Экономико-математическое моделирование

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабораторная работа №1

Обработка деталей двух видов А и В может производиться на трех станках, причем каждая деталь при ее изготовлении должна последовательно обрабатываться на каждом из станков. Цена реализации детали А составляет 10 тыс. руб., детали В - 16 тыс. руб. Деталь А обрабатывается последовательно на первом, втором, третьем станке по 0,2 ч, 0,2 ч, 0,1 ч соответственно. Деталь В обрабатывается последовательно на первом, втором, третьем станке по 0,1 ч, 0,5 ч, 0,2 ч соответственно. Суточная норма времени работы первого, второго, третьего станка составляет 10 ч, 18 ч, 10 ч соответственно.

1. Определить такую производственную программу каждого станка за 10 суток, что от реализации деталей будет максимальным, если известно, что спрос на детали В не превышает 20 шт. в сутки.

2. Определить, фонд рабочего времени, каких станков является излишним и на какую величину его можно уменьшить.

3. Если фонд рабочего времени работы второго станка увеличится до 20 ч, увеличится ли при этом доход от реализации?

4. В каких пределах может меняться цена детали А при условии сохранения оптимального решения?

Экономико-математическая модель задачи.

Оформим данные задачи в виде таблицы с учетом того, что определяем производственную программу каждого станка за 10 суток:

Станки	Время обработки одной детали, ч	Время работы станка за один цикл производства, ч
	А	В
I	0,2	0,1	100
11	0,2	0,5	180
III	0,1	0,2	100



Пусть Х₁ - количество деталей А; х₂- количество деталей В. Функция F определяет доход от реализации. Тогда, данная производственная ситуация может быть представлена в виде задачи линейного программирования:

Которая состоит ю целевой функции F, системы ограничений, условий не отрицательности х1, х₂.

Графический метод решения. (лабораторная работа 1)

Для каждого ограничения строим граничную прямую. соответствующую равенству:

L1:0,2х1+0,1х₂= 100; L2: 0,2х,+0,5х₂ = 180; LЗ: 0,1х1+0,2х₂ = 100; L4: х₂ = 200; L5: х1= 0; L6: х₂ = 0.



Область допустимых значений х₁ х₂ - многоугольник АВСD. Вектор grad(F) = (10; 16), перпендикулярный линиям уровня F=10X1+16X2 = const слишком мал для построения в выбранном масштабе. Построим вектор grad(F)*10 = (100; 160) Перемещая линию уровня (обозначенную на графике пунктиром) F=const в направлении вектора grad(F)*10 определим точку "выхода" из области, в которой функция принимает наибольшее значение. Это точка С, лежащая на пересечении прямых L1, L2 и L4. Определим ее координаты, решая систему уравнений:



Откуда С (400; 200). Р_MAX= Р(С) = 10-400+16-200 = 7200.

Полученное решение означает, что цеху следует производить за 10 суток 400 деталей А и200 деталей В. Максимальный доход от реализации при этом плане производства равен 7200 тыс. руб.

Постоптимальный анализ решення задачи.

Первая задача анализа на чувствительность.

Подставим найденные значения оптимального плана производства деталей в ограничения, соответствующие ресурсам.

Ресурс - фонд рабочего времени станка I, т. е. в ограничение 0,2Х1+0,1х₂ < 100. Получаем 0,2-400 + 0.1-200 = 100 ч. Видим, что данный ресурс полностью используется при оптимальном плане производства деталей. Кроме этого с данным ресурсом ассоциировано связывающее ограничение. Следовательно, ресурс -- фонд рабочего времени станка I является дефицитным ресурсом. Запас данного ресурса целесообразно увеличить. В этом случае увеличение запаса данного ресурса графически выражается в параллельном перемещении прямой L1 до точки М (прямая L1*). Дальнейшее увеличение нецелесообразно, так как ресурс станет недефицитным.



В результате перемещения прямой L1 новым пространством допустимых значений станет многоугольник АВСМ, а новой оптимальной точкой - точка М (900, 0). Подставим координаты точки М в ограничение (И) и получим максимально допустимый объем ресурса - фонд рабочего времени станка 1; 0,2-900 + 0,1-0 = 180 ч. Таким образом, изменить объем данного ресурса следует на Д| ^ 180 - 100 =- 80 ч. Доход от реализации при этом плане производства равен 10-900+16-0 = 9000 тыс. руб., т. е. увеличится на дельтаF1= 9000 - 7200 -- 1800 тыс. руб.

