Экономическое планирование прибыли

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

Финансовый консультант фирмы «АВС» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25000 долл.) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».

Анализируются акции «Дикси-Е» и «Дикси-В». Цены на акции:

- «Дикси-Е» - 5 долл. за акцию;

- «Дикси-В» - 3 долл. за акцию.

Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук.

По оценкам «АВС», прибыль от инвестиций в эти акции в следующем году составит:

- «Дикси-Е» - 1,1 долл.;

- «Дикси-В» - 0,9 долл.

Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом.

Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение:

1) Для решения задачи приведем все вышеперечисленные величины в таблицу:

Вид дохода	Наименования акций	Запас средств
	Дикси-Е	Дикси-В
Переменные	Х1	Х2
Стоимость 1 акции	5	3	25000
Прибыль от инвестиции акций в следующем году	1,1	0,9

2) Математическая формализация задачи.

Пусть:

- X1 - количество акций «Дикси-Е»;

- X2 - количество акций «Дикси-В».

Тогда стоимость акций будет задаваться целевой функцией:

Экономико-математическая модель задачи имеет вид:

Ограничения по необходимому максимуму количества акций:

3) Для получения решения графическим методом строим прямые:

Построим прямые ограничения:



И линию уровня:

Выражаем в виде:



При перемещении линии уровня в направлении вектора-Градиента получаем точку С.

Это и есть точка максимума, найдем ее координаты - оптимальное решение:

Значение целевой функции в точке С (2500, 3500) равно: ?(х) = 1,1 ? 3500 + 0,9 ? 2500 = 6100$.

Ответ:

Чтобы обеспечить оптимальную прибыль от инвестиций необходимо купить:

- акций Дикси-Е - 3500 шт.;

- акций Дикси-В - 2500 шт.

При этом прибыль от двух видов купленных акций составит - 6100 долл.

Если решать задачу на min то надо двигаться по линии вектора-градиента в обратном направлении линии уровня и иксы поменяют друг с другом свои значения.



Задача 2

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции;

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности;

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане;

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 45 кг., а II - уменьшить на 9 кг.;

- оценить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 11 ед., на изготовление которого расходуется 9, 4 и 6 кг. соответствующего вида сырья.

Решение:

1) Сформулируем экономико-математическую модель исходной задачи на максимум выручки от реализации готовой продукции. Переменные:

Пусть:

- х1 - число единиц продукции A;

- х2 - число единиц продукции Б;

- х3 - число единиц продукции В.

Оптимальный план выпуска продукции будем искать с помощью настройки «Поиск решения» MS Excel. Сначала занесем исходные данные:

Число ограничений исходной задачи линейного программирования соответствует числу используемых для изготовления изделий типов сырья и равно 3.

Зная цены изделий, нормы расхода сырья на их изготовление и запасы сырья, формулируем математическую модель исходной задачи линейного программирования:



Теперь будем искать оптимальное решение с помощью настройки «Поиск решения»:

В результате будет получена следующая таблица:



Использование надстройки «Поиск решение» программного средства позволило получить значения переменных оптимального плана выпуска изделий:

- x1 = 0;

- x2 = 8;

- x3 = 20.

Целевая функция имеет максимальное для данных условий задачи значение f(x) = 400. Таким образом, чтобы получить максимум выручки в размере 400 ден. ед. необходимо изготовить 8 единиц продукции Б и 20 единиц продукции В, а продукция вида А убыточна (x1 =0).

2) Сформулируем двойственную задачу и найдем ее оптимальный план. Обозначим переменные:

Пусть:

- y1 - цена единицы ресурса продукции A;

- y2 - цена единицы ресурса продукции Б;

- y3 - цена единицы ресурса продукции В.

Математическая модель двойственной задачи имеет вид:

Найдем решение двойственной задачи с помощью теоремы двойственности. Проверим выполнение системы неравенств прямой задачи:



Для нахождения оценок (у1, у2, у3) используем вторую теорему двойственности:

Так как третье ограничение выполняется как строгое неравенство, то у3 = 0.

