Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВАЯ РАБОТА

по предмету: «Моделирование производственных и экономических процессов»

на тему: «Моделирование случайной величины с заданным законом распределения»

2013г.



Содержание

Введение

1. Основные понятия теории моделирования экономических систем и процессов

1.1 Понятие моделирования

1.2 Понятие модели

2. Моделирование случайных величин с заданным законом распределения

2.1 Метод нелинейного преобразования, обратного функции распределения

2.2 Метод кусочной аппроксимации

2.3 Метод Неймана

3. Практическая часть

3.1 Постановка задачи

3.2 Решение задачи

Заключение

Список использованной литературы

Приложение



Введение

Чтобы задать случайную величину, надо указать, какие значения она может принимать, и каковы вероятности этих значений.

В настоящее время случайной величины с заданным законом распределения находит применение в науке, технике и в любой другой области человеческой деятельности.

Поиски случайной величины с заданным законом распределения решений привели к созданию специальных математических методов и уже в 18 веке были заложены математические основы случайной величин. Постановка задачи случайной величин предполагает существование конкурирующих свойств процесса.

Случайной называется величина, изменяющаяся от опыта к опыту нерегулярно и на первый взгляд беспорядочно. Так, при бросании игральной кости (кубик с нумерованными гранями) может выпасть любое число от 1 до 6. Радиоактивное ядро может распасться в любую наперед избранную секунду, время жизни ядра до распада - случайная величина. При массовом изготовлении любой продукции все изделия оказываются не вполне идентичными по параметрам. Таким образом, те или иные параметры для совокупности таких изделий также являются случайными величинами.

Результат каждого отдельного измерения случайной величины непредсказуем. Но при многократном повторении измерений в неизменных условиях совокупность их результатов описывается статистическими закономерностями. Если бросать игральную кость сотни раз, каждое определенное число (например, два) выпадает примерно в 1/6 части общего числа попыток; для радиоактивного вещества, содержащего очень большое число одинаковых ядер, можно надежно предсказать число распадов за любой (но не слишком малый) наперед заданный промежуток времени. Удается подметить закономерности и в распределении по тому или иному параметру изделий, изготовляемых в массовом производстве по определенной технологии (знание этих закономерностей оказывается полезны Выбор компромиcного варианта для указанных свойств и представляет собой процедуру решения случайной величин задачи.

Величины с заданным законом распределения - один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования. Именно случайные величины программирования явилось тем разделом, с которого начала развиваться сама дисциплина «математическое программирование». Термин «программирование» в названии дисциплины ничего общего с термином «программирование (т.е. составление программ) для ЭВМ» не имеет, так как дисциплина «линейное программирование» возникла еще до того времени, когда ЭВМ стали широко применяться при решении математических, инженерных, экономических и др. задач. Термин «Величины с заданным законом распределения» возник в результате неточного перевода английского. Однако, термин величины с заданным законом распределения программирование, нелинейное программирование и т.д. в нашей литературе стали общепринятыми. Итак, величины с заданным законом распределения программирование возникло после Второй Мировой Войны и стал быстро развиваться, привлекая внимание математиков, экономистов и инженеров благодаря возможности широкого практического применения, а так же математической «стройности».

Можно сказать, что линейное программирование применимо для построения математических моделей техпроцессов, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального мира: экономических задач, задач управления и планирования, оптимального размещения оборудования и пр.

Параметры каждого случайного процесса изменяются во времени, поэтому описать математически такие нестационарные процессы очень сложно. Вследствие этого обычного рассматривается не весь процесс, а только отдельные участки, поэтому нестационарный процесс можно рассматривать как стационарный, то есть как процесс, параметры которого не могут быть изменены во времени.

По своему определению любая модель абстрактна и, следовательно, неполна. Выделяя наиболее существенные факторы, определяющие закономерности функционирования рассматриваемого объекта, модель абстрагируется от других факторов, которые, несмотря на свою относительную малость, могут определять не только отклонения в поведении объекта, но и само его поведение. Состав учтенных в модели факторов и её структура могут быть уточнены в ходе совершенствования модели.

