автоматически.

Условие 2. Случайная составляющая (е_i) или зависимая переменная (y_i) есть величины случайные, а независимая величина (x_i) - величина неслучайная:

.

Проверим выполнение данного условия с помощью критерия поворотных точек, Р - число поворотных точек. Поворотной точкой является значение уровня остатков, которое больше (меньше) от обеих уровней, т.е. e_(t-1)<e_(t)>e_(t+1) или e_(t-1)>e_(t)<e_(t+1)

1,26751908 >-1,990980276< 0,461393597 >-1,247794628 < 0,719892953 <0,816830211> -0,087917534< 0,2998315> -1,280107047< 1,041332144

В нашем примере Р=7 (в таблице итого по столбцу Р).

Критерий случайности отклонений от тренда можно представить как:

;

где p-фактическое количество поворотных точек в случайном ряду;

1.96-квантиль нормального распределения;

квадратные скобки означают, что от результата вычисления следует взять целую часть. (не путать с процедурой округления)

; ; ;

Р> 2; т.е. 7>2. Следовательно, условие выполняется.

Вывод: случайная составляющая (е_i) или зависимая переменная (y_i) есть величины случайные.

Условие 3. Случайная переменная в любых двух наблюдениях независима.

Чтобы проверить выполнение данного условия, с помощью ППП Excel вычислим dw-критерий Дарбина - Уотсона:

.

Таблица критических значений dw-критерия Дарбина-Уотсона

n	m=1
	d1	d2
6	0,61	1,40
7	0,70	1,36
8	0,76	1,33
9	0,82	1,32
10	0,88	1,32

Т.к. остатки и остаточная сумма квадратов уже вычислены (рис. 2),то для нахождения dw-критерий Дарбина - Уотсона нужно найти (е_i-е_i-1) и (е_i-е_i-1)², построим вспомогательную таблицу (рис. 5):

t	еi=yi-yi	еi2	(еi-еi-1)	(еi-еi-1)2
1	1,26751908	1,606604619
2	-1,990980276	3,964002458	-3,25849936	10,61781805
3	0,461393597	0,212884051	2,452373873	6,014137611
4	-1,247794628	1,556991433	-1,70918822	2,921324388
5	0,719892953	0,518245863	1,967687581	3,871794415
6	0,816830211	0,667211594	0,096937258	0,009396832
7	-0,087917534	0,007729493	-0,90474775	0,818568482
8	0,2998315	0,089898928	0,387749034	0,150349313
9	-1,280107047	1,638674052	-1,57993855	2,496205812
10	1,041332144	1,084372634	2,321439191	5,389079918
Итого:		11,34661513	-0,22618694	32,28867482
dw	2,845665819

Рис. 5. Вычисление dw-критерия Дарбина-Уотсона



Dw=32,2887/11,3466?2,85

Итак, dw=2,85. Критические значения d₁ , d₂ для числа наблюдений n =10, числа независимых переменных m =1 выбираем из «Таблица критических значений dw-критерия Дарбина-Уотсона»: d₁ =0,88 , d₂ =1,32.

Область неопределенности находится в интервалах от 0,88 (d₁) до 1,32 (d₂) и от 2,68 (4-d₂) до 3,12 (4-d₁). Т.к. dw=2,85 находится в области неопределенности , поэтому у нас нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу о существовании автокорреляции.

Т.к. ситуация оказалась неопределенной, применим коэффициент автокорреляции первого порядка:

Для расчета построим вспомогательную таблицу (рис. 6):

t	yi	yi-1	yi-yi-1	yi-yi-2	(yi-yi-1)(yi-yi-2)	(yi-yi-1)2	(yi-yi-2)2
1	21
2	10	21	-14,00	-3,777777778	52,88888889	196	14,27160494
3	26	10	2,00	-14,77777778	-29,55555556	4	218,382716
4	33	26	9,00	1,222222222	11	81	1,49382716
5	34	33	10,00	8,222222222	82,22222222	100	67,60493827
6	37	34	13,00	9,222222222	119,8888889	169	85,04938272
7	9	37	-15,00	12,22222222	-183,3333333	225	149,382716
8	21	9	-3,00	-15,77777778	47,33333333	9	248,9382716
9	32	21	8,00	-3,777777778	-30,22222222	64	14,27160494
10	14	32	-10,00	7,222222222	-72,22222222	100	52,16049383
Итого:	237	223	0	0,00	-2	948	851,5555556
Ср.знач.	24	24,77777778				r1	-0,00222597

Рис. 6. Вычисление для коэффициент автокорреляции первого порядка



r₁=-2/v(851,5*948) ? - 0,002.