Ресурс - фонд рабочего времени станка II, т. е. в ограничение 0,2х,+0,5х_г < 180. Получаем 0,2-400 + 0,5-200 = 180 ч. Видим, что данный ресурс полностью используется при оптимальном плане производства деталей. Кроме этого с данным ресурсом ассоциировано связывающее ограничение, Следовательно, ресурс - фонд рабочего времени станка II является дефицитным ресурсом. Запас данного ресурса нецелесообразно уменьшать, но также его не следует увеличивать, так как ресурс станет избыточным.

Ресурс - фонд рабочего времени станка 3, т. е. в ограничение 0.1x^+0,2x2 < 100. Получаем 0.1-400 + 0,2-200 = 80 ч. Видим, что ресурс - фонд рабочего времени станка III, имеющийся в запасе в количестве 100 ч не используется полностью при оптимальном плане производства деталей. С данным ресурсом ассоциировано навязывающее ограничение и в данной ситуации оно даже напрямую не формирует область допустимых значений х_1, Х₂ следовательно, ресурс - фонд рабочего времени станка 3 является избыточным. Его можно уменьшить на величину 100 - 80 ^20 ч. При этом доход от реализации не изменится.

Ресурс - спрос на детали В, т. е. в ограничение x2 меньше или равно 200. Получаем 200 = 200. Видим, что данный ресурс полностью используется при оптимальном плане производства деталей. Кроме этого с данным ресурсом ассоциировано связывающее ограничение. Следовательно, ресурс - спрос на детали В является дефицитным ресурсом. Запас данного ресурса нецелесообразно уменьшать, но также его не следует увеличивать, так как ресурс станет избыточным.

Вторая задача анализа на чувствительность.

Используя результаты первой задачи анализа на чувствительность, определяем, что наиболее дефицитным ресурсом является ресурс - фонд рабочего времени станка I. Вычислим ценность единицы данного ресурса у1 = дельтаF1/дельта1 = 1800/80 = 22,5.

Третья задача анализа на чувствительность.

Обозначим цены реализации деталей А и В как С1 и С2 соответственно. Тогда целевая функция будет выглядеть следующим образом: Р = С1-х, + С2'Х2

Определим границы интервалов возможных колебаний С1 и С2 при которых точка С останется оптимальной.

Зафиксируем С2 = 16. Тангенс угла наклона для прямой F равен С1/16, а для прямых L1 и L2, 0,2/0,1 = 2 и 0,2/0,5 = 0,4 соответственно. Минимальное значение С1 определяем из равенства С1/16 = 0,4, тогда С!^ = 6,4 тыс. руб., а максимальное значение С1 определяем из равенства С1/16 = 2, тогда С1_тах = 32 тыс. руб. Таким образом, интервал изменения С1, в котором точка С по-прежнему останется единственной оптимальной, определяется неравенством 6,4 <С1 <32 тыс. руб.

Зафиксируем С1 = 10. Тангенс угла наклона для прямой F равен 10/С2, а для прямых L1 и L2, 0,2/0,1 = 2 и 0,2/0,5 = 0,4 соответственно. Минимальное значение С2 определяем из равенства 10/С2 = 2, тогда С2мин = 5 тыс. руб., а максимальное значение С2 определяем из равенства 10/С2 = 0,45, тогда С2_мах = 25 тыс. руб. Таким образом. интервал изменения С2, в котором точка С по-прежнему останется единственной оптимальной, определяется неравенством 5 < С2 < 25 тыс. руб.

Ответы на вопросы.

1. Цеху следует производить за 10 суток 400 деталей А и 200 деталей В. Максимальный доход от реализации при этом плане производства 7200 тыс. руб.

2. Согласно первой задаче анализа на чувствительность фонды рабочего времени станков I и II являются дефицитными. Фонд рабочего времени станка III является избыточным. Его можно уменьшить на величину 100 - 80 =20 ч. При этом доход от реализации не изменится.

