Линейное программирование. Транспортная и математическая модель. Метод "северо-западного" угла

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Построение транспортной модели

Построение математической модели

Определение начального плана транспортировок. Метод «северо-западного угла»

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Линейное программирование - это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции. Казалось бы, что для исследования линейной функции многих переменных на условный экстремум достаточно применить хорошо разработанные методы математического анализа, однако невозможность их использования можно довольно просто проиллюстрировать.

Действительно, путь необходимо исследовать на экстремум линейную функцию

Z = С1х1+С2х2+... +СNxN

при линейных ограничениях

a11x1 + a22x2 + ... + a1NХN = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2NХN = b2

aМ1x1 + aМ2x2 + ... + aМNХN = bМ

Так как Z - линейная функция, то Z = Сj, (j = 1, 2, ..., n), то все коэффициенты линейной функции не могут быть равны нулю, следовательно, внутри области, образованной системой ограничений, экстремальные точки не существуют. Они могут быть на границе области, но исследовать точки границы невозможно, поскольку частные производные являются константами.

Для решения задач линейного программирования потребовалось создание специальных методов. Особенно широкое распространение линейное программирование получило в экономике, так как исследование зависимостей между величинами, встречающимися во многих экономических задачах, приводит к линейной функции с линейными ограничениями, наложенными на неизвестные.

Построение транспортной модели

Среди задач линейной оптимизации могут быть выделены два класса задач со специальной структурой:

транспортная задача

задача о назначениях.

Эти задачи используются для моделирования оптимизации экономических проблем, связанных с формированием оптимального плана перевозок, оптимального распределения индивидуальных контрактов на транспортировки, составления оптимального штатного расписания, определения оптимальной специализации предприятий, рабочих участков и станков, оптимального назначения кандидатов на работы, оптимального использования торговых агентов. Критерием эффективности в данных задачах является линейная функция, ограничения также линейны, поэтому для их решения могут применяться методы линейной оптимизации, например симплекс-метод. Однако специальная структура таких задач позволяет разработать более удобные методы их решения. Некоторые из таких методов приведены этой книге. Даны общая формулировка задач, основные термины и определения, этапы построения математических моделей, этапы получения оптимальных решений. Также приведены числовые примеры экономических задач, которые могут быть решены этими методами.

Построим транспортную модель для конкретной задачи.

Пример 1

Четыре предприятия данного экономического района для производства продукции используют некоторое сырье. Спрос на сырье каждого из предприятий соответственно составляет: 120, 50, 190 и 110 усл. ед. Сырье сосредоточено в трех местах.

Предложения поставщиков сырья равны: 160, 140 и 170 усл. ед. На каждое предприятие сырье может завозиться от любого поставщика. Тарифы перевозок известны и задаются матрицей

В i -й строке j -м столбце матрицы С стоит тариф на перевозку сырья от i -гo поставщика j -му потребителю, i=1, 2, 3; j =1, 2, 3, 4. Под тарифом понимается стоимость перевозки единицы сырья.

Требуется составить план перевозок, при котором общая стоимость перевозок минимальна.

Построение математической модели

Цель задачи состоит в минимизации суммарной стоимости на перевозки. Эта цель может быть достигнута с помощью оптимальной организации перевозок сырья. Следовательно, за неизвестные можно принять количество сырья, перевозимого от каждого поставщика каждому потребителю.

Пусть хij - количество сырья, перевозимого от i -го поставщика j-му потребителю. Параметры задачи - число поставщиков и потребителей, предложение и спрос сырья в каждом пункте, тарифы на перевозки.

Ограничения задачи - это ограничения на предложение и спрос сырья. Предложения сырья всех поставщиков не должны быть меньше суммарного спроса на него во всех пунктах потребления. В данной задаче имеет место точное равенство между предложением и спросом. 120+50+190+110=160+140+170=470.

Количество сырья, вывозимого от каждого поставщика, должно быть равно наличному количеству сырья. Количество сырья, доставленное каждому потребителю, должно равняться его спросу. Последнее ограничение - условие неотрицательности хij.

Критерием эффективности (целевой функцией) являются суммарные затраты S на перевозку, равные сумме произведений тарифов на перевозку на количество перевозимого сырья от каждого поставщика каждому потребителю.

Окончательно математическая модель задачи имеет вид

Целевая функция и ограничения линейны, т.е. данная задача относится к задачам линейного программирования, однако, благодаря особой структуре, эта задача получила специальное название: транспортная задача или транспортная модель.

Определение начального плана транспортировок. Метод "северо-западного" угла

Рассмотрим метод "северо-западного" угла.

Метод "северо-западного" угла

Шаг 1. Составляют транспортную таблицу.

