Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему: «Разностные уравнения и их приложения»

Понятие о разностных уравнениях

Уравнение вида:

,(1)

где - фиксированное число, а - произвольное натуральное число, - члены некоторой числовой последовательности, называется разностным уравнением -го порядка.

Решить разностное уравнение означает найти все последовательности , удовлетворяющие уравнению (1). Разностные уравнения часто используются в моделях экономической динамики с дискретным временем, а также для приближенного решения дифференциальных уравнений.

Разностное уравнение вида

,(2)

где - некоторые функции от , называется линейным разностным уравнением -го порядка.

В случае, когда коэффициенты являются константами, методы решения данного класса уравнений во многом аналогичны решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим это для разностных уравнений второго порядка:

.(3)

Так же как и для линейных дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (3) определяется по формуле:

,(4)

где - некоторое частное решение уравнения (3), - общее решение соответствующего однородного уравнения (случай ). Для нахождения общего решения однородного уравнения необходимо сначала решить характеристическое уравнение

.(5)

После этого могут возникнуть варианты:

1)Оба корня и действительны и различны. Тогда общее решение находится по формуле:

, (6)

где и - произвольные константы.

2)Оба корня действительны и равны , тогда

.(7)

3)В случае комплексно-сопряженных корней

.(8)

последовательность натуральное число модель рынка

Модель рынка с запаздыванием сбыта

В реальности часто складывается такая рыночная ситуация, что цикл производства продукции отстает от цикла ее реализации. Это характерно, например, для сельского хозяйства. И в промышленном производстве предложение формируется на основе цены в предшествующий период. Таким образом, функция предложения сдвинута по времени относительно цены , т.е. будем полагать, что , в то время как функция спроса одномоментно отвечает цене: . Для простоты рассмотрим линейные зависимости спроса и предложения от цены:

.(9)

Условие равновесия предполагает равенство предлагаемого и востребованного объемов товара: , откуда с учетом (9) имеем

или .

Поделив обе части этого равенства на и переходя для удобства на шаг вперед по времени, получаем линейное неоднородное разностное уравнение первого порядка относительно цены с постоянными коэффициентами:

.(10)

Пусть тогда .

Характеристическое уравнение имеет единственный корень, равный . Частное же решение уравнения (10) удобно искать в виде постоянной величины: ; .

После подстановки в это уравнение оно легко определяется:

.(11)

Величина является равновесной ценой. Общее решение уравнения (10) определяется формулой

,(12)

где - произвольная величина.

Пусть в начальный момент времени известна цена (задача Коши), тогда подстановкой в равенство (12) находим

или , так что в окончательном виде получаем

или .(13)

Проанализируем полученное решение. В зависимости от входных параметров задачи и формул (9) динамика цены во времени может быть разной. Здесь возможны три варианта:

1) - текущая цена расходится с равновесной ценой с увеличением размаха колебаний вокруг нее;

2) - текущая цена стремится к равновесной цене с колебаниями около нее;

3) - две точки равновесия: в зависимости от четности имеет место колебание от одной точки к другой.



Рис. 1

Рыночная модель с запасами

В этой модели предполагаются запасы товара как разность между предложением и спросом . Примем следующие допущения.

1. Спрос и предложение представляют собой линейные функции от текущей цены :

.(14)

2. Цена, устанавливаемая на рынке, зависит от объема запаса продукции на предшествующий период, причем разница в ценах во времени пропорциональна относительной величине запаса с некоторым коэффициентом (при наличии запаса цена на товар в последующий период падает):

.(15)

Подстановка соотношений (14) в (15) приводит к линейному разностному уравнению первого порядка с постоянными коэффициентами относительно цены :

или

.(16)

Пусть , тогда , следовательно . Характеристическое уравнение имеет единственный корень, равный . Частное же решение уравнения (16) удобно искать в виде постоянной величины:

.

Величина является равновесной ценой, или стационарным решением уравнения (16) Общее решение уравнения (10) определяется формулой

.

