Модели взаимодействия экономических систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Модели взаимодействия экономических систем

А.Д. Липенков

При построении математических моделей экономических систем прежде всего возникает вопрос о выборе переменных, описывающих эти системы. На их выбор накладывается ряд ограничений. Во-первых, они должны отражать объективно протекающие в системе процессы, во-вторых, для них необходима эффективная измерительная процедура, максимально исключающая субъективные оценки. Использование неизмеримых параметров приводит к невозможности проверить адекватность модели той экономической системе, которую она описывает. В качестве всеобщего измерителя чаще всего используются стоимостные оценки, подверженные большому влиянию разнообразных трудно учитываемых субъективных факторов типа предпочтений, субъективных желаний и пр.

В данной статье в качестве основного параметра, описывающего поведение экономической системы, используется эффективно измеримый физический параметр -- энергетическая мощность. Выбор такого параметра связан с тем, что в соответствии с открытым П. Кузнецовым законом исторического развития на протяжении всей истории наблюдается рост энергетической мощности человечества [2].

При анализе процессов взаимодействия экономических систем будем опираться на следующие методологические принципы.

1. Системный подход. Произвольная экономическая система, рассматриваемая как некоторая материальная система, в которой происходят процессы трансформации природных ресурсов в конечный продукт, удовлетворяющий потребности людей, является открытой саморазвивающейся системой и подчиняется общим закономерностям развития открытых систем.

2. Физический поход. Взаимодействие любых систем, в том числе и экономических, осуществляется путем обмена веществом, энергией и информацией. Возможности системы по адаптации к среде определяются, прежде всего, ее возможностями по управлению потоками энергии. Для создания потоков вещества (сырья, продукции и пр.) необходимы энергетические затраты. Связь между потоками вещества и энергии имеет простой вид:

экономический дифференциальный общество

где у -- коэффициент пропорциональности. Он зависит от типа переносимого вещества, условий переноса, а также от совершенства технологии, в результате применения которой создается поток вещества. Зная этот коэффициент, можно рассчитать вещественные потоки. Поэтому основное внимание будет уделено рассмотрению энергетического взаимодействия систем.

Для построения моделей взаимодействия экономических систем будем использовать метод системной динамики Дж. Форрестера [5]. Произвольную открытую систему представим как набор резервуаров свободной энергии, соединенных между собой потоками энергии. Под свободной энергией понимается та часть общего запаса энергии системы, которая может быть преобразована в работу. Интенсивность потоков регулируется имеющимися в системе прямыми и обратными связями.

Активная открытая система, а такими являются все биологические и социально-экономические системы, совершает над внешней средой работу за счет части накопленной свободной энергии. Результатом этой работы должен быть такой поток свободной энергии из среды, который компенсирует рассеяние энергии в процессе функционирования системы, то есть предотвращает ее деградацию и дает излишек, позволяющий системе совершать работу над средой в следующем цикле функционирования.

Поведение в среде простейшей открытой системы, имеющей один резервуар свободной энергии, описывается следующим балансовым дифференциальным уравнением [3]:

где E -- запас свободной энергии системы, W -- поток энергии, расходуемой системой на взаимодействие со средой, N -- входной поток энергии из среды, R -- поток энергии, рассеиваемой в процессе функционирования системы.

Величина потока энергии N, возникающего на входе системы в результате ее воздействия на среду, зависит от величины управляющего воздействия на среду W, то есть является функцией N(W), которую будем называть функцией отклика среды. Вид функции N(W) определяется свойствами объекта в окружении системы, являющегося для нее источником свободной энергии. Таким образом, функция N(W) -- это описание внешней среды.

В свою очередь, величина воздействующего на среду потока энергии W определяется энергетическими возможностями системы, то есть запасом свободной энергии в системе E. Поэтому величина W является функцией этого запаса W(E).

Увеличение размеров системы ведет к увеличению потока энергии R, расходуемого на поддержание ее жизнедеятельности и, в конечном итоге, рассеиваемого системой во внешнюю среду. В экономической системе это может объясняться, например, ростом транспортных расходов при увеличении ее размеров. Вследствие этого поток R зависит от величины накопленной в системе энергии, то есть является функцией R(E), которую будем называть функцией потерь системы.

