Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

Система показників кількісного оцінювання ступеня ризику

Анотація

Загальні підходи до кількісної оцінки ступеня ризику. Ймовірність як один з підходів до оцінки ризику. Об'єктивний і суб'єктивний метод визначення ймовірності. Показники та критерії допустимого, критичного та катастрофичного ризиків. Інгредієнт економічного показника. Ризик в абсолютному вираженні. Спрощений підхід до оцінювання ризику. Ризик як величина очікуваної невдачі. Зважене середньогеометричне значення економічного показника. Ризик як модальне значення міри невдачі. Ризик як міра мінливості результату. Середньозважене модуля відхилення від центра групування. Дисперсія та середньоквадратичне відхилення. Семіваріація та семіквадратичне відхилення. Середньоквадратичне та семіквадратичне відхилення від зваженого середньогеометричного.

1. Загальні підходи до кількісної оцінки ступеня ризику

Виправданий ризик - необхідний атрибут у стратегії і тактиці ефективного менеджменту. У кожній ситуації, пов'язаній з ризиком, постають запитання: що означає виправданий (допустимий) ризик? Де проходить межа, яка відділяє допустимий ризик від нерозумного? А тому якісний аналіз ризику є необхідним, але не достатнім етапом. Важливо виявити його ступінь, причому слід оцінити ймовірність того, що певна (несприятлива) подія має шанси відбутися, а тоді - як це вплине на ситуацію (рішення).

При досить високому ступені ризику в альтернативних стратегіях менеджери іноді приймають варіант рішення (стратегію) з дещо меншою ефективністю або чистою приведеною вартістю (ЧПВ), але з більшими шансами на своєчасну й успішну (надійну) реалізацію прийнятого варіанта (стратегії).

Чим досконалішими є методи визначення кількісної оцінки ризику, тим меншим стає чинник невизначеності.

Якщо малоймовірно, що відбудуться несприятливі наслідки, то ризик малий. Малий він і в тому разі, коли ймовірність збитків велика, а самі по собі збитки малі.

Ймовірність настання певної події може бути визначена об'єктивним та суб'єктивним методом. ймовірність ризик семіваріація семіквадратичне

Об'єктивний метод визначення ймовірності ґрунтується на обчисленні частоти, з якою в минулому відбувалась певна подія.

Суб'єктивний метод спирається на використання суб'єктивних оцінок та критеріїв, які ґрунтуються на різних припущеннях. До таких припущень можуть бути віднесені міркування бізнесмена (менеджера), його власний досвід, оцінка експерта, думка консультанта, порада консалтингової фірми тощо.

Важливою проблемою є розробка методик кількісної оцінки ступеня ризику в різних сферах економічної діяльності, удосконалення відповідного механізму відстежування (моніторингу), контролювання економічного ризику та керування ним на засадах системного аналізу.

2. Ймовірність як один з підходів до оцінки ризику

Оцінюючи ризик, на практиці нерідко обмежуються спрощеними підходами, спираються на один чи кілька головних показників (критеріїв), параметрів, які являють собою найважливіші узагальнені характеристики у даній конкретній ситуації.

У ряді випадків, зокрема в страхуванні, величину (ступінь) ризику визначають як ймовірність настання небажаних наслідків. В цьому випадку

W = р_н,

де р_н - ймовірність настання небажаних наслідків, W - величина ризику.

При аналізі збитків, який розглядався в лекції 9 (пункт 9.4), кожній із запропонованих зон ризику слід поставити у відповідність кількісні показники, критерії ризику. В прикладних проблемах економічного ризику для оцінки його величини широке використання має ймовірність перевищення заданого рівня збитків. Ця ймовірність обчислюється за формулою:

W(x) = P(X x) = 1 - P(X < x) = 1 - F(x).

Типовий графік кривої розподілу ймовірностей перевищення певного рівня випадкових збитків зображено на рис. 1 (крива W(x)).

Виділяють три такі найважливіші базові показники ризику.

Показник допустимого ризику:

W_доп = W(x_доп) = P(X x_доп),

тобто W_доп - це ймовірність того, що збитки виявляться більшими, ніж їх гранично допустимий рівень х_доп..