Пусть - значение цены в начальный момент времени , тогда решение этого уравнения имеет вид

или .(17)

Сходимость во времени к значению существенно зависит от величины и знака основания степени в (17) . Рассмотрим все возможные случаи сочетания этих параметров задачи:

1), откуда - монотонная сходимость к равновесному значению ;

2), откуда , т.е. ;

3), откуда - сходимость цены к равновесному значению с колебаниями около него;

4), т.е. - две точки равновесия: и , на каждом шаге по времени цена «перескакивает» с одного значения на другое;

5), т.е. - цена расходится с увеличением амплитуды колебаний.

Рис.2

Модель делового цикла Самуэльсона - Хикса

Рассмотрим в качестве примера, иллюстрирующего применение линейных разностных уравнений, модель делового цикла Самуэльсона - Хикса (динамический вариант модели Кейнса).

В этой модели используется принцип акселерации, т.е. предположение, что масштабы инвестирования прямо пропорциональны приросту национального дохода.

Данное предположение характеризуется следующим уравнением

,(18)

где коэффициент - фактор акселерации, - величина инвестиций в период , - величины национального дохода соответственно в -м и -м периодах.

Предполагается также, что потребление на данном этапе зависит от величины национального дохода на предыдущем этапе, т.е., что

.(19)

Условие равенства спроса и предложения имеет вид:

.(20)

Подставляя в (20) выражение для из (18) и выражение для из (19), находим:

.(21)

Уравнение (21) известно как уравнение Хикса.

Оно представляет собой линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (если предположить, что на протяжении рассматриваемых периодов величины и постоянны). Замечание. Можно легко найти частное решение уравнения (21), если предположить, что

,(22)

т.е., использовав в качестве частного решения равновесное решение . Из (21) в силу (22) имеем

,(23)

Откуда

.(24)

Заметим, что выражение в формуле (24) носит название мультипликатора Кейнса и является одномерным аналогом матрицы полных затрат.

Паутинные модели рынка

Свойство непрерывной функции (теорема о существовании корня) находит неожиданное применение в математических моделях рынка. Как известно, две основные категории рыночных отношений - спрос и предложение. И то и другое зависят от многих факторов, среди которых главный - это цена товара.

Обозначим цену товара , объем спроса , величину предложения . При малых имеем (спрос превышает предложение), при больших , наоборот, . Считая и непрерывными функциями, приходим к заключению, что существует такая цена , для которой , т.е. равен спрос равен предложению. Цена называется равновесной, спрос и предложение при этой цене также называются равновесными.

Установление равновесной цены - одна из главных задач рынка. Рассмотрим простую модель поиска равновесной цены - так называемую паутинную модель.

Она объясняет феномен регулярно повторяющихся циклов изменения объемов продажи и цен.

Предположим, что решение о величине объема производства принимается в зависимости от цены товара в предыдущий период времени.

Рассмотрим ситуацию, изображенную на рис. 3. Пусть в начальной точке предложение товара имеет значение и выбрано так в зависимости от цены товара в предыдущий период.

Поскольку эта цена больше равновесной, то на кривой спроса ей соответствует объем покупок . Производителю, исходя из такой информации о состоянии рынка, приходится опустить цену товара до величины . Цена ниже равновесной, поэтому на рынке увеличивается спрос до величины . На кривой предложения этой величине соответствует цена предложения и т.д. В этом случае спираль сходится к точке рыночного равновесия .

Рис. 3

Впрочем, описанная «спираль» не всегда «скручивается». В некоторых случаях она может и «раскручиваться», как показывает, например, рис. 4.

От каких свойств функций и зависит сходимость или расходимость описанной выше «спирали»? Этот вопрос очень сложен. Поэтому, укажем лишь один фактор, влияющий на сходимость - эластичность (спроса, соответственно, предложения).

Рис. 4.

Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны, является производителем, а с другой - потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает довольно не простая задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного вида. Впервые эта проблема была сформулирована в виде математической модели в трудах известного американского экономиста В. Леонтьева в 1936 году, который попытался проанализировать причины экономической депрессии США 1929-1932 гг. Эта модель основана на алгебре матриц и используют аппарат матричного анализа.

Балансовые соотношения

Предположим, что производственная сфера хозяйства представляет собой отраслей, каждая их которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период; в ряде случаев такой единицей служит год.

Введем следующие обозначения:

- общий объем продукции -й отрасли (ее валовой выпуск);

- объем продукции -й отрасли, потребляемый -й отраслью при производстве объема продукции ;

- объем продукции -й отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления. К нему относятся личное потребление, удовлетворение общественных потребностей и т.д.

Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовой продукт -й отрасли должен быть равен сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форме балансовые отношения имеют вид

, (10)

Уравнения (24) называются соотношениями баланса.

Линейная модель многоотраслевой экономики

В. Леонтьевым, на основании анализа экономики США в период перед Второй Мировой Войной, был установлен важный факт: в течение длительного времени величины меняются очень незначительно и могут рассматриваться как постоянные числа. Это явление становится понятным в свете того, что технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объем потребления -й отраслью продукции -й отрасли при производстве своей продукции объема есть технологическая константа.

В силу указанного факта можно сделать следующее допущение: для производства продукции -й отрасли объема нужно использовать продукцию -й отрасли объема , где - постоянное число. При таком допущении технология производства принимается линейной, а само это допущение называется гипотезой линейности. При этом числа называются коэффициентами прямых затрат. Согласно гипотезе линейности,

; (24)

Тогда уравнение (24) можно переписать в виде системы уравнений:

(25)

Введем в рассмотрение векторы-столбцы объемов произведенной продукции (вектор валового выпуска), объемов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат:

 (26)

Тогда система уравнений (25) в матричной форме имеет вид

(27)

Обычно это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления (26) это уравнение носит название модели Леонтьева.

Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях. В первом, наиболее простом случае, когда известен вектор валового выпуска , требуется рассчитать вектор конечного потребления .

Во втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для целей планирования со следующей формулировкой задачи: для периода (например, год) известен вектор конечного потребления и требуется определить вектор валового выпуска. Необходимо решить систему линейных уравнений (27) с неизвестной матрицей и заданным вектором . Также система (27) имеет особенности, вытекающие из прикладного характера данной задачи: все элементы матрицы и векторов и должны быть неотрицательными.

Продуктивные модели Леонтьева

Матрица , все элементы которой неотрицательны, называется продуктивной, если для любого вектора с неотрицательными компонентами существует решение уравнения (27) - вектор , все элементы которого неотрицательны.

Для уравнения типа (27) разработана соответствующая математическая теория исследования решения и его особенностей. Укажем некоторые ее основные моменты. Приведем без доказательства теорему, позволяющую устанавливать продуктивность матрицы.

Теорема. Если для матрицы с неотрицательными элементами и некоторого вектора с неотрицательными компонентами уравнения (27) имеет решение с неотрицательными компонентами, то матрица продуктивна.

Иными словами, достаточно установить наличие положительного решения системы (27) хотя бы для одного положительного вектора , чтобы матрица была продуктивной. Перепишем систему (27) с использованием единичной матрицы в виде

.(28)

Если существует обратная матрица , то существует и единственное решение уравнения (28)

.(29)

Матрица называется матрицей полных затрат.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы .

Первый критерий продуктивности. Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и ее элементы неотрицательны.

Второй критерий продуктивности. Матрица с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превышает единицы:

,(30)

причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

Рассмотрим применение модели Леонтьева на несложном примере.

Пример 1. Таблица 1 содержит данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый период. Требуется найти объем валового выпуска продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до 60, 70 и 30.

Таблица 1.

