Принципы экономико-математического моделирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Московский государственный университет путей сообщения

Российская академия путей сообщения

Курсовая работа

по дисциплине: «Экономико-математическое моделирование транспортных процессов»

Выполнила:

Митрохин В.Н.

Студентка гр. РЭТ - 201

Проверил:

Проф. Межох З.П.

Коваль Г.И.

Москва 2011

Содержание

Введение

1. Принципы экономико-математического моделирования

1.1 Экономико-математическое моделирование, как метод научного познания

1.2 Классификация экономико-математических моделей

1.3 Экономико-математическая модель оптимизационной задачи

1.4 Этапы экономико-математического моделирования

2. Решение сетевой транспортной задачи методом потенциалов

Решение матричной транспортной задачи методом условно-оптимальных планов

Нахождение оптимальных решений в условиях полной неопределённости с использованием теории игр

Список литературы

Введение

Важной проблемой управления предприятиями в сложных условиях рынка является своевременное принятие правильных решений в связи с изменениями в экономической ситуации.

Одним из путей решения этой проблемы является применение методов экономико-математического моделирования в управлении предприятиями, в том числе и железнодорожным транспортом.

Математические модели и методы, являющиеся необходимым элементом современной экономической науки, как на микро- так и на макроуровне, изучаются в таких её разделах, как математическая экономика и эконометрика.

Эконометрика - это раздел экономической науки, который изучает количественные закономерности в экономике при помощи корреляционно-регрессионного анализа и широко применяется при планировании и прогнозировании экономических процессов в условиях рынка.

Математическая экономика занимается разработкой, анализом и поиском решений математических моделей экономических процессов, среди которых выделяются макро- и микроэкономические классы моделей.

Макроэкономические модели изучают экономику в целом, опираясь на такие укрупненные показатели, как ВНП, потребление, инвестиции, занятость и т.д.

При моделировании рыночной экономики особое место в этом классе занимают модели равновесия и экономического роста.

Микроэкономические модели описывают экономические процессы на уровне предприятий и фирм, помогая решать стратегические и оперативные вопросы планирования и оптимального управления в рыночных условиях.

Важное место среди микроэкономических моделей занимают оптимизационные модели (задачи распределения ресурсов и финансирования, транспортная задача, максимизация прибыли фирмы, оптимальное проектирование).

математический моделирование эмерджентность транспортный

1. Принципы экономико-математического моделирования

1.1 Экономико-математическое моделирование, как метод научного познания

Моделирование в научных исследованиях стало применяться ещё в глубокой древности, постепенно захватывая все новые области научных знаний: химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ век. Однако методология моделирования долгое время развивалось независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие «модели», которые являются инструментами получения знаний.

Модель - это материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал, так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заменителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий гипотез, других категорий и методов познания.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Метод моделирования включает три элемента:

субъект (исследователь);

объект исследования;

модель опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1 Этапы моделирования

Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование - не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования «погружен в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.

Моделирование - циклический процесс. Это означает что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей, лежащих в природе экономических процессов и специфике экономической науке.

Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием «сложная система».

Наиболее распространено понимание системы как совокупности элементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целостность, единство. Важным качеством системы является эмерджентность - наличие таких свойств, которые не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточно пользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследований в том, что почти не существует экономических объектов, которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы.

Сложность системы определяется количеством входящих в неё элементов, связями между этими элементами, а также взаимоотношениями между системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложной системы.

Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности её моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе не верна. Моделировать можно любой объект природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования.

С экономической точки зрения оптимальные решения, полученные с помощью экономическо-математичекого моделирования, обладают следующими свойствами (рис.2)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 2 Свойства оптимального решения

Возможности использования математических моделей для выбора оптимальных решений зависят от типа оптимизируемых процессов и характера решаемых вопросов. Выделяют три типа многовариантных проблем планирования и управления (рис.3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3 Типы проблем планирования и управления

Методы экономических наблюдений и использование результатов этих наблюдений разрабатываются эконометрикой. Поэтому стоит отметить только специфические проблемы экономических наблюдений, связанные с моделированием экономических процессов.

В экономике многие процессы являются массовыми; они характеризуются закономерностями, которые не обнаруживаются на основании лишь одного или нескольких наблюдений. Поэтому моделирование в экономике должно опираться на массовые наблюдения.

Познание количественных отношений экономических процессов и явлений опирается на экономические измерения. Точность измерений в значительной степени предопределяет и точность конечных результатов количественного анализа посредством моделирования. Поэтому необходимым условием эффективного использования эффективного использования математического моделирования является совершенствование экономических измерителей. Применение математического моделирования заострило проблема измерений и количественных сопоставлений различных аспектов и явлений социально-экономического развития, доверенности и полноты получаемых данных, и защиты от номерных и технических искажений.