В этой работе вам предстоит моделировать (т.е. создать искусственно) некоторый случайный процесс и исследовать распределение соответствующей случайной величины.



1. Основные понятия теории моделирования экономических систем и процессов

1.1 Понятие моделирования

линейное преобразование величина баланс производства

Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом, и с помощью которого изучает интересующий его объект. Любая социально-экономическая система представляет собой сложную систему, в которой взаимодействуют десятки и сотни экономических, технических и социальных процессов, постоянно изменяющихся под воздействием внешних условий, в том числе и научно-технического прогресса. В таких условиях управление социально-экономическими и производственными системами превращается в сложнейшую задачу, требующую специальных средств и методов. Моделирование представляет собой один из основных методов познания, является формой отражения действительности и заключается в выяснении или воспроизведении тех или иных свойств реальных объектов, предметов и явлений с помощью других объектов, процессов, явлений, либо с помощью абстрактного описания в виде изображения, плана, карты, совокупности уравнений, алгоритмов и программ.

В самом общем смысле под моделью понимают логическое (словесное) или математическое описание компонентов и функций, отображающих существенные свойства моделируемого объекта или процесса, обычно рассматриваемых как системы или элементы системы с определенной точки зрения. Модель используется как условный образ, сконструированный для упрощения исследования объекта. В принципе, в экономике применимы не только математические (знаковые), но и материальные модели, однако материальные модели имеют лишь демонстрационное значение.

Существуют две точки зрения на существо моделирования:

- это исследование объектов познания на моделях;

- это построение и изучение моделей реально существующих предметов и явлений, а также предполагаемых (конструируемых) объектов.

Возможности моделирования, то есть перенос результатов, полученных в ходе построения и исследования модели, на оригинал основаны на том, что модель в определенном смысле отображает (воспроизводит, моделирует, описывает, имитирует) некоторые интересующие исследователя черты объекта. Моделирование как форма отражения действительности широко распространено, и достаточно полная классификация возможных видов моделирования крайне затруднительна, хотя бы в силу многозначности понятия «модель», широко используемого не только в науке и технике, но и в искусстве, и в повседневной жизни.

Слово «модель» произошло от латинского слова «modulus», означает «мера», «образец». Его первоначальное значение было связано со строительным искусством, и почти во всех европейских языках оно употреблялось для обозначения образа или прообраза, или вещи, сходной в каком-то отношении с другой вещью.

Среди социально-экономических систем целесообразно выделить производственную систему (ПС), которая, в отличие от систем других классов, содержит в качестве важнейшего элемента сознательно действующего человека, выполняющего функции управления (принятие решений и их контроль). В соответствии с этим в качестве ПС могут рассматриваться различные подразделения предприятий, сами предприятия, научно-исследовательские и проектные организации, объединения, отрасли и, в отдельных случаях, народное хозяйство в целом.

Различается характер подобия между моделируемым объектом и моделью:

- физическое -- объект и модель имеют одинаковую или сходную физическую природу;

- структурное -- наблюдается сходство между структурой объекта и структурой модели;

- функциональное -- объект и модель выполняют сходные функции при соответствующем воздействии;

- динамическое -- существует соответствие между последовательно изменяющимися состояниями объекта и модели;

- вероятностное -- существует соответствие между процессами вероятностного характера в объекте и модели;

- геометрическое -- существует соответствие между пространственными характеристиками объекта и модели.

Моделирование -- один из наиболее распространенных способов изучения процессов и явлений. Моделирование основывается на принципе аналогии и позволяет изучать объект при определенных условиях и с учетом неизбежной односторонней точки зрения. Объект, трудно доступный для изучения, изучается не непосредственно, а через рассмотрение другого, подобного ему и более доступного -- модели. По свойствам модели обычно оказывается возможным судить о свойствах изучаемого объекта. Но не обо всех свойствах, а лишь о тех, которые аналогичны и в модели, и в объекте и при этом важны для исследования.

Такие свойства называются существенными. Есть ли необходимость в математическом моделировании экономики? Для того чтобы убедиться в этом, достаточно ответить на вопрос: можно ли выполнить технический проект, не имея плана действий, т. е. чертежей? Та же самая ситуация имеет место и в экономике. Требуется ли доказывать необходимость использования экономико-математических моделей для принятия управленческих решений в сфере экономики?

