Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса. Метод экспоненциальной скользящей средней

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Задание 1

Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка за жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания

2. Оценить точность построений модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

· случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

· независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения ) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении ;

· нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Таблица 1. Поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	31	40	47	31	34	44	54	33	37	48	57	35	42	52	62	39

Решение

Будем считать, что зависимость между компонентами тренд-сезонный временный ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

(Y _(t+ф)) =((a _(o,t) ) +(a_(1,t) ) *ф)*(f(_t-L+ф))

где f - коэффициент сезонности,

L - количество сезонов в году.

Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:

(a_(0,t)) = б₁*Y_t / (f_(t-L) ) +(1-б)*((a_(0,t) ) +(a_(1,t-1))

(a_(1,t)--)----= a₂--((a_{(_,t)}--)-----(a_{(_,t-1)}--)--)+(1---a--₂--)*(a(_1,t-1)--)

(f(_t-l)--)--=--a₃*Yt/(a_{(_,t)}--)----+--(1---a₃--)--*--(f(_t-2l)

Параметры сглаживания ₁, ₂ и ₃ подбирают путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (т.е. чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).

Из формул видно, что для расчета a_0,1 и a_1,1 необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего период времени (т.е. для t=1-1=0). Значения a_{_,_} и a_{1,_} имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные в табл. 1.

Для оценки начальных значений a_{_,_--b} и a_{1,_} применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t).



Таблица 2

T	Yфакт
1	31
2	40
3	47
4	31
5	34
6	44
7	54
8	33
9	37
10	48
11	57
12	35
13	42
14	52
15	62
16	39

Построим график зависимости и линейную модель. a_{_,_}-- и a_{1,_} выбираем как коэффициенты прямой, построенной по значениям Y(t).

Рис. 1 Линейная модель



Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:

Y=0,9286x+35,071

Из этого уравнения находим расчетные значения Y_р(t) и сопоставляем их с фактическими значениями. Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в изначальной таблице. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса.

Таблица 3. Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Y_p(t)

t	Yфакт	Y расч
1	31	35,9996
2	40	36,9282
3	47	37,8568
4	31	38,7854
5	34	39,714
6	44	40,6426
7	54	41,5712
8	33	42,4998

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала f(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года, равное Y(1)/Y_р(1), и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) Y(5)/Yр(5).

Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.

f(-3) = [ Y(1) / Y_p(1) + Y(5) / Y_p(5) ] / 2=[ 31 / 35,999 + 34 / 39,714 ] / 2 = 0,858621

Путем «растягивания» формулы в Excel'е получаем следующие данные

f(-2) = 1,082895

f(-1) = 1,270248

f(0) = 0,787872

Оценив значения a_{_,_}-- и a_{1,_}, а также f(-3), f(-2), f(-1) и f(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса.

Из условия задачи имеем параметры сглаживания ₁=0,3; ₂=0,6; ₃=0,3. Рассчитаем значения Yмод, a_{(_,t)}--, a(_1,t)--) и f(t) для t=1.

Yмод=((a_{_,_}--)--+(a_{_,1}--)--* f--(-3)= (35,071+0,9286)*0,858621=30,91

a_{_,1}=б₁*Yфакт/f(-3) +(1-б₁ )*((a_0,0 ) +(a_1,0 )

a_1,1 =б₂*((a_0,1) -(a_0,0) +(1 - б₂ )*(a_1,0)

f(1)=б₃*Yфакт/(a_0,1 ) +(1 - б₃ )*f(-3)

a_{_,1}--=_--_,3*31/_,858621+(1-_,3)*(35,_71+_,9286)=36,_31

a_1,1 = 0,6*(36,031-35,071)+(1-0,6)*0,9286=0,9475

f(1)=0,3*31/36,031+(1-0,3)*0,858621=0,859145

Применяя абсолютные ссылки, «растягиваем» формулы в Excel'е и получаем следующие значения:



Рис. 2. Используемые формулы и применение абсолютных ссылок в них в программе Excel