В процессе моделирования возникает взаимодействие «первичных» и «вторичных» экономических измерителей. Любая модель в экономике опирается на определённую систему экономических измирителей (продукции, ресурсов, элементов и т.д.). В тоже время одним из важных результатов экономико-математического моделирование является получение новых (вторичных) экономических измерителей - экономически обоснованных цен на продукцию различных отраслей, оценок эффективности разнокачественных природных ресурсов, измерителей, что вынуждает разрабатывать особую методику корректировки первичных измерителей для экономических моделей.

С точки зрения «интересов» моделирования экономики в настоящее время наиболее актуальными проблемами совершенствования экономических измерителей являются: оценка результатов интеллектуальной деятельности (особенно в сфере научно-технических разработок, индустрии информатики), построение обобщающих показателей экономического развития, измерение эффектов обратных связей (влияние экономических и социальных механизмов на эффективность производства).

Для методологии планирования экономики важное значение имеет понятие неопределённости экономического развития. В исследованиях по экономическому прогнозированию и планированию различают два типа неопределённости: «истинную», обусловленную свойствами экономических процессов, и информации об этих процессах.

На первых этапах исследований по моделированию экономики применялись в основном модели детерминического типа. В этих моделях все параметры предполагаются точно известными. Однако, детерминические модели неправильно понимать в механическом духе и отождествлять их с моделями, которые лишены всех «степеней выбора» и имеют единственное допустимое решение. Классическим представителем жёстко детерминических моделей являлась оптимизационная модель являлась оптимизационная модель народного хозяйства, которая применялась для определения наилучшего варианта экономического развития среди множества доступных вариантов.

В результате накопления опыта использования жестко детерминических моделей были созданы реальные возможности успешного применения более совершенной методологии моделирования экономических процессов, учитывающих стохастику и неопределённость.

1.2 Классификация экономико-математических моделей

Для классификации математических моделей экономических процессов и явлений используются разные признаки (рис.4)

Рисунок 4 Признаки классификации экономико-математических моделей

Таким образом, общая классификация экономико-математических моделей включает более десяти основных признаков. С развитием экономико-математических исследований проблема классификации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей (особенно смешанных типов) и новых признаков их классификации моделей разных типов в более сложные модельные конструкции.

1.3 Экономико-математическая модель оптимизационной задачи

Обязательными элементами экономико-математической модели оптимизационной задачи являются переменные параметры процесса, ограничения задачи и критерии оптимальности (рис.5)

Рисунок 5 Элементы математической модели оптимизационной задачи

При этом, переменные параметры процесса это - набор неизвестных величин, численные значения которых определяются в ходе решения и используются для рациональной организации данного процесса (как правило, линейные неравенства или уравнения), критерий оптимальности - экономический показатель, сведение которого к максимуму или минимуму говорит о наиболее полном достижении целей оптимизации. Запись критерия в виде функции от переменных задачи называется целевой функцией.

Правильное установление ограничений является важным этапом разработки оптимизационной экономико-математической модели. При этом следует избегать двух крайностей: переусложение модели, которое затрудняет подготовку данных и процесс решения и переупрощение модели, которое может привести к получению модели, неадекватной реальному процессу. Типы ограничений показаны на рис.6.

Рисунок 6 Типы ограничений

В большинстве оптимизационных задач соблюдается принцип единственности критерия. При выборе критерия оптимальности учитывается ряд общих требований (рис.7)

В качестве критерия оптимальности могут быть приняты только те показатели, которые поддаются вычислению для каждого возможного варианта с ошибкой не более 2-3%, иначе сравнение вариантов становится ненадежным.

Можно привести следующие примеры локальных критериев оптимальности: предположим, предприятие выпускает дефицитную продукцию, в этом случае цель оптимизации - максимальное увеличение выпуска, а локальным критерием может служить максимальный выпуск продукции с единицы производственной мощности.

Если производственные мощности предприятия достаточны для полного удовлетворения потребностей в выпускаемой продукции, то при оптимизации выбирается наилучший вариант организации производства и возможный локальный критерий оптимальности в этом случае - получаемая прибыль.

Если объем производства задан и не подлежит вариации, то при оптимизации критерием могут служить издержки (в стоимостном выражении) или минимум расхода какого-либо дефицитного ресурса.

Сложность экономических процессов и явлений и другие отмеченные выше особенности экономических систем затрудняют не только построение математических моделей, но и проверку их адекватности, истинности получаемых результатов.

