Процесс моделирования в принятии управленческого решения

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФГОУ ВПО «Вятская государственная сельскохозяйственная академия»

(Коми филиал)

Контрольная работа

По Экономико-математическим методам и моделям

студентки - заочницы

Шишеловой Натальи Александровны

Сыктывкар 2013

Вопрос 1. Паутинообразная модель дискретного динамического моделирования

Эта модель позволяет исследовать устойчивость цен и объемов товаров на рынке, описываемом традиционными кривыми спроса и предложения при наличии запаздывания во времени (лага).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1

Пусть производители определяют предложение товара в текущем периоде на основе цен, установившихся в предшествующем периоде, т.е.

Таким образом, в функцию предложения вклинивается временной лаг продолжительностью в одну единицу времени.

Решение об объеме производства принимается с учетом текущих цен, но производственный цикл имеет определенную продолжительность, и соответствующее этому решению предложение появится на рынке по окончании данного цикла.

Кривая спроса характеризует зависимость объема спроса на товар от цены товара в данном периоде, т.е.



Таким образом, динамику цены можно описать системой уравнений:

или одним уравнением:

Из этого уравнения можно найти в текущий момент времени по известному значениюв предшествующий момент времени.

где - обратная функция спроса.

В качестве частного случая рассмотрим паутинообразную модель, в которой спрос и предложение линейны:

Здесь В > 0 , т.к. функция предложения возрастающая;

Е > 0, т.к. функция спроса убывающая 0 < A < C , или 0 < С(0) < D(0)

Будем считать, что при нулевой цене спрос превышает предложение.

Уравнение, описывающее динамику такой системы, имеет вид

 или

Найдем сначала равновесную цену и равновесный объем , они должны удовлетворять уравнениям:

отсюда

и

Далее необходимо исследовать поведение цен и объемов производства в том случае, если начальная точка не совпадает с равновесной.

Эту задачу можно решить графическим, получив рисунок типа «паутины». Задав некоторое первоначальное количество товара и цену, не совпадающие с точкой равновесия, будем последовательно наносить точки в соответствии с процедурой расчета по модели, соединяя их горизонтальными и вертикальными прямыми.

Из графического анализа можно получить следующие результаты:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1). 2).

Рис.2 Рис.3

Размещено на http://www.allbest.ru/

3).

Рис. 4

1). Если кривая предложения наклонена круче, чем кривая спроса, то равновесие на таком рынке будет устойчивым.

2). Если кривая спроса наклонена круче, чем кривая предложения, то равновесие на рынке будет неустойчивым.

3). При равном наклоне кривых спроса и предложения цены на рынке будут испытывать регулярные колебания с постоянной амплитудой.

Перейдем к формальному анализу модели.

Выражая, через имеем, следующее рекуррентное соотношение:

Последовательно применяя это соотношение, находим:

;

Или в общем виде



Выражение в скобках есть сумма геометрической прогрессии:

Если < 1 то , при n>?.

Для паутинообразной модели , .

Отсюда получаем выражение для цены в произвольный момент времени t:

Очевидно: при ; ; и , т.е. при более крутом наклоне кривой предложения, чем кривой спроса, равновесие является устойчивым.

1). Если , то есть более крутой является кривая спроса, то и процесс расходится (равновесие неустойчиво).

2). При , т.е. значения чередуются вокруг равновесного значения.

Определяющим моментом для устойчивости системы является менее сильная, сглаживающая реакция на изменения цены той функции, которая имеет временной лаг (В нашем случае это функция предложения).

В реальности при бесконечно возрастающих колебаний не будет, т.к. при больших отклонениях от равновесия линейное приближение становится не реалистичным. В более реалистической нелинейной модели устанавливаются нелинейные колебания большой, но конечной амплитуды, которые являются прообразом экономических циклов подъема и спада производства.

Задача 1

Имеется паутинообразная модель

; ; .

Пусть , чему равно

Решение

Т.к. то А = 20; В = 30

и то С = 100; Е = 50

Задача 2

Опишите процесс моделирования в принятии управленческого решения из опыта вашей деятельности (производственной или по управлению домашним хозяйством), отмечая отдельные этапы и выделив критерии отбора оптимального решения. Выделите экзогенные и эндогенные переменные модели.

