Экономическая интерпретация коэффициента регрессии

Изучение параметров уравнения линейной регрессии. Расчет остаточной суммы квадратов. Проверка выполнения предпосылок МНК. Вычисление дисперсий случайных величин. Свойства коэффициентов регрессии. Критерий поворотных точек. Парный коэффициент корреляции.

Рубрика Экономико-математическое моделирование
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 04.02.2014
Размер файла 1,8 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

линейный регрессия дисперсия корреляция

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.).

Требуется:

Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков S2е ; построить график остатков.

Проверить выполнение предпосылок МНК.

Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (б=0,05).

Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью f-критерия Фишера (б=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости б=0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

Представить графически фактическое и модельное значение Y точки прогноза.

Составить уравнения нелинейной регрессии:

- гиперболической;

- степенной;

- показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Таблица 1

Y

12

4

18

27

26

29

1

13

26

5

X

21

10

26

33

34

37

9

21

32

14

Решение.

Задача 1. Уравнение линейной регрессии имеет вид:

.

А значения параметров а и b линейной модели можно определить по данным формулам:

, .

Для определения параметров а и b заполним вспомогательную таблицу

b = (479,2-23,7x16,1)/( 360,1-16,1x 16,1)?0,97

a =23,7 -0,9677 x 16,1 ?8,12

Более точные значения параметров а и b указаны в таблице.

С помощью ППП Excel найдем параметры уравнения линейной регрессии. Порядок выселения следующий:

Активизируем инструмент Пакет анализа: Сервис >Настройки;

В диалоговом окне Настройки отметим пункт Пакет анализа> ОК.

Ведем исходные данные;

Сервис > Анализ данных > Регрессия>ОК (Рис. 1.);

Рисунок. 1. Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия

5

t

y

x

yx

xx

(yi-?)

(yi-?)2

(xi-?)

(xi-?)2

(yi-?)·(xi-?)

y

еi =yi-yi

еi 2

P

|ei/yi|·100%

1

21

12

252

144

-2,7

7,29

-4,1

16,81

11,07

19,73248

1,26751908

1,6066

0

6,035805144

2

10

4

40

16

-13,7

187,69

-12,1

146,41

165,77

11,99098

-1,990980276

3,964

1

19,90980276

3

26

18

468

324

2,3

5,29

1,9

3,61

4,37

25,53861

0,461393597

0,21288

1

1,774590758

4

33

27

891

729

9,3

86,49

10,9

118,81

101,37

34,24779

-1,247794628

1,55699

1

3,781195842

5

34

26

884

676

10,3

106,09

9,9

98,01

101,97

33,28011

0,719892953

0,51825

0

2,117332214

6

37

29

1073

841

13,3

176,89

12,9

166,41

171,57

36,18317

0,816830211

0,66721

1

2,207649219

7

9

1

9

1

-14,7

216,09

-15,1

228,01

221,97

9,087918

-0,087917534

0,00773

1

0,976861488

8

21

13

273

169

-2,7

7,29

-3,1

9,61

8,37

20,70017

0,2998315

0,0899

1

1,427769046

9

32

26

832

676

8,3

68,89

9,9

98,01

82,17

33,28011

-1,280107047

1,63867

1

4,000334523

10

14

5

70

25

-9,7

94,09

-11,1

123,21

107,67

12,95867

1,041332144

1,08437

0

7,438086742

Итого:

237

161

4792

3601

956,1

1008,9

976,3

237

11,3466

7

49,66942773

Ср.знач.

23,7

16,1

479,2

360,1

95,61

100,89

97,63

23,7

2,06302

4,966942773

Дисперсия

106,2333

112,1

1,41833

Станд. ошибки

10,30696

10,58773

1,19094

a

8,12023

еmax

1,26751908

b

0,967688

еmin

-1,990980276

rx,y

0,994048

R2

0,988132

F

666,1041

Eотн

4,966943

Рисунок 2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Заполним диалоговое окно ввода данных и параметров вывода:

Результаты регрессионного анализа для данных представлены на рис. 3.

Рис. 3. Результат применения инструмента Регрессия

В ячейках В17 и В18 расположены значения параметров а и b соответственно.

Вывод: уравнение регрессии имеет вид:

.

