Применение функций в экономике. Интерполирование функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ЭКОНОМИКЕ. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью, так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Наряду с линейными, используются нелинейные функции, такие, как дробно-рациональные, степенные (квадратная, кубическая и т.д.), показательные (экспоненциальные), логарифмические и другие функции. Периодичность, колеблемость ряда экономических процессов позволяет также использовать тригонометрические функции.

Наиболее часто используются в экономике следующие функции:

1. Функция полезности (функция предпочтений) - в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

2. Производственная функция - зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

3. Функция выпуска (частный вид производственной функции) - зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.

4. Функция издержек (частный вид производственной функции) - зависимость издержек производства от объема продукции.

5. Функции спроса, потребления и предложения - зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

Учитывая, что экономические явления и процессы обусловливаются действием различных факторов, для их исследований широко используются функции нескольких переменных. Среди этих функций выделяются мультипликативные функции, позволяющие представить зависимую переменную в виде произведения факторных переменных, обращающего его в нуль при отсутствии действия хотя бы одного фактора.

Используются также сепарабельные функции, которые дают возможность выделить влияние различных факторных переменных на зависимую переменную, и в частности, аддитивные функции, представляющие одну и ту же зависимую переменную как при суммарном, но раздельном воздействии нескольких факторов, так и при одновременном их воздействии. экономическая функция рекуррентное мультипликативный

Если действием побочных факторов можно пренебречь или удается зафиксировать эти факторы на определенных уровнях, то влияние одного главного фактора изучается с помощью функции одной переменной.

Остановимся еще на одном важном аспекте использования функций в экономике применении таблиц функций, которые позволяют сделать возможными различные расчеты, исключить или упростить громоздкие вычисления.

При вычислениях с помощью таблиц мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда аргумент функции задан с большей точностью, чем позволяет таблица. В этом случае мы должны прибегнуть к интерполированию (интерполяции), - приближенному нахождению неизвестных значений функции по известным ее значениям в заданных точках.

Наиболее простым является линейное интерполирование, при котором допускается, что приращение функции пропорционально приращению аргумента. Если заданное значение x лежит между приведенными в таблице значениями x₀ и x₁ = x₀ + h, которым соответствуют значения функцииy₀ = f(x₀) и y₁ = f(x₁) = f(x₀) + /\f, то считают, что:

f(x) = f(x₀)+(x-x₀)/h^f.

Величины (x - x₀)/\f/h называются интерполированными поправками. Эти величины вычисляются с помощью таблицы или приводятся в дополнении к таблице.

Если по заданным значениям функции необходимо найти приближенное значение аргумента, то необходимо произвести обратное интерполирование.

Задача 5.1.

Функция y = f(x) задана таблицей:

a) Используя линейное интерполирование, найти f(2,008).

б) Чему равен x, если f(x) = 3,1?

Решение 5.1.

а) Имеем:

x₀ = 2,00; f(x₀) = 2,42;

x₁ = 2,04; f(x₁) = 2,88;

h = x₁ - x₀ = 2,04-2,00 = 0,04;

/\f = f(x₁) - f(x₀) = 2,88-2,42 = 0,46.

Теперь по интерполяционной формуле получим:

y = f(2,008) = 2,42 + (2,008-2,00) * 0,46 / 0,04 = 2,512.

б) Обратное интерполирование можно провести по той же формуле, в которой поменять местами переменные x и y:

g(y) = g(y₀) + (y - y₀)/h^g

где x = g(y) - неизвестное значение обратной функции.

Имеем:

y₀ = 2,88; g(y₀) = 2,04;

y₁ = 3,38; g(y₁) = 2,08;

h = y₁ - y₀ = 3,38-2,88 = 0,50;

/\g = g(y₁) - g(y₀) = 2,08-2,04 = 0,04.

Теперь по интерполяционной формуле получим:

x = g(3,1) = 2,04 + (3,1-2,88) * 0,04 / 0,50 = 2,058.

В ряде случаев точность нахождения неизвестных значений с помощью линейного интерполирования оказывается недостаточной и используются другие методы интерполирования, например, квадратичное интерполирование.

Размещено на Allbest.ru