Показник критичного ризику:

W_кр = W(x_кр) = Р(Х х_кр),

тобто W_кр - це ймовірність того, що збитки виявляться більшими, ніж їх гранично допустимий критичний рівень х_кр.

Показник катастрофічного ризику:

W_кат = W(x_кат) = Р(Х х_кат),

тобто W_кат - це ймовірність того, що збитки виявляться більшими, ніж їх гранично допустимий катастрофічний рівень х_кат.

Рисунок 1 - Порівняння очікуваної ймовірності перевищення випадкових збитків з гранично допустимою

Знання цих показників дає змогу виробити міркування щодо можливості прийняти рішення відносно здійснення певної підприємницької діяльності. Але для остаточного прийняття рішення інформації про значення названих показників недостатньо - необхідно ще задати (встановити, прийняти) їх граничні величини, щоб не потрапити в зону неприйнятного ризику. Такі величини називають критеріями відповідно допустимого, критичного та катастрофічного ризику - к_доп, к_кр, к_кат.

Отже, маючи значення трьох показників ризику та критеріїв граничного ризику, приходимо до таких найбільш загальних умов прийнятності рівня ризику в досліджуваному виді підприємництва:

W(x_дп)к_дп;

W(х_кр)к_кр;

W(х_кт)к_кт.

Графічне пояснення основних умов прийнятності ризику приводиться на рис. 1 (крива К(x)).

Приклад 1. При здійсненні багаторазових інвестицій в певну підприємницьку діяльність обчислюється величина збитків у вигляді відсотка величини реальних збитків по відношенню до розрахункової суми виручки. Було встановлено, що обчислена таким чином величина збитків підкоряється нормальному закону розподілу з параметрами m=20 % (математичне сподівання) та =4 % (середньоквадратичне відхилення).

Фірма-інвестор встановила для себе такі критерії ризику: к_доп=20 %; к_кр=5 %; к_кат=0,1 %.

Як бути інвестору, якщо керівництво фірми, що домагається отримати інвестиції, вважає реальними такі показники ризику: х_доп=24 %; х_кр=28 %; х_кат=32 %.

Розв'язання. Оскільки у випадку нормального розподілу випадкової величини Х інтегральна функція розподілу:

F(x)=0,5+,

де Ф(t) - функція Лапласа, то:

W_доп =Р(Х>x_доп)=1-Р(Х<x_доп)=1

F(x_доп) = ,

тобто W_доп = 0,1587 < 0,2 = к_доп.

Аналогічно знаходимо, що:

W_кр = P(X > x_кр) = 0,5 - Ф(2) = 0,5-0,4772 = 0,0228,

тобто W_кр = 0,0228 < 0,05 = к_кр;

W_кат = Р(Х > x_кат) = 0,5 - Ф(3) = 0,5-0,49865 = 0,00135,

тобто W_кат = 0,00135 > 0,001 = к_кат.

Виходячи з того, що W_кат>к_кат, а також враховуючи, що інвестори - люди дуже обережні, робимо висновок, що фірмі-прохачу інвестиція не буде надана.

Приклад 2. Відомо, що відносні збитки, обчислені по відношенню до запланованих витрат від даного виду підприємницької діяльності, мають функцію щільності розподілу ймовірності:

(f(x)=0 при x<0).

Суб'єктом керування визначені границі допустимих, критичних та катастрофічних відносних збитків: х_доп=45 %; х_кр=60 %; х_кат=75 %.

Оцінити величину ризику допустимого, критичного та катастрофічного збитків.

Розв'язання. Шукані величини ризиків обчислюються за формулами:

W_доп = 1 - F(x_доп); W_кр = 1 - F(x_кр); W_кат = 1 - F(x_кат),

функція F(x) = 2( де t=x.

Оскільки згідно з умовою функція щільності характеризується параметром b = 30 %, то, використовуючи результати прикладу 9.3, отримуємо:

W_доп = 1-0,7794 = 0,2206;

W_кр = 1-0,9528 = 0,0472;

W_кат = 1-0,9939 = 0,0061.

Висновки. Рівень допустимих збитків перевищується приблизно у 22 випадках із 100, рівень критичних збитків - приблизно у 5 випадках із 100, рівень катастрофічних збитків - приблизно у 6 випадках з 1000.

