Оценка точности и надежности прогнозов

Оценка точности модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации. Расчет прогнозных значений экономического показателя. Зависимость между компонентами тренд – сезонный временный ряд. Расчет процентов с точным числом дней ссуды.

Рубрика Экономико-математическое моделирование
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 03.12.2013
Размер файла 192,9 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Кафедра экономико-математических методов и моделей

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Финансовая математика»

Вариант № 6

МОСКВА

2008

Задание 1

В табл. 1.1 представлены следующие данные

Таблица 1.1

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Y(t)

85

81

78

72

69

70

64

61

56

Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации;

Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1 = 0,32;

нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

Построить точечный прогноз на 4 шага вперед.

Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение

Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к значениям Y(t). Линейная модель имеет вид:

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения по формулам:

Таблица 1.2

 

t

y(t)

1

85

-4

16

14,3333

205,4444

-57,3333

2

81

-3

9

10,3333

106,7778

-31,0000

3

78

-2

4

7,3333

53,7778

-14,6667

4

72

-1

1

1,3333

1,7778

-1,3333

5

69

0

0

-1,6667

2,7778

0,0000

6

70

1

1

-0,6667

0,4444

-0,6667

7

64

2

4

-6,6667

44,4444

-13,3333

8

61

3

9

-9,6667

93,4444

-29,0000

9

56

4

16

-14,6667

215,1111

-58,6667

Сумма

45

636

0

60

0,0000

724,0000

-206,0000

Среднее

5

70,6667

 

 

 

 

 

Произведем расчет:

Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:

Для сопоставления фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Yp(t) составим таблицу (табл. 1.3).

Таблица 1.3

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Y(t)

85

81

78

72

69

70

64

61

56

Yp(t)

84,387

80,957

77,527

74,097

70,667

67,237

63,807

60,377

56,947

Зависимость между компонентами тренд - сезонный временный ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

,

где k - период упреждения;

- расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

- коэффициенты модели;

- значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

- период сезонности.

Уточнение коэффициентов модели производится с помощью формул:

a(t) = б1 * Y(t)/F(t-L) + (1-б1) * [a(t-1)+b(t-1)];

b(t) = б3 * [a(t)-a(t-1)] + (1-б3) * b(t-1);

F(t) = б2 * Y(t)/a(t) + (1-б2) * F(t-L)

Параметры сглаживания равны:

б1 = 0,3

б2 = 0,6

б3 = 0,3

Построение модели Хольта-Уинтерса.

 

t

Y(t)

a(t)

b(t)

F(t)

Yp(t)

-3

 

 

 

0,99184

 

-2

 

 

 

1,02081

 

-1

 

 

 

1,00456

 

0

 

87,817

-3,43

0,99101

 

1

85

84,78076

-3,31187

0,99829

84,387

2

81

80,83280

-3,50270

1,02081

80,957

3

78

77,42478

-3,47429

1,00456

77,527

4

72

73,56131

-3,59105

0,99101

74,097

5

69

69,71471

-3,66771

0,99829

70,667

6

70

66,80475

-3,44039

1,02081

67,237

7

64

63,46785

-3,40934

1,00456

63,807

8

61

60,50698

-3,27480

0,99101

60,377

9

56

56,89137

-3,37704

0,99829

56,947

 

10

 

 

 

 

54,628

 

11

 

 

 

 

50,366

 

12

 

 

 

 

46,3398

 

13

 

 

 

 

43,3089

Сумма

45

636

 

Среднее

5

70,66667

Проверка качества модели.

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E(t) (разности между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 1.4.

Таблица 1.4

Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

 

t

E(t)

Точка поворота

E(t)2

[E(t)-E(t-1)]

[E(t)-E(t-1)]2

E(t)*E(t-1)

1

0,613

-

0,375769

-

-

-

2

0,043

1

0,001849

-0,57

0,3249

0,026359

3

0,473

1

0,223729

0,43

0,1849

0,020339

4

-2,097

1

4,397409

-2,57

6,6049

-0,991881

5

-1,667

0

2,778889

0,43

0,1849

3,495699

6

2,763

1

7,634169

4,43

19,6249

-4,605921

7

0,193

1

0,037249

-2,57

6,6049

0,533259

8

0,623

1

0,388129

0,43

0,1849

0,120239

9

-0,947

-

0,896809

-1,57

2,4649

-0,589981

Сумма

45

-0,003 

6

16,734001

-1,56

36,1792

-1,991888

Проверка точности модели.

Рассчитаем среднюю относительную ошибку аппроксимации

Таблица 1.5

 

t

Y(t)

Yp(t)

Е(t)

Абс.Ошибка

Относ.Ошибка,%

1

85

84,387

0,613

0,613

0,7212

2

81

80,957

0,043

0,043

0,0531

3

78

77,527

0,473

0,473

0,6064

4

72

74,097

-2,097

2,097

2,9125

5

69

70,667

-1,667

1,667

2,4159

6

70

67,237

2,763

2,763

3,9471

7

64

63,807

0,193

0,193

0,3016

8

61

60,377

0,623

0,623

1,0213

9

56

56,947

-0,947

0,947

1,6911

Сумма

45

636

 

-0,003

9,419

13,6702

Среднее

5

70,6667

 

 

1,0466

1,51891

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%* abs{E(t)}/ Y(t) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей составляет 13,6702, что дает среднюю величину 13,6702/9 = 1,51891%, что не превышает 5%.

Следовательно, условие точности выполнено.

Проверка условия адекватности.

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр. 3 табл. 1.4) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Е сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 4 табл. 1.4 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр. 4 ставится 0. В первой и в последней строке гр. 4 табл. 1.4 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

Общее число поворотных точек в нашем примере равно р=6.

Рассчитаем значение :

Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 9.

Так как количество поворотных точек р=6 больше q=2, то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции).

Проверку проводим по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d1=1,10 и d2=1,37):

Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:

d2<d<2, таким образом в нашем примере 1,37<1,838<2, следовательно уровни ряда остатков являются независимыми.

Это значение не попадает в критический интервал, ряд остатков не коррелирован.

Предпосылка выполнена.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:

,

где - максимальное значение уровней ряда остатков ;

- минимальное значение уровней ряда остатков ;

S - среднее квадратическое отклонение.

;

Так как 3,00<3,3603<4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены, и можно утверждать, что данная модель является качественной.

Расчет прогнозных значений экономического показателя.

Составим прогноз на четыре шага вперед (т.е. с t=10 по t=13). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты и определяется количеством исходных данных и равно 9. Рассчитав значения и (см. табл. 1.4) по формуле:

,

где k - период упреждения;

- расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

- коэффициенты модели;

- значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

- период сезонности.

Определим прогнозные значения экономического показателя Yp(t) для: t = 10, 11, 12 и 13.

На нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения на 4 шага вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Рис. 1. Сопоставление расчетных и фактических данных

Задание 2

В таблице 2.1 даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням.

Рассчитать:

экспоненциальную скользящую среднюю;

момент;

скорость изменения цен;

индекс относительной силы;

% R, % К, % D;

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Таблица 2.1

Дни

Цены

макс.

мин.

закр.

1

595

580

585

2

579

568

570

3

583

571

578

4

587

577

585

5

586

578

582

6

594

585

587

7

585

563

565

8

579

541

579

9

599

565

599

10

625

591

618

Решение

Для расчета экспоненциальной скользящей средней воспользуемся формулой:

,

где k = 2 / (n + 1),

- цена закрытия t-го дня;

- значение EMA текущего дня t.

Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня и цены n дней тому назад :

где - цена закрытия t-го дня.

- значение МОМ текущего дня t.

Скорость изменения цен рассчитываем как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах:

,

где - цена закрытия t-го дня.

- значение ROC текущего дня t.

Результаты расчетов представим в таблице (табл. 2.2).

Таблица 2.2

Дни

Цена закры-тия

Экспоненциальная скользящая средняя EMAt

Мо-мент MOM

Скорость изменения цен ROC

Повыше-ние цены

Пони-жение цены

Сумма повы-шений

Сумма понижений

Индекс относи-тельной силы RSI

1

585

-

-

-

 -

2

570

-

-

-

15

 -

3

578

-

-

-

 -

8

4

585

-

-

-

7

 -

5

582

580,0000

-5,0000

99,487179

 -

3

6

587

582,3333

12,3333

102,98246

5

 

27

11

71,05

7

565

576,5556

-1,4444

97,750865

 -

22

12

33

26,67

8

579

577,3704

-7,6296

98,974359

14

26

25

50,98

9

599

584,5802

2,5802

102,92096

20

39

25

60,94

10

618

595,7201

8,7201

105,28109

19

58

22

72,50

K = 2/(n+1)= 2/6=0,33333

Для расчета индекса относительной силы используем формулу:

,

где AU - сумма приростов конечных цен за n последних дней;

AD - сумма убыли конечных цен за n последних дней.

Рассчитаем %R, %К, %D используя следующие формулы:

,

где - значение индекса текущего дня t;

- цена закрытия t-го дня;

L5 и Н5 - минимальная и максимальные цены за n предшествующих дней, включая текущие.

,

где - значение индекса текущего дня t;

- цена закрытия t-го дня;

L5 и Н5 - минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущие.

Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что при его построении величины и сглаживают, беря их трехдневную сумму.

Результаты расчетов представим в таблице 2.3

Таблица 2.3

Дни t

Максимальная цена за день Ht

Минима-льная цена за день Lt

Цена закрытия Ct

Максимальная цена за 5 дней H5

Минима-льная цена за 5 дней L5

Ct-L5

H5-L5

H5-Ct

% K

% R

Сумма за 3 дня Ct-L5

Сумма за 3 дня H5-L5

% D

Медлен-ное % D

1

595

580

585

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

2

579

568

570

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

3

583

571

578

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

4

587

577

585

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

5

586

578

582

595

568

14

27

13

51,8519

48,1482

-

-

-

-

6

594

585

587

594

568

19

26

7

73,0770

26,9231

-

-

-

-

7

585

563

565

594

563

2

31

29

6,45161

93,5484

35

84

41,667

-

8

579

541

579

594

541

38

53

15

71,6981

28,3019

59

110

53,636

-

9

599

565

599

599

541

58

58

0

100

0

98

142

69,014

54,7724

10

625

591

618

625

541

77

84

7

91,6667

8,33333

173

195

88,718

70,4561

Задание 3

3.1. Банк выдал ссуду, размером 4 000 000 руб. Дата выдачи ссуды 10.01.02, возврата 20.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 45% годовых. Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение

3.1.1) К = 365, t = 69, I = 4000000 * 0,45 * 69 / 365 = 340 273,97 руб.

3.1.2) К = 360, t = 69, I = 4000000 * 0,45 * 69 / 360 = 345 000,00 руб.

3.1.3) К = 360, t = 70, I = 4000000 * 0,45 * 70 / 360 = 350 000,00 руб.

3.2. Через 90 дней после подписания договора должник уплатил 4 000 000 руб. Кредит выдан под 45% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение

P = S / (1 + ni) = 4000000 / (1 + 0,45 * 90 / 360) = 3 595 505,62 руб.

D = S - P = 4000000 - 3595505,62 = 404 494,38 руб.

3.3. Через 90 предприятие должно получить по векселю 4 000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 45% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Решение

D = Snd = 4000000 * 0,45 * 90 / 360 = 450 000,00 руб.

P = S - D = 4000000 - 450000 = 3 550 000,00 руб.

3.4. В кредитном договоре на сумму 4 000 000 руб. и сроком на 5 лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 45% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение

S = P * (1+i)n = 4000000 * (1 + 0,45)5 = 25 638 936,25 руб.

3.5. Ссуда, размером 4 000 000 руб. представлена на 5 лет. Проценты сложные, ставка 45% годовых. Проценты начисляются 4 раза в году. Вычислить наращенную сумму.

Решение

N = 5 * 4 = 20

S = P * (1+j / m)N = 4000000 * (1 + 0,45 / 4)20 = 33 733 420,84 руб.

3.6. Вычислить эффективную ставку процентов, если банк начисляет проценты 4 раза в год, исходя из номинальной ставки 45% годовых.

Решение

iэ = (1 + j / m)m - 1 = (1 + 0,45 / 4)4 - 1 = 0,5318, т.е. 53,18%.

модель аппроксимация тренд процент

3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 45% годовых.

Решение

j = m * [(1 + iэ)1/m - 1] = 4 * [(1 + 0,45)(1/4) - 1] = 0,3894, т.е. 38,94%.

3.8. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 4 000 000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 45% годовых.

Решение

3.9. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 4 000 000 руб. Банк учел вексель по учетной ставке 45% годовых. Определить дисконт.

Решение

P = S (1 - dсл)n = 4000000 * (1 - 0,45)5 = 201 313,75 руб.

D = S - P = 4000000 - 201313,75 = 3 798 686,25 руб.

3.10. В течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 4 000 000 руб., на которые 4 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 45%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Построение адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса, оценка ее точности и адекватности с использованием средней относительной ошибки аппроксимации. Построение точечного прогноза. Отражение на графике фактических, расчетных и прогнозных данных.

    контрольная работа [816,2 K], добавлен 23.03.2013

  • Построение адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора. Оценка точности построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации. Определение суммы банковской ссуды, долга по ссуде и дисконта.

    контрольная работа [393,0 K], добавлен 06.12.2007

  • Экономико-математическая модель для анализа ресурсов в форме отчета устойчивости. Проверка продуктивности технологической матрицы коэффициентов прямых материальных затрат. Оценка точности моделей на основе средней относительной ошибки аппроксимации.

    задача [142,9 K], добавлен 03.05.2009

  • Построение ряда динамики. Расчет параметров линейного, степенного, экспоненциального (показательного), параболического, гиперболического трендов с помощью пакета Excel. Вычисление относительной ошибки аппроксимации. Оценка адекватности линейной модели.

    практическая работа [165,9 K], добавлен 13.05.2014

  • Графический и содержательный анализ данных об объеме рынка бытовой техники на основе методов прогнозирования: сравнение прогнозных и реальных значений, оценка адекватности и точности модели. Построение прогноза на год и расчет прогнозируемого дохода.

    курсовая работа [245,2 K], добавлен 29.04.2011

  • Расчет доверительных интервалов прогноза для линейного тренда с использованием уравнения экспоненты. Оценка адекватности и точности моделей. Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании. Экспоненциальные средние для временного ряда.

    контрольная работа [916,2 K], добавлен 13.08.2010

  • Адаптивные методы прогнозирования. Критерий точности и надежности прогнозов. Прогнозирование максимальной и минимальной цены реализации продукции СПК "Новоалексеевский". Проверка значимости и точности модели в системе STATISTICA. Анализ доходности сделок.

    дипломная работа [3,2 M], добавлен 29.06.2011

  • Оценка моделей, описывающих зависимость между среднедневной заработной платой работающего и долей расходов на покупку продовольственных товаров через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера. Прогноз заработной платы и оценка его точности.

    контрольная работа [1,6 M], добавлен 19.05.2011

  • Экономическая интерпретация коэффициента регрессии. Нахождение статочной суммы квадратов и оценка дисперсии остатков. Проверка значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. Расчет средней относительной ошибки аппроксимации.

    контрольная работа [261,1 K], добавлен 23.03.2010

  • Расчет коэффициента корреляции, определение вида зависимости, параметров линии регрессии и оценка точности аппроксимации. Построение матрицы прибыли в зависимости от выбранной стратегии и состоянии факторов внешней среды. Индивидуальное отношение к риску.

    контрольная работа [474,7 K], добавлен 01.12.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.