Таблица 4. Полученные значения

t	Yфакт	a0	a1	f	Yмод
-3				0,858620973
-2				1,082895473
-1				1,270248446
0		35,071	0,9286	0,787872035
1	31	36,03104173	0,947465035	0,859145453	30,9100116
2	40	36,96635668	0,940174986	1,082646325	40,0438576
3	47	37,63476287	0,777113712	1,263827528	48,1507129
4	31	38,69226093	0,945344319	0,791868568	30,2636434
5	34	39,61858577	0,933932631	0,858856742	34,0544683
6	44	40,57911018	0,9498877	1,083142951	43,904035
7	54	41,88850325	1,165590918	1,271420231	52,4854908
8	33	42,63994063	0,917098796	0,786484681	34,0931839
9	37	43,41408533	0,83132634	0,856877108	37,409257
10	48	44,26643223	0,843938675	1,083502993	47,9241058
11	57	45,02678606	0,793787771	1,269768103	57,3542382
12	35	45,42494779	0,556412146	0,78168979	36,0371794
13	42	46,89151096	1,102502759	0,868519329	39,4003747
14	52	47,99355478	1,102227397	1,083495741	52,0016575
15	62	49,01539155	1,053993019	1,268310311	62,3402582
16	39	50,01614348	1,022048366	0,781107326	39,1387267

Для модели Хольта-Уинтерса необходимо рассчитать абсолютную (А) и относительную (Е) погрешности:

А=Yфакт - Yмод

Е=ABS (A / Yфакт) * 100%

Таблица 5. Абсолютные и относительные погрешности

t	A (абс. погрешность)	Е (отн. погрешность)
1	0,089988417	0,290285217
2	-0,043857565	0,109643911
3	-1,150712944	2,448325414
4	0,736356615	2,375343919
5	-0,054468329	0,160200969
6	0,095964982	0,218102232
7	1,51450925	2,804646759
8	-1,093183897	3,312678475
9	-0,409256953	1,106099872
10	0,075894228	0,158112974
11	-0,354238187	0,621470503
12	-1,037179403	2,963369723
13	2,59962525	6,189583929
14	-0,001657531	0,00318756
15	-0,340258188	0,548803529
16	-0,138726716	0,355709528

Модель Хольта - Уинтерса



Рис.3. Модель Хольта-Уинтерса

Проверка качества модели.

Для того чтобы модель была качественной, уровни остаточного ряда E(t) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности).

Проверка точности модели

Среднее значение относительность погрешности равно 1,479098%.

Следовательно, модель качественная, так как E < 5%.

Проверка условия адекватности.

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда E(t) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной.

Построим график уровней остаточной компоненты.



Рис.4. График уровней остаточной компоненты

На графике видим 9 поворотных точек (3, 4, 5 ,7, 8 ,10, 12, 13, 15 точки).

Поворотных точек для такого N должно быть более двух, следовательно, условие случайностей уровней ряда остатков выполнено.

Математическое ожидание должно стремиться к нулю. Математическое ожидание - это среднее значение абсолютных погрешностей.

Мо=0,03055, следовательно, условие выполнено.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:

R - это разность максимального и минимального остатков

S - это корень из дисперсии остатков

R= 3,750338

S = 0,953239

R/S = 3,934311

R/S находится в пределах от 3 до 4,21, следовательно уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокоррелляции).

Необходимо найти r1 - отношение суммы произведений двух соседних остатков к сумме квадратов всех остатков.



Если r1, взятый по модулю, меньше, чем 0,32 - автокорреляции нет

Таблица расчетов

Таблица 6

№	А	A^2	At*At-1
1	0,089988	0,008098
2	-0,04386	0,001923	-0,003947
3	-1,15071	1,32414	0,0504675
4	0,736357	0,542221	-0,847335
5	-0,05447	0,002967	-0,040108
6	0,095965	0,009209	-0,005227
7	1,514509	2,293738	0,1453399
8	-1,09318	1,195051	-1,655637
9	-0,40926	0,167491	0,4473931
10	0,075894	0,00576	-0,03106
11	-0,35424	0,125485	-0,026885
12	-1,03718	1,075741	0,3674086
13	2,599625	6,758051	-2,696278
14	-0,00166	2,75E-06	-0,004309
15	-0,34026	0,115776	0,000564
16	-0,13873	0,019245	0,0472029
сумма		13,6449	-4,25241

R1 = -0,31165

|R1|<0,32, значит автокоррелляции нет.

Все 4 условия выполнены, следовательно модель адекватна.

Расчет прогнозных значений экономического показателя.