Рисунок 7 Требования к локальному критерию оптимальности

В естественных науках достаточным условием истинности результатов моделирования и любых других форм познания является совпадение результатов моделирования и любых других форм познания является совпадение результатов моделирования с наблюдаемыми факторами. Категория «практика» совпадает здесь с категорией «действительность». В экономике и других общественных науках понимаемые таким образом принцип «практика-критерий истины» в большей степени применим к простым дескриптивным моделям, используемым для пассивного описания и объяснения действительности. Однако, основная задача экономической науки конструктивна: разработка научных методов планирования и управления экономикой. Поэтому распространенный тип математических моделей экономики - это модели управляемых и регулируемых экономических процессов, используемые для преобразования экономической действительности. Такие модели называются нормативными. Если ориентировать нормативные модели только на подтверждение действительности, то они не смогут служить инструментом решения качественно новых экономических задач.

1.4 Этапы экономико-математического моделирования

Рассмотрим последовательность и содержание этапов одного цикла экономико-математического моделирования (рис.8)

Рисунок 8 Этапы экономико-математического моделирования

Следует выделить 4 основных аспекта применения математических методов в решении практических проблем.

Совершенствование системы экономической информации. Математические методы позволяют упорядочить систему экономической информации, выявлять недостатки в имеющейся информации и вырабатывать требования для подготовки новой информации или её корректировки. Разработка и применение экономико-математических моделей указывают пути совершенствования экономической информации, ориентированной на решение определенной системы задач планирования и управления. Прогресс в информационном обеспечении планирования и управления опирается на бурно развивающиеся технические и программные средства информатики.

Интенсификация и повышение точности экономических расчетов. Формализация экономических задач и применение компьютеров многократно ускоряют типовые, массовые расчеты, повышают точность и сокращают трудоемкость, позволяют проводить многовариантные экономические обоснования сложных мероприятий.

Углубление экономического анализа экономических проблем. Благодаря применению метода моделирования значительно усиливаются возможности конкретного количественного анализа: влияния многих факторов на экономические процессы, количественная оценка последствий изменения условий развития экономических объектов и т.п.

Решение принципиально новых экономических задач. Посредством математического моделирования удается решать такие экономические задачи, которые иными средствами решать практически невозможно.

В области планирования и управления работой железнодорожного транспорта можно выделить следующие проблемы, при решении которых методы моделирования дают наиболее очевидный эффект:

планирование грузовых перевозок, оптимальное прикрепление потребителей к поставщикам, оптимальное распределение перевозочной работу между видами транспорта;

рациональное распределение грузопотоков и вагонопотоков по параллельным линиям, особенно при ограниченной пропускной способности; оперативное маневрирование поездопотоками;

оптимальное регулирование вагонных парков, включая комплексное управление парками с учетом взаимозаменяемости вагонов;

текущее планирование использования специализированных видов вагонов и контейнеров;

организация вагонопотоков, выбор оптимальных вариантов плана формирования поездов, распределение сортировочной работы между станциями;

оптимизация работы перевалочных узлов разных видов транспорта (максимизация перерабатывающей способности, сведение к минимуму простоев подвижного состава);

определение оптимальных резервов локомотивов и вагонов и их оптимальное размещение на сети;

размещение, специализация и кооперирование обслуживающих устройств транспорта (локомотивных и вагонных депо, ремонтных заводов, пунктов промывки вагонов, материальных складов и т.д.);

оптимальное распределение заданий между разными типами взаимозаменяемого оборудования - станочного парка заводов и депо, грузовых механизмов, путевых и строительных машин;

оптимизация размеров, размещения и использования материальных запасов, вместимости складов, размеров оборотных средств;

оптимальное календарное планирование строительных, ремонтных, проектных и других работ сетевыми методами;

оптимизация развития транспортной сети на перспективу с целью освоения предстоящих перевозок при минимальных затратах.

Сфера практического применения метода моделирования ограничивается возможностями и эффективностью формализации экономических проблем и ситуаций, а также состоянием информационного, математического, технического обеспечения используемых моделей. Стремление во что бы то ни стало применить математическую модель может не дать хороших результатов из-за отсутствия хотя бы некоторых необходимых условий.

В соответствии с совершенными научными представлениями системы разработки и принятия экономических решений должны сочетать формальные и неформальные методы, взаимоусиливающие и взаимодополняющие друг друга.

2. Решение сетевой транспортной задачи методом потенциалов

Для решения сетевых транспортных задач широко применяется метод потенциалов, который основан на свойстве оптимального плана.

Порядок вычислений:

Построение начального плана

Начальная схема потоков должна удовлетворять следующим требованиям:

а) соблюдения условия баланса для всех вершин сети:

Xks - Xrk = Rk

сдача прием +погрузка

-выгрузка

б) непревышение пропускной способности звеньев; поток Xrs drs на всех дугах сети;

в) отсутствие замкнутых контуров, образованных базисными звеньями с потоками 0 <Xrs<drs.

Присвоение потенциалов всем вершинам сети.