Конкретные модели открытых систем получаются при задании вида управляющего воздействия W(E), вида функций отклика среды N(W) и потерь R(E).

В простейшем случае управляющее воздействие W пропорционально запасу свободной энергии системы

В пользу такой зависимости можно привести следующие аргументы. В случае с биологической популяцией запас ее свободной энергии пропорционален численности популяции, или биомассе. Вследствие этого временная динамика численности популяции совпадает с динамикой ее свободной энергии. Аналогичный пример: в первобытном обществе, занимавшемся собирательством и охотой, основным источником энергии была мускульная сила человека; ясно, что затраты ее на добывание пищи пропорциональны численности первобытного коллектива.

В случае с линейной стационарной средой ее функция отклика N(W) является линейной, не зависит от времени и имеет следующий вид:

где k -- постоянный коэффициент.

Такая функция отклика соответствует среде с неограниченным запасом свободной энергии, обеспечивающим любой входной поток энергии N. Величина k показывает, сколько ватт входной мощности получает система при расходовании одного ватта своей мощности.

Функцию потерь будем предполагать квадратичной:

Поскольку запас свободной энергии системы E пропорционален размеру системы, такой вид функции потерь соответствует квадратичному росту затрат энергии на поддержание ее функционирования при росте системы.

Если принять во внимание изложенные выше предположения, основное уравнение поведения открытой системы (1) в линейной среде с учетом (2) и (3) примет следующий вид:

Введем обозначение a = h(k -- 1) и запишем уравнение (4) в следующем виде:

Мы получили известное в экологии уравнение Ферхюльста, которое описывает рост популяции при внутривидовой конкуренции. При малых значениях E, когда вторым членом в правой части уравнения можно пренебречь, уравнение Ферхюльста переходит в уравнение Мальтуса. С ростом E все сильнее сказывается влияние второго члена, ограничивающего скорость роста запаса свободной энергии E, пока она не станет равной нулю. Таким образом, на начальном этапе развития системы происходит ее экспоненциальный рост, который постепенно замедляется, пока система не перейдет в состояние равновесия.

Такой тип поведения присущ большому классу систем, находящихся в среде, оказывающей сопротивление их экспансии [1; 4]. Это служит веским доводом в пользу принятия модели, описываемой уравнением Ферхюльста, в качестве базовой при построении моделей более сложных систем.

Рассмотрим более сложные системы, образуемые из нескольких открытых подсистем. Взаимодействие систем осуществляется с помощью потоков энергии, которыми они обмениваются между собой и со средой. Ограничимся примером систем, состоящих из двух подсистем. Различные варианты таких систем представлены на рис. 1.

Из двух взаимодействующих систем одна эксплуатирует другую, отбирая у нее часть мощности. Будем называть эксплуатирующую систему хищником, а эксплуатируемую жертвой. Вертикальными стрелками показаны энергетические связи системы с внешней средой. Чтобы не загромождать рисунок, мы не показали связи со средой, по которым происходит рассеяние энергии подсистем в процессе их функционирования.

Рис. 1. Открытая система, состоящая из двух подсистем:

-- система «хищник»;-- система «жертва»

Рис. 1а соответствует случаю, когда жертва способна существовать самостоятельно, а хищник - только за счет энергии, поступающей из системы жертвы. Этот вариант взаимодействия известен как система «хищник-жертва».

На рис. 1б показан случай, когда система «хищник» может существовать самостоятельно, однако дополнительно использует запас свободной энергии второй системы, которая сама не способна ее накапливать. Пример такого взаимодействия -- эксплуатация месторождения.

Рис. 1в соответствует случаю, когда каждая из двух подсистем способна существовать при отсутствии второй, однако система «хищник» эксплуатирует вторую систему, отбирая у нее часть мощности. Здесь примером может служить система «метрополия- колония».

Рассмотрим взаимодействие двух систем типа «хищник-жертва», когда одна из систем (жертва) способна получать поток энергии из среды и является системой ферхюльстовского типа. Вторая система (хищник) может существовать только за счет эксплуатации жертвы, отбирая у нее поток энергии. Для этого она осуществляет энергетическое воздействие на эксплуатируемую систему. Реальным примером такой системы является первобытное общество охотников, которое может существовать только за счет охоты на популяцию диких животных.

Обозначим запас свободной энергии системы хищника через х, а запас свободной энергии жертвы через у. Система дифференциальных уравнений, описывающих взаимодействие этих двух систем, имеет следующий вид:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Как уже отмечалось выше, динамика запаса свободной энергии популяции совпадает с динамикой ее численности, поэтому можно считать, что первое уравнение описывает изменение численности населения, а второе -- изменение численности популяции диких животных.

Рассмотрим простейший пример линейной функции отклика системы жертвы N(W) = kW, которая в этом частном случае является средой для системы хищника. То есть чем больше усилий затрачено на охоту, тем больше добыча. Параметр k является величиной, которая характеризует эффективность применяемой технологии охоты, то есть уровень технологического развития общества.

Управляющее воздействие W на жертву системы хищника вызывает появление на ее входе потока N, который является выходным потоком для системы жертвы. Будем предполагать, что энергетическое воздействие W пропорционально численности населения: W = hx. С учетом этого функция отклика приобретает вид N = khx.

Уравнения взаимодействия рассматриваемых систем (6) теперь можно записать следующим образом:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Результаты имитационного моделирования представлены на рис. 2.

Система «жертва» остается устойчивой, пока величина потока энергии, отбираемого у нее системой «хищник», не превысит некоторого порога. После этого происходит срыв устойчивости системы, и запас ее свободной энергии начинает быстро уменьшаться, стремясь к нулю.

Рис. 2. Срыв устойчивости в системе «хищник-жертва»

Этот момент есть начало кризиса всей системы, что, однако, не сразу отразится на поведении системы хищника. Некоторое время в ней не происходит никаких изменений, и она продолжает существовать в прежнем режиме, с той же интенсивностью эксплуатировать жертву, тем самым лишая себя будущего. Когда запас свободной энергии жертвы упадет до нуля, начинается катастрофический необратимый процесс гибели системы хищника.

В рассматриваемом первобытном обществе охотников это соответствует случаю, когда с ростом населения увеличивается интенсивность охоты. Численность населения повышается, а численность популяции диких животных сокращается при сохранении устойчивости всей системы. Однако когда численность популяции животных падает ниже половины ее равновесного значения до начала охоты, возникает бифуркация и популяция необратимо гибнет. Вслед за ней гибнет и общество охотников. Таким образом, рассматриваемая модель описывает экологическую катастрофу, вызванную массовым истреблением диких животных.

Полученные результаты верны также для системы «метрополия-колония». История Древнего мира знает немало примеров, когда рост государств происходил за счет ограбления захваченных территорий соседей. На первых порах это всегда приводило к увеличению могущества захватчика. Типичным примером является Римская империя. Однако безжалостная эксплуатация колоний неизбежно привела со временем к сокращению потоков товаров, продуктов питания и, прежде всего, рабов, то есть к уменьшению потока энергии из колоний в метрополию, что в конечном итоге явилось одной из главных причин гибели последней.

экономический система дифференциальный модель

Список литературы

1. Базыкин, А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций / А.Д. Базыкин. М.: Наука, 1985. 182 с.

2. Кузнецов, О.Л. Система природа -- общество -- человек: устойчивое развитие / О.Л. Кузнецов, П.Г. Кузнецов, Б.Е. Большаков; Государственный научный центр Российской Федерации ВНИИ геосистем; Международный университет природы, общества и человека «Дубна». М.: Дубна, 2000. 392 с.

3. Липенков, А.Д. Энергетический подход к моделированию экономических систем / А.Д. Липенков // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. Рынок: теория и практика. Вып. 2. 2006. № 1 (56). С. 156-162.

4. Пешель, М. Моделирование сигналов и систем / М. Пешель. М.: Мир, 1981. 300 с.

5. Форрестер, Дж. Мировая динамика / Дж. Форрестер. М.: Наука, 1978. 167 с.

Размещено на Allbest.ru