Коэффициент регрессии b показывает, что с ростом капиталовложений на 1 млн. руб. выпуск продукции увеличивается в среднем на 0,97 млн. руб.

Задача 2

Остатки определяются по формуле:

.

Соответственно остаточная сумма квадратов определяется по формуле:

.

На рис. 3 в ячейках С25:С34 уже вычислены остатки.

А также в таблице 2 столбец «ei=yi-yi». Остаточную сумму квадратов найдем с помощью ППП Excel, использую функцию СТЕПЕНЬ (Задав степень 2). Результаты вычислений приведены в таблице столбец «ei2».

Вывод: остаточная сумма квадратов равна 11,34 - она также вычислена с помощью Регрессии рис. 3 (ячейка D13).

Дисперсия остатков определяется по формуле:

.

Дисперсия случайных величин определяются по формулам:

и .

Поскольку остаточная сумма квадратов вычислена и равна ?11,35, а количество наблюдений 10, то можно найти дисперсию остатков.

Данные для вычисления дисперсий случайных величин получены в таблице.

Результат вычисления приведен в таблице 2 в строке Дисперсия В37.

Итак, дисперсия остатков составляет ?1,42 (она также вычислена с помощью Регрессии - рис. 3, ячейка D13).

График остатков уже построен с помощью инструмента Анализа данных Регрессия (рис. 3). Приведем график остатков в отдельный вид (Рис. 4)

Рис. 4. График остатков

Задача 3

Проверим выполнение предпосылок МНК. Свойства коэффициентов регрессии существенным образом зависят от свойств случайной составляющей. Для того чтобы МНК давал наилучшие результаты, должны выполняться условия Гаусса-Маркова.

Условие 1. Математическое ожидание случайной составляющей в любом наблюдении должно быть равно нулю: М(еi)=0.

В нашем случае уравнение регрессии включает постоянный член и, следовательно, это условие выполняется автоматически.

Условие 2. Случайная составляющая (еi) или зависимая переменная (yi) есть величины случайные, а независимая величина (xi) - величина неслучайная:

.

Проверим выполнение данного условия с помощью критерия поворотных точек, Р - число поворотных точек. Поворотной точкой является значение уровня остатков, которое больше (меньше) от обеих уровней, т.е. e(t-1)<e(t)>e(t+1) или e(t-1)>e(t)<e(t+1)

1,26751908 >-1,990980276< 0,461393597 >-1,247794628 < 0,719892953 <0,816830211> -0,087917534< 0,2998315> -1,280107047< 1,041332144

В нашем примере Р=7 (в таблице итого по столбцу Р).

Критерий случайности отклонений от тренда можно представить как:

;

где p-фактическое количество поворотных точек в случайном ряду;

1.96-квантиль нормального распределения;

квадратные скобки означают, что от результата вычисления следует взять целую часть. (не путать с процедурой округления)

; ; ;

Р> 2; т.е. 7>2. Следовательно, условие выполняется.

Вывод: случайная составляющая (еi) или зависимая переменная (yi) есть величины случайные.

Условие 3. Случайная переменная в любых двух наблюдениях независима.

Чтобы проверить выполнение данного условия, с помощью ППП Excel вычислим dw-критерий Дарбина - Уотсона:

.

Таблица критических значений dw-критерия Дарбина-Уотсона

n

m=1

d1

d2

6

0,61

1,40

7

0,70

1,36

8

0,76

1,33

9

0,82

1,32

10

0,88

1,32

Т.к. остатки и остаточная сумма квадратов уже вычислены (рис. 2),то для нахождения dw-критерий Дарбина - Уотсона нужно найти (еii-1) и (еii-1)2, построим вспомогательную таблицу (рис. 5):

t

еi=yi-yi

еi2

ii-1)

ii-1)2

1

1,26751908

1,606604619

2

-1,990980276

3,964002458

-3,25849936

10,61781805

3

0,461393597

0,212884051

2,452373873

6,014137611

4

-1,247794628

1,556991433

-1,70918822

2,921324388

5

0,719892953

0,518245863

1,967687581

3,871794415

6

0,816830211

0,667211594

0,096937258

0,009396832

7

-0,087917534

0,007729493

-0,90474775

0,818568482

8

0,2998315

0,089898928

0,387749034

0,150349313

9

-1,280107047

1,638674052

-1,57993855

2,496205812

10

1,041332144

1,084372634

2,321439191

5,389079918

Итого:

11,34661513

-0,22618694

32,28867482

dw

2,845665819

Рис. 5. Вычисление dw-критерия Дарбина-Уотсона

Dw=32,2887/11,3466?2,85

Итак, dw=2,85. Критические значения d1 , d2 для числа наблюдений n =10, числа независимых переменных m =1 выбираем из «Таблица критических значений dw-критерия Дарбина-Уотсона»: d1 =0,88 , d2 =1,32.

Область неопределенности находится в интервалах от 0,88 (d1) до 1,32 (d2) и от 2,68 (4-d2) до 3,12 (4-d1). Т.к. dw=2,85 находится в области неопределенности , поэтому у нас нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу о существовании автокорреляции.

Т.к. ситуация оказалась неопределенной, применим коэффициент автокорреляции первого порядка:

Для расчета построим вспомогательную таблицу (рис. 6):

t

yi

yi-1

yi-yi-1

yi-yi-2

(yi-yi-1)(yi-yi-2)

(yi-yi-1)2

(yi-yi-2)2

1

21

2

10

21

-14,00

-3,777777778

52,88888889

196

14,27160494

3

26

10

2,00

-14,77777778

-29,55555556

4

218,382716

4

33

26

9,00

1,222222222

11

81

1,49382716

5

34

33

10,00

8,222222222

82,22222222

100

67,60493827

6

37

34

13,00

9,222222222

119,8888889

169

85,04938272

7

9

37

-15,00

12,22222222

-183,3333333

225

149,382716

8

21

9

-3,00

-15,77777778

47,33333333

9

248,9382716

9

32

21

8,00

-3,777777778

-30,22222222

64

14,27160494

10

14

32

-10,00

7,222222222

-72,22222222

100

52,16049383

Итого:

237

223

0

0,00

-2

948

851,5555556

Ср.знач.

24

24,77777778

r1

-0,00222597

Рис. 6. Вычисление для коэффициент автокорреляции первого порядка

r1=-2/v(851,5*948) ? - 0,002.

Сопоставляем табличный коэффициент с табличным (критическим) -0,002>-0,065.

Так как фактическое значение больше табличного, то делаем вывод о наличии автокорреляции.

Условие 4. Дисперсия случайной составляющей должна быть постоянной для всех наблюдений. Это условие гомоскедастичности, или равноизменчивости случайной составляющей (возмущения).

Чтобы проверить выполняется то условие или нет, применим тест Голдфельда-Квандта.

Шаг 1. Упорядочим n наблюдений по мере возрастания переменной x.

Шаг 2. Разделим совокупность на две группы и определим по каждой из групп уравнения регрессии (Рис. 7).

y

x

y

x

9

1

26

18

10

4

34

26

14

5

32

26

21

12

33

27

21

13

37

29

Рис. 7. Деление совокупности на две группы

Определим по каждой из групп уравнения регрессии помощью инструмента Анализа данных Регрессия. Заполним диалоговое окно для первой группы:

Рис. 8. Вывод итогов для первой группы

В ячейках В17 и В18 на Листе 2 (рис. 8) расположены значения параметров а и b соответственно. Итак, уравнение регрессии первой группы имеет вид:

y1 = 1,08+7,43X.

Заполним диалоговое окно для второй группы:

Рис. 9. Вывод итогов для второй группы

В ячейках В17 и В18 на Листе 3 (рис. 9) расположены значения параметров а и b соответственно. Итак, уравнение регрессии второй группы имеет вид:

y2 = 0,93+9,05·x.

Шаг 3. Определим остаточную сумму квадратов для первой регрессии:

Остаточная сумма квадратов для первой регрессии уже вычислена с помощью инструмента Анализа Данных - Регрессии и равна 5,26 (рис. 8., ячейка С 13).

Остаточная сумма квадратов для второй регрессии определяется по формуле:

.

Остаточная сумма квадратов для второй регрессии тоже уже вычислена с помощью инструмента Анализа данных и равна 4,42 ( рис. 9, ячейка С 13).