Приклад 3. Відомо, що відносні збитки, обчислені по відношенню до запланованих витрат від даного виду підприємницької діяльності, мають логарифмічно нормальний закон розподілу ймовірностей з функцією щільності:

де m = 3, = 0,8.

Керівництво фірми вважає, що для їхнього підприємства критерії допустимого, критичного та катастрофічного ризиків набувають таких значень: k_доп=0,2; k_кр=0,02; k_кат=0,002. Виходячи із зроблених припущень, оцінити теоретичні значення меж зон допустимих, критичних та катастрофічних відносних збитків.

Розв'язання. Для логарифмічно нормального розподілу:

W(x) = 1 - F(x) = 1 - (0,5 + Ф(u)) = 0,5 - Ф(и),

де и = (ln x - m)/.

Тоді, з урахуванням умови k(x) W(x), отримуємо:

k(x) 0,5 - Ф(и) Ф(и) 0,5 - k(x) = .

Оскільки функція Ф(и) є зростаючою, то з нерівності Ф(и) отримуємо, що:

де и - розв'язок рівняння Ф(и)= - знаходимо в таблиці значень функції Лапласа.

Враховуючи, що:

отримуємо оцінку:

0,02 W(x_доп) х_доп e^3,672 39,330.

Аналогічно для межі зони критичних відносних збитків отримуємо оцінку:

Тобто мінімальним теоретичним рівнем критичних відносних збитків є величина х*_кр=104,376 і зоною критичних відносних збитків є інтервал [39,330; 104,376].

Аналогічно для межі зони катастрофічних відносних збитків:

Тобто мінімальним теоретичним рівнем катастрофічних збитків є величина х*_кат=201,140, а зоною катастрофічних відносних збитків є інтервал [104,376; 201,140].

Якщо врахувати, що середньоквадратичне відхилення:

то приходимо до висновку, що зоною допустимих відносних збитків є (приблизно) інтервал [0; 1,5], зоною критичних відносних збитків - інтервал [1,5; 4], зоною катастрофічних збитків - інтервал [4; 7,7].

Слід зазначити також, що:

Для порівняння, якщо у функції щільності f(x) покласти = 0,4, то отримуємо:

(Х)=3,775; Мо(Х) = 17,116 4,5; М(Х) = 21,758 5,8;

х_доп=28,106 7,4; x_кр= 45,787 12,1; x_кат=63,561 16,8.

3. Інгредієнт економічного показника

Вважають, що економічний показник Х (або його характеристика) має позитивний інгредієнт, якщо при прийнятті рішення орієнтуються на його максимальне значення. Для цих випадків записують, що Х = Х⁺.

Якщо ж під час прийняття рішень орієнтуються на мінімальне значення економічного показника, то вважають, що він має негативний інгредієнт. У цій ситуації пишуть, що Х = Х -.

4. Ризик в абсолютному вираженні

В абсолютному вираженні ризик може визначатися сподіваною величиною можливих збитків, якщо збитки піддаються такому вимірові. Як міру ризику в абсолютному вираженні використовують також оцінки мінливості результату.

4.1 Спрощений підхід до оцінювання ризику

На практиці, оцінюючи ризик, часто обмежуються спрощеним підходом. При цьому спираються на одне значення економічного показника, яке відображає найважливішу узагальнену характеристику у даній конкретній ситуації. Якщо в якості такої узагальненої характеристики виступає величина небажаних наслідків (збитки, платежі тощо), то міра (ступінь) ризику невдачі (в процесі досягнення мети) може визначатися як добуток ймовірності невдачі (небажаних наслідків) на величину цих наслідків, тобто:

W = p_н·х_н,

де х_н - величина небажаних наслідків.

Приклад 4. Надаючи банківський кредит комерційній фірмі, вважають, що збитки можливі в 20 % випадків. Величина збитків може становити 20 тис. грн. Визначити величину ризику.

Розв'язання. Оскільки х_н = 20000(гривень), р_н = 0,2, то величина ризику становить W== р_н·х_н= 200000,2 = 4000(гривень).