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты, a_(0,t) ) и a_(0,t) определяется количеством исходных данных и равно 16. Для t=17 имеем:

Yмод(17) = a(0,16 ) +1* a(1,16 )*f(13)



Yмод(17) = (50,016+1*1,02205)*0,8685 = 44,327656

Аналогично для t= 18…20:

Yмод(18)=( (a(0,16 ) +2* (a(1,16 ))*f(14)

Yмод(19)=((a(0,16 ) +3* (a(1,16 ))*f(15)

Yмод(20)=( (a(0,16 ) +4* (a(1,16 ))*f(16)

Yмод(18) = (50,016+2*1,02205)*1,08349 = 56,4070485

Yмод(19) = (50,016+3*1,02205)*1,26831 = 67,324814

Yмод(20) = (50,016+4*1,02205)*0,7811 = 42,261294

Ha нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения цены акции на 1 год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Рис. 5. Сопоставление расчетных и фактических данных



2. Задание 2

мультипликативный хольт уинтерс скользящий средний

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

· Экспоненциальную скользящую среднюю.

· Момент.

· Скорость изменения цен.

· Индекс относительной силы.

· %R, %K и %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Цены открытия (максимальная и минимальная) и закрытия

Таблица 7

Дни	Цены
	макс.	мин.	закр.
1	735	701	715
2	750	715	738
3	745	715	720
4	725	707	712
5	738	702	723
6	747	716	744
7	835	755	835
8	875	812	827
9	853	821	838
10	820	760	767

Решение

1) Экспоненциальная скользящая средняя (ЕМА). При расчете ЕМА учитываются все цены предшествующего периода, а не только того отрезка, который соответствует интервалу сглаживания. Однако последним значениям цены придается большее значение, чем предшествующим.



Расчеты проводятся по формуле:

EMA_t=a*Цз_t+(1-a)* EMA_t-1

Где:

a = 2/N+1,

N - интервал сглаживания

N=5

a= 2/5+1 = 0,3333

Составим таблицу рассчитанных значений ЕМА:

Таблица 8.

№	EMA
0	715
1	715
2	722,666667
3	721,777778
4	718,518519
5	720,012346
6	728,00823
7	763,672154
8	784,781436
9	802,520957
10	790,680638

Построим график EMA



Рис.6. График ЕМА (экспоненциальной скользящей средней) и цен закрытия

2) Момент (МОМ). Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня и цены n дней тому назад.

МОМ = (Цз(t) - Цз(t-n)

Составим таблицу расчетных значений:

Таблица 9

№	MOM
6	29
7	97
8	107
9	126
10	44

Построим график МОМ:



Рис. 7. График МОМ

Положительные значения МОМ свидетельствуют о росте цен

3) Стохастические линии

При их расчете используются также максимальные и минимальные цены. Как правило, применяются следующие стохастические линии: %R, %К и %D.

%К = (Цз(t) - min N) / (max(N)-min(N)) *100%

%R = 100 - %К

%D = SMA(%K,T) , T=3

Составим таблицу данных для построения всех стохастических линий

Таблица 10

t	max	min	%K	%R	%D	Y=20	Y=80
5	750	701	44,89796	55,10204082		20	80
6	750	702	87,5	12,5		20	80
7	835	702	100	0	77,46599	20	80
8	875	702	72,25434	27,74566474	86,58478	20	80
9	875	702	78,61272	21,38728324	83,62235	20	80
10	875	716	32,07547	67,9245283	60,98084	20	80



Построим стохастические линии

Рис. 8. Стохастические линии

Смысл индексов %К и %R состоит в том, что при росте цен цена закрытия бывает ближе к максимальной, а при падении цен наоборот - ближе к минимальной. Индексы %R и %К проверяют, куда больше тяготеет цена закрытия.

4) Скорость изменения цен. Похожий индикатор, показывающий скорость изменения цен (ROC), рассчитывается как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах.

ROCt = Цз(t) / Цз(t-n) *100

Составим таблицу для построения графика скорости изменения цен:

Таблица 11

t	ROC	Y=100
6	104,055944	100
7	113,143631	100
8	114,861111	100
9	117,696629	100
10	106,085754	100

Построим график скорости изменения цен

Рис.9. График скорости изменения цен

ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения. Графическое отображение и правила работы ничем не отличаются от момента. В качестве нулевой линии используется уровень 100%. Этот индикатор также показал сигнал к покупке.

5) Индекс относительной силы (RSI). Наиболее значимым осциллятором, расчет которого предусмотрен во всех компьютерных программах технического анализа, является индекс относительной силы.

Для расчета применяют формулу:

RSI = 100 - (100/(1+(RU/RD))),

где RU - сумма приростов конечных цен за n последних дней;

RD - сумма убыли конечных цен за n последних дней.