Таким образом, =5,26; =4,42.

Шаг 4. Вычислим наблюдаемое значение F-критерия Фишера, как отношение величин: (или).

=5,26/4,42=1,19

Шаг 5. F - наблюдаемое сравним с F - табличным. F-наблюдаемое уже вычислено и составляет 1,19.

Табличное значение F-критерия Фишера при доверительной вероятности 0,05 при Степень свободы 1 k=н1=1 и Степень свободы 1 н2= n-k-1 =8 можно найти с помощью функции FРАСПОБР (Рис. 10).

Рис. 10. Результаты вычислений

Итак, 1,19<5,32 (F набл <F табл). Следовательно, гомоскедастичность имеет место, т.е. данное условие выполняется.

Условие 5. Предположение о нормальности распределения случайного члена. Проверим его с помощью R/S-критерия, который находиться по формуле:

, .

уже вычислено с помощью инструмента Анализа данных Регрессии и составляет 1,19 (Рис. 3, ячейка B7 или Рис. 2. «Станд. Ошибки» по столбцу еi 2), а найдем с помощью ППП Excel, использую функции МАКС и МИН соответственно еmax= 1,27 и еmin=-1,99. Тогда

.

Итак, RS-критерий равен 2,74. Т.к. RS-критерий попадает в интервал от 2,7 до 3,7, следовательно, гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается, остатки отвечают нормальному закону распределения.

Задача 4

Осуществим проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (б=0,05):

.

Значения t-критерия вычисляются по формулам:

; .

Данные значения ta и tb уже вычислены с помощью Регрессии (рис. 3) - ячейки D17 и D18 соответственно и составляют ta=11,41; tb = 25,81.

Найдем табличное значение t-критерия Стьюдента (б=0,05) с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР, при степени свободы v=n-2=8 (Рис. 11).

Рис. 11. Аргументы функции СТЬЮДРАСПОБР

Вывод: табличное значение t-критерия при 5%-ном уровне значимости и степенях свободы составляет 2,306. Так как tа>tтабл и tb>tтабл, то параметры a и b уравнения регрессии значимы.

Задача 5

В случае линейной зависимости между переменными парный коэффициент корреляции является показателем тесноты связи и определяется по формуле:

.

Коэффициент корреляции в нашем примере уже вычислен с помощью инструмента Excel Регрессии (рис. 3.) - ячейка В4, который равен 0,994048488.

По шкале Чеддока коэффициент корреляции попал в интервал от 0,9 до 1, следовательно, это говорит о весьма высокой связи.

Долю дисперсии, объясняемую регрессией в общей дисперсии результативного признака y, характеризует коэффициент детерминации:

.

Коэффициент детерминации в нашем примере уже вычислен с помощью инструмента анализа Регрессии (рис. 3) - ячейка В5 и составляет 0,988132397 и в Таблице - Рис. 2.

Значимость уравнения регрессии определяется с помощью F-критерия Фишера (б=0,05) используя данную формулу:

.

.

Fрасч - вычислен с помощью инструмента анализа Регрессии (рис. 3) - ячейка E12 и в таблице -рис. 2.

Табличное значение F-критерия Фишера при доверительной вероятности 0,05 при н1=1 и н2=8 уже вычислено с помощью функции FРАСПОБР и составляет 5,31766. Поскольку Fрасч>F табл, уравнение регрессии следует признать значимым.

Коэффициент эластичности для линейной функции определяется по формуле:

.

Таким образом, .

Это значит, что если фактор измениться на 1%, то в среднем на 0,66% измениться результат.

Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют относительную ошибку аппроксимации:

.

В таблице Рис. 2. проведены вычисления относительной ошибки аппроксимации

Eотн

4,966943

Вывод: относительная ошибка аппроксимации составила 4,97%, что говорит о качественной модели.

Задача 6

Осуществим прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости б=0,1, если известно, что прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Прогнозное значение переменной y получается при подстановке в уравнение регрессии ожидаемого значения x:

, .

В нашем случае .Отсюда .

Вероятность реализации точечного прогноза равна нулю. Поэтому рассчитывается средняя ошибка прогноза или доверительный интервал прогноза с достаточно большей надежностью. Доверительные интервалы зависят от стандартной ошибки, удаления от своего среднего значения , количества наблюдений n и уровня значимости прогноза б. В частности, для прогноза будущие значения с вероятностью (1-б) попадут в интервал:

.

