Параметры уравнения линейной регрессии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

По предприятиям лёгкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объёма выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объёма капиталовложений (X, млн. руб.).

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки: найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков S_e²; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (б=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F- критерия Фишера (б=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя У при уровне значимости б=0,1, если прогнозное значение фактора x составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и расчетные значения У, точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

Гиперболической;

Степенной;

Показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по их характеристикам и сделать вывод.

Таблица 1. Исхоные данные

xi	38	28	27	37	46	27	41	39	28	44
yi	69	52	46	63	73	48	67	62	47	67

Решение:

I. Построим линейную модель парной регрессии

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

?=a+b*x

Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1.

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

?=12,57+1,32*x

С увеличением объёма капиталовложений на 1 млн. руб. объём выпускаемой продукции увеличивается в среднем на 1,32 млн. руб.

Определим линейный коэффициент парной корреляции.

Можно сказать, что связь между объёмом капиталовложений X и объёмом выпуска продукции Y прямая и тесная.

Оценить дисперсию остатков S_e²:

Построим график остатков:

Рассчитаем коэффициент детерминации:

R²=r_xy²

R²=0,96 ²?0,92

Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 92% объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Определим среднюю относительную ошибку:



%

В среднем расчётные значения ? для линейной модели отличаются от фактических значений на 3,65%.

Рассчитаем F-критерий Фишера:

F_таб=5,32 для б=0,05; k₁=m=1; k₂=n-m-1=8

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо, т.к. F >F_табл

Расчет прогнозного значения результативного показателя:

Прогнозное значение результативного признака (объёма выпуска продукции) определим по уравнению линейной модели, подставив в него планируемую величину объёма капиталовложений:

?=12,57+1,32*x

x=46*80/100=36,8

?=12,57+1,32*36,8?61,11 млн. руб.

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

Верхняя граница:

Y_р +U(1)

Нижняя граница:

Y_р-U(1),

,

t_б=1,83,

,

,

Таблица 2

Прогноз	Нижняя граница	Верхняя граница
61,11	55,15	67,07

Фактические, расчётные и прогнозные значения отобразим на графике

Построим степенную модель парной регрессии

Уравнение степенной модели имеет вид:

?=a*x^b.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведём логарифмирование обеих частей уравнения:

lg?=lga*x^b lg?=lga+lgx^b lg?=lga+b*lgx

Обозначим Y=lg?, A=lga, X=lgx

Тогда уравнение примет вид: Y=A+b*X - линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 2.

Уравнение регрессии будет иметь вид:

Y=0,54+0,80*X

Перейдём к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.

?=10^0,54*x^0,80

Получим уравнение степенной модели регрессии:

?=3,43* x^0,80

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно считать сильной.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

R²=с_xy²

R²=0,96 ²?0,93

Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 93% объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Определим среднюю относительную ошибку:

%

В среднем расчётные значения ? для степенной модели отличаются от фактических значений на 3,53%.

Рассчитаем F-критерий Фишера:



F_таб=5,32 для б=0,05; k₁=m=1; k₂=n-m-1=5

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо, т.к. F>F_табл

Построим показательную модель парной регрессии

1. Уравнение показательной модели имеет вид:

?=a*b^x.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведём логарифмирование обеих частей уравнения:

lg?=lga*b^x lg?=lga+lgb^x lg?=lga+x*lgb

Обозначим Y=lg?, A=lga, B=lgb

Тогда уравнение примет вид: Y=A+B*x - линейное уравнение регрессии.

Уравнение регрессии будет иметь вид:

Y=1,416+0,010 *x

Перейдём к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.

?=10^1,416*10^0,010*x

Получим уравнение показательной модели регрессии: ?=26,06*1,02x

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно считать сильной.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

R²=с_xy²

R²=0,95²?0,911

Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 91,1% объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Определим среднюю относительную ошибку:

%

В среднем расчётные значения ? для показательной модели отличаются от фактических значений на 4,08%.

Рассчитаем F-критерий Фишера:



F_таб=5,32 для б=0,05; k₁=m=1; k₂=n-m-1=5

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо, т.к. F> F_табл

Построим гиперболическую модель парной регрессии

1. Уравнение степенной модели имеет вид:

?=a+b/x.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию модели путём замены X=1/x

Тогда уравнение примет вид: y=a+b*X - линейное уравнение регрессии.

Уравнение регрессии будет иметь вид: y=105,4-1569,0*X

Получим уравнение гиперболической модели регрессии:

y=105,4-1569,0*1\x

Определим индекс корреляции:



Связь между показателем y и фактором x можно считать сильной.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

R²=с_xy²

R²=0,97²?0,936

Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 93,6% объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Определим среднюю относительную ошибку:

%

В среднем расчётные значения ? для степенной модели отличаются от фактических значений на 4,64%.

Рассчитаем F-критерий Фишера:

F_таб=5,32 для б=0,05; k₁=m=1; k₂=n-m-1=5

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо, т.к. F>F_табл

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов

	Коэффициент детерминации R2	F-критерий Фишера	Индекс корреляции	Средняя относительная ошибка
Линейная	0,92	88,71	0,96	3,65
Степенная	0,93	104,34	0,96	3,53
Показательная	0,911	82,39	0,95	4,08
Гиперболическая	0,936	117,9	0,97	3,33

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, но наибольшее значение F-критерия Фишера и большее значение коэффициента детерминации R² имеет гиперболическая модель.

Отобразим на графике степенную, показательную и гиперболическую модели:

Размещено на http://www.allbest.ru/

регрессия экономический аппроксимация

Размещено на Allbest.ru