Сопоставляем табличный коэффициент с табличным (критическим) -0,002>-0,065.

Так как фактическое значение больше табличного, то делаем вывод о наличии автокорреляции.

Условие 4. Дисперсия случайной составляющей должна быть постоянной для всех наблюдений. Это условие гомоскедастичности, или равноизменчивости случайной составляющей (возмущения).

Чтобы проверить выполняется то условие или нет, применим тест Голдфельда-Квандта.

Шаг 1. Упорядочим n наблюдений по мере возрастания переменной x.

Шаг 2. Разделим совокупность на две группы и определим по каждой из групп уравнения регрессии (Рис. 7).

y	x		y	x
9	1		26	18
10	4		34	26
14	5		32	26
21	12		33	27
21	13		37	29

Рис. 7. Деление совокупности на две группы

Определим по каждой из групп уравнения регрессии помощью инструмента Анализа данных Регрессия. Заполним диалоговое окно для первой группы:



Рис. 8. Вывод итогов для первой группы

В ячейках В17 и В18 на Листе 2 (рис. 8) расположены значения параметров а и b соответственно. Итак, уравнение регрессии первой группы имеет вид:

y₁ = 1,08+7,43X.

Заполним диалоговое окно для второй группы:

Рис. 9. Вывод итогов для второй группы

В ячейках В17 и В18 на Листе 3 (рис. 9) расположены значения параметров а и b соответственно. Итак, уравнение регрессии второй группы имеет вид:

y₂ = 0,93+9,05·x.

Шаг 3. Определим остаточную сумму квадратов для первой регрессии:

Остаточная сумма квадратов для первой регрессии уже вычислена с помощью инструмента Анализа Данных - Регрессии и равна 5,26 (рис. 8., ячейка С 13).

Остаточная сумма квадратов для второй регрессии определяется по формуле:

.

Остаточная сумма квадратов для второй регрессии тоже уже вычислена с помощью инструмента Анализа данных и равна 4,42 ( рис. 9, ячейка С 13).

Таким образом, =5,26; =4,42.

Шаг 4. Вычислим наблюдаемое значение F-критерия Фишера, как отношение величин: (или).

=5,26/4,42=1,19

Шаг 5. F - наблюдаемое сравним с F - табличным. F-наблюдаемое уже вычислено и составляет 1,19.

Табличное значение F-критерия Фишера при доверительной вероятности 0,05 при Степень свободы 1 k=н₁=1 и Степень свободы 1 н₂= n-k-1 =8 можно найти с помощью функции FРАСПОБР (Рис. 10).

Рис. 10. Результаты вычислений

Итак, 1,19<5,32 (F _набл <F _табл). Следовательно, гомоскедастичность имеет место, т.е. данное условие выполняется.

Условие 5. Предположение о нормальности распределения случайного члена. Проверим его с помощью R/S-критерия, который находиться по формуле:

, .

уже вычислено с помощью инструмента Анализа данных Регрессии и составляет 1,19 (Рис. 3, ячейка B7 или Рис. 2. «Станд. Ошибки» по столбцу е_i ²), а найдем с помощью ППП Excel, использую функции МАКС и МИН соответственно е_max= 1,27 и е_min=-1,99. Тогда

.

Итак, RS-критерий равен 2,74. Т.к. RS-критерий попадает в интервал от 2,7 до 3,7, следовательно, гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается, остатки отвечают нормальному закону распределения.

Задача 4

Осуществим проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (б=0,05):

.

Значения t-критерия вычисляются по формулам:

; .

Данные значения t_a и t_b уже вычислены с помощью Регрессии (рис. 3) - ячейки D17 и D18 соответственно и составляют t_a=11,41; t_b = 25,81.

Найдем табличное значение t-критерия Стьюдента (б=0,05) с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР, при степени свободы v=n-2=8 (Рис. 11).