Решение:

Проблема. Руководители предприятия по изготовлению кондитерских изделий, производящего несколько видов продукции, хотят выяснить, каким должен быть план выпуска по каждому виду продукции, чтобы предприятие работало наиболее эффективно.

Постановка задачи: Имеется предприятие, производящее несколько видов продукции (пряники, печенье и торты). Определить объемы производства с целью максимизации прибыли.

Анализ ситуации: Для того чтобы решить задачу, необходимо выделить наиболее существенные элементы и отбросить незначительные, то есть нужно построить модель, доступную с точки зрения расчета и в то же время отражающую самые главные свойства процесса. Анализ производится с учетом реальной ситуации.

В процессе производства используется три вида ресурсов: оборудование, рабочая сила и сырье; ресурсы однородны; количества их известны и в данном производственном цикле увеличены быть не могут. Известен расход каждого из ресурсов, а также прибыль на единицу продукции каждого вида.

Что мы не учли при постановке?

Поставленная задача далеко не всегда хорошо описывает ситуацию и соответствует задачам лица, принимающего решение. В действительности, по крайней мере:

ресурсы могут быть взаимозаменяемы;

затраты ресурсов не строго пропорциональны выпуску (постоянные и переменные);

объемы ресурсов не строго фиксированы, так могут продаваться, покупаться, сдаваться в аренду;

ресурсы неоднородны и разные их составляющие по разному влияют на выпуск;

цена продукта может зависеть от объема реализации (неконкурентный рынок), то же - и цена ресурса;

фирма может использовать не одну, а выбирать из нескольких технологий, характеризующихся определенными сочетаниями ресурсов;

размер прибыли может быть оценен по-разному, это, например, зависит от налоговой системы;

предпочтения субъекта не ограничиваются максимизацией объема прибыли, значит, целевая функция должна учитывать и другие количественные и качественные показатели;

реально решаемая задача не ограничивается одним моментом или периодом времени, важны динамические взаимосвязи;

на ситуацию могут оказать влияние случайные факторы, которые необходимо принять во внимание.

Построение гипотезы: Построение модели в рамках линейного программирования (формулирование целевой функции, ограничений и граничных условий), несмотря на простоту модели, даст решение, приемлемое в реальной обстановке.

Формализация (построение математической модели - в виде формул или алгоритмов): включает в себя выбор переменных и установление связей между ними. В нашем случае это три неравенства, ограничивающие затраты ресурсов и выражение для расчета прибыли в качестве целевой функции.

Введем обозначения для эндогенных переменных - тех, которые определяются в ходе расчетов по модели и не известны заранее. В нашем случае - это неизвестные объемы производства x₁, ... , x_n.

Опишем экзогенные переменные (заданные вне модели, то есть известные заранее). В задаче заданы количества К - капитал, L - труд и количество сырья R, а также коэффициенты их расхода на единицу продукции каждого вида: к_i, l_i, r_i.

Для каждого вида продукции, расходов ресурсов на единицу продукции и для прибыли на единицу р_i мы ввели индекс i, он меняется от 1 до n. Индексы позволяют нам записать связи в наиболее компактной, удобной для восприятия форме.

Закончив описание переменных и параметров, переходим к установлению связей между переменными задачи.

Совокупный расход каждого вида ресурса не должен превышать допустимое значение:

x₁ k₁+ x₂ k₂+…+ x_n k_n<= K

x₁ l₁+ x₂ l₂+ …+x_n l_n<= L- ограничения по ресурсам

x₁ r₁+ x₂ r₂+…+ x_n r_n<= R

x₁ p₁+ x₂ p₂+…+ x_n p_nmax - целевая функция (размер прибыли)

Мы сформулировали задачу линейного программирования - по известному математическому методу. Далее пользуясь методом и подставляя реальные значения, мы можем дать руководителям фирмы вполне конкретные рекомендации по плану выпуска продукции. Следует отметить, что не всегда задача сводится к известным математическим приемам, она может потребовать разработки и нового способа решения.