№ п/п	Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск
		1	2	3
1	Добыча и переработка углеводородов	5	35	20	40	100
2	Энергетика	10	10	20	60	100
3	Машиностроение	20	10	10	10	50

Решение. Выпишем векторы валового выпуска и конечного потребления и матрицу коэффициентов прямых затрат. Согласно формулам (24) и (26),

Матрица удовлетворяет обоим критериям продуктивности. В случае заданного увеличения конечного потребления новый вектор конечного продукта будет иметь вид

Требуется найти новый вектор валового выпуска , удовлетворяющий соотношениям баланса в предположении, что матрица не изменяется. В таком случае компоненты , , неизвестного вектора находятся из системы уравнений, которая, согласно (25), имеет в данном случае вид

В матричной форме эта система выглядит следующим образом:

, или ,

где матрица имеет вид

Отсюда рассчитывается новый вектор как решение этого уравнения баланса: .

Найдем обратную матрицу (матрицу полных затрат) , с использованием формулы

(31)

Определитель матрицы ,

так что обратная матрица и решение указанной системы уравнений существуют. Вычисление обратной матрицы дается с точностью до третьего знака:

.

Заметим, что найденная обратная матрица удовлетворяет первому критерию продуктивности матрицы .

Теперь можно вычислить вектор валового выпуска :

.

Таким образом, для того чтобы обеспечить заданное увеличение компонент вектора конечного продукта, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски: добычу и переработку углеводородов на , уровень энергетики - на и выпуск машиностроения - на по сравнению с исходными величинами, указанными в табл. 1.

Динамическая модель Леонтьева

Так как мы рассмотрели продуктивную модель межотраслевого баланса безотносительно ко времени, т.е. все ее компоненты полагались осредненными за некоторый временной интервал и «одномоментными». В реальности продукт, предназначенный для внутреннего и конечного потребления в период , определяется не текущим выпуском, а выпуском в последующий период . Эта задержка производства обусловлена многими факторами, в частности инерцией планирования и перенастройки, мобилизацией внутренних ресурсов и изменение транспорта сырья и т.д.

С учетом этого система уравнений баланса, в предположении о постоянстве доли внутреннего потребления каждой отраслью, будет иметь следующий вид

(32)

Соотношения (32) составляют систему линейных разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами .

Как и прежде, введем вектор валового выпуска , матрицу прямых затрат и вектор конечного потребления . Тогда систему (32) можно переписать в матричной форме:

.(33)

Теперь задача формулируется следующим образом: при заданном векторе конечного потребления и матрице определить динамику (изменение во времени) вектора валового выпуска .

Одна из основных задач прогноза с использованием динамической модели Леонтьева такова: известны динамика вектора конечного потребления и вектор валового выпуска в начальный момент времени ; требуется рассчитать вектор валового выпуска на момент времени . Эту задачу можно решить при помощи формулы:

.(33)

Пример 2. Обратимся к данным табл. 1. Пусть известны продуктивная матрица , а также заданные в момент времени векторы валового выпуска и , указанные в этой таблице:

Требуется рассчитать вектор валового выпуска на момент времени , если все компоненты вектора конечного потребления увеличиваются на за каждый период.

Решение. Вектор конечного потребления, согласно условию задачи, имеет вид: .

Применяя формулу (33), получаем .

Теперь нужно вычислить матрицу изменяя состояния и вектор и подставить их в это уравнение. Выполняя указанные действия, получим решение поставленной задачи:

Таким образом, при указанном темпе роста продукта конечного потребления необходимо через два временных цикла увеличить компоненты валового выпуска соответственно на , и по сравнению с исходными величинами на начальный момент времени.

Список литературы

1. А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов - Математика в экономике - М: Финансы и статистика, 1999

2. М.С. Красс - Математика для экономических специальностей - М: ИНФРА - М., 1999

3. Математика в экономике: Учебно-методическое пособие // Под редакцией Н.Ш. Кремера - М: Финстатинформ, 1999

Размещено на Allbest.ru