Рис. 11. Аргументы функции СТЬЮДРАСПОБР

Вывод: табличное значение t-критерия при 5%-ном уровне значимости и степенях свободы составляет 2,306. Так как t_а>t_табл и t_b>t_табл, то параметры a и b уравнения регрессии значимы.

Задача 5

В случае линейной зависимости между переменными парный коэффициент корреляции является показателем тесноты связи и определяется по формуле:

.

Коэффициент корреляции в нашем примере уже вычислен с помощью инструмента Excel Регрессии (рис. 3.) - ячейка В4, который равен 0,994048488.

По шкале Чеддока коэффициент корреляции попал в интервал от 0,9 до 1, следовательно, это говорит о весьма высокой связи.

Долю дисперсии, объясняемую регрессией в общей дисперсии результативного признака y, характеризует коэффициент детерминации:



.

Коэффициент детерминации в нашем примере уже вычислен с помощью инструмента анализа Регрессии (рис. 3) - ячейка В5 и составляет 0,988132397 и в Таблице - Рис. 2.

Значимость уравнения регрессии определяется с помощью F-критерия Фишера (б=0,05) используя данную формулу:

.

.

F_расч - вычислен с помощью инструмента анализа Регрессии (рис. 3) - ячейка E12 и в таблице -рис. 2.

Табличное значение F-критерия Фишера при доверительной вероятности 0,05 при н₁=1 и н₂=8 уже вычислено с помощью функции FРАСПОБР и составляет 5,31766. Поскольку F_расч>F _табл, уравнение регрессии следует признать значимым.

Коэффициент эластичности для линейной функции определяется по формуле:

.

Таким образом, .

Это значит, что если фактор измениться на 1%, то в среднем на 0,66% измениться результат.

Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют относительную ошибку аппроксимации:

.

В таблице Рис. 2. проведены вычисления относительной ошибки аппроксимации

Eотн	4,966943

Вывод: относительная ошибка аппроксимации составила 4,97%, что говорит о качественной модели.

Задача 6

Осуществим прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости б=0,1, если известно, что прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Прогнозное значение переменной y получается при подстановке в уравнение регрессии ожидаемого значения x:

, .

В нашем случае .Отсюда .

Вероятность реализации точечного прогноза равна нулю. Поэтому рассчитывается средняя ошибка прогноза или доверительный интервал прогноза с достаточно большей надежностью. Доверительные интервалы зависят от стандартной ошибки, удаления от своего среднего значения , количества наблюдений n и уровня значимости прогноза б. В частности, для прогноза будущие значения с вероятностью (1-б) попадут в интервал:

.

Ширина доверительного интервала определяется по формуле:

.

Величина уже вычислена (рис. 3., ячейка В7) и равна 1,19. Коэффициент Стьюдента для m=8 степеней свободы и уровня значимости 0,1 равен 1,859548033 (Рис. 12)

Рис. 12



Данные значения t_a и t_b уже вычислены с помощью Регрессии (рис. 3) - ячейки D17 и D18 соответственно и составляют t_a=11,41; t_b = 25,81. Так как t_а>t_табл и t_b>t_табл, то параметры a и b уравнения регрессии значимы.

Дополнительные расчеты проведены в Таблице (Рис. 2)

Тогда:

.

Итак, получены границы:

Нижняя граница	Прогноз	Верхняя граница
28,25	30,62	32,99

Задание 7

Представим графически фактические и модельные значения Y точки прогноза, а для этого построим таблицу (Рис. 13)

x	y	y	Нижняя граница	Верхняя граница
12	21	19,732481
4	10	11,99098
18	26	25,538606
27	33	34,247795
26	34	33,280107
23,2		30,62	28,25	32,99
29	37	36,18317
1	9	9,0879175
13	21	20,700169
26	32	33,280107
5	14	12,958668

Рис. 13. Фактические и модельные значения Y и X

С помощью ППП Excel - Мастер диаграмм представим графически фактические и модельные значения Y точки прогноза:

Рис. 14. Диаграмма зависимости объема выпуска продукции от объема капиталовложений млн. руб. (Линейная)

Задание 8

а) Составим уравнение гиперболической модели парной регрессии. Уравнение гиперболической функции имеет вид:

.

Произведем линеаризацию модели путем замены Х=1/х. В результате получим линейное уравнение:

.

Рассчитаем его параметры по формулам:

; .

Построим дополнительную таблицу и произведем расчеты (Рис. 14).

