Временные ряды в эконометрике

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Модели одновременных временных рядов

1.1 Основные элементы временного ряда

временной динамический ряд автокорреляция

Временным рядом называется последовательно расположенные в хронологическом порядке показатели, характеризующие развитие явления во времени.

Основными задачами эконометрического исследования временного ряда является:

1) прогнозирование будущих (недостающих) уровней динамического ряда;

2) изучение взаимосвязей двух и более временных рядов.

Временной ряд характеризуется двумя параметрами:

1) моментами времени (конкретными датами) или периодами (годы, кварталы, недели и т.д.), к которым относятся статистические данные.

2) непосредственно статистическими данными - уровнями временного ряда .

Величина уровня ряда определяется влиянием на него всех возможных факторов, которые подразделяют на следующие группы:

1) - факторы, формирующие основную тенденцию ряда (трендовую компоненту);

2) факторы, формирующие циклические колебания ряда (циклическую компоненту). Циклическая (периодическая) компонента может быть:

· - конъюнктурная, связанная с большими экономическими циклами, компонента;

· - сезонная, связанная с внутригодовыми колебаниями, компонента.

3) - случайные факторы, отражают влияние множества факторов, не являющихся трендовыми и циклическими.

Уровень временного ряда будет функция от трендовой циклической и случайной компонент:

В зависимости от вида связи между этими компонентами модель может быть:

1) аддитивная (как сумма компонент)

2) мультипликативная (как произведение компонент)

1.2 Автокорреляция уровней временного ряда. Выявление структуры динамического ряда

Естественно, что при наличии во временном ряду трендовой или циклической компоненты значение каждого последующего уровня будет зависеть от влияния предыдущих уровней

Данная корреляционная зависимость между уровнями временного ряда называется автокорреляцией уровня временного ряда.

Автокорреляция уровней временного ряда - корреляционная связь между последовательными уровнями одного и того же временного ряда (сдвинутыми на определенный промежуток времени - лаг).

Количественно автокорреляцию определяют, рассчитывая коэффициент автокорреляции его можно рассчитать как:

(205)

или

 (206)

Где

(207)

(208).

Лаг временного ряда - сдвиг во времени на какое-то количество периодов. Шаг лага определяет порядок коэффициента автокорреляции, если:

· , получаем коэффициент автокорреляции 1-го порядка

· , получаем коэффициент автокорреляции 2-го порядка

· и т.д.

Последовательность коэффициентов 1-го, 2-го, 3-го и т.д. порядков называется автокорреляционной функцией временного ряда, а график зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага - коррелограммой.

Рекомендованный максимальный порядок коэффициента автокорреляции можно найти как , где количество уровней временного ряда.

Для того чтобы, определить структуру временного ряда, необходимо найти лаг при котором коэффициент автокорреляции будет наибольшим.

1. Если наибольшим оказался коэффициент автокорреляции 1-го порядка , то временной ряд содержит только трендовую компоненту.

2. Если наибольшим оказался коэффициент автокорреляции более высокого прядка , то временной ряд содержит как трендовую компоненту, так и циклическую.

3. Если все коэффициенты автокорреляции не являются статистически значимыми, это может быть обусловлено двумя причинами:

· взаимосвязь между уровнями временного ряда не является линейной;

· значение уровней временного ряда обусловлено только влиянием случайной компоненты , ряд не содержит ни трендовую, ни циклическую компоненты.

Коэффициент автокорреляции имеет следующие важные свойства:

1. Коэффициент автокорреляции характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней временного ряда. Если временной ряд имеет сильную нелинейную тенденцию, коэффициент автокорреляции будет приближаться к нулю.

2. Знак коэффициента автокорреляции не указывает на возрастающую или убывающую тенденцию временного ряда.

Пример 26. Имеются данные о товарообороте (млн. руб.) за 9 лет, (табл. 54). Рассчитать коэффициенты автокорреляции.

Таблица 54

1	28	-	-	-	-	-	-
2	29	28	-6,625	-5,875	38,9219	43,8906	34,5156
3	32	29	-3,625	-4,875	17,6719	13,1406	23,7656
4	32	32	-3,625	-1,875	6,7969	13,1406	3,5156
5	35	32	-0,625	-1,875	1,1719	0,3906	3,5156
6	36	35	0,375	1,125	0,4219	0,1406	1,2656
7	38	36	2,375	2,125	5,0469	5,6406	4,5156
8	41	38	5,375	4,125	22,1719	28,8906	17,0156
9	42	41	6,375	7,125	45,4219	40,6406	50,7656
В среднем при	35,6250	33,8750
Итого	313	271	0	0	137,625	145,875	138,875

Решение.

Рассчитаем коэффициент автокорреляции 1-го порядка ().

Коэффициент автокорреляции показывает тесную связь между товарооборотами текущего и предшествующих годов.

Рассчитаем коэффициент автокорреляции 2-го порядка (), (табл. 55).

Таблица 55

1	28	-	-	-	-	-	-
2	29	-	-	-	-	-	-
3	32	28	-4,5714	-4,8571	22,2037	20,8977	23,5914
4	32	29	-4,5714	-3,8571	17,6323	20,8977	14,8772
5	35	32	-1,5714	-0,8571	1,3468	2,4693	0,7346
6	36	32	-0,5714	-0,8571	0,4897	0,3265	0,7346
7	38	35	1,4286	2,1429	3,0613	2,0409	4,5920
8	41	36	4,4286	3,1429	13,9186	19,6125	9,8778
9	42	38	5,4286	5,1429	27,9187	29,4697	26,4494
В среднем при	36,5714	32,8571
Итого	313	230,0000	0	0	86,5714	95,7143	80,8571

Пример 27. Имеются данные потребления некоторой продукции населением района по кварталам за 3 год млн. руб. (табл. 56).

Таблица 56

		Лаг
А	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	10,5	-	-	-	-	-	-	-	-
2	10,1	10,5	-	-	-	-	-	-	-
3	18,1	10,1	10,5	-	-	-	-	-	-
4	15,2	18,1	10,1	10,5	-	-	-	-	-
5	15,0	15,2	18,1	10,1	10,5	-	-	-	-
6	14,1	15,0	15,2	18,1	10,1	10,5	-	-	-
7	25,0	14,1	15,0	15,2	18,1	10,1	10,5	-	-
8	20,4	25,0	14,1	15,0	15,2	18,1	10,1	10,5	-
9	20,0	20,4	25,0	14,1	15,0	15,2	18,1	10,1	10,5
10	18,5	20,0	20,4	25,0	14,1	15,0	15,2	18,1	10,1
11	31,6	18,5	20,0	20,4	25,0	14,1	15,0	15,2	18,1
12	27,0	31,6	18,5	20,0	20,4	25,0	14,1	15,0	15,2
13	26,5	27,0	31,6	18,5	20,0	20,4	25,0	14,1	15,0
14	25,4	26,5	27,0	31,6	18,5	20,0	20,4	25,0	14,1
15	38,0	25,4	26,5	27,0	31,6	18,5	20,0	20,4	25,0
16	33,0	38,0	25,4	26,5	27,0	31,6	18,5	20,0	20,4

Рассчитать коэффициенты автокорреляции, и на их основании определить структуру временного ряда. Построить график временного ряда и коррелограму.