Составим таблицу для построения графика индекса относительной силы:

Таблица 12

t	Изменения	Положит	Отриц	RSI	Y=20	Y=80
2	23	23	0
3	-18	0	18
4	-8	0	8
5	11	11	0
6	21	21	0	67,90123457	20	80
7	91	91	0	82,55033557	20	80
8	-8	0	8	88,48920863	20	80
9	11	11	0	94,36619718	20	80
10	-71	0	71	60,89108911	20	80

Построим график индекса относительной силы

Рис. 10. График индекса относительной силы

Зоны перепроданности располагаются обычно ниже 25-20, а перекупленности - выше 75-80%. Как видно из рисунка, индекс относительной силы вышел из зоны, ограниченной линией 80%.



3. Задание 3

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, Т_лет - время в годах, i - ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.

Первоначальная сумма, руб., P	Наращенная сумма, руб., S	Дата начала, Tн	Дата конца, Тк	Время, дн, Тдн	Время, лет, n	Ставка %, i	Число начислений процентов, m
1500000	1500000	17.01.2002	13.03.2002	180	4	20,00%	2

Решение

3.1 Банк выдал ссуду, размером 1500000 руб. Дата выдачи ссуды - 17.01.2002, возврата - 13.03.2002. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 20% годовых. Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды:

I = P*n*i

n=t/T

T = 365

t = 55 (c 17.01.2002 по 13.03.2002)

n = 55/365 = 0,15068

I = 1500000 * 0,15068 * 0,2 = 45205, 479 руб.

3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:



I = P*n*i

T = 360

t = 55

n = 55/360 = 0,15277

I = 1500000 * 0,15277 * 0,2 = 45833, 3 руб.

3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:

I = P*n*i

T = 360

t = 56

n = 56/360 = 0,155555556

I = 1500000 * 0,155555556 * 0,2 = 46666,66667 руб.

3.2. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 1500000 руб. Кредит выдан под 20% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

D = S - P

P = S / (1+n*i)

n = Tн / 360

n = 180/360 = 0,5

P = 1500000/(1+0,5*0,2) = 1363636,364 руб.

D = 1500000 - 1363636,364 = 136363, 6364 руб.

3.3. Через 18- дней предприятие должно получить по векселю 1500000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 20% годовых (год равен 360 дням).



Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

D = S * n * d

P = S - D

n = 180/360 = 0,5

D = 1500000 * 0,5 * 0,2 = 150000 руб.

P = 1500000 - 150000 = 1350000 руб.

3.4. В кредитном договоре на сумму 1500000 руб. и сроком на 4 года, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 20% годовых. Определить наращенную сумму.

S = P * (1 + i) * n

n = 4

S = 1500000 * (1 + 0,2) * 4 = 3110400 руб.

3.5. Ссуда, размером 1500000 руб. предоставлена на 4 года. Проценты сложные, ставка - 20% годовых. Проценты начисляются 2 раза в году. Вычислить наращенную сумму.

S = P * (1+ (J/m)) (m*n)

J/m = 0,1

S = 1500000 * (1+ 0, 1) (2*4) = 3215383, 215 руб.

3.6. Вычислить эффективную ставку процентов, если банк начисляет проценты 2 раза в год, исходя из номинальной ставки 20% годовых.

Iэ = ((1+j / m) m) -1



Iэ = ((1 + 0,1) * 2) - 1 = 0,21, т.е. 21%

3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 2 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 20% годовых.

J = m* ((1+iэ) (1/m)-1)

J = 2* (1+0,21) (1/2)-1) = 0,2, т.е. 20%

3.8. Через 4 года предприятию будет выплачена сумма 1500000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 20% годовых.

P = S / (1+i) n

P = 1500000 / (1+0,2) 4 = 723379, 6296 руб.

3.9. Через 4 года по векселю должна быть выплачена сумма 1500000 руб. Банк учел вексель по учетной ставке 20% годовых. Определить дисконт.

D = S - P

P = S * (1-dсл) n

P = 1500000 * (1 - 0,2) 4 = 614400 руб.

D = 1500000 - 614400 = 885600 руб.

3.10. В течение 4 года на расчетный счет в конце каждого года поступает по 1500000 руб., на которые 2 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 20%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

S = R [(1+(j / m)) (m*n)-1] / [(1+( j / m)) m-1]



R = 1500000

S = 1500000 * [(1+0,1) (2*4)-1] / [(1+0,1) 2-1 = 8168491,5 руб.

Размещено на Allbest.ru