;

a=23,7-(-23,72)x0,181428,00

Итак, а = 28,00, b = -23,72. Получим следующее уравнение гиперболической модели:

.

t	y	Y=lg(y)	x	X=1/x	yX	X2	(yi-?)	(yi-?)2	y	ei=yi-yi	|ei/yi|·100%	ei2
1	21	1,3222	12	0,0833	1,7500	0,0069444	-2,7000	7,2900	26,027	-5,03	-23,936	25,26624
2	10	1,0000	4	0,2500	2,5000	0,0625000	-13,7000	187,6900	22,074	-12,07	120,735	145,7705
3	26	1,4150	18	0,0556	1,4444	0,0030864	2,3000	5,2900	26,685	-0,69	-2,636	0,469757
4	33	1,5185	27	0,0370	1,2222	0,0013717	9,3000	86,4900	27,125	5,88	17,804	34,52019
5	34	1,5315	26	0,0385	1,3077	0,0014793	10,3000	106,0900	27,091	6,91	20,321	47,7367
6	37	1,5682	29	0,0345	1,2759	0,0011891	13,3000	176,8900	27,185	9,81	26,527	96,33042
7	9	0,9542	1	1,0000	9,0000	1,0000000	-14,7000	216,0900	4,285	4,71	52,389	22,23109
8	21	1,3222	13	0,0769	1,6154	0,0059172	-2,7000	7,2900	26,179	-5,18	-24,660	26,81782
9	32	1,5051	26	0,0385	1,2308	0,0014793	8,3000	68,8900	27,091	4,91	15,341	24,1
10	14	1,1461	5	0,2000	2,8000	0,0400000	-9,7000	94,0900	23,259	-9,26	-66,139	85,73739
Итого:	237,0000	13,2831	161,0000	1,8143	24,1464	1,1240	0,0000	956,1000	237,0000	0,0000	135,7462	508,9801
Ср. знач.	23,7	1,328313	16,1	0,181425	2,414637489	0,112396741		95,61	23,7		13,57462182	50,89801
a	28,0031
b	-23,7180
сx,y	0,68384916
R2	0,46764968
F	7,02769828
Eотн	13,5746218

Рис. 15. Результаты вычислений параметров гиперболической функции

С помощью ППП Excel - Мастер диаграмм представим графически гиперболическую функцию (Рис. 16):

Рис. 16. Гиперболическая функция

б) Уравнение степенной модели имеет вид:

.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

.

Пусть Y=, Х=, А=, тогда уравнение примет вид



Y=A+bX - линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры по формулам:

; .

Построим дополнительную таблицу и произведем расчеты (рис. 17):

; A=1,3299-0,45 x1,035

t	y	Y=lg(y)	x	X=lg(x)	YX	XX	(yi-?)	(yi-?)2	y	ei=yi-yi	|ei/yi|·100%	ei2
1	21	1,3222	12	1,0792	1,4269	1,1646	-3,29	10,80	22,373	-1,37	-6,537	1,884607
2	10	1,0000	4	0,6021	0,6021	0,3625	-14,29	204,08	13,678	-3,68	36,777	13,52517
3	26	1,4150	18	1,2553	1,7762	1,5757	1,71	2,94	26,828	-0,83	-3,186	0,686176
4	33	1,5185	27	1,4314	2,1735	2,0488	8,71	75,94	32,171	0,83	-2,511	0,686865
5	34	1,5315	26	1,4150	2,1670	2,0021	9,71	94,37	31,632	2,37	6,965	5,607598
6	37	1,5682	29	1,4624	2,2933	2,1386	12,71	161,65	33,218	3,78	10,223	14,30654
7	9	0,9542	1	0,0000	0,0000	0,0000	-15,29	233,65	7,351	1,65	18,323	2,719486
8	21	1,3222	13	1,1139	1,4729	1,2409	-3,29	10,80	23,189	-2,19	-10,426	4,793803
9	32	1,5051	26	1,4150	2,1297	2,0021	7,71	59,51	31,632	0,37	1,150	0,135451
10	14	1,1461	5	0,6990	0,8011	0,4886	-10,29	105,80	15,115	-1,12	-7,967	1,244068
Итого:	170,0000	9,3096	117,0000	7,2452	10,4390	9,2924	0,0000	783,4286	167,2505	2,7495	60,0527	39,4164
Ср.знач.	24,28571	1,3299	16,71429	1,0350	1,4913	1,3275		111,9184			8,579	0
A	0,8663
b	0,4479
сx,y	0,974519
R2	0,949687
F	151,0054
Eотн	6,005267