Решение.

Для наглядности изобразим исходный временной ряд графически рисунок 14.

Рисунок 14

Построим автокорреляционную функцию, рассчитав коэффициенты автокорреляции с 1-го по 4-й порядок, результаты занесем в таблицу 57, в нее же занесем коррелограмму.

В результате анализа временного ряда можно сделать выводы:

1. временной ряд содержит линейную трендовую компоненту;

2. временной ряд содержит циклическую компоненту периодичностью в четыре периода.

Таблица 57

Лаг	Коэффициент автокорреляции,	Коррелограмма
	0,6762	******
	0,6001	******
	0,6283	******
	0,9946	*********
	0,5069	*****
	0,3404	***
	0,4555	****
	0,9904	*********

1.3 Моделирование тенденции временного ряда

Основную тенденцию временного ряда (тренд), во временных рядах выявляют, используя методы:

1. механического выравнивания (метод средней скользящей, или другой не количественной модели);

2. аналитического выравнивания (использование количественной аналитической модели).

Метод скользящей средней заключается в замене исходного временного ряда новым, расчетным рядом, состоящим из средних уровней за определенный период, со сдвигом на одну дату. Если исходный временной ряд обозначить как: , то ряд, выроненный методом скользящей средней (за трехлетний период) будет выглядеть как:

; ;

; и т.д. (209)

В эконометрике тренд, в основном, рассчитывают, используя методы аналитического анализа.

Аналитическое выравнивание позволяет определить основную тенденцию развития явления во времени. При этом уровни временного ряда выражаются как функции времени:

или (210)

где - уровни временного ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени ,

- отклонение от тенденции (случайное и циклическое) .

В итоге выравнивания временного ряда получают обобщенный (суммарный), проявляющийся во времени результат действия всех факторов влияющих на развития изучаемого явления во времени.

При проведение аналитического выравнивания определяется зависимость , при этом выбирается такая функция , чтобы она показывала содержательное объяснение изучаемого процесса. При аналитическом выравнивании, чаще всего применяют следующие трендовые модели:

1. линейная

2. парабола второго порядка , кубическая парабола , параболы более высоких параметров

3. гипербола

4. показательная

5. степенная

6. экспоненциальная

7. модифицированная экспонента

8. логистическая кривая

Для выбора формы кривой рассматривают ряд признаков:

1) если в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные разности первого порядка (абсолютные приросты), то есть не наблюдается тенденция к их увеличению или уменьшению выбирается линейная зависимость;

2) первые разности сами по себе имеют некоторую тенденцию развития, но вторые разности (абсолютные приросты абсолютных приростов) имеют примерно одну и ту же величину - применяют параболу второго порядка;

3) если рост уровней исходного ряда идет по геометрической прогрессии, применяется показательная функция;

4) если первые разности имеют тенденцию к уменьшению с постоянным темпом - модифицированная экспонента;

5) если средние уровни, нанесенные на полулогарифмическую сетку, близки к прямой линии - простая экспонента;

6) если первые разности обратных значений средних уровней изменяются на один и тот же процент - логистическая кривая.

Оценку параметров уравнений осуществляют при помощи:

1. метода наименьших квадратов (МНК).

2. метода наименьших расстояний.

3. метода избранных точек.

Чаще всего используют метод наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней временного ряда от уровней выровненного временного ряда.

1.3.1 Аналитическое выравнивание по прямой

Аналитическое уравнение прямой имеет вид:

(7)

Для того чтобы рассчитать найти неизвестные параметры уравнения и , для чего воспользуемся методом наименьших квадратов, который в данном случае даст систему из двух нормальных уравнений:

(8)

Так как время понятие относительное и зависит только от точки отсчета, можно назначить такую точку отсчета, что сумма показателей времени исследуемого временного ряда будет равна нулю().

При нечетном числе уровней изучаемого временного ряда за точку отсчета принимают серединный уровень ряда, который обозначают как . Периоды, идущие от точки отсчета в прошлое обозначают как и т.д. Периоды идущие в будущее как и т.д. Например, ряд из 7 уровней будет обозначен как

Если число уровней изучаемого временного ряда четное, то точку отсчета берут между двумя серединами уровнями, она не обозначается. Периоды, идущие от точки отсчета в прошлое обозначают как ; и т.д. Периоды идущие в будущее как ; и т.д. Например, ряд из 8 уровней будет обозначен как .

Подставив в уравнения системы, мы значительно ее упростим.

 (213)

отсюда

(214)

(215)

Для линейной зависимости параметр рассматривается как обобщенный начальный уровень ряда, - как параметр силы связи, он показывает, на сколько единиц изменится результат при увеличении времени на единицу.

Подставив значение рассчитанных параметров уравнения , и величину периодов времени ( - если ряд состоит из 7 уровней; - если ряд состоит из 8 уровней) рассчитаем выровненные теоретические значения уровней временного ряда, которые образуют теоретическую прямую линию (линейный тренд).

1.3.2 Аналитическое выравнивание по параболе второго порядка

Аналитическое уравнение параболы второго порядка имеет вид:

(216)

Метод наименьших квадратов в данном случае даст систему из трех нормальных уравнений:

 (217)

Используя метод приведения , и зная что и , упростим систему уравнений:

Из данной системы легко определить

(218)

а и определяются решением системы двух уравнений с двумя неизвестными.

1.3.3 Аналитическое выравнивание по показательной функции

Показательная функция аналитического выравнивания имеет вид:

(219)

Для определения параметров уравнения также используют МНК, для чего предварительно логарифмируют уровни, и тогда логарифмы уровней отражаются линейной функцией:



Примем , тогда параметры уравнений и рассчитывают как:

(220)

(221)

Рассчитав и определим , затем, потенцируя находим .

1.4 Статистический анализ случайной величины

Выравнивание временного ряда дает возможность определить действия факторов на изменения изучаемого явления, отраженного в динамическом ряду. После проведения выравнивания видно, что фактические уровни исходного динамического ряда отклоняются в разные стороны от уровней выровненного ряда. Данные отклонения образуют так называемый колеблющийся остаток. В статистике данный остаток случайной компонентой динамического ряда. Таким образом, мы можем разложить уровни динамического ряда на систематическую и случайную компоненты.