4.2 Ризик як величина очікуваної невдачі

Безсумнівний інтерес становить така оцінка ризику невдачі, яка грунтується на всьому спектрі можливих результатів (збитків, платежів тощо). Якщо ж відомі всі можливі наслідки окремої події та ймовірності їх настання, то для оцінки міри (ступеня) ризику використовується величина очікуваної невдачі (сподіване значення, математичне сподівання), пов'язана з невизначеністю, тобто середньозважена величина цих можливих результатів, де ймовірність кожного з них використовується як частота або питома вага відповідного значення. У випадку, коли всі можливі наслідки події описуються дискретною випадковою величиною:

Х= Х - = {x₁; x₂; …; x_n},

а розподіл ймовірностей їх настання:

P={p₁; p₂; …; p_n}; ,

то величина ризику очікуваної невдачі:

W = M(Х -) = .

Якщо ж несприятливі наслідки події описуються неперервною випадковою величиною , то:

W = M(Х -) = ,

де f(x) - щільність розподілу ймовірності.

Приклад 5. Надаючи банківський кредит комерційній фірмі, здійснюють прогноз можливих значень збитків та відповідних значень ймовірності. Числові дані подано в табл. 1.

Таблиця 1

Оцінка можливого результату	Прогнозовані збитки, тис. грн	Значення ймовірності
Песимістична Стримана Оптимістична	30 6 -40	0,2 0,5 0,3

Визначити сподівану величину ризику, тобто збитків.

Розв'язання. Випадкова величина Х, що характеризує можливі збитки, Х - ={30; 6; - 40}. Тоді величина ризику (сподіваних збитків):

тобто комерційній фірмі можна надати кредит, оскільки величина сподіваних збитків становить W = -3, а це вказує на можливість прибутку.

Висновок. Сподіване значення є центром групування реалізацій випадкової величини Х, а тому його можна розглядати як результат (ризик), який ми очікуємо в середньому.

4.3 Зважене середньогеометричне значення економічного показника

У якості характеристики центра групування реалізацій економічного показника (випадкової величини Х) можна використовувати величину G(Х) - його зважене середньогеометричне значення. У випадку, коли Х > 0, G(Х) визначається за формулою:

G(Х) = е^{M(ln X)}.

Якщо ж Х є дискретною випадковою величиною, тобто Х = {x₁; x₂;…;x_n}, то:

Якщо ж при цьому р ₁ = р ₂ = … р_n = 1/n, то отримуємо середньогеометричну оцінку випадкової величини Х:

.

У ситуації, коли випадкова величина Х набуває як додатних, так і від'ємних значень і є дискретною, зважену середньогеометричну оцінку можна знайти за формулою:

де , (наприклад, = 1).

Під час обчислення зваженої середньогеометричної оцінки норми прибутку цінного паперу (чи портфеля цінних паперів) покладають X = R/100 % (R - норма прибутку), а = - 1, = 0. Тоді,

У випадку, коли величина G(Х) оцінюється на основі статистичних даних:

де Т - кількість періодів.

Якщо випадкова величина Х відображає спектр можливих збитків (платежів тощо), то зважене середньогеометричне цієї величини можна використовувати в якості оцінки величини ризику W = G(Х -).

Приклад 6. Виходячи з умови прикладу 10.5, визначити величину ризику як зважене середньогеометричне прогнозованих збитків.

Розв'язання. Враховуючи, що а=min{30; 6; -40} = -40, поклавши = 1, отримуємо:

G(X -) = - 40 + 1 + (30 + 40 + 1)^0.2(6 + 40 + 1)^0.5(- 40 + 40 + 1)^0.3 = - 24,92.

Зауваження 1. Довільний вибір величини спричинює доцільність використання цієї оцінки ризику лише в плані порівняння між собою альтернативних проектів.

4.4 Ризик як модальне значення міри невдачі

У випадку, коли адекватною моделлю міри невдачі є випадкова величина Х - з несиметричним розподілом ймовірності, в якості величини ризику доцільно використовувати модальне значення - Мо(Х) - цієї випадкової величини, тобто:

W = Mo(X -).

Нагадаємо, що модою дискретної випадкової величини є найбільш ймовірне значення цієї випадкової величини. Для неперервної випадкової величини мода - це точка максимуму функції щільності розподілу ймовірності значень цієї випадкової величини.