Какой либо вершине, к которой примыкает хотя бы одно базисное звено, присваивается произвольный потенциал (число одного порядка с наибольшей дальностью перевозок).

Затем присваиваются потенциалы остальным вершинам сети, следуя по всем базисным звеньям и используя равенствоUs - Ur = Crs.

При потоке от R S вершине S присваивается потенциал

Если поток следует от S к R, то потенциал определяется по следующей формуле

Us = Ur - Crs.

В процессе присвоения потенциалов может обнаружится, так называемый, случай вырождения: совокупность (граф) базисных звеньев распадается на n не связанных между собой систем. Для выхода из этой ситуации вводится n-1 нулевой поток, связывающий между собой отдельные системы базисных звеньев. Звенья с нулевыми потоками могут использоваться для присвоения потенциалов.

Проверка соблюдения условий на всех пустых и насыщенных звеньях сети.

Если эти условия соблюдаются везде, то задача решена и план оптимален.

При наличии нарушений-невязок Hij выбираем участок с наибольшей невязкой и переходим к пункту 4.

Поиск пути по базисным звеньям между вершинами-концами звена с невязкой.

Совокупность этого пути и звена с невязкой называется контуром. Дальнейшее действие зависит от того, является ли звено с невязкой пустым или насыщенным.

Классификация потоков контура.

а) Устанавливается направление потока на звене с невязкой от меньшего потенциала к большему.

б) Все другие потоки в контуре делятся на попутные и встречные этому потоку.

Определение изменение потоков Х.

а) Для пустого звена с невязкой X = min [min X; min (d - x)], где d - пропускная способность звена.

б) Для насыщенного звена с невязкой (в точности обратное правило).

X = min [ min X; min (d - x)], т.е. берется наименьший попутный поток и наименьший из резервов пропускной способности для встречных потоков.

При использовании правил звено с невязкой учитывается в числе попутных.

Исправление плана

а) При исправлении невязки на пустом звене потоки по всем попутным звеньям контура увеличиваются на Х, а по встречным уменьшается на Х.

б) При исправлении невязки на насыщенном звене, наоборот, потоки на всех попутных звеньях контура уменьшаются, а на встречных увеличиваются на Х.

Расчет заканчивается, когда в п.3 не будет обнаружено ни одной невязки, которое является оптимальным.

Поиск пути по базисным звеньям между вершинами и концами звена невязки. Совокупность этого пути и звена с невязкой называется контуром. Дальнейшие действия зависят от того, является ли звено с невязкой пустым или насыщенным.

Пустое звено ЕД. Разность потенциалов 110, а Crs = 120(440-330 120) - условие выполняется.

Насыщенное звено ГД. Разность потенциалов 50, а Crs = 100(330-280 100) - нарушение условия, невязка N = 50.

Проверка указала, что наибольшее нарушение обнаружено на звене ГД, его и используют для дальнейшей оптимизации.

4 блок - контур.

5 блок - попутные ГД и БГ; встречные БЖ и ЖД.

6 блок - Х для пустого звена АЕ с невязкой: Х = ,[(20;8);(16-11);(10-6)] = 4

7 блок - при исправлении невязки на пустом звене. Потоки по всем попутным звеньям уменьшаются на Х, а по встречным - увеличиваются на Х.

1 и 2 блоки - остаются неизменными.

3 блок - пустое звено АЕ. Разность потенциалов 270, а Crs = 200(490-220 200) - нарушение условия, невязка N = 70.

Пустое звено ЕД. Разность потенциалов 110, а Crs = 120(490-220 120) - условие выполняется.

Насыщенное звено БЖ.. Разность потенциалов 110, а Crs = 60(310-200 60) - условие выполняется.

4 блок - контур.

5 блок - попутные АЕ, ВЖ, ЖД; встречные АГ, ГД, ВЕ.

6 блок - Х для пустого звена АЕ с невязкой: Х = ,[(22;16;15);(30-0);(16-14);(16-15)] = 1

7 блок - при исправлении невязки на пустом звене. Потоки по всем попутным звеньям увеличиваются на Х, а по встречным - уменьшается на Х.

1 и 2 блоки - остаются неизменными.

3 блок - насыщенное звено БЖ. Разность потенциалов 40, а Crs = 60(240-200 60) - нарушение условия, невязка N = 20.

Насыщенное звено ЖД. Разность потенциалов 140, а Crs = 70(380-240 70) - условие выполняется.

Пустое звено ЕД. Разность потенциалов 40, а Crs = 120(420-380 120) - условие выполняется.

Наибольшее нарушение на насыщенном звене БЖ.

4 блок - контур.

5 блок - попутные БЖ, ВЕ, АГ; встречные БГ, АЕ, ВЖ.