3. Увеличение фонда рабочего времени станка II до 20 ч в сутки, т.е. до 200 ч за 10 суток графически выражается в параллельном перемещении прямой L2 вверх (прямая L2*)



Область допустимых значений х_1, X₂ и положение оптимальной точки при этом не изменится. Следовательно, при увеличении фонда рабочего времени станка II до 200 ч за 10 суток доход от реализации не увеличится.

4. Согласно третьей задаче анализа на чувствительность, цена детали А при условии сохранения оптимального решения может меняться в пределах 6,4 < С1 < 32 тыс. руб.

Расчетное задание.

На заводах А1, А2, А3 производится однородная продукция в количестве а1, а₂, а3 единиц. Себестоимость единицы продукции на заводе Аi, составляет сi, ден. единиц.

Четырем потребителям В1, В₂, Вз, В₄ требуется соответственно b1, b2, b3, b4 единиц готовой продукции. Расходы Cij ден. ед. по перевозке единицы готовой продукции с завода Аi; потребителю Вj, заданы.

Необходимо найти план перевозок, минимизирующий общие затраты по изготовлению продукции на А1, А2, A3 и ее доставке потребителям В1, В₂, В3, В4.

а,=900, а₂=600, а₃=500; с,=6, с₂=4, с₃=7; Ь,=150, Ь₂=400, Ь₃=350, Ь₄=700

011=5,012=4,013=2,014=8 С21=7, С₂2=8, С₂3=Ю, С₂₄=9 С₃1 = 1, С₃2=5, С₃₃=4, С₃₄=2

Решение: 1. Составление модели транспортной задачи

Пункты отправления	Себестоимость, С(	Потребители	Количество произведенной продукции, а.
		В1	В2	В3	В4
А,	6	5	4	2	8	900
А2	4	7	8	10	9	600
Аз	7	1	5	4	2	500
Потребность в готовой Продукции, Ь,	150	400	350	700

Составим распределительную таблицу транспортной задачи:

Пункты	Потребители	Количество
отправления	В1	В2	В3	В4	произведенной
					продукции, а^
А,	5	4	2	8	900
А2	7	8	10	9	600
Аз	1	5	4	2	500
Потребность в	150	400	350	700
готовой
Продукции, Ьj

Транспортная задача ставится следующим образом: Найти объемы перевозок для каждой пары "поставщик-потребитель" так, чтобы:

1) мощности всех поставщиков были реализованы;

2) спросы всех потребителей были удовлетворены;

3) суммарные затраты на перевозку были бы минимальными. Построим математическую модель данной задачи. Пусть Хij - объем перевозки от 1-го поставщика к j-ому потребителю. Тогда, чтобы мощность каждого из поставщиков была реализована, необходимо составить уравнения баланса для каждой строки таблицы распределений:

Аналогично, чтобы спрос каждого из потребителей был удовлетворен, подобные уравнения баланса составляем для каждого столбца таблицы:

Очевидно, что объем перевозимого груза не может быть отрицательным, поэтому следует дополнительно предположить, что Xij>0 (i =1,2,3; j = 1,2,3,4). Суммарные затраты F выражаются через коэффициенты затрат на перевозку и себестоимость единицы продукции на каждом заводе:

F=5Х11+4Х12+2Х13+8Х14+7Х21+8Х22+10Х23+9Х24+1Х₃1+5Х32+4Х₃3+2Х34.



Данная транспортная задача является задачей открытого типа, поскольку общее количество произведенной продукции

не совпадает с общими потребностями потребителей

Однако эту задачу можно свести к задаче закрытого типа. если ввести фиктивного потребителя В^. потребности которого равны b5 = 2000-1600 = 400. Стоимость перевозок единицы груза фиктивного потребителя полагается равной нулю, т.к. груз в этом случае не перевозится. С учетом себестоимости единицы продукции целевая функция примет вид:

Р=(5+6)х11+(4+6)х12+(2+6)х13+(8+6)х14+(0+6)х15+(7+4)х21+(8+4)х₂₂+(10+4)х₂₃+(9+4)х24 +(0+4)х₂₅++(1+7)х31,+(5+7)х32+(4+7)х33+(2+7)х34+(0+7)х35.

