Принятие решений в условиях риска и неопределенности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Принятие решений в условиях риска и неопределенности

З.У. Блягоз, А.Ю. Попова

Важнейшей составляющей частью любого вида человеческой деятельности является принятие решений в условиях вероятностной неопределенности. Сложность выбора того или иного решения зависит от степени определенности возможных исходов или последствий. Существуют ситуации, в которых можно более или менее точно оценить вероятность наступления исходов для каждого решения. В этих случаях говорят о принятии решений в условиях риска. Но гораздо чаще невозможно даже приблизительно указать вероятность того или иного результата, что связано с недостаточной информированностью о внешних обстоятельствах, в которых приходится принимать решение. Эта неопределенность порождается множеством различных факторов, таких как экономическая ситуация в стране, уровень инфляции, курсы валют, рыночная конъюнктура, политические отношения, состояние погоды, стихийные обстоятельства и т.п. В этом случае речь идет о принятие решений в условиях вероятностной неопределенности.

Математическая модель ситуации, в которой принятие решений зависит от объективных обстоятельств, называется игрой с природой.

Подобные модели изучает такой раздел математики как «Теория игр с природой» («Теория принятия решений»). Она служит для выработки рекомендаций по рациональному образу действий в условиях риска и неопределенности, вызванной не зависящими от нас причинами.

Игру с природой можно определить как парную игру, в которой сознательный игрок А, заинтересованный в наиболее выгодном для него исходе игры, выступает против участника, совершенно безразличного к результату природа П.

Очевидно, что при решении игр с природой достаточно найти наилучшие рекомендации только для игрока А, потому как природа в рекомендациях не нуждается, развиваясь в соответствии с определенными законами независимо от того, удобно это человеку или нет.

Пусть игрок А располагает m возможными стратегиями, которые обозначим A₁, A₂,…, A_m, тогда как природа П может принимать одно из n своих состояний П₁, П₂,…, П_n..

Предполагается обычно, что игрок А в состоянии оценить результаты выбора им каждой из своих стратегий А_i, i=1,…,m, при каждом состоянии природы П_j, j=1,…,n, количественно выражающиеся действительными числами а_ij. Эти числа называются выигрышами игрока А.

В таком случае игра может быть задана матрицей Р = [aij]mn, называемой платежной матрицей (или матрицей игры).

Пj Ai	П1	П2	…	Пn
A1	a11	a12	…	a1n
A2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amn

Если в платежной матрице элементы k-ой строки не меньше соответствующих элементов s-ой строки, т.е. , то доминируемую (дублируемую) строку s можно удалить, т.к. она определяет стратегию , заведомо не лучшую стратегии . Это позволяет значительно упростить платежную матрицу игры. Отбрасывать же те или иные состояния природы нельзя, поскольку она может реализовать любое свое состояние независимо от того, выгодно оно игроку А или нет.

После упрощения платежной матрицы иногда выгодно перейти от нее к матрице рисков, которая позволит более четко выявить преимущество одной стратегии по сравнению с другой при данном состоянии природы.

Риском r_ij игрока А, когда он пользуется чистой стратегией A_i при состоянии П_j природы, называется разность между максимальным выигрышем , который он мог бы получить, достоверно зная, что природой будет реализовано именно состояние Пj, и тем выигрышем aij, который он получит, используя стратегию A_i, не зная, какое из состояний Пj природа реализует.

Таким образом, элементы rij матрицы рисков определяются по формуле:

(1)

где - максимально возможный выигрыш игрока А при состоянии Пj (максимальный элемент j-го столбца платежной матрицы).

Учитывая специфику игр с природой, при поиске оптимальных решений обращаются к различным критериям, дающим некоторою логическую схему принятия решения.

В условиях риска, т.е. когда известны вероятности qj состояний природы, можно использовать критерии Байеса, Лапласа, Ходжа-Лемана. При принятии решений в условиях неопределенности критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица и произведений.

вероятностный неопределенность решение математический

Критерий Байеса

Этот критерий используется в предположении, что вероятности q_j состояний природы Пj известны. В качестве показателя эффективности чистой стратегии Ai используется средневзвешенный выигрыш при стратегии Аi с весами q1,…,qn, т.е. величина

(2)

Оптимальной по Байесу чистой стратегией является стратегия с максимальным показателем эффективности. Цена игры в этом случае определяется по формуле:

 (3)

Аналогично можно найти оптимальную по Байесу стратегию, используя формулу

(4)

и матрицу рисков. В этом случае средний риск следует минимизировать. Однако, следует заметить, что стратегия, максимизирующая средний выигрыш, совпадает со стратегией, минимизирующей средний риск.