Экономико-математическая модель оказывается в этих условиях основным средством экспериментального исследования экономики, т. к. обладает следующими свойствами:

- имитирует реальный экономический процесс (или поведение объекта);

- обладает относительно низкой стоимостью;

- может многократно использоваться;

- учитывает различные условия функционирования объекта.

Модель может и должна отражать внутреннюю структуру экономического объекта с заданных (определенных) точек зрения, а если она неизвестна, то лишь его поведение, используя при этом принцип «Черного ящика».

Принципиально любая модель может быть сформулирована тремя способами:

- в результате прямого наблюдения и изучения явлений действительности (феноменологический способ);

- вычленения из более общей модели (дедуктивный способ);

- обобщения более частных моделей (индуктивный способ, т. е. доказательство по индукции).

Модели, бесконечные в своем многообразии, можно классифицировать по самым различным признакам. В первую очередь все модели можно подразделить на физические и описательные. И с теми, и с другими мы постоянно имеем дело. В частности, к описательным относятся модели, в которых моделируемый объект описывается с помощью слов, чертежей, математических зависимостей и т. д. К таким моделям можно отнести литературу, изобразительное искусство, музыку.

В управлении хозяйственными процессами широко используются экономико-математические модели. В литературе нет устоявшегося определения экономико-математической модели. Возьмем за основу следующее определение. Экономико-математическая модель -- математическое описание экономического процесса или объекта, осуществленное в целях их исследования или управления ими: математическая запись решаемой экономической задачи (поэтому часто термины задача и модель употребляются как синонимы).

Модели можно также классифицировать и по другим признакам:

- Модели, в которых описывается моментное состояние экономики, называются статическими. Модели, которые показывают развитие объекта моделирования, называются динамическими.

- Модели, которые могут строиться не только в виде формул (аналитическое представление), но и в виде числовых примеров (численное представление), в форме таблиц (матричное представление), в форме особого рода графов сетевое представление).

1.2 Понятие модели

В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы оделирования. Между тем общепризнанного определения понятия модели не существует. На наш взгляд, заслуживает предпочтения следующее определение: модель - объект любой природы, который создается исследователем с целью получения новых знаний об объекте оригинале и отражает только существенные (с точки зрения разработчика) свойства оригинала.

Анализируя содержание этого определения, можно сделать следующие выводы:

1) любая модель субъективна, она несет на себе печать индивидуальности исследователя;

2) любая модель гомоморфна, т.е. в ней отражаются не все, а только существенные свойства объекта-оригинала;

3) возможно существование множества моделей одного и того же объекта-оригинала, отличающихся целями исследования и степенью адекватности.

Модель считается адекватной объекту-оригиналу, если она с достаточной степенью приближения на уровне понимания моделируемого процесса исследователем отражает закономерности процесса функционирования реальной системы во внешней среде.

Математические модели можно разделить на аналитические, алгоритмические (имитационные) и комбинированные. Для аналитического моделирования характерно то, что для описания процессов функционирования системы используются системы алгебраических, дифференциальных, интегральных или конечно-разностных уравнений. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

а) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик;

б) численным, когда, не умея решать уравнения в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных;

в) качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения). При алгоритмическом (имитационном) моделировании описывается процесс функционирования системы во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Имитационные модели также могут быть детерминированными и статистическими.

Общая цель моделирования в процессе принятия решения была сформулирована ранее - это определение (расчет) значений выбранного показателя эффективности для различных стратегий проведения операции (или вариантов реализации проектируемой системы). При разработке конкретной модели цель моделирования должна уточняться с учетом используемого критерия эффективности. Таким образом, цель моделирования определяется как целью исследуемой операции, так и планируемым способом использования результатов исследования.

Например, проблемная ситуация, требующая принятия решения, формулируется следующим образом: найти вариант построения вычислительной сети, который обладал бы минимальной стоимостью при соблюдении требований производительности и надежности. В этом случае целью моделирования является отыскание параметров сети, обеспечивающих минимальное значение ПЭ, в роли которого выступает стоимость.