(222)

где - часть уровня, выраженная трендом,

- случайная компонента.

Для анализа случайной величины в статистики изучают ее колеблемость, которая выражается колеблемостью уровней исходного временного ряда относительно уровней выровненного временного ряда. Мерой измерения колеблемости уровней выступают:

· дисперсия случайной величины

(223)

· среднее квадратическое отклонение случайной величины

(224)

· коэффициент вариации случайной величины

(225)

Коэффициент вариации будет тем меньше, чем меньше разница между выровненными и фактическими уровнями, то есть коэффициент вариации служит критерием правильности выбора уравнения выравнивания.

На выбор аналитического уравнения тренда оказывает большое влияние показатель колеблемости уровней исходного динамического ряда. Поэтому расчет показателей колеблемости исходного временного ряда необходимо провести предварительно, перед непосредственно аналитическим выравниванием.

Для данного анализа применяют показатель Ястремского, который строится на расчете разностей первого порядка (абсолютный приростов) уровней временного ряда и построение показателя средней величины из квадратов абсолютных приростов :

(226)

где - абсолютные приросты уровней ряда в квадрате;

- число уровней.

Ястремский доказал существование зависимости между дисперсией уровней и показателем колеблемости:

(227)

Откуда

(228)

и соответственно

(229)

определен тренд, имеется возможность оценить величину колеблемости случайной компоненты (разности между уровнями исходного временного ряда и уровнями тренда).

В случае, когда колеблемость уровней ряда около тренда превосходит его общую колеблемость, тренд рассчитан не правильно, следует выбрать другую форму зависимости.

1.5 Прогнозирование уровней временного ряда

После проведения аналитического ряда и оценки существенности полученных результатов можно провести экстраполяцию и интерполяцию временного ряда.

Экстраполяция в динамике предполагает распространение полученных выводов, полученных в прошлом на будущее время. При этом предполагается, что закономерность развития динамического ряда сохраняется в будущем.

Интерполяция в динамике предполагает расчет неизвестных промежуточных значений динамического ряда.

Экстраполяция и интерполяция проводятся графическим и аналитическим методами:

1. Графический метод. Заключается в построении точного графика выровненного временного ряда, на котором линию полученного тренда продлевают до интересующей нас даты.

2. Аналитический метод. При данном методе в рассчитанное аналитическое уравнение подставляют номер интересующего нас периода.

Пример 28. По хозяйству имеются данные о средней урожайности за ряд лет (табл. 58).

Таблица 58

Год	Урожайность
2002	16
2003	18
2004	20
2005	21
2006	20
2007	21
2008	23
2009	27
2010	20

Необходимо:

1. Провести выравнивание аналитическое выравнивание временного ряда по линейной функции

2. Провести экстраполяцию на 2011 год.

Решение.

1. Проведем выравнивание временного ряда.

Аналитическое выравнивание временного ряда по прямой. Линейная функция временного ряда имеет вид:

Рассчитаем неизвестные параметры уравнения и при помощи системы уравнений:

Назначим точку отсчета при которой сумма показателей времени исследуемого временного ряда будет равна нулю () (табл. 6).

Сократим систему уравнений:

Отсюда

и

В таблице 59 рассчитаем все необходимые значения для определения параметров уравнения.

Таблица 59

Год
2002	16	-4	16	-64	16,465
2003	18	-3	9	-54	17,682
2004	20	-2	4	-40	18,899
2005	21	-1	1	-21	20,116
2006	20	0	0	0	21,333
2007	21	1	1	21	22,550
2008	23	2	4	46	23,767
2009	27	3	9	81	24,984
2010	26	4	16	104	26,201
Итого	192	0	60	73

Рассчитаем:

Подставим полученные значения в уравнение:

Подставляя в полученные уравнения значения рассчитаем теоретические значения :

И т.д. результаты занесем в таблицу 59.

2. Проведем экстраполяцию на 2011 год. Номер t для 2011 г. будет 5. Подставим данные номера в уравнение линейного тренда и проведем прогнозирование на данный период.

Для 2011 г:

Пример 29. По хозяйству имеются данные о среднедневном надое (кг) за ряд лет (табл. 60).

Провести выравнивание временного ряда по параболе второго порядка.

Решение.

Аналитическое уравнение параболы второго порядка имеет вид:

Таблица 60

Год	Среднедневной надой,
2002	7
2003	8
2004	11
2005	10
2006	12
2007	14
2008	10
2009	13
2010	11

Для расчета параметров уравнения используем систему уравнений:

.

Приравняв система сократится:

Рассчитаем все возможные значения в таблице 61.

Таблица 61

Год	Надой
2002	7	-4	16	256	-28	112	6,80
2003	8	-3	9	81	-24	72	8,60
2004	11	-2	4	16	-22	44	10,04
2005	10	-1	1	1	-10	10	11,13
2006	12	0	0	0	0	0	11,86
2007	14	1	1	1	14	14	12,23
2008	10	2	4	16	20	40	12,24
2009	13	3	9	81	39	117	11,90
2010	11	4	16	256	44	176	11,20
Итого	96	0	60	708	33	585	96

Из уравнения (5) рассчитаем:

Останется система из двух уравнений:



подставим значения

Рассчитаем параметр , исключив из системы параметр , для этого:

а) разделим 7-е и 8-е уравнения на коэффициенты, стоящие при , т.е. 7-е на 9, а 8-е на 60.

Таким образом, коэффициенты, стоящие при , будут равны единице.

б) далее из 8-го сокращенного уравнения вычтем 7-е сокращенное уравнение, исключив таким образом .

Получится уравнение с одним неизвестным :

Подставим параметры и в 1-е уравнение и рассчитаем параметр .



Подставим значение параметров в уравнение:

Подставляя значение и рассчитаем значения .

1.6 Моделирование сезонных и циклических колебаний временных рядов

В эконометрики для моделирования сезонных и циклических колебаний используют методы:

1. расчет значений сезонной компоненты и построение аддитивной или мультипликативной модели;

2. использование фиктивных переменных и др.

1.6.1 Расчет значений сезонной компоненты и построение аддитивной и мультипликативной модели

Аддитивная модель

(230)

используется, если амплитуда сезонных колебаний не меняется со временем. В случае если амплитуда со временем существенно изменяется в ту или иную сторону применяется мультипликативная модель

(231)

Построение моделей рассмотрим на примерах.