F=11х11+10х12+8х13+14х₁₄+6Х15+11х21+12х₂₂+14х₂з+13х24+4х25+8х31+12х32+1 1X33+9X34+7X35

В результате распределительная таблица транспортной задачи примет вид:



Таблица

Продукция	Потребители	Количествопроизведенной продукции, аi
	В1	В2	В3	В4	В5
А,	11	10	8	14	6	900
А2	11	12	14	13	4	600
Аз	8	12	11	9	7	500
Потребность в готовой Продукции, Ь,	150	400	350	700	400

2. Составление первоначального опорного решения

а) Найдем первоначальный план полученной задачи методом северо-западного угла.

Поставщики	Потребители	Количество продукции
	В1	В2	В3	В4	В5
а!	11	10	8	14	6	900
А2	11	12	14	13	4	600
Аз	8	12	11	9	7	500
Потребности	150	400	350	700	400	2000 =2000

В результате получаем опорный план

Согласно данному плану перевозок, общая стоимость перевозок продукции составит

F(Xc-3) =150*11+400*10+350*8+600*13+100*9+400*7=19950



б) Найдем первоначальный план полученной задачи методом наименьшей стоимости.

Поставщики	Потребители	Количество продукции
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	11	10	8	14	6	900
А2	11	12	14	13	4	600
А3	8	12	11	9	7	500
Потребности	150	400	350	700	400	2000 = 2000

В результате получаем опорный план

Согласно данному плану перевозок, общая стоимость перевозок продукции составит

Р(Х_НС) = 400* 10+350*8+150*14+200*13+400*4+150*8+350*9 =17450

В результате получилось, что опорный план, полученный методом северо-западного угла хуже опорного плана, полученного методом наименьшей стоимости.

3. Определение оптимального решении транспортной задачи методом потенциалов. Проверим опорный план, полученный методом наименьшей стоимости, на оптимальность методом потенциалов. Для этого для каждого из пунктов отправления Аi; и назначения Вj, определим потенциалы Ui и Vj. Эти числа находятся из уравнений Ui + Vj = Сij, где С_ij - тарифы, стоящие в заполненных клетках таблицы.

Если первоначальный опорный план является оптимальным, то для каждой незанятой клетки должно выполняться условие Ui+Vj < Сij. Если хотя бы одна незанятая клетка не удовлетворяет этому условию, то опорный план не является оптимальным. Поэтому для каждой свободной клетки найдем числа аij = Ui + Vj, - Сij и поместим их в правый нижний угол каждой клетки.

Поскольку имеются клетки с aij > 0, то полученный опорный план не является оптимальным. Улучшим первоначальный опорный план методом циклов. Выберем свободную клетку, с максимальной положительной оценкой и строим для нее цикл. Делаем перерасчет по циклу. Пометим вершины цикла знаками "+" и "-" поочередно, начиная с "+" в свободной клетке. Минимальное содержимое клеток, помеченных знаком "-", равно 150. Из всех клеток, помеченных знаком "-", вычтем по 150; во все клетки, помеченные знаком "+", добавим по 150. При этом баланс по строкам и столбцам таблицы будет сохранен. В результате получим новый опорный план, который проверяем на оптимальность, т.е. заполним новую таблицу распределений.



Поскольку для всех свободных клеток аij меньше или равно 0, то полученный опорный план является оптимальным:

Согласно данному плану перевозок, наименышие общие затраты на производство продукции и доставку ее потребителям составят:

F(Х_ОПТ)= 150*11+400*10+350*8+200*13+400*4+500*9 = 17150

Согласно полученному оптимальному плану с завода А1 отправляется 150 ед. продукции потребителю В1, 400 ед. продукции потребителю В2, 350 ед. продукции потребителю В3; с завода А2 отправляется 200 ед. продукции потребителю В₄; с завода аз отправляется 500 ед. продукции потребителю В₄.

Поскольку количество произведенной продукции превышают потребности в готовой продукции, то часть продукции останется нераспределенной. Согласно полученному оптимальному плану, продукция с завода А₂ не вся будет распределена, объем нераспределенной продукции составит 400 ед. В то время как потребители полностью удовлетворят свои потребности.