Якщо повернутись до прикладу 5, то величина ризику визначається розмірами збитків, що відповідають стриманій оцінці можливого результату, оскільки Р(Х=6) = max{0,2; 0,5; 0,3} = 0,5, тобто величина ризику

W = Mo(X -) = 6 (тис. гривень).

4.5 Ризик як міра мінливості результату

У якості величини ризику в абсолютному вираженні часто використовується міра розсіювання значень економічного показника відносно центра групування цих значень.

4.5.1 Середньозважене модуля відхилення від центра групування

Нехай в якості центра групування значень економічного показника використовується його математичне сподівання. Тоді середньозважене модуля відхилення цього показника від свого математичного сподіваного у дискретному випадку можна знайти за формулою:

.

Якщо ж в якості центра групування значень економічного показника використати моду, то середньозважене відхилення від модального значення у дискретному випадку знаходять за формулою:

.

У ситуації, коли адекватною моделлю економічного показника є неперервна випадкова величина:

М(|X - M(X)|) = |X - M(X)| f(x)dx,

М(|X - Mo(X)|) = |X - Mo(X)| f(x)dx,

де f(x) - функція щільності розподілу ймовірності.

Очевидно, що більші значення приведених оцінок свідчать про більшу нестабільність щодо діяльності відповідного економічного об'єкта. В якості величини ризику і використовується ця міра нестабільності, тобто:

W = M(|X - M(X)|), або ж

W = M(|X - Mo(X)|).

Слід мати на увазі, що даний підхід до оцінки ризику застосовується у випадку, коли економічний показник може мати як позитивний, так і негативний інгредієнт (тобто Х = Х ).

Приклад 7. Виходячи з умови прикладу 5, обчислити величину ризику як міри мінливості результату.

Розв'язання. Якщо в якості центра групування обрати М(Х) = -3, то величина ризику становитиме:

W = M(|X - M(X)|)= 0,2|30 + 3| + 0,5|6 + 3| + 0,3| - 40 + 3| = 22,2 (тис. грн.).

Якщо в якості центра групування обрати Мо(Х) = 6, то:

W = M(|X - Mо(X)|) = 0,2|30-6| + 0.5|6-6| + 0,3|- 40-6| = 18,6 (тис. грн.).

4.5.2 Дисперсія та середньоквадратичне відхилення

При абсолютному вираженні міри ризику під час прийняття економічних рішень широко використовується дисперсійний підхід.

Дисперсією (варіацією) V(X) випадкової величини Х є зважена щодо ймовірності величина квадратів відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання М(Х). Дисперсія характеризує міру розсіяння випадкової величини Х навколо М(Х) і обчислюється за формулою:

V(X) = M(X - M(X))² = M(X²) - (M(X))².

Для дискретної випадкової величини:

Середньоквадратичним (стандартним) відхиленням випадкової величини Х називається величина:

Підхід до оцінки ризику, що спирається на варіацію чи середньоквадратичне відхилення, вважається класичним. Причому чим більшими будуть ці величини, тим більшим буде ступінь ризику, пов'язаного з певною стратегією, тобто величина ризику:

W = V(X) або W = (X).

Слід зазначити, що такий підхід до оцінки ступеня ризику використовується, коли Х = Х .

Приклад 8. Розглядаються два проекти А і В щодо інвестування. Відомі оцінки прогнозованих значень доходу від кожного з цих проектів та відповідні значення ймовірностей. Цифрові дані наведено в табл.2.

Таблиця 2

Оцінка можливого результату	Прогнозований прибуток (тис. гривень)	Значення ймовірності
	А	В	А	В
Песимістична Оптимістична	100 200	51 151	0,5 0,5	0,01 0,99

Потрібно оцінити міру ризику кожного з цих проектів і обрати один з них (той, що забезпечує меншу величину ризику) для інвестування.

Розв'язання. Нехай Х_A = {100; 200}, X_B = {51; 151} відповідно випадкові величини, що відображають можливі прибутки від реалізації проектів.