Ширина доверительного интервала определяется по формуле:

.

Величина уже вычислена (рис. 3., ячейка В7) и равна 1,19. Коэффициент Стьюдента для m=8 степеней свободы и уровня значимости 0,1 равен 1,859548033 (Рис. 12)

Рис. 12

Данные значения ta и tb уже вычислены с помощью Регрессии (рис. 3) - ячейки D17 и D18 соответственно и составляют ta=11,41; tb = 25,81. Так как tа>tтабл и tb>tтабл, то параметры a и b уравнения регрессии значимы.

Дополнительные расчеты проведены в Таблице (Рис. 2)

Тогда:

.

Итак, получены границы:

Нижняя граница

Прогноз

Верхняя граница

28,25

30,62

32,99

Задание 7

Представим графически фактические и модельные значения Y точки прогноза, а для этого построим таблицу (Рис. 13)

x

y

y

Нижняя граница

Верхняя граница

12

21

19,732481

4

10

11,99098

18

26

25,538606

27

33

34,247795

26

34

33,280107

23,2

30,62

28,25

32,99

29

37

36,18317

1

9

9,0879175

13

21

20,700169

26

32

33,280107

5

14

12,958668

Рис. 13. Фактические и модельные значения Y и X

С помощью ППП Excel - Мастер диаграмм представим графически фактические и модельные значения Y точки прогноза:

Рис. 14. Диаграмма зависимости объема выпуска продукции от объема капиталовложений млн. руб. (Линейная)

Задание 8

а) Составим уравнение гиперболической модели парной регрессии. Уравнение гиперболической функции имеет вид:

.

Произведем линеаризацию модели путем замены Х=1/х. В результате получим линейное уравнение:

.

Рассчитаем его параметры по формулам:

; .

Построим дополнительную таблицу и произведем расчеты (Рис. 14).

;

a=23,7-(-23,72)x0,181428,00

Итак, а = 28,00, b = -23,72. Получим следующее уравнение гиперболической модели:

.

t

y

Y=lg(y)

x

X=1/x

yX

X2

(yi-?)

(yi-?)2

y

ei=yi-yi

|ei/yi|·100%

ei2

1

21

1,3222

12

0,0833

1,7500

0,0069444

-2,7000

7,2900

26,027

-5,03

-23,936

25,26624

2

10

1,0000

4

0,2500

2,5000

0,0625000

-13,7000

187,6900

22,074

-12,07

120,735

145,7705

3

26

1,4150

18

0,0556

1,4444

0,0030864

2,3000

5,2900

26,685

-0,69

-2,636

0,469757

4

33

1,5185

27

0,0370

1,2222

0,0013717

9,3000

86,4900

27,125

5,88

17,804

34,52019

5

34

1,5315

26

0,0385

1,3077

0,0014793

10,3000

106,0900

27,091

6,91

20,321

47,7367

6

37

1,5682

29

0,0345

1,2759

0,0011891

13,3000

176,8900

27,185

9,81

26,527

96,33042

7

9

0,9542

1

1,0000

9,0000

1,0000000

-14,7000

216,0900

4,285

4,71

52,389

22,23109

8

21

1,3222

13

0,0769

1,6154

0,0059172

-2,7000

7,2900

26,179

-5,18

-24,660

26,81782

9

32

1,5051

26

0,0385

1,2308

0,0014793

8,3000

68,8900

27,091

4,91

15,341

24,1

10

14

1,1461

5

0,2000

2,8000

0,0400000

-9,7000

94,0900

23,259

-9,26

-66,139

85,73739

Итого:

237,0000

13,2831

161,0000

1,8143

24,1464

1,1240

0,0000

956,1000

237,0000

0,0000

135,7462

508,9801

Ср. знач.

23,7

1,328313

16,1

0,181425

2,414637489

0,112396741

95,61

23,7

13,57462182

50,89801

a

28,0031

b

-23,7180

сx,y

0,68384916

R2

0,46764968

F

7,02769828

Eотн

13,5746218

Рис. 15. Результаты вычислений параметров гиперболической функции

С помощью ППП Excel - Мастер диаграмм представим графически гиперболическую функцию (Рис. 16):

Рис. 16. Гиперболическая функция

б) Уравнение степенной модели имеет вид:

.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

.