Задача может быть сформулирована иначе: из нескольких вариантов конфигурации вычислительной сети выбрать наиболее надежный. Здесь в качестве ПЭ выбирается один из показателей надежности (средняя наработка на отказ, вероятность безотказной работы и т.д.), а целью моделирования является сравнительная оценка вариантов сети по этому показателю.

Приведенные примеры позволяют напомнить о том, что сам по себе выбор показателя эффективности еще не определяет «архитектуру» будущей модели, поскольку на этом этапе не сформулирована ее концепция, или, как говорят, не определена концептуальная модель исследуемой системы.



2. Моделирование случайных величин с заданным законом распределения

2.1 Метод нелинейного преобразования, обратного функции распределения

Исходным материалом для формирования на ЦВМ случайных величин с различными законами распределения служат равномерно распределенные в интервале (0,1) случайные числа, которые вырабатываются на ЦВМ программным или же физическим датчиком случайных чисел.

Существуют различные приемы преобразования случайных чисел с равномерным распределением в случайные числа с заданным законом распределения. Так, например, в качестве нормально распределенных случайных чисел можно использовать сумму нескольких независимых случайных чисел с равномерным распределением (приближение основано на центральной предельной теореме теории вероятностей, в силу которой сумма независимых случайных величин при весьма общих условиях имеет асимптотически нормальное распределение).

Рассмотрим сначала общие приемы получения случайных чисел с заданным законом распределения из равномерно распределенных случайных чисел.

Пусть -- функция плотности, - функция распределения вероятностей случайной величины , а -- функция, обратная функции . Тогда случайная величина имеет заданный закон распределения , если случайная величина равномерно распределена в интервале (0,1).

Например, случайную величину с релеевским законом распределения, у которой функция плотности, функция распределения, среднее значение и дисперсия имеют соответственно вид

где -- параметр распределения, можно получить путем следующего преобразования равномерно распределенной в интервале (0,1) случайной величины :

(переход от к в последней формуле основан на том, что случайные величины и имеют здесь одинаковые законы распределения).

Аналогично случайную величину с показательным законом распределения, у которой

(1.5)

можно сформировать путем преобразования .

Путем преобразований

(1.6)



можно сформировать случайные числа, распределенные по закону арксинуса и закону Коши соответственно:

(1.7)

Используя свойство симметрии тригонометрических функций, нетрудно убедиться, что закон распределения случайных величин , формируемых согласно алгоритмам (1.6), не изменится, если аргумент у тригонометрических функций заменить аргументом

К сожалению, не всегда существуют элементарные преобразования для получения случайных величин с заданным законом распределения из равномерно распределенных случайных чисел. В частности, у случайных величин с нормальным распределением функция, обратная функции распределения, не выражается в замкнутом виде через элементарные функции.

В этих случаях для формирования случайных величин с заданным распределением используются различные аппроксимации функции .

Принятый алгоритм получения нормально распределенной величины Х заключается в следующих операциях:

1. Производится розыгрыш N случайных равномерно распределенных величин r_i (обычно N >= 12 ).

2. Находится сумма N величин математическое ожидание которой , дисперсия

и среднеквадратичное отклонение

3. Производится нормирование величины S_H = (S-m)/ = S-- 0,5N.

4. Находится значение случайной величины X, распределенной по нормальному закону, исходя из обратной нормированной величины формулы

X = _xS + m или

(2. 7)

схема алгоритма моделирования нормально распределенной случайной величины

На практике для данного закона нашел применение другой метод, основанный на центральной предельной теореме вероятностей. Почтой теореме в результате суммирования определенного числа независимых случайных величин, сравнимых по первым двум моментам распределения получается случайная величина, приближенно распределенная по нормальному закону.

Показательным законом описываются многие физические процессы: случайное время безотказной работы электронных и ряд других изделий, случайные моменты времени поступления заказов на предприятия, службы быта, вывозов на телефонные станции, поступления судов в отдельные порты, времена поиска неисправностей в аппаратуре и т.д.