6 блок - Х для насыщенного звена БЖ с невязкой: Х = ,[(10;14;21);(30-4);(30-1);(16-15)] = 1

7 блок - при исправлении невязки на насыщенном звене с невязкой, попутные потоки уменьшаются на Х, а встречные - увеличиваются на Х.

1 и 2 блоки - остаются неизменными.

3 блок - насыщенное звено ДЖ Разность потенциалов 120, а Crs = 70(380-260 70) - условие выполняется.

Насыщенное звено ВЖ. Разность потенциалов 90, а Crs = 70(260-170 70) - условие выполняется.

Пустое звено ЕД. Разность потенциалов 40, а Crs = 120(420-380 120) - условие выполняется.

Схема оптимальна.

3. Решение матричной транспортной задачи методом условно-оптимальных планов

Из многих методов решения матричных задач наиболее распространенными является:

метод потенциалов (Канторович Л.А. и Говорин М.В.);

метод условно-оптимальных планов (Лурье А.Л.).

Метод условно-оптимальных планов относится к методам сокращения невязок:

в начальном варианте допускается нарушение основных ограничений транспортной задачи;

Xij = Bj (j = 1,2,…n);

i

Xij = Ai (i = 1,2,…m);

j

допущенные невязки и разбалансировки устраняются путем внесения ряда поправок.

Каждый этап вычисления состоит из девяти шагов.

Порядок вычисления.

1 шаг. Построение начального варианта. В каждом столбце матрицы находится клетка с минимальной стоимостью: Ckj = min Cij. В эту клетку заносятся поставка, равная полной потребности столбца: Xki = Bj. При наличии нескольких клеток с минимальной стоимостью поставка Bj распределяется между ними произвольно. 2 шаг. Определение сумм поставок и невязок. Находятся суммы поставок по каждой строке Xij и разности между ресурсами поставщиков и предусмотренными поставками:

Ri = Ai - Xij

Разности Ri называются невязками или разбалансами.

3 шаг. Проверка наличия отрицательных разбалансов. Отсутствие отрицательных разбалансов говорит об оптимальности найденного варианта решения. Если отрицательный разбаланс есть, то переходим к 4 шагу.

4 шаг. Классификация строк. Строка i считается абсолютно недостаточной, если ее разбаланс отрицательный и абсолютно избыточной, если разбаланс положительный. При этом Ri = 0 строки классифицируются на относительно избыточные и относительно недостаточные.

5 шаг. Преобразование матрицы стоимостей.

а) В каждом столбце , имеющем поставку в недостаточной строке, находится минимальная из стоимостей на пересечении с избыточными строками:

Crj = min Cij;

i U

где U - множество абсолютно и относительно избыточных строк.

б) в каждом столбце, имеющим поставку в недостаточной строке, определяется разность между минимальной стоимостью по избыточным строкам и минимальной стоимостью по столбцу в целом j = Crj - Ckj.

в) находится наименьшее значение из всех j:

= min j, которое прибавляется по всем стоимостям во всех недостаточных строках.

6 шаг. Нахождение связей строк, возникших в результате преобразования стоимостей в пункте 5.

Строка S считается связанной со строкой t при соблюдении 2-ух условий:

а) в каком-либо столбце d имеется совпадение стоимостей Csd = Ctd;

б) в клетке sd имеется поставка Xsd >0. При этих условиях существует направленная связь клеток sd td.

7 шаг. Нахождение последовательности (цепи) связей между абсолютно недостаточной и любой избыточной строками.

Цепь может состоять из одной или несколько связей и возникает после исполнения пункта 6. В нее всегда входит вновь образованная в этом пункте связь, начиная от которой удобно вести поиск цепи.

8 шаг. Определение величины переноса поставок Х, выполняемого одновременно по всем связям найденной цепи.

Эта величина равняется наименьшему, из следующих чисел:

абсолютному значению разбаланса в недостаточной строке, где цепь начинается;

разбалансу в избыточной строке, где цепь кончается;

значению поставок во всех клетках, где начинаются связи, входящие в цепь.

X = min [/Rнач/;RконХij], где

Xij - поставки в нечетных клетках цепи, если переписать их от недостающей строки к избыточной.

Rнач, Rкон - невязки в строках, где начинается и кончается цепь переноса поставок.

9 шаг. Перенос поставок.

Найденное значение Х вычитается из поставок во всех нечетных по порядку клетках цепи и добавляется к поставкам во всех четных. В результате получается новый вариант плана, либо оптимальный, либо с меньшей по модулю суммой отрицательных разбалансов, чем предыдущий вариант. Далее метод условно-оптимальных планов предполагает переход к шагу 2 и циклическое продолжение шагов алгоритма до тех пор, пока в пункте не обнаружится, что отрицательных разбалансов больше нет и найденное решение оптимально.