Критерий Лапласа

Если игрок А не располагает объективной информацией об вероятностях qj состояний природы Пj и считает в равной мере правдоподобными все состояния, то их вероятности полагают одинаковыми и равными 1/n. Этот прием называют принципом недостаточного основания Лапласа. Отсюда вытекает и критерий Лапласа, в соответствии с которым оптимальной считается чистая стратегия, обеспечивающая максимальный средний выигрыш игрока А при равенстве всех вероятностей.

В этом случае показатели эффективности каждой чистой стратегии рассчитываются по формуле:

, (5)

а цена игры равна

. (6)

При использовании критериев Байеса и Лапласа предполагается, что ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:

Ш вероятности появления состояний Пj известны и не зависят от времени.

Ш решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз.

Ш для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.

При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо риск практически исключён.

Критерий Вальда

В случае, если вероятности состояний природы неизвестны и нет возможности получить о них какую-либо статистическую информацию, при определении оптимального решения можно использовать критерий Вальда.

Критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма, т.к. здесь игрок А исходит из предположения, что природа П «действует» против него наихудшим образом, т.е. реализует такие состояния Пj, при которых величина его выигрыша принимает наименьшее значение.

Показатели эффективности каждой чистой стратегии рассчитываются по формуле:

. (7)

Оптимальной по критерию Вальда считается та чистая стратегия, показатель эффективности которой будет максимальным, т.е. обеспечивается максимин

. (8)

Критерий Вальда часто также называют максиминным критерием.

Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется.

Применение критерия Вальда бывает оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, следующая:

Ш о возможности появления внешних состояний Пj ничего не известно;

Ш приходится считаться с появлением различных внешних состояний Пj;

Ш решение реализуется только один раз;

Ш необходимо исключить какой бы то ни было риск.

Критерий Сэвиджа

Критерий Сэвиджа, как и критерий Вальда, является критерием крайнего пессимизма, ибо и здесь игрок А исходит из предположения, что природа реализует самые неблагоприятные для него состояния. Критерий Сэвиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной ту чистую стратегию, при которой минимизируется величина максимального риска.

Таким образом, показатель эффективности определяется как величина максимального риска:

. (9)

А цена игры равна

. (10)

При использовании критерия Сэвиджа ситуация, в которой принимается решение, должна удовлетворять тем же условиям, что и при применении критерия Вальда.

Критерий Гурвица

Занять более уравновешенную позицию, которая находится где-то между точкой зрения крайнего оптимизма и крайнего пессимизма, предлагает критерий Гурвица. Его также часто называют критерием пессимизма-оптимизма.

В области чистых стратегий показатель эффективности определяется из условия:

(11)

Оптимальной по Гурвицу считается та чистая стратегия, показатель эффективности которой принимает наибольшее значение

. (12)

Параметр выбирается из субъективных соображений, потому что на практике очень трудно найти количественную характеристику для тех долей оптимизма и пессимизма, которые присутствуют при принятии решения. Чаще всего полагают равным 0,5.

При критерий Гурвица превращается в критерий Вальда (крайнего пессимизма).

При - в критерий крайнего оптимизма, или критерий «азартного игрока», делающего ставку на то, что исход игры будет для него самым благоприятным:

(13)

При получается нечто среднее между точкой зрения крайнего оптимизма и крайнего пессимизма.

Критерий Гурвица применяется в случае, когда:

о вероятностях появления состояния Пj ничего не известно;

с появлением состояния Пj необходимо считаться;

реализуется только малое количество решений;

допускается некоторый риск.