Пример 30. Имеются данные об объемах продаж некоего товара поквартально, (табл. 62) . Необходимо построить модель временного ряда и провести прогнозирование.

Решение.

1. Для выбора аддитивной или мультипликативной модели построим график объема продаж - рисунок 15.

Рисунок 15.

По графику видно, что амплитуды колебаний приблизительно равны, поэтому будем строить аддитивную модель

.

Таблица 62

Год	Квартал	№ квартала,	Объем продаж,	Средняя скользящая,	Центрированная средняя скользящая,
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
2007	I	1	334				-71,89	405,89	418,89	347,00	-13,00	169,00	112506,58
	II	2	315	489,75			-150,77	465,77	464,44	313,67	1,33	1,77	125613,54
	III	3	710	538,75	514,25	195,75	195,61	514,39	509,99	705,60	4,40	19,36	1646,74
	IV	4	600	586,00	562,38	37,63	27,05	572,95	555,54	582,59	17,41	303,11	4819,14
2008	I	5	530	629,75	607,88	-77,88	-71,89	601,89	601,09	529,20	0,80	0,64	19437,94
	II	6	504	667,00	648,38	-144,38	-150,77	654,77	646,64	495,87	8,13	66,10	27363,78
	III	7	885	712,00	689,50	195,50	195,61	689,39	692,19	887,80	-2,80	7,84	46474,74
	IV	8	749	753,00	732,50	16,50	27,05	721,95	737,74	764,79	-15,79	249,32	6332,98
2009	I	9	710	798,75	775,88	-65,88	-71,89	781,89	783,29	711,40	-1,40	1,96	1646,74
	II	10	668	851,50	825,13	-157,13	-150,77	818,77	828,84	678,07	-10,07	101,40	2,02
	III	11	1068				195,61	872,39	874,39	1070,00	-2,00	4,00	158866,02
	IV	12	960				27,05	932,95	919,94	946,99	13,01	169,26	84436,74
	Итого		8033									1093,76	589146,92
	В среднем		669,42

2. Проведем выравнивание фактического временного ряда методом средних скользящих за 4-х летний период (столбец 5).

и т.д.

3. Приведем полученные средние в соответствии с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних - центрированные скользящие средние (столбец 6).

и т.д.

4. Найдем отклонения и используем данные отклонения для расчета значений сезонной компоненты , (табл. 63).

Таблица 63

Год	Квартал	Итого
	I	II	III	IV
2007			195,75	37,63
2008	-77,88	-144,38	195,50	16,50
2009	-65,88	-157,13
Итого	-143,75	-301,5	391,25	54,125
Средняя оценка сезонной компоненты	-71,875	-150,75	195,625	27,0625	0,0625
Скорректированная сезонная компонента	-71,89063	-150,77	195,609	27,046875	0

В моделях с сезонной компонентой все сезонные влияния взаимопоглощаются, т.е. в аддитивной модели сумма сезонных компонент по всем периодам должна быть равна нулю. В нашем случае, это не так - , поэтому определим корректирующий коэффициент как:

(232)

где, - число сезонов в году.

Рассчитаем скорректированную сезонную компоненту:

(233)

Сумма всех скорректированных компонент равна нулю. Добавим значения в 8 столбец таблицы 92.

5. Исключим влияние сезонной компоненты как , результат занесем в столбец 9 таблицы 62. Полученный временной ряд содержит только тенденцию и случайную компоненту.

6. Используя аналитическое выравнивание ряда рассчитаем тенденцию .

Подставим по порядку в полученное уравнение значение , построим ряд уровней столбец 10 таблицы 62.

7. Чтобы найти уровни ряда полученные по аддитивной модели прибавим к значениям ряда соответствующее значение сезонной компоненты столбец 11 таблицы 62.



Рисунок 16. Ряд 1 - фактическое потребление, ряд 2 - тренд , ряд 3 -

8. Случайную компоненту рассчитаем как:

столбец 12 таблицы 62. (234)

В аддитивной модели случайная компонента равна абсолютной ошибке.

Для оценки качества модели рассчитаем сумму квадратов абсолютных ошибок и сравним с общей сумой квадратов отклонений. В аддитивной модели случайная компонента равна абсолютной ошибке.

(235)

Аддитивная модель объясняет общей вариации продаж за последние 12 кварталов.

9. Проведем прогнозирование на следующий квартал.

Прогнозное значение объема продаж в следующем, 13-м квартале это сумма трендовой и сезонной компонент

(236)

Рассчитаем значение трендовой компоненты по полученному уравнению тренда:

13-й квартал является I-м кварталом года, для первых кварталов значение сезонной компоненты (таблица 63).

Получаем:

Прогноз объема продаж на 13-й квартал составил 893,6 тыс. руб.

Пример 31. Имеются данные об объемах продаж некоего товара поквартально, (табл. 64) . Необходимо построить модель временного ряда и провести прогнозирование.

Решение.

1. Для выбора аддитивной или мультипликативной модели построим график объема продаж - рисунок 17.



Рисунок 17

Таблица 64

Год	Квартал	№ квартала,	Объем продаж,	Средняя скользящая,	Центрированная средняя скользящая,
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
2007	I	1	334				0,88	381,62	299,05	261,73	1,28	72,27	5223,01	222859,53
	II	2	315	474,75			0,73	433,52	388,87	282,55	1,11	32,45	1052,76	241159,57
	III	3	650	523,75	499,25	1,30	1,32	491,83	478,70	632,64	1,03	17,36	301,30	24360,97
	IV	4	600	571,00	547,38	1,10	1,08	557,34	568,52	612,04	0,98	-12,04	144,97	42468,97
2008	I	5	530	667,25	619,13	0,86	0,88	605,56	658,35	576,20	0,92	-46,20	2134,02	76220,17
	II	6	504	742,00	704,63	0,72	0,73	693,64	748,17	543,62	0,93	-39,62	1569,89	91252,33
	III	7	1035	824,50	783,25	1,32	1,32	783,14	838,00	1107,49	0,93	-72,49	5255,10	52404,37
	IV	8	899	903,00	863,75	1,04	1,08	835,07	927,82	998,84	0,90	-99,84	9968,95	8634,13
2009	I	9	860	1048,75	975,88	0,88	0,88	982,61	1017,65	890,66	0,97	-30,66	940,11	2907,37
	II	10	818	1201,50	1125,13	0,73	0,73	1125,79	1107,47	804,69	1,02	13,31	177,16	142,09
	III	11	1618				1,32	1224,28	1197,30	1582,34	1,02	35,66	1271,49	659214,09
	IV	12	1510				1,08	1402,63	1287,12	1385,65	1,09	124,35	15463,16	495503,37
	Итого		9673,00										43501,91	1917126,92
	В среднем		806,08

По графику видно, что амплитуды колебаний имеют тенденцию к увеличению, поэтому будем строить мультипликативную модель

.