Знайдемо величини сподіваних прибутків:

М(Х_А) = 0,5100 + 0,5200 = 150 (тис. грн);

М(Х_В) = 0,0151 + 0,99151 = 150 (тис. грн),

тобто обидва проекти мають однаковий прогнозований сподіваний прибуток.

У якості міри ризику використаємо оцінку мінливості (варіацію) можливих результатів інвестування:

Оскільки , то проект В є менш ризикованим порівняно з проектом А, і йому слід віддати перевагу.

Аналогічний результат ми отримаємо, якщо за міру ризику візьмемо середньоквадратичне відхилення:

тобто проект В є менш ризикованим.

4.5.3 Семіваріація та семіквадратичне відхилення

Слід мати на увазі, що при класичному визначенні міри ризику однаково трактуються як додатні, так і від'ємні відхилення величини реального ефекту від сподіваної величини, тобто виконується гіпотеза про те, що коливання випадкової величини Х (прибутку, ЧПВ, збитків) в обидві сторони однаково небажані. Але у ряді випадків це не так і цю гіпотезу доводиться відкидати.

Якщо випадкова величина Х = {x₁; …; x_n} відображає прибутки (Х = Х⁺) і значення х_i < M(X) (оцінка прибутку х_і є реалізацією випадкової величини Х і є меншою від сподіваної величини прибутку), то це є ознакою несприятливої ситуації. В той же час додатне відхилення вказує на те, що реалізація випадкової величини (прибутку) є більшою, ніж сподівана величина, і це для менеджера (інвестора) є, очевидно, кращою, тобто сприятливою ситуацією.

У неокласичній теорії економічного ризику виходять з того, що ризик пов'язаний лише з несприятливими для менеджера (інвестора) ефектами і для його оцінювання достатньо брати до уваги лише несприятливі відхилення від сподіваної величини. При цьому в якості міри ризику використовується семіваріація, яка обчислюється за формулою:

де

_j - індикатор несприятливих відхилень, який визначають за формулою:

Якщо ж, наприклад, Х={x₁; …; x_n} відображає можливі варіанти збитків (Х = Х -, тобто має негативний інгредієнт), то:

Для неперервної випадкової величини Х відповідно:

З практичної точки зору зручніше (беручи до уваги вимірність величин) застосовувати семіквадратичне відхилення.

Згідно із сказаним вище чим більшою буде величина SV(X) (чи SSV(X)), тим більшим буде ступінь ризику,

Приклад 9. Результати спостережень за нормами прибутку портфелів цінних паперів А і В протягом минулих п'яти періодів наведено в табл.3.

Таблиця 3

Період	Норма прибутку (%)
	RA	RB
1 2 3 4 5	5 3 2 3 7	3 5 6 5 1

Інвестор має можливість придбати лише один з цих портфелів. Потрібно оцінити міру ризику кожного з портфелів і придбати той, що забезпечує меншу величину ризику (для інвестування).

Розв'язання. У випадку, коли наявні статистичні дані щодо минулого, сподівану норму прибутку, її варіацію та семіваріацію можна обчислити, відповідно, за формулами:

де R = {R₁; R₂; …; R_T} - випадкова величина, що відображає значення норми прибутку в попередні Т періодів, R_t - норма прибутку портфеля цінних паперів в t-му періоді (t = 1, …, T), Т - кількість періодів, які минули і в які здійснювались спостереження за випадковою величиною R.

Нехай R_A - випадкова величина, що відображає можливі значення норми прибутку портфеля А, R_B - портфеля В. Тоді:

M(R_A) = 1/5 (5 + 3 + 2 + 3 + 7) = 4;

M(R_B) = 1/5 (3 + 5 + 6 + 5 + 1) = 4;

V(R_A) = 1/4 ((5-4)² +(3-4)²+(2-4)²+(3-4)²+(7-4)²) = 4;

V(R_B) = 1/4 ((3-4)²+(5-4)²+(6-4)²+(5-4)²+(1-4)²) = 4,

тобто на основі величин M(R_A), M(R_B), V(R_A) та V(R_B) ми не можемо надати перевагу ні портфелю А, ні портфелю В.