Часть I

Две фирмы А и В проводят рекламную компанию на предполагаемом рынке сбыта. У фирмы А имеются средства, чтобы оплатить всего 3 J способа проведения рекламной компании, у фирмы В - 3 / способа.

Победу каждой фирмы оценим в условных единицах следующим образом:

а) если у фирмы А больше способов рекламы, чем у противника, то в качестве выигрыша она получает число очков равное с_I с добавлением одного очка - за победу; б) если у фирмы А меньше способов рекламы, чем у противника, то она проигрывает число очков равное е_I и минус одно очко -- за проигрыш; в) если число способов рекламы в городе у обеих фирм одинаковое, то А получит Di очков. Необходимые данные находятся в таблице.

Таблица

Задание:

1.В данных задачах необходимо формализовать конфликтные ситуации и построить матрицы игр. Найти нижнюю и верхнюю цены игры, а также определить показатели эффективности стратегий Ai и неэффективности стратегий Bj.

2. С помощью принципа доминирования сократить матрицу до размерности 2 х 2. В получившейся матрице определить нижнюю и верхнюю цены игры и наличие седловой точки.

3. Решить задачу графическим методом, а также определить смешанную стратегию и наличие седлового элемента в смешанной стратегии: а) для игрока А, б) для игрока В

4. Проверить получившиеся смешанные стратегии на оптимальность по теореме "Критерии оптимальности".

5. Для исходной задачи составить ЗЛП для игроков А и В найти ее решение симплексным методом, а также определить из значений ЗЛП значение игры.

6. Построить прямую и двойственную ЗЛП на одном и том же графике и отметить где будет находиться чистая стратегия игрока А и чистая стратегия игрока 5.

1. Если фирма А выбирает стратегию А₁ фирма В - стратегию В1, то число способов рекламы у обеих форм одинаковое; выигрыш А составляет

D1=1

Если фирма А выбирает стратегию А1 фирма В - стратегию В₂ или В₃, то у фирмы А меньше способов рекламы, чем у В; "выигрыш" А составляет Если фирма А выбирает стратегию А₂, фирма В - стратегию В₂ то у фирмы

А больше способов рекламы, чем у В; выигрыш А составляет (-e1) - 1 = -1 - 1= -2

Если фирма А выбирает стратегию А₂, фирма В - стратегию В1, то число способов рекламы у обеих форм одинаковое; выигрыш А составляет с_{2 +1} = 4+1=5

Если фирма А выбирает стратегию А₂, фирма В - стратегию В₃, то у фирмы А меньше способов рекламы, чем у В; "выигрыш" А составляет (-e2)-1=-1 -1 =-2.

Если фирма А выбирает стратегию А₃, фирма В - стратегию В1 или В₂, то у фирмы А больше способов рекламы, чем у В; выигрыш А составляет с₃ + 1 = 1 + 1=2.

Если фирма А выбирает стратегию А₃, фирма В - стратегию В₃, то число способов рекламы у обеих форм одинаковое; выигрыш А составляет д₃ = 1.



Матрица игры:

	В1	В2	В3
а1	1	-2	-2
А2	5	1,9	-2
Аз	2	2	1

Найдем минимальный элемент каждой строки матрицы (показатели эффективности стратегии Аj):

Нижняя цена игры равна максимальному из этих минимальных элементов: Х_ниж = mах (-2;-2; 1)= 1

Найдем максимальный элемент каждого столбца (показатели неэффективности стратегий Вj):

Верхняя цена игры равна минимальному из этих максимальных элементов:

Xверх = min(5;2;1) = 1

2. Стратегия А₂ доминирует над стратегией А₁ так как все элементы 2-й строки не меньше соответствующих элементов 1-й строки. Отбрасываем стратегию А1.

Стратегия В₂ доминирует над стратегией В₁ так как все элементы 2-го столбца не больше соответствующих элементов 1-го столбца. Отбрасываем 1-й столбец. Получается матрица:

	В1	В3
А2	1,9	-2
Аз	2	1

Минимальные элементы строк:

А1 =min(1,9;-2) = -2

а₂ = min (2; 1) = 1

Нижняя цена игры

Х_ниж = mах (-2; 1) = 1

Максимальные элементы столбцов;

B1 = mах(1,9;2) = 2

b₂ = mах(-2; 1) = 1

Верхняя цена игры:

Х_верх = min(2; 1)= 1

Так как Х_ниж = Х_верх, седловая точка А₃В₃ = 1.