Дифференциальная и интегральная функции распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, определяются выражениями (рис.2.5):



f(x) = лe -^лx,

F(x) = 1 - e ^-лx (x>0),

где л -- постоянная величина, параметр показательного распределения.

В соответствии с выражением (2.2) имеем r_i = 1 - e ^-лx_i. Разрешив его относительно x_i, получим x_i = -(1/ л)ln(1-r_i).

Поскольку случайное число r_i равномерно распределено в интервале 0-1, то величины 1-r_{i ,} r_i распределены одинаково. Поэтому для моделирования случайной величины, распределенной по показательному закону, используется выражение

x_i = -(1/ л)lnr_i. (2.3)

Наряду с показательным распределением, распределение Вейбулла имеет место при оценках модельности изделий. Этому распределению подчиняется случайное время работы изделия до отказа, возникающего вследствие износа старения.

2.2 Метод кусочной аппроксимации

Существуют различные приближенные приемы моделирования случайных величин: численное решение уравнения относительно при использовании метода нелинейного преобразования, обратного функции распределения; замена непрерывных распределений соответствующими дискретными распределениями, для которых можно указать достаточно простые моделирующие алгоритмы, и другие приемы [10, 23]. Среди них универсальным и наиболее простым является метод кусочной аппроксимации, предложенный Н. П. Бусленко [11].

Сущность этого метода состоит в следующем. Пусть требуется получить случайную величину с функцией плотности . Предположим, что область возможных значений величины ограничена интервалом (неограниченное распределение можно приближенно заменить ограниченным). Разобьем интервал на достаточно малых интервалов , так, чтобы распределение заданной случайной величины в пределах этих интервалов можно было довольно точно аппроксимировать каким-нибудь простым распределением, например равномерным, трапецеидальным и т. д.

Пусть -- вероятность попадания случайной величины в каждый из интервалов . Получать реализации величины с кусочно-равномерным распределением можно, очевидно, в соответствии со следующей схемой преобразования случайных чисел: 1) случайным образом с вероятностью выбирается интервал ; 2) формируется реализация случайной величины, равномерно распределенной в интервале ; 3) искомая реализация получается по формуле

.

Случайный выбор интервала с вероятностью означает, по существу, моделирование дискретной случайной величины, принимающей значений , с вероятностью каждое, что можно сделать достаточно просто. Интервал разбивается на интервалов длиной каждый. Из датчика случайных равномерно распределенных в интервале (0, 1) чисел выбирается некоторая реализация . Путем последовательного сравнения с определяется тот интервал , в котором оказывается .

Рис. 1.3.

В основу этого процесса положен очевидный факт: вероятность попадания равномерно распределенной в интервале случайной величины в некоторый подинтервал равна длине этого подинтервала. Для моделирования случайных величин методом кусочной аппроксимации наиболее удобно при машинной реализации выбирать вероятности попадания во все интервалы одинаковыми , а число таким, что , где -- целое число, меньше или равное количеству двоичных разрядов чисел, вырабатываемых датчиком случайных чисел. В этом случае величины должны быть выбраны такими, чтобы

При равенстве вероятностей для случайного выбора индекса можно использовать первые разрядов числа, извлекаемого из датчика равномерно распределенных случайных чисел.

Используя рассмотренный прием, приходим к следующему способу преобразования равномерно распределенных случайных чисел в случайные числа с заданным законом распределения.

Из датчика равномерно распределенных в интервале (0, 1) случайных чисел извлекается пара реализаций . Первые разрядов числа используются для нахождения адресов ячеек, в которых хранятся величины и , а затем по формуле получается реализация случайной величины с заданным законом распределения. Такой алгоритм является довольно экономичным по количеству требуемых операций, которое не зависит от числа , т. е. не зависит от точности кусочной аппроксимации. Однако с увеличением точности аппроксимации возрастает количество ячеек памяти, требуемое для хранения величин , , что является недостатком рассмотренного метода, в особенности при больших .

Для моделирования случайных величин с заданным законом распределения можно использовать и другие свойства преобразований случайных чисел. Известно, например, что распределение произведения двух независимых случайных величин, одна из которых имеет релеевское распределение (1.4), а другая распределена по закону арксинуса (1.7) с параметрами (0, 1/2), т. е. с нулевым средним значением и дисперсией, равной 1/2 является нормальным. Это позволяет формировать нормальную случайную величину путем следующего преобразования системы двух независимых равномерно распределенных в интервале (0, 1) случайных чисел и :

(1.9)



Параметры получаемой этим способом нормальной случайной величины будут .

Для моделирования случайных величин с некоторыми законами распределения иногда удобно использовать преобразования нормально распределенных случайных чисел. Так, например, случайные величины с релеевским и показательным законами распределения (1.4) и (1.5) можно получить путем преобразования системы двух независимых нормальных случайных чисел и с параметрами в виде

, (1.10)

(1.11)

соответственно. При этом для релеевского распределения (1.4) параметр будет совпадать с параметром исходного нормального распределения, а для показательного распределения (1.5) параметр связан с параметром исходного нормального распределения соотношением .

Алгоритмы (1.10) и (1.11) основаны на известных свойствах преобразований нормальных случайных величин [50]. Немного изменив эти алгоритмы, можно моделировать случайные величины с другими распространенными законами распределения, а именно, обобщая формулы в виде



2.3 Метод Неймана

Пусть -- -мерная функция плотности случайного вектора с областью определения случайных координат . По аналогии с одномерным случаем для сформирования реализаций вектора на ЦВМ вырабатывается случайных чисел , равномерно распределенных в интервалах соответственно, где -- максимальное значение функции . В качестве реализаций случайного вектора , распределенного по закону , берутся реализации случайного вектора , удовлетворяющие условию .

Реализации случайных чисел , не удовлетворяющие этому условию, выбрасываются.

Идея метода такая же, как и в одномерном случае (1.4), с той лишь разницей, что здесь имитируются случайные точки, равномерно распределенные не на плоскости под кривой , а в -мерном объеме под -мерной поверхностью .1.6.

Моделирование случайных векторов в рамках корреляционной теории С практической точки зрения способы получения возможных значений составляющих случайного вектора в рамках корреляционной теории оказываются более приемлемыми, чем в рамках многомерных распределений. Эти способы (первые) применимы в тех моделях, в которых достаточно обеспечить лишь заданную матрицу корреляционных моментов случайных векторов (или заданную корреляционную функцию при моделировании случайных процессов). Значение этих способов возрастает в связи со следующими обстоятельствами. Во-первых, нормальные случайные векторы и процессы, играющие очень важную роль в приложениях, однозначно задаются матрицей корреляционных моментов, и, следовательно, моделирование их в рамках корреляционной теории равносильно моделированию по заданным многомерным распределениям.

Во-вторых, ненормальные случайные векторы часто появляются в результате некоторых преобразований нормальных случайных векторов. Назовем такие ненормальные векторы квазинормальными. Моделирование квазинормальных случайных векторов сводится к моделированию нормальных случайных векторов с последующим воспроизведением заданного преобразования и может быть осуществлено в рамках многомерных распределений, для чего, очевидно, достаточно обеспечить лишь необходимые корреляционные связи исходных нормальных векторов. Примером квазинормальных случайных векторов является последовательность значений огибающей суммы гармонического сигнала и узкополосного нормального шума. Эта последовательность подчинена, как известно, многомерному закону распределения Раиса (при отсутствии сигнала -- многомерному закону распределения Релея). Огибающая легко выражается через квадратурные составляющие колебания, распределение которых нормальное.

В-третьих, многомерные законы распределения случайных векторов, не являющихся нормальными или квазинормальными, весьма трудно получить теоретически и экспериментально. Исключение составляют лишь ненормальные случайные процессы, которые являются (или могут считаться) Марковскими случайными процессами невысокого порядка; их многомерные распределения найти сравнительно несложно. Корреляционные же моменты обычно определяются значительно проще. Поэтому практически в этих случаях многомерные законы распределения, как правило, неизвестны, и задача моделирования случайных векторов имеет смысл лишь в рамках корреляционной теории.

Например, если задана совместная функция плотности трехмерного вектора, то выборка троек чисел осуществляется в соответствии с функциями плотности

(1.14)

Описанный прием позволяет в принципе моделировать многомерные случайные величины с произвольно заданной функцией плотности. Однако практическое использование этого способа связано с весьма громоздкими вычислениями, за исключением тех, сравнительно редких случаев, когда интегралы в выражениях типа (1.13), (1.14) берутся в конечном виде. В противном случае приходится прибегать к приближенным вычислениям. При больших значениях эти вычисления, как правило, оказываются также очень громоздкими и совершенно непригодны для практического использования.

Значительно более приемлемым для практической реализации является метод Неймана), обобщенный на многомерный случай.



3. Практическая часть

3.1 Постановка задачи

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида; второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутренне потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки a_ij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А=( aij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Предприятие (виды продукции)	Коэффициенты прямых затрат aij	Конечный продукт Y
	1	2	3
1	0,2	0,3	0	120
2	0,3	0,1	0,2	250
3	0,1	0	0,3	180

3.2 Решение задачи

1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

1.1. Для решения данной экономической задачи будет выбрана среда табличного процессора MS Excel.

Приложение (рис. 1.1)

1.2. Найдем разность между единичной матрицей Е и матрицей А.

Для этого воспользуемся правилом вычитания матриц одинаковой размерности. (рис. 3.2)

	0,8	-0,3	-0,1
E-A	-0,3	0,9	-0,2
	-0,1	0	0,7

1.3. Найдем обратную матрицу . Воспользуемся встроенными функциями MS Excel (математические, обратная матрица)

Приложение (рис. 1.2)

1.4. Чтобы определить Валовую продукцию (матрицу), надо матрицу = умножить на Конечный продукт (матрицу ). Воспользуемся опять встроенными функциями MS Excel (математические, умножение матриц).

Приложение (рис. 1.3)

1.5. Матрица (матрица коэффициентов прямых материальных затрат) продуктивна, т.к. существует неотрицательный вектор .

2) Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

2.1. Для распределения продукции предприятий холдинга необходимо найти (рис. 3.4)

Приложение (рис. 1.4)

2.2. Построим межотраслевой баланс производства .

Приложение (рис. 1.5)

Условно чистая продукция - это разность между валовым продуктом и суммой продуктов, которые потребляет каждая отрасль.

Ответ:

1) Матрица (матрица коэффициентов прямых материальных затрат) продуктивна, т.к. существует неотрицательный вектор .

Приложение (рис. 1.6)



Заключение

Использование случайных величин является наиболее универсальным и поэтому наиболее распространенным способом учета в модели случайных факторов, присущих реальным экономическим системам или процессам. Примерами случайных величин могут служить: интервал времени до появления очередного клиента, длительность проведения технического обслуживания автомобиля, объем данных, считываемых из оперативной памяти ЭВМ и т.д. Случайные величины могут быть дискретные или непрерывные. Рассмотрим моделирование тех и других величин.

Существует довольно большое количество методов моделирования случайных величин. В данном параграфе изложены основные из них, при этом преследовалась цель рассмотреть в первую очередь принципиальную сторону вопроса и привести примеры алгоритмов для моделирования случайных величин с распространенными законами распределения. Более подробные сведения о цифровом моделировании случайных величин читатель найдет в специальных руководствах [10, 23].

Ниже дается краткая сравнительная характеристика рассмотренных методов моделирования случайных величин и некоторые рекомендации для выбора того или иного метода при решении конкретных задач.

Если в задаче требуется высокая точность воспроизведения законов распределения случайных величин, то целесообразно использовать алгоритмы, не обладающие методической погрешностью. погрешностью которых обычно можно пренебречь, так как она определяется лишь погрешностью выполнения на ЦВМ необходимых нелинейных преобразований и отклонением закона распределения исходных случайных чисел от равномерного (нормального). Примером систем, при моделировании которых может потребоваться высокая точность воспроизведения законов распределения случайных величин, являются системы обнаружения радиосигнала с низкой вероятностью ложной тревоги.