Обчислимо величини семіваріацій для цих портфелів. Оскільки для портфеля А величина ₁ = 0; ₂ = 1; ₃ = 1; ₄ = 1; ₅ = 0, то отримуємо:

W_A = SV(R_A) = 1/3(0² + (- 1)² + (- 2)² + (- 1)² + 0²) = 2.

Для портфеля В: ₁ = 1; ₂ = 0; ₃ = 0; ₄ = 0; ₅ = 1. Тоді

W_B = SV (R_B) = 1/2 ((- 1)² + 0² + 0² + 0² + (- 3)²) = 5.

Оскільки W_A<W_B, то, виходячи з позицій мінімального ризику, для інвестора більш привабливим є портфель А. -

Зауваження 2. У випадку, коли кількість спостережень Т є недостатньо великою (Т < 15), то для обчислення незміщених оцінок можуть використовуватись формули:

4.5.4 Середньоквадратичне та семіквадратичне відхилення від зваженого середньогеометричного

Для оцінки ризику можна використовувати також середньоквадратичне відхилення від зваженого середньогеометричного:

,

або ж оцінку цієї величини на основі статистичних даних:

.

Виявляється, що портфель цінних паперів, сформований на підставі максимізації зваженої середньогеометричної норми прибутку, характеризується найвищою очікуваною вартістю в кінці середньо- та довготермінового періоду (найвищим кінцевим багатством).

З точки зору неокласичного підходу до оцінки ризику доцільним є впровадження такого показника ступеня ризику, як семіквадратичне відхилення від зваженого середньогеометричного випадкової величини:

,

де SG(X) - величина семіваріації по відношенню до зваженого середньогеометричного; SSG(X) - семіквадратичне відхилення, _j - індикатор j-го несприятливого відхилення.

Оскільки величина SG(X) має негативний інгредієнт, то, як і раніше, ризик вважається більшим при більших значеннях SG(X) (чи SSG(X)).

Приклад 10. Норми прибутку акцій виду А і В (відповідно R_A і R_B), що спостерігались за минулі десять періодів, подано в табл.4.

Таблиця 4

Період	Норма прибутку акцій, %	Період	Норма прибутку акції, %
t	RA	RB	t	RA	RB
1	6,90	3,71	6	7,14	5,06
2	12,67	4,90	7	2,81	5,92
3	- 3,33	1,73	8	11,25	7,67
4	6,45	2,67	9	- 1,71	4,94
5	- 2,16	3,88	10	3,27	2,81

Яка з цих акцій є менш ризикованою з позиції недоодержання в перспективі можливого прибутку (є перспективнішою з точки зору найвищої очікуваної вартості)?

Розв'язання. Покладемо X_A = R_A/100 %, X_B = R_B/ 100 %. Тоді:

.

Обчисливши величину знаходимо, що , або ж G(R_A) = 4,196 %. Аналогічно, або ж G(R_B) = 4,316 %.

Економічні показники R_A та R_B - норми прибутків цінних паперів - мають позитивний інгредієнт. А тому середньогеометричні оцінки G(R⁺_A) та G(R⁺_B) мають позитивний інгредієнт. Оскільки при цьому G(R_B) > G(R_A), то найвищий очікуваний в перспективі прибуток будуть мати акції виду В.

Зроблений висновок підтверджується також з позиції критерію мінімального середньоквадратичного відхилення:

тобто акції виду А є більш ризикованими ().

Оскільки G - (R_A) = 5,551; G - (R_B) = 1,743, то зроблений висновок підтверджується також з точки зору критерію мінімального середньоквадратичного відхилення від зваженого середньогеометричного.

Для акцій виду А зважене середньогеометричне G(R_A) = 4,196, тоді

SG(R_A) = = ((- 3,33-4,196)² + (- 2,16-4,196)² + (3,27-4,196)²) = 11,089;

SSG(R_A) = = 3,33(%).

Для акцій виду В:

G(R_B) = 4,316 %; SG(R_B) = 1,358; SSG(R_B) = 1,165.

Оскільки , то з позиції семіквадратичного відхилення від зваженого середньогеометричного ступінь ризику акції виду В, як і раніше, є меншим від ступеня ризику акцій виду А.

Отже, згідно з проведеним дослідженням перевагу можна надати акціям виду В.

Размещено на Allbest.ru