Пусть Y=, Х=, А=, тогда уравнение примет вид

Y=A+bX - линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры по формулам:

; .

Построим дополнительную таблицу и произведем расчеты (рис. 17):

; A=1,3299-0,45 x1,035

t

y

Y=lg(y)

x

X=lg(x)

YX

XX

(yi-?)

(yi-?)2

y

ei=yi-yi

|ei/yi|·100%

ei2

1

21

1,3222

12

1,0792

1,4269

1,1646

-3,29

10,80

22,373

-1,37

-6,537

1,884607

2

10

1,0000

4

0,6021

0,6021

0,3625

-14,29

204,08

13,678

-3,68

36,777

13,52517

3

26

1,4150

18

1,2553

1,7762

1,5757

1,71

2,94

26,828

-0,83

-3,186

0,686176

4

33

1,5185

27

1,4314

2,1735

2,0488

8,71

75,94

32,171

0,83

-2,511

0,686865

5

34

1,5315

26

1,4150

2,1670

2,0021

9,71

94,37

31,632

2,37

6,965

5,607598

6

37

1,5682

29

1,4624

2,2933

2,1386

12,71

161,65

33,218

3,78

10,223

14,30654

7

9

0,9542

1

0,0000

0,0000

0,0000

-15,29

233,65

7,351

1,65

18,323

2,719486

8

21

1,3222

13

1,1139

1,4729

1,2409

-3,29

10,80

23,189

-2,19

-10,426

4,793803

9

32

1,5051

26

1,4150

2,1297

2,0021

7,71

59,51

31,632

0,37

1,150

0,135451

10

14

1,1461

5

0,6990

0,8011

0,4886

-10,29

105,80

15,115

-1,12

-7,967

1,244068

Итого:

170,0000

9,3096

117,0000

7,2452

10,4390

9,2924

0,0000

783,4286

167,2505

2,7495

60,0527

39,4164

Ср.знач.

24,28571

1,3299

16,71429

1,0350

1,4913

1,3275

111,9184

8,579

0

A

0,8663

b

0,4479

сx,y

0,974519

R2

0,949687

F

151,0054

Eотн

6,005267

Рис. 17. Результаты вычислений степенной модели

С помощью ППП Excel - Мастер диаграмм представим графически степенную функцию (Рис. 18):

Рис. 18. Степенная функция

Итак, А = 0,8663, b = 0,4479 (ячейки В15 В 16 соответственно). В результате уравнение регрессии имеет вид: Y=0,8663-0,4479·Х. перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

.

Получим уравнение степенной модели регрессии:

.

в) Уравнение показательной кривой имеет вид: . Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

.

Пусть Y=, В=, А=, тогда уравнение регрессии примет вид:

Y=A+Bx.

Построим дополнительную таблицу и произведем расчеты.

Рис. 19. Результаты вычислений параметров показательной функции

Рис. 20. Показательная функция

Итак, В=0,0097 и А=1,64 (рис. 19, ячейки В16 и В17 соответственно). Уравнение регрессии имеет вид:

Y=1,64 + 0,0097·х.

перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения: .

Задача 9

Найдем коэффициенты детерминации для данных моделей по формуле:

.

Но при этом вычислим индекс корреляции для каждой модели:

.

А также нужно найти коэффициенты эластичности для каждого типа уравнения регрессии. И для определения качества каждой модели найдем средние относительные ошибки аппроксимации, которые определяются по формуле:

.

а) Для гиперболической функции.

Проведем дополнительные расчеты.

Рис. 21. Результаты вычислений

Итак, индекс корреляции равен 0,9574 (рис. 21, ячейка В20). Связь между показателем у и фактором х высокая.

Индекс детерминации равен 0,9167 (рис. 21, ячейка В21). Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 91,67% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

Коэффициент эластичности для гиперболической функции определяется по формуле:

.

В нашем случае он равен 0,6897 (рис. 21, ячейка 23). Это значит, что если фактор измениться на 1%, то в среднем на 0,68% измениться результат.