2. Проведем выравнивание фактического временного ряда методом средних скользящих за 4-х летний период (столбец 5).

3. Приведем полученные средние в соответствии с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних - центрированные скользящие средние (столбец 6).

4. Найдем отношения и используем данные отклонения для расчета значений сезонной компоненты (табл. 65).

Таблица 65

Год	Квартал	Итого
	I	II	III	IV
2007			1,30	1,10
2008	0,86	0,72	1,32	1,04
2009	0,88	0,73
Итого	1,74	1,44	2,62	2,14
Средняя оценка сезонной компоненты	0,87	0,72	1,31	1,07	3,97
Скорректированная сезонная компонента	0,88	0,73	1,32	1,08	4,00

В мультипликативной модели сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. Для нашей задачи число периодов равно 4-м. у нас же . Поэтому определим корректирующий коэффициент как:

 (237)

где, - число периодов в цикле.

Рассчитаем скорректированную сезонную компоненту:

(238)

Сумма всех скорректированных компонент равна 4. Добавим значения в 8 столбец таблицы 64.

5. Исключим влияние сезонной компоненты как , результат занесем в столбец 9 таблицы 64. Полученный временной ряд содержит только тенденцию и случайную компоненту.

6. Используя аналитическое выравнивание ряда рассчитаем тенденцию .

Подставим по порядку в полученное уравнение значение , построим ряд уровней столбец 10 таблицы 64.

7. Чтобы найти уровни ряда полученные по мультипликативной модели умножим уровни ряда на соответствующее значение сезонной компоненты столбец 11 таблицы 64.



Рисунок 5. Ряд 18 - фактическое потребление, ряд 2 - тренд , ряд 3 -

8. Случайную компоненту рассчитаем как:

столбец 12 таблицы 64.

Для оценки качества модели рассчитаем сумму квадратов абсолютных ошибок и сравним с общей сумой квадратов отклонений. Абсолютные ошибки в мультипликативной модели рассчитаем как:

(239)

(240)

Мультипликативная модель объясняет общей вариации продаж за последние 12 кварталов.

9. Проведем прогнозирование на следующий квартал.

Прогнозное значение объема продаж в следующем, 13-м квартале это сумма трендовой и сезонной компонент

(241)

Рассчитаем значение трендовой компоненты по полученному уравнению тренда:

13-й квартал является I-м кварталом года, для первых кварталов значение сезонной компоненты (таблица 65).

Получаем:

Прогноз объема продаж на 13-й квартал составил 1377,83 тыс.руб.

1.6.2 Использование фиктивных переменных для моделирования сезонных колебаний

Данный метод заключается в построении модели регрессии, включающей фактор времени и фиктивные переменные.

Количество фиктивных переменных определяется как , где - число периодов в цикле (сезонов внутри года), так при моделировании поквартальных данных модель будет содержать три фиктивные переменные и фактор времени

Каждому периоду будет соответствовать свое сочетание фиктивных переменных, каждая из которых равна или , сезон, для которого значения всех фиктивных переменных равны , принимается за эталон сравнения. В остальных сезонах одна из фиктивных переменных равна .

Например, для временного ряда состоящего из поквартальных данных фиктивные переменные будут следующими, (табл. 66).

Общий вид модели регрессии с фиктивными переменными для временного ряда, содержащего циклические колебания периодичностью будет:

(242)

Таблица 66

Квартал	Z1	Z2	Z3
I	0	0	0
II	1	0	0
III	0	1	0
IV	0	0	1

Для ряда состоящего из поквартальных данных:

(243)

Уравнение тренда для каждого квартала, таблица 67.

Таблица 67

Квартал	Уравнение тренда
I
II
III
IV

Величина свободного члена уравнения регрессии составит, таблица 68.

Таблица 68

Квартал	Величина свободного члена уравнения регрессии
I
II
III
IV

Параметр показывает среднее абсолютное изменение уровней под воздействием тенденции.

Пример 32. Имеются данные об объемах продаж некоего товара поквартально, (табл. 69).

Построить модель регрессии с фиктивными переменными.

Решение.

Для поквартального временного ряда количество фиктивных переменных определяется как:

,

где - число периодов в цикле (сезонов внутри года)

Уравнение регрессии примет вид:

В котором одна зависимая переменная , и четыре независимых переменных, из которых - фактор времени, - фиктивные переменные. Проставим значение фактора времени и фиктивных переменных в таблицу 69.

Таблица 69

Год
2007	334	1	1	0	0
	315	2	0	1	0
	710	3	0	0	1
	600	4	0	0	0
2008	530	5	1	0	0
	504	6	0	1	0
	885	7	0	0	1
	749	8	0	0	0
2009	710	9	1	0	0
	668	10	0	1	0
	1068	11	0	0	1
	960	12	0	0	0

Проведем регрессионный анализ уравнения. Результаты приведены в таблице 70.

Таблица 70

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	407,9167	10,6152	38,4274
Переменная	45,2188	1,0278	43,9949
Переменная	-109,3438	9,9827	-10,9533
Переменная	-183,5625	9,7145	-18,8956
Переменная	163,2188	9,5500	17,0909

Уравнение регрессии примет вид:

Проанализируем результаты:

1. критерий Стьюдента показывает, что влияние сезонных компонент статистически значимо .

2. Параметр это сумма начального уровня и сезонной компоненты в IV квартале.

3. Сезонные колебания в I, II кварталах приводят к снижению .

4. Сезонные колебания в III квартале увеличивают параметр .

5. Параметр показывает, что в среднем за квартал объема продаж увеличивается на .

1.7 Изучение взаимосвязей временных рядов. Исключение сезонных колебаний и тенденции

При изучении взаимосвязи временных рядов, методами корреляционно-регрессионного анализа, возникают следующие проблемы:

1. Искажение показателей тесноты и силы связи. Возникает, если один или оба ряда содержат циклические или сезонные колебания. Устранение влияния сезонной компоненты, в случае

· аддитивной модели, заключается в вычитании ее из исходных уровней ряда как

· мультипликативной модели заключается в отношении ее из исходных уровней ряда как .

Расчет сезонной компоненты рассмотрен в предыдущей части пособия.

2. Проблема «ложной корреляции». Возникает из за наличия трендовой компоненты. Что избавиться от «ложной корреляции» необходимо исключить тенденцию временного ряда, для чего используют методы:

· метод отклонения от тренда;

· метод последовательных разностей;

· метод включения в модель регрессии фактора времени.