Шаг 2. Транспортную таблицу начинают заполнять с левого верхнего (северо-западного) угла. При заполнении двигаются по строке вправо и по столбцу вниз. В клетку, находящуюся на пересечении первой строки и первого столбца, помещается максимально возможное число единиц продукции, разрешенное ограничениями на предложение и спрос:

Если а1 < b2, то х11 = a1 и предложение первого поставщика полностью исчерпано. Первая строка вычеркивается, и двигаются по столбцу вниз. В клетку, находящуюся на пересечении первого столбца и второй строки, помещается максимально возможное число единиц продукции, разрешенное ограничениями на предложение и спрос: х21 == min(a2,b1-a1). Если b1-a1 <a2 то х21 = b1-a1. Спрос первого потребителя удовлетворен. Первый столбец вычеркивают и двигаются по второй строке вправо. Заполнив клетку, стоящую на пересечении второй строки ивторого столбца, переходят к заполнению следующей третьей клетки второй строки, либо второго столбца. Процесс продолжают до тех пор, пока не исчерпается предложение и не удовлетворится спрос. Последняя заполненная клетка находится в последнем n-м столбце и последней m-й строке.

Пример 1.

Определить начальное решение по методу "северо-западного" угла для транспортной задачи из примера 1.

Решение.

Транспортная таблица имеет следующий вид (табл. 3.1):

Таблица 3.1

В первую клетку помещают: х11 = min( 160,120) = 120. Спрос первого потребителя полностью удовлетворен, первый столбец вычеркивают. Остаток сырья в первом пункте составляет: 160 - 120=40 усл. ед. Двигаемся по первой строке вправо х21 =min(160 -120,50) = 40. Предложение поставщика исчерпано, первая строка вычеркивается. Второму потребителю не хватает 50-40=10 усл. ед. Двигаемся по второму столбцу вниз х22 =min(140,50 - 40) = 10; Второй столбец вычеркивается. Двигаемся по второй строке вправо х23 = min(140 -10,90) = 130. Вторая строка вычеркивается. Двигаемся по третьему столбцу вниз x33 = min(170,190 -130) = 60. Спрос третьего потребителя удовлетворен. Двигаемся по третьей строке вправо х34 = min(170 -160, 10) = 110. Таблица заполнена. Число ненулевых значений xij,

транспортная математическая модель метод угол

,

равно 6. Число базисных переменных задачи 3+4 -1=6. Остальные 3*4-6=6 переменных являются свободными, их значения равны нулю.

Начальный план перевозок имеет вид

Стоимость перевозок по этому плану составляет

S1= 120*7+40*8+10*5+130*9+60*3+110*6=3220.

Метод "северо-западного" угла -- наиболее простой метод нахождения начального решения. План перевозок, полученный по этому методу, обычно бывает достаточно далек от оптимального.

Заключение

Имеется ряд определений предмета экономической теории. Из них вытекает необходимость экономико-математических методов, причем требуется самая изощренная современная математика, как теоретическая, так и прикладная. Фактически существует такая дисциплина, как математическая экономика, которая у ряда авторов представляет собой чисто математическую теорию с типичным для нее построением: формальные определения с соответствующими примерами реальных объектов, затем теоремы, их точные доказательства, интерпретация этих теорем. Такой способ построения экономической теории напоминает о некоторых реализациях такой дисциплины, как математическая физика, в виде чисто математической абстрактной теории. Все это крайности, которые необходимы для интенсивного развития математического аппарата, но они должны быть лишь частью теории, служащей некоторым содержательным, жизненно необходимым и, в конечном счете, неформализуемым задачам.

Список использованной литературы

1. Е.С. Вентцель. Исследование операций: задачи, принципы, методология. - М.: 2010.

2. О.А. Косоруков, А.В. Мищенко. Учебник для ВУЗов. - М.: «Экзамен», 2009.

3. Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман.- М.: ЮНИТИ, 2012.

4. Хемди А. Таха. Введение в исследование операций. 6-е издание: пер. с англ.-М.: Издательский дом «Вильямс», 2011.

5. П.В. Конюховский. Математические методы исследования операций. - М.: Питер, 2010.

6. Н.Ш. Кремер. Исследование операций в экономике. - М.: «Банки и биржи» Издательское объединение «ЮНИТИ», 2009.

7. А. Б. Аронович, М.Ю. Афанасьев, Б.П. Суворов. Сборник задач по исследованию операций. - М.: Издательство МГУ, 2011.

8. Ю.И. Дегтярев. Системный анализ и исследование операций. Учебник для ВУЗов. - М.: Высшая школа, 2011.

9. Г. Вагнер. Математическая экономика. Т.1-3. - М.: Мир, 2012.

10. Исследование экономических операций. Учебник для ВУЗов под общей редакцией д.э.н. Н.П. Тихомирова.2012г.

Размещено на Allbest.ru