Другим достоинством указанных алгоритмов является простота подготовительной работы, так как преобразования равномерного закона в требуемый закон распределения даются в виде готовых аналитических зависимостей. Такого вида алгоритмы, кроме того, позволяют легко изменять форму закона распределения в процессе моделирования случайных величин, закон распределения которых зависит от переменных параметров. Например, изменение в процессе моделирования функции плотности случайной величины, распределенной по закону Раиса, сводится к изменению по соответствующему закону только параметра в алгоритме.

Основным недостатком этих алгоритмов является сравнительно низкое быстродействие, так как осуществление на ЦВМ нелинейных преобразований часто требует довольно большого количества элементарных операций.

В задачах, не предъявляющих высоких требований к качеству случайных величин, для сокращения количества элементарных операций рекомендуется использовать более экономичные приближенные методы. Из них хорошие результаты дает метод кусочной аппроксимации.

Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей при сложении достаточно большого числа одинаково распределенных независимых случайных чисел получается случайная величина, имеющая нормальное распределение.

На практике часто сравнение проводят с помощью вычислительных экспериментов, при решении так называемых специальных тестовых задач. Эти задачи могут быть как с малым, так и с большим числом переменных, иметь различный вид нелинейности. Они могут быть составлены специально и возникать из практических приложений, например задача минимизации суммы квадратов, решение систем нелинейных уравнений и т.п.

В работе также показано, что любые дополнительные критерии эффективности и значимости продукции или технологических способов её производства - коэффициенты функции цели

К сожалению, не всегда существуют элементарные преобразования для получения случайных величин с заданным законом распределения из равномерно распределенных случайных чисел. В частности, у случайных величин с нормальным распределением функция, обратная функции распределения, не выражается в замкнутом виде через элементарные функции.

Существуют различные приемы преобразования случайных чисел с равномерным распределением в случайные числа с заданным законом распределения. Так, например, в качестве нормально распределенных случайных чисел можно использовать сумму нескольких независимых случайных чисел с равномерным распределением (приближение основано на центральной предельной теореме теории вероятностей, в силу которой сумма независимых случайных величин при весьма общих условиях имеет асимптотически нормальное распределение).



Список использованной литературы

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 1986 г.

2. Власов М.П., Шимко П.Д. Моделирование экономических процессов. - Ростов-на - Дону, Феникс - 2005 (электронный учебник)

3. Яворский В.В., Амиров А.Ж. экономическая информатика и информационные системы (лабораторный практикум) - Астана, Фолиант, 2008 г.

4. Симонович С.В. Информатика, Питер, 2003 г.

5. Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов - кибернетиков. - М.: Наука, 1985 (электронный учебник)

6. Алесинская Т.В. Экономико-математические методы и модели. - Таган Рог, 2002 (электронный учебник)

7. Гершгорн А.С. Математическое программирование и его применение в экономических расчетах. - М. Экономика, 1968 г.

8. Дарбинян М.М. Товарные запасы в торговле и их оптимизация. - М. Экономика, 1978 г.

9. Джонстон Д.Ж. Экономические методы. - М.: Финансы и статистика, 1960 г.

10. Епишин Ю.Г. Экономико-математические методы и планировании потребительской кооперации. - М.: Экономика, 1975 г.

11. Житников С.А., Биржанова З.Н., Аширбекова Б.М. Экономико-математические методы и модели: Учебное пособие. - Караганда, издательство КЭУ, 1998 г.

12. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. - М.: ДИС, 1997 г.

13. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические методы в экономике. - М.: Наука, 1979 г.

14. Калинина В.Н., Панкин А.В. Математическая статистика. М.: 1998 г.

15. Колемаев В.А. Математическая экономика. М., 1998 г.

16. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Исследование операции в экономике. Учебное пособие - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997г.

17. Спирин А.А. Фомин Г.П. Экономико-математические методы и модели в торговле. - М.: Экономика, 1998 г.

18. http://ru.wikipedia.org

19. http://psbatishev.narod.ru/internet/11.htm

20. http://kk.wikipedia.org

21. www.kaznau.kz

22. http://45minut.kz



Приложение

Исходные данные

Рис. 1.1

Рис 1.2



Определение валовой продукции (матрица)

Рис. 1.3

Распределение продукции предприятий холдинга

Рис. 1.4



Рис 1.5

Рис 1.6

Размещено на Allbest.ru