Критерий Ходжа-Лемана

Этот критерий опирается одновременно на критерий Вальда и критерий Байеса-Лапласа. С помощью параметра выражается степень доверия к используемому распределений вероятностей, а коэффициент (1-) характеризует количественно степень пессимизма игрока А. Чем больше доверия игрока А данному распределению вероятностей состояний природы, тем меньше пессимизма и наоборот. Если доверие велико, то доминирует критерий Байеса-Лапласа, в противном случае критерий Вальда, т.е. показатель эффективности чистой стратегии Аi равен:

. (14)

Стратегия с максимальным показателем эффективности является оптимальной. Цена игры определяется по формуле:

(15)

При =1 критерий Ходжа-Лемана переходит в критерий Байеса-Лапласа, а при =0 становится критерием Вальда. Выбор субъективен т.к. определить степень достоверности какой-либо функции распределения довольно сложно. Для применения критерия Ходжа-Лемана желательно, чтобы ситуация в которой принимается решение, удовлетворяла свойствам:

Ш вероятности появления состояния Пj неизвестны, но некоторые предположения о распределении вероятностей возможны;

Ш принятое решение теоретически допускает бесконечно много реализаций;

Ш при малых числах реализации допускается некоторый риск.

Критерий произведений

Критерий произведений используется в тех случаях, когда все элементы платежной матрицы положительны, т.е. . Если это условие нарушается, то можно перейти к строго положительным значениям с помощью преобразования аij+a при подходящем образом подобранном a0. Результат при этом будет, естественно, зависеть от а.

При использовании этого критерия показатель эффективности каждой чистой стратегии определяется по формуле:

. (16)

Оптимальной по критерию произведений будет та чистая стратегия, показатель эффективности которой будет наибольшим.

. (17)

Применение этого критерия обусловлено следующими обстоятельствами:

вероятности появления состояния Пj неизвестны;

с появлением каждого из состояний Пj по отдельности необходимо считаться;

критерий применим и при малом числе реализаций решения;

некоторый риск допускается.

Пример.

«Фото Колор» - небольшой производитель химических реактивов и оборудования, которые используются некоторыми фотостудиями при изготовлении 35-мм фильмов. Один из продуктов, который предлагает «Фото Колор» - фиксаж ВС-6. Накопленный опыт работы показывает, что спрос на этот продукт может составлять 11, 12 или 13 ящиков в неделю. От продажи каждого ящика фирма получает 350 руб. прибыли. ВС-6, как и многие фотографические реактивы, имеет очень малый срок годности. Поэтому, если ящик не продан к концу недели, его следует уничтожить. Так как каждый ящик обходится фирме в 560 рублей, она теряет эту сумму в случае, если ящик не продан к концу недели. Кроме того, если спрос на продукт будет высок, а произведено ВС-6 меньше, то фирма понесет убытки, связанные с недополученной прибылью в размере 160 руб. за ящик.

Определить еженедельный объем производства фиксажа ВС-6, обеспечивающий фирме наибольшую прибыль.

Решение:

В рассматриваемой ситуации в качестве сознательного игрока А выступает фирма «Фото Колор». Ее чистыми стратегиями будут: А₁ - решение о еженедельном выпуске 11 ящиков фиксажа ВС-6, А₂ - решения о еженедельном выпуске 12 ящиков, А₃ - решение о еженедельном выпуске 13 ящиков.

В качестве второго игрока будем рассматривать совокупность всех внешних обстоятельств, в которых формируется спрос на продукт, - природу П. В данном случае природа может реализовать любое из своих состояний: П₁ - еженедельный спрос на фиксаж ВС-6 составляет 11 ящиков, П₂ - 12 ящиков, П₃ - 13 ящиков.

Выигрыши игрока А - еженедельная прибыль от продажи ВС-6 представлены в следующей таблице.

	П1 (11)	П2 (12)	П3 (13)
А1 (11)	3850	3690	3530
А2 (12)	3290	4200	4040
А3 (13)	2730	3640	4550

Наиболее благоприятными будут комбинации (А₁; П₁), (А₂; П₂) и (А₃; П₃), когда еженедельный спрос на фиксаж будет совпадать с объемом производства. В этом случае прибыль будет равна

,

,

В случае если еженедельный спрос на продукт превышает объем выпуска (ситуации (А₁; П₂), (А₁; П₃) и (А₂; П₃)), то прибыль будет равна соответственно

,

,

Если же объем выпуска продукции будет превышать спрос (ситуации (А₂; П₁), (А₃; П₁) и (А₃; П₂)), то имеем

и

Очевидно, что в платежной матрице нет доминирующих стратегий, поэтому упростить ее нельзя.