№ приближения	Поставщик и его ресурс, Аi	Потребитель и его потребность, Вj	Сумма поставок хij j	Разбалансы Аi - хij j
		Д = 99	Е = 127	Ж = 110	З = 87	И = 42	К = 35
1	А = 120	400/710 99	500/810	350/660 110	180/490 87	90/400 42	680/990	338	- 218
	Б = 130	410/720	390/700 127	470/780	630/940	550/860	130/440 35	162	- 32
	В = 150	800	700	950	1100	1070	810	0	+ 150
	Г = 100	1200	1150	1080	1250	1180	930	0	+ 100
	j	800 - 400 = 400	700 - 390 = 310	950 - 350 = 600	1100 - 180 = 920	1070 - 90 = 980	810 - 130 = 680

j = min 310; X= min (32; 150; 127) = 32;

№	Поставщик и его ресурс, Аi	Потребитель и его потребность, Вj	Сумма поставок хij j	Разбалансы Аi - хij j
		Д = 99	Е = 127	Ж = 110	З = 87	И = 42	К = 35
2	А = 120	710/800 99	810/900	660/750 110	490/580 87	400/490 42	990/1080	338	- 218
	Б = 130	720/810	700/790 95	780/870	940/1030	860/950	440/530 35	130	- 0
	В = 150	800	700 32	950	1100	1070	810	32	+ 118
	Г = 100	1200	1150	1080	1250	1180	930	0	+ 100
	j	800 - 710 = 90	-	950 - 660 = 290	1100 - 490 = 610	1070 - 400 = 670	810 - 440 = 370

j = min 90; X= min (218; 118; 99) = 99;

№	Поставщик и его ресурс, Аi	Потребитель и его потребность, Вj	Сумма поставок хij j	Разбалансы Аi - хij j
		Д = 99	Е = 127	Ж = 110	З = 87	И = 42	К = 35
3	А = 120	800/1000	900/1100	750/950 110	580/780 87	490/690 42	1080/1280	239	- 119
	Б = 130	810/1010	790/990 95	870/1070	1030/1230	950/1150	530/730 35	130	- 0
	В = 150	800 99	700 32	950	1100	1070	810	131	+ 19
	Г = 100	1200	1150	1080	1250	1180	930	0	+ 100
	j	-	-	950 - 750 = 200	1100 - 580 = 520	1070 - 490 = 580	-

j = min 200; X= min (119; 19; 110) = 19;

№	Поставщик и его ресурс, Аi	Потребитель и его потребность, Вj	Сумма поставок хij j	Разбалансы Аi - хij j
		Д = 99	Е = 127	Ж = 110	З = 87	И = 42	К = 35
4	А = 120	1000/1130	1100/1230	950/1080 91	780/910 87	690/820 42	1280/1310	220	- 100
	Б = 130	1010/1140	990/1120 95	1070/1200	1230/1360	1150/1280	730/860 35	130	- 0
	В = 150	800/930 99	700/830 32	950/1080 19	1100/1230	1070/1200	810/940	150	- 0
	Г = 100	1200	1150	1080	1250	1180	930	0	+ 100
	j	1200 - 800 = = 400	1150 - 700 = 450	1080 - 950 = 130	1250 - 780 = 470	1180 - 690 = 490	-

j = min 130; X= min (100; 100; 91) = 91;

№	Поставщик и его ресурс, Аi	Потребитель и его потребность, Вj	Сумма поставок хij j	Разбалансы Аi - хij j
		Д = 99	Е = 127	Ж = 110	З = 87	И = 42	К = 35
5	А = 120	1130/1470	1230/1570	1080/142	910/1250 87	820/1160 42	1310/1650	129	- 9
	Б = 130	1140/1480	1120/1460 95	1200/1540	1360/1700	1280/1620	860/1200 35	130	- 0
	В = 150	930/1270 99	830/1170 32	1080/1420 19	1230/1570	1200/1540	940/1280	150	- 0
	Г = 100	1200	1150	1080 91	1250	1180	930	91	+ 9
	j	-	-	-	1250 - 910 = 340	1180 - 820 = 360	-

j = min 340; X= min (9; 9; 87) = 9;

№	Поставщик и его ресурс, Аi	Потребитель и его потребность, Вj	Сумма поставок хij j	Разбалансы Аi - хij j
		Д = 99	Е = 127	Ж = 110	З = 87	И = 42	К = 35
6	А = 120	1470	1570	1420	1250 76	1160 42	1650	120	0
	Б = 130	1480	1460 95	1540	1700	1620	1200 35	130	0
	В = 150	1270 99	1170 32	1420 19	1570	1540	1280	150	0
	Г = 100	1200	1150	1080 91	1250 9	1180	930	100	0
	j

План оптимален

Нахождение оптимальных решений в условиях полной неопределённости с использованием теории игр.

В этом разделе курсового проекта необходимо определить оптимальную стратегию заказа в условиях риска, опираясь на методы теории вероятности и игровые способы принятия решений.