Анализ адекватности модели - последний этап моделирования. Здесь, например, можно принять во внимание, что расходы ресурсов на единицу продукции, и другие экзогенные переменные являются случайными величинами. Поэтому достижение максимальной прибыли возможно лишь с вероятностью, определение которой и даст ответ на вопрос о приемлемости решения.

Для примера, опишем модель производства пряники, печенье, торты. Здесь применяется относительно однородное сырье - мука.

Пусть:

x₁ - количество пряников, x₂ - количество печенья, x₃ - количество тортов,

p₁=15, p₂=30, p₃=150 - цены на единицу продукта,

k₁=1,1; k₂=2; k₃=2 - капитал на единицу продукта,

l₁ =1,2; l₂=1,6; l₃=2,4- труд на единицу продукта,

r₁=1,5; r₂=2; r₃=1 - сырье на единицу продукта,

K=44 - всего капитала,

L=45 - всего трудовых ресурсов,

R=45 - всего сырья.

Тогда получаем конкретную модель:

x₁ 15+ x₂ 30+ x₃ 150 max - целевая функция (размер прибыли)

x₁ 1,1+ x₂ 2+ x₃ 2<= 44

x₁ 1,2+ x₂ 1,6+ x₃2,4<=45 - ограничения по ресурсам

x₁ 1,5+ x₂ 2+ x₃ 1<=45

Далее используя компоненту Поиск решения в приложении Microsoft Office 2003, ввести данные в форму настройки поиска решений, предварительно подготовив нижеследующую таблицу.

Задание 3

паутинообразный дискретный динамический моделирование

При ценах благ p₁=5, p₂=1 и доходе I=40, функцией полезности:

U=(x₁-4)^2/3x₂^1/3 max

Изобразите допустимое множество и кривые безразличия.

Решение:

Функция полезности U в модели Стоуна характеризуется минимальным объемом потребления x₁⁰ _, x₂⁰ и коэффициентом полезности для каждого из товаров ₁ и ₂, соответственно. В нашем случае x₁⁰ =4_, x₂⁰=0, ₁=2/3 и ₂=1/3.

Функция спроса имеет вид:

x_i= x_i⁰+ _i (I - p_j x_j⁰) / p_ij , где i = 1..n - вид товара.

Используя формулу, получаем:

x₁= 4+0,67*(40-5*4-1*0)/(5*(0,67+0,33)) = 6,67

x₂= 0+0,33*(40-5*4-1*0)/(1*(0,67+0,33)) = 6,67

; 6.67-0) =3,62

Далее составим таблицу с допустимым множеством значений и построим кривые безразличия и прямую бюджетного ограничения.

x1	6,2	6,4	6,6	6,8	7	7,2	7,4
x2бюджет	9,000000	8,000000	7,000000	6,000000	5,000000	4,000000	3,000000
х2Umax	9,794918886	8,230452675	7,01293009	6,04686319	5,26749	4,62963	4,1009868
x2U1=3	5,578512397	4,6875	3,99408284	3,443877551	3	2,636719	2,335640138
x2U2=2	1,652893	1,388888889	1,183431953	1,020408	0,888889	0,781250	0,692042



Задача 4

Студент читает журналы и слушает музыку, записанную на кассеты. Известны цена журнала и кассеты, а также набор, который обычно покупает студент. Данные приведены в таблицах 1.и 2. Таблица 2. показывает также полезность, которую он получает от потребления различного количества журналов и кассет.

Ответить на следующие вопросы задачи.

А) Сколько денег студент тратит на покупку этого количества кассет и журналов?

Б) Какую полезность он получает от потребления такой комбинации товаров?

В) Рассчитайте предельную полезность, которую он получает от потребления кассет и журналов?

Г) Изобразите на рисунке кривую предельной полезности кассет.

Д) Можете ли вы установить, максимизирует ли студент полезность?

Е) Какую полезность он получит, если весь свой бюджет будет тратить на покупку кассет?

Ж) Рассчитайте отношение предельной полезности к цене для каждого из товаров.

З) При какой комбинации двух товаров полезность окажется максимальной?