3. Возьмем участок оси абсцисс от 0 до 1. Левый конец участка (х = 0) обозначает стратегию А₂, правый конец (х = 1} - стратегию А₃. Проведем через концы участка оси, перпендикулярные оси абсцисс. На левой оси откладываем выигрыши при стратегии А₂, на правой -- при стратегии А₃. Стратегия В₂ дает на левой оси точку с ординатой 1,9, на правой оси - точку с ординатой 2. Соединим эти точки отрезком прямой линии. Аналогично стратегия В₃ дает на левой оси точку с ординатой -2, на правой - точку с ординатой 1. Соединим эти точки вторым отрезком прямой. Данные отрезки не пересекаются, отрезок В₂В₂ целиком лежит выше отрезка В₃В₃. Снизу данная фигура ограничена отрезком В₃В₃. Наивысшая точка имеет ординату 1, соответствующую седловой точке, цене игры и оптимальной стратегии игрока А.

Вероятности стратегий:

Р1=0

P2=1

Вектор стратегии игрока А

Sa = (0;1)

Оптимальная стратегия Аз

Цена игры

V=1.

Аналогично определим оптимальную стратегию игрока В. Стратегия А2 дает на левой оси точку с ординатой 1 ,9, на правой оси - точку с ординатой -2. Стратегия аз дает на левой оси точку с ординатой 2, на правой -- точку с ординатой 1 . Ордината нижней точки ломаной, ограничивающей сверху данную фигуру, равна 1 .

Вероятности стратегий:

Q1=0

Q2=1

Вектор смешанной стратегии игрока В

SB = (0;1)

Игрок В должен применять стратегию Вз.

Разделим неравенства и целевую функцию на цену игры v. Введем новые переменные:

X1 =р1 /V

Х₂ = Р₂ / V

Задача линейного программирования запишется:



Аналогично записывается задача линейного программирования для игрока В:

Решим задачу для игрока В симплексным методом. Сведем задачу к каноническому виду, введя дополнительные переменные уз, у4

1,9у,-2у₂ + у₃=1

2у1 + у₂ + У4 = 1

Т = у1+ у₂ --mах

Баз. пер.	У1	У2	Уз	У4	bi	Симплексное отношение
Уз	1,9	-2	1	0	1	0,526
У4	2	1	0	1	1	0,5
Т	-1	-1	0	0	0
Уз	0	-2,95	1	-0,95	0,05
У1	1	0,5	0	0,5	0,5	1
Т	0	-0,5	0	0,5	0,5
Уз	5,9	0	1	2	3
У2	2	1	0	1	1
Т	1	0	0	1	1



В последней симплекс-таблице в строке Т отсутствуют отрицательные элементы. Оптимальное решение

Цена игры

V=1\Tmax=1\1=1

Оптимальные стратегии игрока В

Двойственная задача

По последней строке последней симплекс-таблицы прямой задачи определяем решение двойственной задачи:

Х = (0;1;0;0)

Tmin = 1

Оптимальные стратегии игрока А (p1р2)-(х,у;х₂у)-(0* 1; 1 * 1) = (0; 1)

6. Построим прямую и двойственную ЗЛП:



Чистые стратегии А₃ и В₃ игроков А и В будут находиться на оси ординат в точке (0; 1).

Вывод. Нижняя и верхняя цена игры совпадают, матрица имеет седловую точку (А₃; В₃). Фирмы А и В должны выбрать стратегии А₃ и В₃, т.е. взять по три способа рекламы.

Часть II

После нескольких лет эксплуатации промышленное оборудование оказывается в одном из следующих состояний; В| - оборудование может использоваться в очередном году после профилактического ремонта; В₂- для безаварийной работы оборудования в дальнейшем следует заменить отдельные его детали и узлы; Вз - оборудование требует капитального ремонта или замены.

В зависимости от сложившейся ситуации В₁ В₂, Вз руководство предприятия может принять такие решения; А] - отремонтировать оборудование силами заводских специалистов, что потребует затрат а1,а₂,а₃ ден. ед.; А₂ - вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b1, Ь₂, Ьз ден. ед.; аз -заменить оборудование новым, реализовав устаревшее оборудование по его остаточной стоимости. Совокупные затраты в результате этого мероприятия будут равны соответственно с_1, с2, Сз ден. ед.

Задание

1. Придав описанной ситуации игровую схему, выявить ее участников, указать возможные чистые стратегии сторон.

2. Составить платежную матрицу, пояснив смысл элементов ау матрицы (почему они отрицательные?).

3. Выяснить, какое решение о работе оборудования в предстоящем году целесообразно рекомендовать руководству предприятия, чтобы минимизировать потери при следующих предположениях: а) накопленный на предприятии опыт эксплуатации аналогичного оборудования показывает, что вероятности указанных состояний оборудования равны соответственно q1, q2, qз (примените критерий Байеса); б) имеющийся опыт свидетельствует о том, что все три возможных состояния оборудования равновероятны {примените критерий Лапласа); в) о вероятностях оборудования ничего определенного сказать нельзя (примените критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица). Значение параметра у в критерии Гурвица задано.

Числовые данные задачи приведены в таблице.

Номер варианта	Параметры задачи
	А1	A2	A3	B1	B2	B3	C1	C2	С3	Q1	Q2	Q3
17	36	46	18	25	28	12	10	12	5	0,35	0,5	0,15	0,9

Решение:

Сторонами данной игры являются:

А.Руководство предприятия

В. Состояние оборудования (случай)

Для игрока А выбор той или иной стратегии будет означать определенные затраты, т.е. выигрышем будет величина затрат со знаком минуса. Матрицаигры:

	В1	В2	ВЗ
А1	-36	-46	-18
А2	-25	-28	-12
АЗ	-10	-12	-5

Чистая стратегия игрока А - максиминная , игрока В - минимаксная.

a = mах{-46,-28,-12} = -12

a= min{-10,-12,-5} = -12

Т.к. а = а , то игра имеет седловую точку. Руководству следует принять решение АЗ, т.е. заменить оборудование новым, реализовав устаревшее оборудование по его остаточной стоимости. Рассмотрим решение игрьт при следующих предположениях: а) накопленный на предприятии опыт эксплуатации аналогичного оборудования показывает, что вероятности указанных состояний оборудования равны соответственно ц (примените критерий Байеса);

Q1	0,35
Q2	0,5
Q3	0,15

Находим математическое ожидание выигрыша:

A1: -36-0,35-46-0,5-18-0,15= -38,3

А2 : - 25 * 0,35 - 28 - 0,5 - 12 * 0,1 5 = -24,55

А3 : -10-0,35-12-0,5-5-0,15 = -10,25



Т.к. из всех ожидаемых выигрышей максимальным является - 10,25, то руководству следует принять решение АЗ, т.е. заменить оборудование новым, реализовав устаревшее оборудование по его остаточной стоимости

б) имеющийся опыт свидетельствует о том, что все три возможных состояния оборудования равновероятны (примените критерий Лапласа);

Находим математическое ожидание выигрыша:

Т.к. из всех ожидаемых выигрышей максимальным является -9, то руководству следует принять решение АЗ, т.е. заменить оборудование новым, реализовав устаревшее оборудование по его остаточноЙ стоимости.

в) о вероятностях оборудования ничего определенного сказать нельзя (примените критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица). Значение параметра у в критерии Гурвица задано.

По критерию Вальда (пессимистический критерий) следует выбрать максиминную стратегию



Это будет статегия АЗ.

Критерий Сэвиджа

Строится матрица R - матрица риска. Элементы находятся по формуле

	В1	В2	ВЗ
А1	18	28	0
А2	13	16	0
АЗ	5	7	0

Далее решаем эту матрицу по минимаксной стратегии:

min{18,16,7}=7

Это решение соответствует стратегии АЗ.

Критерий Гурвица: у=0,9

задача транспортный платежный матрица

Максимальным является решение -5,7, что соответствует стратегии АЗ. Получили, что при неизвестных вероятностях состояния оборудования по критерию Вальда руководству следует предпринять стратегию АЗ, по критерию Сэвиджа - АЗ, по критерию Гурвица - АЗ.

Размещено на Allbest.ru