Относительная ошибка аппроксимации гиперболической функции равна 6,3765% (рис. 21, ячейка B24), что говорит о некачественной модели.

б) Для степенной функции.

Проведем дополнительные расчеты.

Рис. 22. Результаты вычислений

Итак, индекс корреляции равен 0,8192 (рис. 22, ячейка В19). Связь между показателем у и фактором х весьма высокая.

Индекс детерминации равен 0,6711 (рис. 22, ячейка В20). Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 67,11% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

Коэффициент эластичности для степенной функции находиться по формуле: Э=b, следовательно, коэффициент эластичности степенной функции равен 0,85 (ячейка В15). Это значит, что если фактор измениться на 1%, то в среднем на 0,85% измениться результат.

Относительная ошибка аппроксимации степенной функции равна 4,1944% (рис. 22, ячейка B21), что говорит о качественной модели.

в) Для показательной функции.

Проведем дополнительные расчеты.

Рис. 23. Результаты вычислений

Итак, индекс корреляции равен 0,8192 (рис. 23, ячейка В21). Связь между показателем у и фактором х весьма высокая.

Индекс детерминации равен 0,6711 (рис. 23, ячейка В22). Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 67,11% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

Коэффициент эластичности для показательной функции определяется по формуле:

В нашем случае он равен 1,0518(рис. 23, ячейка B24). Это значит, что если фактор измениться на 1%, то в среднем на 1,05% измениться результат.

Относительная ошибка аппроксимации показательной функции равна 4,2350% (рис. 23, ячейка B25), что говорит о качественной модели.

Сравним модели по этим характеристикам.

модель

Еотн ср

R-квадрат

линейная

3,86

0,968

гиперболическая

6,38

0,917

степенная

3,96

0,967

показательная

4,24

0,967

Самое хорошее качество имеет степенная модель. Коэффициент детерминации RІ наиболее близок к 1 у степенной модели. (вариация объема капиталовложений на 96,7117% объясняет вариацию выпуска продукции) и наименьшая средняя относительная ошибка аппроксимации = 3,955%.. Степенная модель из трех представленных моделей лучше всего описывает исходные данные.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Определение параметров уравнения линейной регрессии. Экономическая интерпретация коэффициента регрессии. Вычисление остатков, расчет остаточной суммы квадратов. Оценка дисперсии остатков и построение графика остатков. Проверка выполнения предпосылок МНК.

    контрольная работа [1,4 M], добавлен 25.06.2010

  • Параметры уравнения линейной регрессии. Вычисление остаточной суммы квадратов, оценка дисперсии остатков. Осуществление проверки значимости параметров уравнения регрессии с помощью критерия Стьюдента. Расчет коэффициентов детерминации и эластичности.

    контрольная работа [248,4 K], добавлен 26.12.2010

  • Экономическая интерпретация коэффициента регрессии. Нахождение статочной суммы квадратов и оценка дисперсии остатков. Проверка значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. Расчет средней относительной ошибки аппроксимации.

    контрольная работа [261,1 K], добавлен 23.03.2010

  • Методика определения параметров линейной регрессии, составления экономической интерпретации коэффициентов регрессии. Проверка выполнения предпосылок МНК. Графическое представление физических и модельных значений. Нахождение коэффициентов детерминации.

    контрольная работа [218,0 K], добавлен 25.05.2009

  • Определение параметров линейной регрессии и корреляции с использованием формул и табличного процессора MS Excel. Методика расчета показателей парной нелинейной регрессии и корреляции. Вычисление значений линейных коэффициентов множественной детерминации.

    контрольная работа [110,4 K], добавлен 28.07.2012

  • Анализ метода наименьших квадратов для парной регрессии, как метода оценивания параметров линейной регрессии. Рассмотрение линейного уравнения парной регрессии. Исследование множественной линейной регрессии. Изучение ошибок коэффициентов регрессии.

    контрольная работа [108,5 K], добавлен 28.03.2018

  • Расчет параметров уравнения линейной регрессии, экономическая интерпретация ее коэффициента. Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю. Построение степенной модели парной регрессии. Вариация объема выпуска продукции.

    контрольная работа [771,6 K], добавлен 28.04.2016

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.