Исходные данные (вариант 5):

Покупка на складе - 22,0 тыс. руб./десяток;

Продажа на рынке - 44,0 тыс. руб./десяток;

Возврат на склад - 17,0 тыс. руб./десяток;

Вероятность спроса отражено в таблице 4.1.

Таблица 4.1

Спрос на продукцию, десятков единиц
1	2	3	4	5	6
0,15	0,25	0,30	0,15	0,10	0,05

Решение:

1. Формируем платёжную матрицу (таблица 4.2.), т.е. матрицу того дохода, который продавец получит при закупке разного числа единиц товара. Так, например, при спросе 3 партии продавец должен закупить 3 партии товара - при этом он получит максимальный доход:

Расходы продавца - 22,0 • 3 = 66 ед;

Выручка от спроса - 44 • 3 = 132 ед;

Итого доход - 66 ед.

Если закупка продавца оказывается меньше спроса, он упускает прибыль из-за неправильно выбранной стратегии. Например, при спросе 3 партии продавец заказывает 2 партии товара:

Расходы продавца - 22,0 • 3 = 66 ед;

Выручка от спроса - 44 • 2 = 88 ед;

Итого доход - 22 ед.

Если закупка продавца превышает дневной спрос, то, по условию задачи, он должен сдать часть нереализованного товара обратно на склад за меньшую цену, доход продавца сокращается, а при значительной ошибке в выборе стратегии даже может привести к убыткам.

Предположим, при спросе 1 партии товара продавец приобрёл 6 партий:

Расходы продавца - 22,0 • 6 = 132 ед;

Выручка от спроса - 44 • 1 = 44 ед;

При этом у продавца осталось 5 нереализованных партий товара, которые он сдаёт на склад: Выручка от сдачи 5 партий товара на склад - 17,0 • 5 = 84 ед; Итого доход - (44 + 85) - 132 = - ед.

Таблица 4.2

Стратегия заказа	Спрос
	1	2	3	4	5	6
1	22,0	22,0	22,0	22,0	22,0	22,0
2	17,0	44,0	44,0	44,0	44,0	44,0
3	12,0	39,0	66,0	66,0	66,0	66,0
4	7,0	34,0	61,0	88,0	88,0	88,0
5	2,0	29,0	56,0	83,0	110,0	110,0
6	-3,0	24,0	51,0	78,0	105,0	132,0

2. Далее необходимо рассчитать матрицу потерь (таблица 4.3.), которая формируется на основе платёжной матрицы и показывает те потери, которые несёт продавец, если формирует портфель заказов, отступая от оптимальной стратегии. Например, при заказе 3 партий товара при спросе 3 партий продавец имен максимальный доход. При заказе 2 партий товара при спросе 3 партий упущенная прибыль продавца составит: 66,0 - 44,0 = 22,0 ед. При заказе 6 партий товара при спросе 1 партии упущенная прибыль продавца составит: 22,0 - (-17,0) = 39,0 ед.

Таблица 4.3

Стратегия заказа	Спрос
	1	2	3	4	5	6
1	0	22,0	44,0	66,0	88,0	110,0
2	5	0	22,0	44,0	66,0	88,0
3	10	5	0	22,0	44,0	66,0
4	15	10	5	0	22,0	44,0
5	20	15	10	5	0	22,0
6	25	20	15	10	5	0

3. Данные рассчитанной матрицы потерь, а также сведения о вероятности дневного спроса на продукцию используются далее для вычисления временных издержек от занижения заказа (верхний «треугольник» матрицы потерь- таблица 4.4.), временных издержек от завышения заказа (нижний «треугольник» матрицы потерь - таблица 4.5.), а также суммарных ожидаемых вменённых издержек - таблица 4.6.

Таблица 4.4

Матрица потерь от занижения заказов	Вектор столбца вероятности спроса	Ожидаемые вменённые издержки
0	22,0	44,0	66,0	88,0	110,0	0,15	42,9
0	0	22,0	44,0	66,0	88,0	0,25	24,2
0	0	0	22,0	44,0	66,0	0,30	11,0
0	0	0	0	22,0	44,0	0,15	4,4
0	0	0	0	0	22,0	0,10	1,1
0	0	0	0	0	0	0,05	0

Величины ожидаемых временных издержек от занижения заказа получается путём умножения соответствующей строки матрицы потерь на вектор столбца вероятности спроса, например для первой строки в таблице 4.4: 0•0,15+22,0•0,25+44,0•0,3+66,0•0,15+88,0•0,1+110,0•0,05= 42,9ед.

Аналогичным образом производятся расчёты столбца ожидаемых внешних издержек от завышения заказа в таблице 4.5.

Таблица 4.5

Матрица потерь от занижения заказов	Вектор столбца вероятности спроса	Ожидаемые вменённые издержки
0	0	0	0	0	0	0,15	0
5	0	0	0	0	0	0,25	0,75
10	5	0	0	0	0	0,30	2,75
15	10	5	0	0	0	0,15	6,25
20	15	10	5	0	0	0,10	10,5
25	20	15	10	5	0	0,05	15,25

4. Таблица 4.6. объединяет правые столбцы таблиц 4.4. и 4.5. и позволяет найти суммарные издержки (правый столбец таблицы 4.6.)

Стратегия заказа, соответствующая минимальному значению из чисел третьего столбца таблицы 4.6. - и есть оптимальная стратегия заказа с учётом вероятности дневного спроса на товары.

Таблица 4.6

Стратегия заказа	От занижения	От завышения	Суммарные
1	42,9	0	42,9
2	24,2	0,75	24,95
3	11,0	2,75	13,75
4	4,4	6,25	10,65
5	1,1	10,5	11,6
6	0	15,25	15,25
Минимальное значение	10,65

Данные таблицы 4.6. используются для построения графиков вмененных издержек от завышения, заказа, занижения, а также суммарных вмененных издержек.

5. Оптимальная стратегия заказа формируется подобным способом при проведенных предварительно маркетинговых исследованиях, позволяющих определить распределение вероятности спроса на товары. При отсутствии таких данных выбор оптимальной стратегии можно проводить с привлечением различных критериев, предлагаемых теорией игр.

Критерий MAXIMAX используется азартным продавцом, если он настроен на максимальный выигрыш. Для определения этого критерия из каждой строки платежной матрицы выбирается максимальное значение, а затем из них находится наибольшее - это максимальный доход.

Данные для расчета максимального, гарантированного и упущенного доходов показывается в таблице следующим образом (таблица 4.7).

Таблица 4.7

Стратегия заказа	Критерии
	MAXIMAX	MAXIMIN	MINIMAX
1	22,0	22,0	110,0
2	44,0	17,0	88,0
3	66,0	12,0	66,0
4	88,0	7,0	44,0
5	110,0	2,0	22,0
6	132,0	-3,0	25
Доход
	Максимальный	Гарантированный	Упущенный
	132,0	22,0	22,0

Критерий MAXIMIN используется «осторожным продавцом», который желает получить свой гарантированный доход - это максимизация минимума доходов. Для определения MAXIMINа из каждой строки платёжной матрицы выбирается минимальное значение, из которых затем находится наибольшее.

Если продавец несёт потери, и речь идёт не о доходе, а хотя бы о минимизации убытков, выбирается критерий MINIMAX - это минимизация максимальных потерь. Для определения MINIMAXа из каждой строки матрицы потерь выбираются минимальные значения, а затем из них - наименьшее - это упущенный доход. Обобщением MINIMAXным критерием является критерий Гурвица (таблица 4.8.).

Таблица 4.8

MAXIMAX	MAXIMIN	Проценты от	Сумма
		MAXIMAX 70%	MAXIMIN 30%
22,0	22,0	15,4	6,6	22,3
44,0	17,0	30,8	5,1	35,9
66,0	12,0	46,2	3,6	49,8
88,0	7,0	61,6	2,1	63,7
110,0	2,0	77	0,6	77,6
132,0	-3,0	92,4	-0,9	91,5
Максимальное значение	91,5

Первый и второй столбцы таблицы 4.8. представляют собой данные для расчёта критериев Maximax и Maximin, которые берутся из платёжной матрицы и уже были применены в таблице 4.7. Далее исследователь сам выбирает, в какой мере он является играком «азартным» и в какой - «осторожным». Выбор производится в процентах и определяет ту долю от критериев Maximax и Maximin, которая войдёт в обещенный минимаксный критерий Гурвица.

Например, исследователь считает себя на 70% - «азартным» и на 30% - «осторожным». В этом случае все значения из первого столбца таблицы 4.8. умножаются на 0,7 и записываются в 3 столбец.

Данные из 2 столбца (критерий maximin) умножаются на 0,3 и записываются в 4 столбце таблицы 4.8. В 5 столбце суммируются значения 3 и 4 столбца, из них находится максимальное значение - соответствующая ему стратегия и считается оптимальной по обобщенному минимаксному критерия Гурвица.

Список литературы

1. Каплан А.Б. «Математическое моделирование экономических процессов на железнодорожном транспорте». Москва. «Транспорт». 1984 год.

2. Каплан А.Б., Майданов А.Д., Царев Р.М. «Сборник задач по математическому моделированию экономических процессов на железнодорожном транспорте». Москва. «Транспорт». 1978 год.

3. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.И. «Математические методы в экономике». Москва. Издательство «Дис». 1997 год.

Размещено на Allbest.ru