Так как х2 ? 0 и х3 ? 0,то получаем систему уравнений:

Сырье первого типа имеет цену, сырье второго типа имеет цену, сырье третьего типа имеет цену 0.

Проверим выполнение первой теоремы двойственности:

3) В прямой задаче х1=0, так как при достаточно высоких затратах производство продукции I приносит небольшую прибыль.

В двойственной задаче у3=0, так как III вид сырья является избыточным и не расходуется полностью на производство продукции.

4) Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане.

Так как цена третьего сырья у3=0, то сырье третьего типа не дефицитно. Дефицитное сырье первого и второго типа, так как в оптимальном плане исходной задачи используется полностью.

Сырье второго типа более дефицитно, чем сырье первого типа.

Определим, как изменится общая стоимость продукции.

Увеличение запасов сырья I типа на одну единицу приведет к росту прибыли на 2/9 единиц.

Уменьшение сырья II типа на одну единицу приведет к уменьшению прибыли на 5/3 единиц:

- I - возрастает на 45;

- II - уменьшается на 9.

По теореме об оценках:

Таким образом, общая прибыль уменьшится на 5 единиц и составит 400 - 5 = 395 ед.

Определим, как изменится план выпуска продукции, если запас сырья:

- I вида увеличить на 45 кг.;

- а II - уменьшить на 9 кг.

Предположим, что изменения производятся в пределах устойчивости двойственных оценок.

Т. е., не меняется структура оптимального плана:

То есть оптимальный план выпуска будет иметь вид:



Так как х1 = 0, а третье ограничение выполняется как строгое неравенство, то определим изменение плана выпуска из системы уравнений:

Оценим целесообразность включения в план изделия Г вида ценой 11ед., если нормы затрат сырья 9, 4 и 6 кг.

Вычислим величину:

Т. е., затраты на производство изделия Г меньше его цены.

Исходя из этого можно сделать такой вывод, что включать изделие Г в основной план производства выгодно, так как оно принесет дополнительную прибыль.



Задача 3

Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий.

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вила, третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки аij (i = 1,2,3, и j = 1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов уi вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А = (аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат);

2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга:

Предприятия (виды продукции)	Коэффициенты прямых затрат, аij	Конечный продукт, Y
	1	2	3
1	0,3	0,4	0,1	200
2	0,1	0,2	0,4	300
3	0,3	0,4	0,1	200

Решение:

Составим матрицу А коэффициентов прямых затрат.

По условию задачи:



Модель Леонтьева в матричной форме имеет вид:

X = A * X + Y

Где:

А - матрица коэффициентов прямых материальных затрат;

Х - вектор столбец валовой продукции по соответствующим отраслям;

Y - вектор столбец конечной продукции.

Находим матрицу (Е-А):

Используя формулу:

В результате получаем:

Находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:

Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат В неотрицательны, следовательно, матрица А продуктивна.

Найдем вектор Х величин валовой продукции по отраслям используя формулу:

Х = B * Y

Где:

В - матрица коэффициентов полных материальных затрат;

Y - вектор столбец конечной продукции.

Получаем:

Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса воспользуемся формулой, вытекающей из формулы:



Приступаем к заполнению таблицы:

Для получения первого столбца первого квадранта нужно:

- элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на величину Х1= 1000; экономический математический инвестиция

- элементы второго столбца матрицы А умножить на Х2 = 1000;

- элементы третьего столбца матрицы А умножить на Х3= 1000.

Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) найдем как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.

Четвертый квадрант состоит из одного показателя и служит для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта.



Список литературы

1. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде Excel / Практикум: Учебное пособие для вузов. - М.: ЗАО, 2000. - 136 с.

2. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учеб. пособие. - М.: Вузовский учебник, 2007. - 365 с.

3. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др., под ред. В.В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 1999. - 391 с.

Размещено на Allbest.ru