1.7.1 Метод отклонения от тренда

При данном методе корреляционный анализ проводится не по фактическим значениям уровней динамического ряда и , а по отклонениям фактических уровней от тренда и .

Рассмотрим применение данного метода на примере.

Пример 33. Имеются данные за 9 лет о товарообороте магазина N и средней заработной платы жителей ближайшего района (табл. 71), рассчитать показатели взаимосвязи.

Решение.

Проведем проверку рядов на наличие автокорреляции. Коэффициент корреляции . Высокое значение коэффициентов автокорреляции первого порядка и , свидетельствует о наличии тренда.

Таблица 71

1	2,20	6,73	2,0418	6,2040	0,1582	0,5260
2	2,35	7,80	2,2550	7,3563	0,0950	0,4437
3	2,10	6,75	2,4682	8,5086	-0,3682	-1,7586
4	2,70	9,93	2,6814	9,6609	0,0186	0,2691
5	2,85	11,00	2,8946	10,8132	-0,0446	0,1868
6	3,00	12,07	3,1078	11,9655	-0,1078	0,1045
7	3,68	13,57	3,3210	13,1178	0,3590	0,4522
8	3,50	14,20	3,5342	14,2701	-0,0342	-0,0701
9	3,67	15,27	3,7474	15,4224	-0,0774	-0,1524
Итого	26,0500	97,3200	26,0514	97,3188	-0,0014	0,0012

Устраним тренд методом отклонений от тренда, для чего:

1. Проведем аналитическое выравнивание по прямой каждого ряда, уравнения имеют вид:



·

По полученным уравнениям определим расчетные значения и , занесем в таблицу 18.

2. Найдем отклонения , и рассчитаем коэффициент автокорреляции по рядам отклонений.

(знак минус игнорируется, так как по знаку коэффициента автокорреляции нельзя сделать вывод о направлении тенденции)

Низкие значения коэффициентов автокорреляции свидетельствуют об отсутствии тренда, и полученные ряды отклонений , можно использовать для расчета показателей силы связи и прогнозирования по регрессионной модели.

Регрессионная модель имеет вид:

Коэффициент корреляции рядов отклонений .

Необходимо учитывать, что при построении корреляционно-регрессионной модели по рядам отклонений, полученные параметры не поддаются интерпретации, поэтому данная модель используется только для прогнозирования.

Прогнозирование проводится следующим образом:

1. определим трендовое значение факторного признака для интересующего нас периода времени , и с помощью одного из методов оценим величину предполагаемого отклонения фактического значения от трендового .

2. по уравнению тренда для результативного признака определим трендовое значение , и по уравнению регрессии по отклонениям от трендов найдем величину отклонения

3. находим точечный прогноз фактического значения , как

1.7.2 Метод последовательных разностей

Тенденцию во временных рядах можно устранить, заменив фактические ряды на ряды последовательных разностей разных порядков, в зависимости от формы тренда.

Если временной ряд содержит:

· линейный тренд, то используют разности первого порядка (абсолютные приросты).

Рассмотрим

линейная модель имеет вид

тогда разности первого порядка

где - константа, не зависящая от времени.

Если ряд содержит сильную линейную тенденцию, то остатки будут достаточно малы и носят случайный характер, следовательно, первые разности уровней временных рядов не содержат временную тенденцию.

· тренд в форме параболы второго порядка, используют разности второго порядка.

Рассмотрим

модель параболы второго порядка имеет вид

тогда разности второго порядка

Вторые разности не содержат тенденцию.

· экспоненциальный или степенной тренд, метод последовательных разностей следует применять не к исходным уровням ряда, а к их логарифмам.

Метод последовательных разностей имеет следующие недостатки:

1. имеет место сокращение числа пар наблюдений, по которым строится уравнение регрессии, соответственно понижается число степеней свободы.

2. использование не фактических уровней, а их приростов ведет к потере информации исходных данных.

Пример 34. Имеются данные за 9 лет о товарообороте магазина N и средней заработной платы жителей ближайшего района (табл. 72).

Таблица 72

1	2,20	6,73	-	-
2	2,35	7,80	0,15	1,07
3	2,10	6,75	-0,25	-1,05
4	2,70	9,93	0,60	3,18
5	2,85	11,00	0,15	1,07
6	3,00	12,07	0,15	1,07
7	3,68	13,57	0,68	1,50
8	3,50	14,20	-0,18	0,63
9	3,67	15,27	0,17	1,07
Коэффициент автокорреляции первого порядка	-0,37	-0,49

Решение.

Исключим тренд методом последовательных разностей.

Найдем первые разницы (абсолютные приросты) исходных рядов

и

Расчетные ряды , не содержат автокорреляцию, поэтому их можно использовать для изучения взаимосвязей.

Коэффициент корреляции рядов и - .

Регрессионная модель имеет вид:

Параметры уравнения построенного по методу последовательных разностей поддаются интерпретации. При увеличении средней заработной платы на товарооборот магазина увеличится в среднем на

1.7.3 Включение в модель регрессии фактора времени

Данный метод предполагает включение в модель регрессии переменную времени , в результате чего получаем уравнение вида

(244)

Данный метод имеет наиболее широкое применение по сравнению с методом последовательных разностей и методом отклонения от тренда, так как позволяет учесть всю информацию данных, и интерпретация полученных параметров не вызывает затруднений.

Пример 35. Имеются данные за 9 лет о товарообороте магазина N и средней заработной платы жителей ближайшего района (табл. 73)

Таблица 73

Год
2001	2,20	6,73	1	2,16
2002	2,35	7,80	2	2,36
2003	2,10	6,75	3	2,04
2004	2,70	9,93	4	2,74
2005	2,85	11,00	5	2,93
2006	3,00	12,07	6	3,12
2007	3,68	13,57	7	3,42
2008	3,50	14,20	8	3,51
2009	3,67	15,27	9	3,70
Итого	26,05	97,32	45,00	25,98

Решение.

Исключим тренд методом включение в модель регрессии фактора времени.

Добавим в модель переменную времени и рассчитаем параметры уравнения с помощью МНК, в результате получим

Параметр показывает, что при увеличении средней заработной платы товарооборот магазина увеличится в среднем на , параметр показывает влияния всех остальных факторов.

1.7.4 Анализ временных рядов при наличии автокорреляции в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона

При моделировании временных рядов ряд остатков может содержать циклические колебания или тенденцию, т.е. величина каждого следующего значения зависит от предыдущего - наблюдается автокорреляция остатков.

Автокорреляция остатков имеет следующие причины:

1. наличие ошибок измерения фактических значений;

2. некорректная формулировка модели, модель не включает фактор, существенно воздействующий на результат, или выбрана неправильная функциональная форма модели;

3. модель не учитывает второстепенные факторы, совместное влияние которых оказывает существенное влияние на результат.