Рис. 17. Результаты вычислений степенной модели

С помощью ППП Excel - Мастер диаграмм представим графически степенную функцию (Рис. 18):

Рис. 18. Степенная функция

Итак, А = 0,8663, b = 0,4479 (ячейки В15 В 16 соответственно). В результате уравнение регрессии имеет вид: Y=0,8663-0,4479·Х. перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

.

Получим уравнение степенной модели регрессии:

.

в) Уравнение показательной кривой имеет вид: . Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

.

Пусть Y=, В=, А=, тогда уравнение регрессии примет вид:

Y=A+Bx.

Построим дополнительную таблицу и произведем расчеты.

Рис. 19. Результаты вычислений параметров показательной функции

Рис. 20. Показательная функция



Итак, В=0,0097 и А=1,64 (рис. 19, ячейки В16 и В17 соответственно). Уравнение регрессии имеет вид:

Y=1,64 + 0,0097·х.

перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения: .

Задача 9

Найдем коэффициенты детерминации для данных моделей по формуле:

.

Но при этом вычислим индекс корреляции для каждой модели:

.

А также нужно найти коэффициенты эластичности для каждого типа уравнения регрессии. И для определения качества каждой модели найдем средние относительные ошибки аппроксимации, которые определяются по формуле:

.



а) Для гиперболической функции.

Проведем дополнительные расчеты.

Рис. 21. Результаты вычислений

Итак, индекс корреляции равен 0,9574 (рис. 21, ячейка В20). Связь между показателем у и фактором х высокая.

Индекс детерминации равен 0,9167 (рис. 21, ячейка В21). Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 91,67% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

Коэффициент эластичности для гиперболической функции определяется по формуле:

.

В нашем случае он равен 0,6897 (рис. 21, ячейка 23). Это значит, что если фактор измениться на 1%, то в среднем на 0,68% измениться результат.

Относительная ошибка аппроксимации гиперболической функции равна 6,3765% (рис. 21, ячейка B24), что говорит о некачественной модели.

б) Для степенной функции.

Проведем дополнительные расчеты.

Рис. 22. Результаты вычислений

Итак, индекс корреляции равен 0,8192 (рис. 22, ячейка В19). Связь между показателем у и фактором х весьма высокая.

Индекс детерминации равен 0,6711 (рис. 22, ячейка В20). Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 67,11% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

Коэффициент эластичности для степенной функции находиться по формуле: Э=b, следовательно, коэффициент эластичности степенной функции равен 0,85 (ячейка В15). Это значит, что если фактор измениться на 1%, то в среднем на 0,85% измениться результат.

Относительная ошибка аппроксимации степенной функции равна 4,1944% (рис. 22, ячейка B21), что говорит о качественной модели.

в) Для показательной функции.

Проведем дополнительные расчеты.



Рис. 23. Результаты вычислений

Итак, индекс корреляции равен 0,8192 (рис. 23, ячейка В21). Связь между показателем у и фактором х весьма высокая.

Индекс детерминации равен 0,6711 (рис. 23, ячейка В22). Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 67,11% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

Коэффициент эластичности для показательной функции определяется по формуле:

В нашем случае он равен 1,0518(рис. 23, ячейка B24). Это значит, что если фактор измениться на 1%, то в среднем на 1,05% измениться результат.

Относительная ошибка аппроксимации показательной функции равна 4,2350% (рис. 23, ячейка B25), что говорит о качественной модели.

Сравним модели по этим характеристикам.

модель		Еотн ср	R-квадрат
линейная	3,86	0,968
гиперболическая	6,38	0,917
степенная	3,96	0,967
показательная	4,24	0,967



Самое хорошее качество имеет степенная модель. Коэффициент детерминации RІ наиболее близок к 1 у степенной модели. (вариация объема капиталовложений на 96,7117% объясняет вариацию выпуска продукции) и наименьшая средняя относительная ошибка аппроксимации = 3,955%.. Степенная модель из трех представленных моделей лучше всего описывает исходные данные.

Размещено на Allbest.ru