Таблица 1

	журналы	кассеты
цена	3	9
выбор	8	4

Таблица 2

товар	журналы	Кассеты
количество	Полезность (ютил)
1	57	470
2	91	673
3	120	832
4	146	966
5	170	1085
6	192	1193
7	214	1292
8	234	1385
9	253	1473
10	272	1556

А) Расходы фирмы I=p1*x1+p2*x2=3*8+9*4=60 (у. е.).

Б) Общая полезность U=u1(8)+u2(4)=234+966=1200(ютил).

В) Предельная полезность - это полезность от потребления последней единицы товара, например, предельная полезность от приобретения шести живых цветов

mu1(6) = u1(6) - u1(5) = 192 - 170 = 22 (ютил).

Остальные данные приведены в таблице 3

Таблица 3

количество	журналы	кассеты
	Полезность (ютил) u1	Предельная полезность mu1	mu1/p1	Полезность (ютил) u2	Предельная полезность mu2	mu2/p2
1	57	-	-	470	-	-
2	91	34	11,3	673	203	18,5
3	120	29	9,7	832	159	17,7
4	146	26	8,7	966	134	14,9
5	170	24	8	1085	119	13,2
6	192	22	7,3	1193	108	12
7	214	22	7,3	1292	99	11
8	234	20	6,7	1385	93	10,3
9	253	19	6,3	1473	88	9,8
10	272	19	6,3	1556	83	9,2

Г)

Д) Существуют наборы, дающие большую полезность при тех же финансовых возможностях, например, при покупке набора 2 и 5 требуется

3*2+9*5 = 51 (у. е.),

при этом достигается:

U=u1(2)+u2(5)=91+1085=1176 (ютил).

Е) Максимально возможное количество искусственных цветов, которые можно приобрести на 60 у. е. (см. вопрос А)

x2= I /p2= 60/9=6.

Следовательно

U= u2(6) = 1193 (ютил).

Ж) Отношение предельной полезности к цене каждого из товаров приведены в таблице 4.

З) Чтобы определить комбинацию товаров, дающую оптимальную полезность составим таблицу всевозможных наборов в пределах располагаемых средств.

Таблица 4.

Журналы, х1	Кассеты, х2	Общая полезность , U=u1+u2
1	6	1250
2	6	1284
3	5	1205
4	5	1231
5	5	1255
6	4	1158
7	4	1180
8	4	1200
9	3	1085
10	3	1104

В таблице 4, x1 заполняем значениями от 1 до 10, а x2 получаем по формуле расчета x2=(I- x1*p1)/p2.

Из таблицы видно, что наилучший выбор - это 3 и 6. Максимальная полезность 1313 ютил.

Задача 5

На графике изображены карта кривых безразличия производственной функции, показывающая возможные уровни производства при различных сочетаниях ресурсов: труда (x₁) и капитала (x₂). Точка А - показывает реальное сочетание ресурсов (технологический способ). ВС - линия бюджетного ограничения, показывает множество комбинаций ресурсов, расходы на покупку которых одинаковы.



D

Оптимальный уровень производства при условии, что уровень заработной платы повысился в 1,5 раза, а плата за капитал осталась прежней.

Линия бюджетного ограничения ВС или множество точек, соответствует различным сочетаниям ресурсов при постоянном уровне платы за капитал, при повышении заработной платы переходит в точку ВС_1. При чем длина отрезка ОС₁ равна 1,5 отрезка ОС. Ордината точки С₁ соответствует максимально возможной величине уровня производства x₁ при данном уровне заработной платы. Множество доступных технологических способов ограничено точками треугольника ОВС_1.

Оптимальный уровень производства достигается в точке D касания линии бюджетного ограничения и кривой безразличия. Эта кривая безразличия находится правее и выше остальных, а значит, соответствует минимальному объему производства.

Список использованной литературы

1. К.А. Багриновский и В.М.Матюшок. Экономико-математические методы и модели, М.: РУДН, 1999.

2.Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и модели для менеджмента. СПб., Лань, 2000.

3. Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL. М.: ЗАО `'Финстатинформ”, 2000.

Размещено на Allbest.ru