Наиболее распространенные методы определения автокорреляции остатков:

1. непосредственное вычисление автокорреляции остатков;

2. построение графика зависимости остатков от времени - визуальное определение автокорреляции;

использование критерия Дарбина-Уотсона, и расчет величины

(245)

где коэффициент автокорреляции остатков первого порядка.

В случае отсутствия автокорреляции и , при положительной автокорреляции и , а при отрицательной автокорреляции и .

Для выявления автокорреляции при помощи критерия Дарбина-Уотсона:

1. выдвигаем гипотезы:

· нулевая гипотеза - автокорреляция остатков отсутствует;

· альтернативна гипотеза - существует положительная автокорреляция остатков;

· альтернативна гипотеза - существует отрицательная автокорреляция остатков.

2. определяем критические значения критерия Дарбина-Уотсона и по специальным таблицам для заданного числа наблюдений , числа независимых переменных модели и уровня значимости .

3. Разобьем числовой промежуток возможных значений критерия Дарбина-Уотсона на 5 отрезков. Изобразим результат Дарбина-Уотсона графически, рисунок 19.

отвергается (положительная автокорреляция остатков). С вероятностью принимается

Зона неопределенности

принимается (отсутствие автокорреляции)

Зона неопределенности

отвергается (отрицательная автокорреляция остатков). С вероятностью принимается

0

2

4

Рисунок 19

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то гипотеза также отклоняется.

Недостатками критерия Дарбина-Уотсона является:

1. Неприменим к моделям авторегрессии.

2. Не способен выявлять автокорреляцию второго и более высоких порядков.

3. Даёт достоверные результаты только для больших выборок.

Пример 36. имеются временные ряды и (табл. 74). Необходимо на уровне значимости выявить наличие автокорреляции остатков для временного ряда .

Решение.

1. Построим и решим уравнение линейного тренда

2. Найдем значения остатков , в таблице рассчитаем все возможные значения, подставим в уравнение

Таблица 74

1	43	70	42,48	0,52
2	44	74	44,20	-0,20	-0,72	0,52	0,28
3	40	68	41,61	-1,61	-1,42	2,01	0,04
4	45	75	44,63	0,37	1,99	3,94	2,61
5	47	78	45,92	1,08	0,71	0,50	0,14
6	48	80	46,78	1,22	0,14	0,02	1,17
7	49	85	48,93	0,07	-1,15	1,33	1,48
8	49	88	50,23	-1,23	-1,29	1,67	0,00
9	50	88	50,23	-0,23	1,00	1,00	1,50
Итого	415,00	706,00	415,00	0,00	-0,75	10,99	7,22

По таблице найдем критические значения критерия Дарбина-Уотсона, для и , для нашего примера и

отвергается (положительная автокорреляция остатков). С вероятностью принимается

Зона неопределенности

принимается (отсутствие автокорреляции)

Зона неопределенности

отвергается (отрицательная автокорреляция остатков). С вероятностью принимается

0

2

4

Рисунок 20

Наглядно видно (рис. 20), что фактическое значение попадает в промежуток принятия нулевой гипотезы - отсутствие автокорреляции (необходимо помнить, что критерий Дарбина-Уотсона применим лишь для больших выборок, поэтому данную задачу можно рассматривать лишь как пример расчета).

Пример 37. Имеются данные о среднемесячной прибыли и затратах на рекламу (табл. 75).

Таблица 76

Год
1996	43	70	41,32	1,68
1997	44	74	43,74	0,26	1,68
1998	40	68	40,11	-0,11	0,26
1999	45	75	44,35	0,65	-0,11
2000	47	78	46,16	0,84	0,65
2001	48	80	47,37	0,63	0,84
2002	49	85	50,4	-1,40	0,63
2003	49	88	52,22	-3,22	-1,40
2004	50	88	52,22	-2,22	-3,22
2005	55	96	57,06	-2,06	-2,22
2006	57	97	57,66	-0,66	-2,06
2007	56	94	55,85	0,15	-0,66
2008	58	97	57,66	0,34	0,15
2009	62	99	58,88	3,12	0,34
2010	64	104	61,9	2,10	3,12
Коэффициент автокорреляции	0,69

Решение.

1. Построим линейную регрессионную модель и рассчитаем ее параметры

2.

По таблице найдем критические значения критерия Дарбина-Уотсона, для и , для нашего примера и

отвергается (положительная автокорреляция остатков). С вероятностью принимается

Зона неопределенности

принимается (отсутствие автокорреляции)

Зона неопределенности

отвергается (отрицательная автокорреляция остатков). С вероятностью принимается

0

2

4

Рисунок 21

Наглядно видно (рис. 21), что фактическое значение попадает в промежуток опровержения нулевой гипотезы - отсутствие автокорреляции, принимается альтернативная гипотеза - положительная автокорреляция остатков.

1.7.5 Анализ временных рядов при наличии автокорреляции остатков

Если анализ временного ряда выявил наличие автокорреляции в его остатках, то параметры уравнения регрессии находят, использую обобщенный метод наименьших квадратов.

Рассмотрим применение данного метода на примере парной линейной модели .

1. Преобразуем исходное уравнение к виду:

(246)

Где

2. Рассчитаем значение параметра как:

(247)

3. Подставляем полученные значения параметров и в уравнение регрессии .

Пример 38. Имеются данные о среднемесячной прибыли и затратах на рекламу (табл. 77).

Решение.

1. Построим линейную регрессионную модель и рассчитаем ее параметры

Таблица 77

Год
1996	43	70	41,32	1,68
1997	44	74	43,74	0,26	1,68
1998	40	68	40,11	-0,11	0,26
1999	45	75	44,35	0,65	-0,11
2000	47	78	46,16	0,84	0,65
2001	48	80	47,37	0,63	0,84
2002	49	85	50,4	-1,40	0,63
2003	49	88	52,22	-3,22	-1,40
2004	50	88	52,22	-2,22	-3,22
2005	55	96	57,06	-2,06	-2,22
2006	57	97	57,66	-0,66	-2,06
2007	56	94	55,85	0,15	-0,66
2008	58	97	57,66	0,34	0,15
2009	62	99	58,88	3,12	0,34
2010	64	104	61,9	2,10	3,12
Коэффициент автокорреляции	0,69

2. Рассчитаем ряд остатков , и его коэффициент автокорреляции в таблице 78.

Получили , то есть в ряду остатков высокая автокорреляция, поэтому параметры уравнения регрессии найдем, используя обобщенный метод наименьших квадратов.