Прежде чем начать анализ, построим матрицу рисков, которая позволит более четко выявить преимущество одной стратегии по сравнению с другой при данном состоянии природы. Расчет производим, используя формулу (1).

	П1 (11)	П2 (12)	П3 (13)
А1 (11)	0	510	1020
А2 (12)	560	0	510
А3 (13)	1120	560	0

Подсчитаем показатели эффективности стратегий

Ш по критерию Байеса в предположении, что вероятности продать 11, 12 или 13 ящиков в течение недели равны 0,45, 0,35 и 0,2,

Ш по критерию Лапласа в предположении, что эти вероятности в равной мере правдоподобны и равны 1/3,

Ш по критерию Ходжа-Лемана с коэффициентом доверия к вероятностям состояний природы, например, ,

Ш по критерию Вальда, критерию Сэвиджа, критерию произведений, критерию Гурвица с показателем (крайнего оптимизма), критерию Гурвица с показателем оптимизма, например, .

Данные результаты расчетов приведены в таблице.



	П1 (11)	П2 (12)	П3 (13)	Байеса	Лапласа	Вальда	Гурвица при (крайнего оптимизма)	произведений
А1 (11)	3850	3690	3530	3730	3690	3530	3850	50148945000
А2 (12)	3290	4200	4040	3758,5	3843,33	3290	4200	55824720000
А3 (13)	2730	3640	4550	3412,5	3640	2730	4550	45214260000
qB	0,45	0,35	0,2
qL	0,333	0,333	0,333

Для расчета показателей эффективности по критерию Сэвиджа используем матрицу рисков.

	П1 (11)	П2 (12)	П3 (13)	Сэвиджа
А1 (11)	0	510	1020	1020
А2 (12)	560	0	510	560
А3 (13)	1120	560	0	1120

	П1 (11)	П2 (12)	П3 (13)	Гурвица при
А1 (11)	3850	3690	3530	1765	1925	3690
А2 (12)	3290	4200	4040	1645	2100	3745
А3 (13)	2730	3640	4550	1365	2275	3640

В данном примере у решения имеются две поворотные точки относительно весового множителя : до в качестве оптимальной выбирается стратегия А₃, при - стратегия А₂, а при больших значениях А₁.

	П1 (11)	П2 (12)	П3 (13)	Ходжа - Лемана при
А1 (11)	3850	3690	3530	2214	1412	3626
А2 (12)	3290	4200	4040	2306	1316	3622
А3 (13)	2730	3640	4550	2184	1092	3276
qH-L	0,333	0,333	0,333

Критерий Ходжа-Лемана рекомендует стратегию А₁ (выпуск 11 ящиков) так же как и критерий Вальда. Смена рекомендуемой стратегии происходит при . Поэтому если, степень доверия игрока А к используемому распределению вероятностей достаточно высока в качестве оптимальной выбирается стратегия А₂.

При использовании 8 критериев стратегия А₂ выбиралась в качестве оптимальной 5 раз, стратегия А₁ - 2 раза и стратегия А₃ - 1 раз. Поэтому можно сделать вывод о том, что применение стратегии А₂ (выпуск 12 ящиков фиксажа ВС-6) является более предпочтительным.

Примечания

1. Абчук, В.А. Экономико-математические методы: Элементарная математика и логика. Методы исследования операций / В.А. Абчук. - СПб.: Союз, 1999. - 246с.

2. Аронович, А.Б Сборник задач по исследованию операций / А.Б. Аронович, М.Ю. Афанасьев, Б.П. Суворов. - М.: Изд-во МГУ, 1997. - 252с.

3. Грешилов, А.А. Как принять наилучшее решение в реальных условиях? / А.А. Грешилов. - М.: Радио и связь, 1991. - 118с.

4. Исследование операций в экономике: учебное пособие / Н.Ш. Кремер [и др.]. - М.: ЮНИТИ, 1997. - 428с.

5. Лабскер, Л.Г. Общая методика конструирования критериев оптимальности решений в условиях риска и неопределенности / Л.Г. Лабскер, Е.В. Яновская // Финансовый менеджмент. - 2002. - №5.

6. Просветов, Г.И. Математические методы в экономике: учебно-методическое пособие / Г.И. Просветов. - М.: Изд-во РДЛ, 2004. - 364с.

Размещено на Allbest.ru