Оценка точности и надежности прогнозов
Оценка точности модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации. Расчет прогнозных значений экономического показателя. Зависимость между компонентами тренд – сезонный временный ряд. Расчет процентов с точным числом дней ссуды.
Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
Вид | контрольная работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 03.12.2013 |
Размер файла | 192,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО
Всероссийский заочный финансово-экономический институт
Кафедра экономико-математических методов и моделей
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Финансовая математика»
Вариант № 6
МОСКВА
2008
Задание 1
В табл. 1.1 представлены следующие данные
Таблица 1.1
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
Y(t) |
85 |
81 |
78 |
72 |
69 |
70 |
64 |
61 |
56 |
Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации;
Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1 = 0,32;
нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
Построить точечный прогноз на 4 шага вперед.
Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.
Решение
Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к значениям Y(t). Линейная модель имеет вид:
Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения по формулам:
Таблица 1.2
|
t |
y(t) |
||||||
1 |
85 |
-4 |
16 |
14,3333 |
205,4444 |
-57,3333 |
||
2 |
81 |
-3 |
9 |
10,3333 |
106,7778 |
-31,0000 |
||
3 |
78 |
-2 |
4 |
7,3333 |
53,7778 |
-14,6667 |
||
4 |
72 |
-1 |
1 |
1,3333 |
1,7778 |
-1,3333 |
||
5 |
69 |
0 |
0 |
-1,6667 |
2,7778 |
0,0000 |
||
6 |
70 |
1 |
1 |
-0,6667 |
0,4444 |
-0,6667 |
||
7 |
64 |
2 |
4 |
-6,6667 |
44,4444 |
-13,3333 |
||
8 |
61 |
3 |
9 |
-9,6667 |
93,4444 |
-29,0000 |
||
9 |
56 |
4 |
16 |
-14,6667 |
215,1111 |
-58,6667 |
||
Сумма |
45 |
636 |
0 |
60 |
0,0000 |
724,0000 |
-206,0000 |
|
Среднее |
5 |
70,6667 |
|
|
|
|
|
Произведем расчет:
Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:
Для сопоставления фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Yp(t) составим таблицу (табл. 1.3).
Таблица 1.3
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
Y(t) |
85 |
81 |
78 |
72 |
69 |
70 |
64 |
61 |
56 |
|
Yp(t) |
84,387 |
80,957 |
77,527 |
74,097 |
70,667 |
67,237 |
63,807 |
60,377 |
56,947 |
Зависимость между компонентами тренд - сезонный временный ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:
,
где k - период упреждения;
- расчетное значение экономического показателя для t-го периода;
- коэффициенты модели;
- значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;
- период сезонности.
Уточнение коэффициентов модели производится с помощью формул:
a(t) = б1 * Y(t)/F(t-L) + (1-б1) * [a(t-1)+b(t-1)];
b(t) = б3 * [a(t)-a(t-1)] + (1-б3) * b(t-1);
F(t) = б2 * Y(t)/a(t) + (1-б2) * F(t-L)
Параметры сглаживания равны:
б1 = 0,3
б2 = 0,6
б3 = 0,3
Построение модели Хольта-Уинтерса.
|
t |
Y(t) |
a(t) |
b(t) |
F(t) |
Yp(t) |
|
-3 |
|
|
|
0,99184 |
|
||
-2 |
|
|
|
1,02081 |
|
||
-1 |
|
|
|
1,00456 |
|
||
0 |
|
87,817 |
-3,43 |
0,99101 |
|
||
1 |
85 |
84,78076 |
-3,31187 |
0,99829 |
84,387 |
||
2 |
81 |
80,83280 |
-3,50270 |
1,02081 |
80,957 |
||
3 |
78 |
77,42478 |
-3,47429 |
1,00456 |
77,527 |
||
4 |
72 |
73,56131 |
-3,59105 |
0,99101 |
74,097 |
||
5 |
69 |
69,71471 |
-3,66771 |
0,99829 |
70,667 |
||
6 |
70 |
66,80475 |
-3,44039 |
1,02081 |
67,237 |
||
7 |
64 |
63,46785 |
-3,40934 |
1,00456 |
63,807 |
||
8 |
61 |
60,50698 |
-3,27480 |
0,99101 |
60,377 |
||
9 |
56 |
56,89137 |
-3,37704 |
0,99829 |
56,947 |
||
|
10 |
|
|
|
|
54,628 |
|
|
11 |
|
|
|
|
50,366 |
|
|
12 |
|
|
|
|
46,3398 |
|
|
13 |
|
|
|
|
43,3089 |
|
Сумма |
45 |
636 |
|
||||
Среднее |
5 |
70,66667 |
Проверка качества модели.
Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E(t) (разности между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 1.4.
Таблица 1.4
Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели
|
t |
E(t) |
Точка поворота |
E(t)2 |
[E(t)-E(t-1)] |
[E(t)-E(t-1)]2 |
E(t)*E(t-1) |
|
1 |
0,613 |
- |
0,375769 |
- |
- |
- |
||
2 |
0,043 |
1 |
0,001849 |
-0,57 |
0,3249 |
0,026359 |
||
3 |
0,473 |
1 |
0,223729 |
0,43 |
0,1849 |
0,020339 |
||
4 |
-2,097 |
1 |
4,397409 |
-2,57 |
6,6049 |
-0,991881 |
||
5 |
-1,667 |
0 |
2,778889 |
0,43 |
0,1849 |
3,495699 |
||
6 |
2,763 |
1 |
7,634169 |
4,43 |
19,6249 |
-4,605921 |
||
7 |
0,193 |
1 |
0,037249 |
-2,57 |
6,6049 |
0,533259 |
||
8 |
0,623 |
1 |
0,388129 |
0,43 |
0,1849 |
0,120239 |
||
9 |
-0,947 |
- |
0,896809 |
-1,57 |
2,4649 |
-0,589981 |
||
Сумма |
45 |
-0,003 |
6 |
16,734001 |
-1,56 |
36,1792 |
-1,991888 |
Проверка точности модели.
Рассчитаем среднюю относительную ошибку аппроксимации
Таблица 1.5
|
t |
Y(t) |
Yp(t) |
Е(t) |
Абс.Ошибка |
Относ.Ошибка,% |
|
1 |
85 |
84,387 |
0,613 |
0,613 |
0,7212 |
||
2 |
81 |
80,957 |
0,043 |
0,043 |
0,0531 |
||
3 |
78 |
77,527 |
0,473 |
0,473 |
0,6064 |
||
4 |
72 |
74,097 |
-2,097 |
2,097 |
2,9125 |
||
5 |
69 |
70,667 |
-1,667 |
1,667 |
2,4159 |
||
6 |
70 |
67,237 |
2,763 |
2,763 |
3,9471 |
||
7 |
64 |
63,807 |
0,193 |
0,193 |
0,3016 |
||
8 |
61 |
60,377 |
0,623 |
0,623 |
1,0213 |
||
9 |
56 |
56,947 |
-0,947 |
0,947 |
1,6911 |
||
Сумма |
45 |
636 |
|
-0,003 |
9,419 |
13,6702 |
|
Среднее |
5 |
70,6667 |
|
|
1,0466 |
1,51891 |
Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%* abs{E(t)}/ Y(t) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей составляет 13,6702, что дает среднюю величину 13,6702/9 = 1,51891%, что не превышает 5%.
Следовательно, условие точности выполнено.
Проверка условия адекватности.
Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.
Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр. 3 табл. 1.4) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Е сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 4 табл. 1.4 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр. 4 ставится 0. В первой и в последней строке гр. 4 табл. 1.4 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.
Общее число поворотных точек в нашем примере равно р=6.
Рассчитаем значение :
Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 9.
Так как количество поворотных точек р=6 больше q=2, то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.
Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции).
Проверку проводим по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d1=1,10 и d2=1,37):
Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:
d2<d<2, таким образом в нашем примере 1,37<1,838<2, следовательно уровни ряда остатков являются независимыми.
Это значение не попадает в критический интервал, ряд остатков не коррелирован.
Предпосылка выполнена.
Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:
,
где - максимальное значение уровней ряда остатков ;
- минимальное значение уровней ряда остатков ;
S - среднее квадратическое отклонение.
;
Так как 3,00<3,3603<4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.
Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены, и можно утверждать, что данная модель является качественной.
Расчет прогнозных значений экономического показателя.
Составим прогноз на четыре шага вперед (т.е. с t=10 по t=13). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты и определяется количеством исходных данных и равно 9. Рассчитав значения и (см. табл. 1.4) по формуле:
,
где k - период упреждения;
- расчетное значение экономического показателя для t-го периода;
- коэффициенты модели;
- значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;
- период сезонности.
Определим прогнозные значения экономического показателя Yp(t) для: t = 10, 11, 12 и 13.
На нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения на 4 шага вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.
Рис. 1. Сопоставление расчетных и фактических данных
Задание 2
В таблице 2.1 даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням.
Рассчитать:
экспоненциальную скользящую среднюю;
момент;
скорость изменения цен;
индекс относительной силы;
% R, % К, % D;
Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
Таблица 2.1
Дни |
Цены |
|||
макс. |
мин. |
закр. |
||
1 |
595 |
580 |
585 |
|
2 |
579 |
568 |
570 |
|
3 |
583 |
571 |
578 |
|
4 |
587 |
577 |
585 |
|
5 |
586 |
578 |
582 |
|
6 |
594 |
585 |
587 |
|
7 |
585 |
563 |
565 |
|
8 |
579 |
541 |
579 |
|
9 |
599 |
565 |
599 |
|
10 |
625 |
591 |
618 |
Решение
Для расчета экспоненциальной скользящей средней воспользуемся формулой:
,
где k = 2 / (n + 1),
- цена закрытия t-го дня;
- значение EMA текущего дня t.
Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня и цены n дней тому назад :
где - цена закрытия t-го дня.
- значение МОМ текущего дня t.
Скорость изменения цен рассчитываем как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах:
,
где - цена закрытия t-го дня.
- значение ROC текущего дня t.
Результаты расчетов представим в таблице (табл. 2.2).
Таблица 2.2
Дни |
Цена закры-тия |
Экспоненциальная скользящая средняя EMAt |
Мо-мент MOM |
Скорость изменения цен ROC |
Повыше-ние цены |
Пони-жение цены |
Сумма повы-шений |
Сумма понижений |
Индекс относи-тельной силы RSI |
|
1 |
585 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
|
2 |
570 |
- |
- |
- |
15 |
- |
- |
- |
- |
|
3 |
578 |
- |
- |
- |
- |
8 |
- |
- |
- |
|
4 |
585 |
- |
- |
- |
7 |
- |
- |
- |
- |
|
5 |
582 |
580,0000 |
-5,0000 |
99,487179 |
- |
3 |
- |
- |
- |
|
6 |
587 |
582,3333 |
12,3333 |
102,98246 |
5 |
|
27 |
11 |
71,05 |
|
7 |
565 |
576,5556 |
-1,4444 |
97,750865 |
- |
22 |
12 |
33 |
26,67 |
|
8 |
579 |
577,3704 |
-7,6296 |
98,974359 |
14 |
- |
26 |
25 |
50,98 |
|
9 |
599 |
584,5802 |
2,5802 |
102,92096 |
20 |
- |
39 |
25 |
60,94 |
|
10 |
618 |
595,7201 |
8,7201 |
105,28109 |
19 |
- |
58 |
22 |
72,50 |
K = 2/(n+1)= 2/6=0,33333
Для расчета индекса относительной силы используем формулу:
,
где AU - сумма приростов конечных цен за n последних дней;
AD - сумма убыли конечных цен за n последних дней.
Рассчитаем %R, %К, %D используя следующие формулы:
,
где - значение индекса текущего дня t;
- цена закрытия t-го дня;
L5 и Н5 - минимальная и максимальные цены за n предшествующих дней, включая текущие.
,
где - значение индекса текущего дня t;
- цена закрытия t-го дня;
L5 и Н5 - минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущие.
Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что при его построении величины и сглаживают, беря их трехдневную сумму.
Результаты расчетов представим в таблице 2.3
Таблица 2.3
Дни t |
Максимальная цена за день Ht |
Минима-льная цена за день Lt |
Цена закрытия Ct |
Максимальная цена за 5 дней H5 |
Минима-льная цена за 5 дней L5 |
Ct-L5 |
H5-L5 |
H5-Ct |
% K |
% R |
Сумма за 3 дня Ct-L5 |
Сумма за 3 дня H5-L5 |
% D |
Медлен-ное % D |
|
1 |
595 |
580 |
585 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
|
2 |
579 |
568 |
570 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
|
3 |
583 |
571 |
578 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
|
4 |
587 |
577 |
585 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
|
5 |
586 |
578 |
582 |
595 |
568 |
14 |
27 |
13 |
51,8519 |
48,1482 |
- |
- |
- |
- |
|
6 |
594 |
585 |
587 |
594 |
568 |
19 |
26 |
7 |
73,0770 |
26,9231 |
- |
- |
- |
- |
|
7 |
585 |
563 |
565 |
594 |
563 |
2 |
31 |
29 |
6,45161 |
93,5484 |
35 |
84 |
41,667 |
- |
|
8 |
579 |
541 |
579 |
594 |
541 |
38 |
53 |
15 |
71,6981 |
28,3019 |
59 |
110 |
53,636 |
- |
|
9 |
599 |
565 |
599 |
599 |
541 |
58 |
58 |
0 |
100 |
0 |
98 |
142 |
69,014 |
54,7724 |
|
10 |
625 |
591 |
618 |
625 |
541 |
77 |
84 |
7 |
91,6667 |
8,33333 |
173 |
195 |
88,718 |
70,4561 |
Задание 3
3.1. Банк выдал ссуду, размером 4 000 000 руб. Дата выдачи ссуды 10.01.02, возврата 20.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 45% годовых. Найти:
3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Решение
3.1.1) К = 365, t = 69, I = 4000000 * 0,45 * 69 / 365 = 340 273,97 руб.
3.1.2) К = 360, t = 69, I = 4000000 * 0,45 * 69 / 360 = 345 000,00 руб.
3.1.3) К = 360, t = 70, I = 4000000 * 0,45 * 70 / 360 = 350 000,00 руб.
3.2. Через 90 дней после подписания договора должник уплатил 4 000 000 руб. Кредит выдан под 45% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
Решение
P = S / (1 + ni) = 4000000 / (1 + 0,45 * 90 / 360) = 3 595 505,62 руб.
D = S - P = 4000000 - 3595505,62 = 404 494,38 руб.
3.3. Через 90 предприятие должно получить по векселю 4 000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 45% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
Решение
D = Snd = 4000000 * 0,45 * 90 / 360 = 450 000,00 руб.
P = S - D = 4000000 - 450000 = 3 550 000,00 руб.
3.4. В кредитном договоре на сумму 4 000 000 руб. и сроком на 5 лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 45% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение
S = P * (1+i)n = 4000000 * (1 + 0,45)5 = 25 638 936,25 руб.
3.5. Ссуда, размером 4 000 000 руб. представлена на 5 лет. Проценты сложные, ставка 45% годовых. Проценты начисляются 4 раза в году. Вычислить наращенную сумму.
Решение
N = 5 * 4 = 20
S = P * (1+j / m)N = 4000000 * (1 + 0,45 / 4)20 = 33 733 420,84 руб.
3.6. Вычислить эффективную ставку процентов, если банк начисляет проценты 4 раза в год, исходя из номинальной ставки 45% годовых.
Решение
iэ = (1 + j / m)m - 1 = (1 + 0,45 / 4)4 - 1 = 0,5318, т.е. 53,18%.
модель аппроксимация тренд процент
3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 45% годовых.
Решение
j = m * [(1 + iэ)1/m - 1] = 4 * [(1 + 0,45)(1/4) - 1] = 0,3894, т.е. 38,94%.
3.8. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 4 000 000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 45% годовых.
Решение
3.9. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 4 000 000 руб. Банк учел вексель по учетной ставке 45% годовых. Определить дисконт.
Решение
P = S (1 - dсл)n = 4000000 * (1 - 0,45)5 = 201 313,75 руб.
D = S - P = 4000000 - 201313,75 = 3 798 686,25 руб.
3.10. В течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 4 000 000 руб., на которые 4 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 45%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Построение адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса, оценка ее точности и адекватности с использованием средней относительной ошибки аппроксимации. Построение точечного прогноза. Отражение на графике фактических, расчетных и прогнозных данных.
контрольная работа [816,2 K], добавлен 23.03.2013Построение адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора. Оценка точности построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации. Определение суммы банковской ссуды, долга по ссуде и дисконта.
контрольная работа [393,0 K], добавлен 06.12.2007Экономико-математическая модель для анализа ресурсов в форме отчета устойчивости. Проверка продуктивности технологической матрицы коэффициентов прямых материальных затрат. Оценка точности моделей на основе средней относительной ошибки аппроксимации.
задача [142,9 K], добавлен 03.05.2009Построение ряда динамики. Расчет параметров линейного, степенного, экспоненциального (показательного), параболического, гиперболического трендов с помощью пакета Excel. Вычисление относительной ошибки аппроксимации. Оценка адекватности линейной модели.
практическая работа [165,9 K], добавлен 13.05.2014Графический и содержательный анализ данных об объеме рынка бытовой техники на основе методов прогнозирования: сравнение прогнозных и реальных значений, оценка адекватности и точности модели. Построение прогноза на год и расчет прогнозируемого дохода.
курсовая работа [245,2 K], добавлен 29.04.2011Расчет доверительных интервалов прогноза для линейного тренда с использованием уравнения экспоненты. Оценка адекватности и точности моделей. Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании. Экспоненциальные средние для временного ряда.
контрольная работа [916,2 K], добавлен 13.08.2010Адаптивные методы прогнозирования. Критерий точности и надежности прогнозов. Прогнозирование максимальной и минимальной цены реализации продукции СПК "Новоалексеевский". Проверка значимости и точности модели в системе STATISTICA. Анализ доходности сделок.
дипломная работа [3,2 M], добавлен 29.06.2011Оценка моделей, описывающих зависимость между среднедневной заработной платой работающего и долей расходов на покупку продовольственных товаров через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера. Прогноз заработной платы и оценка его точности.
контрольная работа [1,6 M], добавлен 19.05.2011Экономическая интерпретация коэффициента регрессии. Нахождение статочной суммы квадратов и оценка дисперсии остатков. Проверка значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. Расчет средней относительной ошибки аппроксимации.
контрольная работа [261,1 K], добавлен 23.03.2010Расчет коэффициента корреляции, определение вида зависимости, параметров линии регрессии и оценка точности аппроксимации. Построение матрицы прибыли в зависимости от выбранной стратегии и состоянии факторов внешней среды. Индивидуальное отношение к риску.
контрольная работа [474,7 K], добавлен 01.12.2010