· Преобразуем исходное уравнение к виду:

где

Преобразованное уравнение имеет вид:

Рассчитаем значение параметра как:

· Подставляем полученные значения параметров и в окончательное уравнение регрессии

.

Таблица 78

Год
1996	43			70			40,63
1997	44	30,10	13,90	74	49,00	25,00	43,16
1998	40	30,80	9,20	68	51,80	16,20	39,37
1999	45	28,00	17,00	75	47,60	27,40	43,80
2000	47	31,50	15,50	78	52,50	25,50	45,70
2001	48	32,90	15,10	80	54,60	25,40	46,96
2002	49	33,60	15,40	85	56,00	29,00	50,13
2003	49	34,30	14,70	88	59,50	28,50	52,03
2004	50	34,30	15,70	88	61,60	26,40	52,03
2005	55	35,00	20,00	96	61,60	34,40	57,09
2006	57	38,50	18,50	97	67,20	29,80	57,73
2007	56	39,90	16,10	94	67,90	26,10	55,83
2008	58	39,20	18,80	97	65,80	31,20	57,73
2009	62	40,60	21,40	99	67,90	31,10	58,99
2010	64	43,40	20,60	104	69,30	34,70	62,16

1.7.6 Коинтеграция временных рядов

Наличие тенденции в одном из временных рядов не всегда есть результат воздействия случайных причин, тенденция одного из рядов может быть результатом того, что другой временной ряд, включенный в модель также содержит тенденцию, вследствие чего коэффициент корреляции, рассчитанный по уровням таких рядов (содержащих одинаково или противоположно направленную тенденцию) может не содержать ложную корреляцию, а характеризовать истинную взаимосвязь.

Коинтеграция временных рядов - причинно-следственная зависимость в уровнях двух и более временных рядов, которая выражается в совпадении или противоположной направленности тенденций данных рядов и случайной колеблемости.

Наличие коинтеграции временных рядов определяю при помощи специальных критериев, наиболее часто используют:

· Критерий Энгеля-Грангера

· Критерий Дарбина-Уотсона.

1.7.6.1 Критерий Энгеля-Грангера определения коинтеграции временных рядов

Рассмотрим анализ модели на наличие коинтеграции временных рядов, используя критерий Энгеля-Грангера.

Сущность данного метода заключается в расчете фактического значения для коэффициента в уравнении

(248)

где

- первые разности остатков (абсолютные приросты), из соотношения

где; - коэффициент регрессии.

- стандартная ошибка коэффициента регрессии

Далее фактическое значение сравниваем с критическим значением , рассчитанным Энгелем и Грангером для разных уровней значимости (табл. 79).

Таблица 79. Критические значения , рассчитанным Энгелем и Грангером для разных уровней значимости

	Уровень значимости
	0,01	0,05	0,10
Значение	2,5899	1,9439	1,6177

Если фактическое значение больше критического значения , то говорят о наличии коинтеграции между рядами и .

Пример 39. Имеются данные о среднемесячной прибыли и затратах на рекламу (табл. 80).

Необходимо проверить модель на наличие коинтеграции между рядами, при , используя критерий Энгеля-Грангера.

Таблица 80

Год
1996	43	70	41,3601	1,6399
1997	44	74	43,8893	0,1107	-1,5292
1998	40	68	40,0955	-0,0955	-0,2062
1999	45	75	44,5216	0,4784	0,5739
2000	47	78	46,4185	0,5815	0,1031
2001	48	80	47,6831	0,3169	-0,2646
2002	49	85	50,8446	-1,8446	-2,1615
2003	52	88	52,7415	-0,7415	1,1031
2004	52	88	52,7415	-0,7415	0,0000
2005	55	96	57,7999	-2,7999	-2,0584
2006	57	97	58,4322	-1,4322	1,3677
2007	56	94	56,5353	-0,5353	0,8969
2008	58	97	58,4322	-0,4322	0,1031
2009	61	99	59,6968	1,3032	1,7354
2010	67	104	62,8583	4,1417	2,8385

Решение.

1. Рассчитаем значения (табл. 80)

2. Найдем

3. Построим

Где - первые разности остатков (абсолютные приросты), из соотношения

Получили

4. Фактическое значение , больше критического значения . Соответственно с вероятностью 95% можно сделать вывод о наличии коинтеграции временных рядов.

1.7.6.2 Критерий Дарбина-Уотсона определения коинтеграции временных рядов

Тестирование рядов на наличие коинтеграцции временных рядов и при помощи критерия Дарбина-Уотсона заключается в проверки нулевой гипотезы о том, что фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона в генеральной совокупности равно нулю.

При этом фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона, рассчитанное как:

(249)

сравнивают с критическим значением для разных уровней значимости (табл. 81).

Таблица 81. Критические значения критерия Дарбина-Уотсона, полученные методом Монте-Карло.

	Уровень значимости
	0,01	0,05	0,10
Критическое значение критерия Дарбина-Уотсона	0,511	0,386	0,322

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона больше критического значения, то говорят о наличии коинтеграции между рядами и .

Пример 40. Имеются данные о среднемесячной прибыли и затратах на рекламу (табл. 82).

Таблица 82

Год
1996	43	70	41,3601	1,6399
1997	44	74	43,8893	0,1107	1,6399
1998	40	68	40,0955	-0,0955	0,1107
1999	45	75	44,5216	0,4784	-0,0955
2000	47	78	46,4185	0,5815	0,4784
2001	48	80	47,6831	0,3169	0,5815
2002	49	85	50,8446	-1,8446	0,3169
2003	52	88	52,7415	-0,7415	-1,8446
2004	52	88	52,7415	-0,7415	-0,7415
2005	55	96	57,7999	-2,7999	-0,7415
2006	57	97	58,4322	-1,4322	-2,7999
2007	56	94	56,5353	-0,5353	-1,4322
2008	58	97	58,4322	-0,4322	-0,5353
2009	61	99	59,6968	1,3032	-0,4322
2010	67	104	62,8583	4,1417	1,3032

Необходимо проверить модель на наличие коинтеграции между рядами, при , используя критерий Дарбина-Уотсона.

Решение.

1. Рассчитаем фактическое значение критерия как:

2. Для нашего примера, при фактическое значение больше критического - 0,386. Соответственно с вероятностью 95% можно сделать вывод о наличии коинтеграции временных рядов.

1.8 Динамические эконометрические модели

Не все временные модели в эконометрике относят к динамическим временным моделям.

Динамические эконометрические модели (ДЭМ) - модели, которые в данный момент времени учитывают значения входящих в нее переменных, относящихся и к текущему и к предыдущему моментам времени. Та, например: