Экономико-математическая модель расчета

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины

Кафедра коммерческой деятельности и информационных технологий в экономике

ЗАДАЧИ

ГОМЕЛЬ 2010

Задача №1

математический платежный матрица

Определить минимальное количество сырья, необходимое для изготовления 26 изделий А и 96 изделий Б, используя четыре технологические способа. Нормы выхода продукции из единицы сырья заданы в таблице 8.

Таблица 8 - Исходные данные:

1) Формулируем экономико-математическую модель задачи в общем виде:

Введем следующие обозначения:

i - индекс вида изделия;

j - индекс вида технологического способа;

x_j - расход сырья при j-ом технологическом способе;

а_ij - норма выхода i-ой продукции из единицы сырья при j-ом технологическом способе;

bj - количество j-ого вида сырья;

В принятых обозначениях математическая модель задачи имеет вид:

f = ?x_j > min

j=1.

Система ограничений общей задачи линейного программирования в развернутом виде записывается так:

a₁₁x₁₁+ a₁₂x₁₂+... + a_1nx_1n ? b₁;

a₂₁x₂₁+ a₂₂x₂₂+... + a_2nx_2n ? b₂;

a_s1x_s1+ a_s2x_s2+... + a_snx_sn ? b_s;

Каждое из ограничений данной системы является ограничением определенного вида сырья. При этом в левой части ограничения отражается потребность в сырье, а в правой - его запас.

2) Запишем модель задачи в численном виде: Введем неизвестные x₁? 0, х₂?0, х₃?0 и х₄?0, соответствующие количеству расхода сырья при каждом технологическом способе. Тогда суммарное производство 1-ого вида продукции будет:

2х₁+х₂+7х_з+4х₄

Суммарное производство 2-ого вида продукции:

6х₁+12х₂+2х_з+3х₄

Поскольку необходимо произвести продукцию в определенном количестве, то получаем систему ограничений:

2х₁+ х₂+7х₃ + 4х₄ ? 26

6х₁ +12х₂ +2х₃ +3х₄ ? 96

Функция цели, соответствующая условиям задачи:

x₁ ? 0;

х₂ ? 0;

х₃ ? 0;

х₄ ? 0.

Минимум сырья, будет иметь вид:

Z(x)=x₁+x₂+x₃+x₄ -> min - целевая функция.

Для упрощения расчетов составим двойственную задачу.

2_У]+6у₂?1

у₁+12у₂? 1

7у₁+2у₂?1

4у₁+3у₂?1

у₁?0;

у₂?0.

Функция цели, соответствующая условиям задачи (максимум изделий) (у, - производство i-ого изделия на единицу сырья), будет иметь вид:

f(x)=26y₁+96y₂ -> max - целевая функция

От общей формы модели переходим к канонической (развернутой) форме за счет введения четырех дополнительных неизвестных у₃, у₄, у₅, у_6. Тогда модель принимает следующий вид:

f(x)= 26у₁+96у₂+0*у₃+0*у₄+0*у₅+0*у₆ -> мах

2у₁+ 6у₂ + у₃ = 1

у₁+12у₂+у₄=1

7у₁ + 2у₂ + у₅ = 1

4у₁+3у₂+у₆=1

у_i?0. Решим ее симплекс-методом и найдем искомые величины из последней таблицы. Для модели в канонической форме составляем исходную симплексную таблицу и проверяем индексную строку.

Таблица:

При проверке индексной строки делается вывод, что исходное базисное решение не оптимально, поскольку в строке есть два отрицательных элемента -26 и -96, которые соответствуют векторам y₁ и у₂. Минимальный отрицательный элемент в индексной строке -96. Следовательно, вектор у₂ необходимо ввести в базис для улучшения решения.

Определяется вектор, который следует исключить из базиса. Составляются отношения компонент вектора X к положительным компонентам вектора А₂ и находят среди этих отношений минимальное число:

?=

Соответствует индексу i=4. Следовательно, из базиса надо исключить вектор у₄. Вторая строка, соответствующая этому вектору, будет ведущей. Число 12, стоящее на пересечении ведущего столбца и ведущей строки, будет разрешающим элементом.

Далее делят ведущую строку на 12. Получают преобразованную ведущую строку (0,0833; 1; 0; 0,0833; 0; 0) и с помощью разрешающего элемента преобразуют симплексную таблицу по правилу прямоугольника. Приступают к составлению второй таблицы. Вместо единичного вектора у₄ мы вводим в базис вектор у₂ (итерация I).

Вновь проверяют индексную строку. Наличие в ней числа -18 говорит о том, что базисное решение X = (0; 0,0833; 0,54 0; 0,8333; 0,75) неоптимально и его можно улучшить за счет введения в базис вектора у₁ (итерация II).

При просмотре индексной строки видно, что все числа неотрицательны. Следовательно, базисное (оптимальное) решение Х_опт⁼ (0,1220; 0,0732; 0,3171; 0; 0; 0,2927) оптимально, т. е. обеспечивает максимальное значение функции цели f_max=10,1951.

Выпишем компоненты оптимального плана исходной задачи, используя двойственные оценки.

У нас minZ=maxf=^:10,1951. Запишем это равенство в развернутой форме 7,5610*1+2,6341*1=0,1220*26+0,0732*96=10,1951

Учитывая, что компоненты х₁=7,5610 и х₂=2,6341 представляют собой минимальное количество сырья, необходимое для изготовления изделий в необходимом количестве, это и будет ответом в задаче, т.е. минимальное количество сырья 1-ого вида составит 7,5610 ед. и 2-ого вида 2,6341.

Задача №2

Руководство универмага заказывает товар вида А.

Известно, что спрос на данный вид товара лежит в пределах от 5 до 8 ед. Если заказанного товара окажется недостаточно для удовлетворения спроса, то руководство может срочно заказать и завезти недостающее количество. Если же спрос будет меньше имеющегося в наличии количества товара, то нереализованный товар хранится на складе универмага. Требуется определить (по критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица ( =0,5) такой объем заказа на товар, при котором дополнительные затраты, связанные с хранением и срочным заказом были бы минимальными, если расходы на хранение единицы товара составляют 1 ден.ед., а по срочному заказу и завозу 2 ден.ед.

Решение:

Пусть А - сознательный игрок (в данном случае - руководство магазина) заинтересованный в минимальных затрат на хранение и срочным заказом. Второй игрок П - погода, безразличная к результатам тех или иных действий игрока А.

Заказ 5 ед., спрос 5, дополнительные затраты 0

Заказ 5 ед., спрос 6, дополнительные затраты -2 д.е.

Заказ 5 ед., спрос 7, дополнительные затраты -2*2= -4 д.е. и т.д.

Заказ 8 ед., спрос 5, дополнительные затраты -1*(8 - 5)= -3 д.е.

Заказ 8 ед., спрос 6, дополнительные затраты -1*(8 - 6)= -2 д.е. и т.д.

Составим платежную матрицу:

Определим нижнюю а и верхнюю Я чистые цены:

а = max * min * a_ij = -2 i j

P = min * max * а_ij = 0 J i

a?Я, следовательно, игра не имеет седловой точки, т.е. применение минимаксной стратегии в этой игре приведет к тому, что для каждого из игроков выигрыш не превышает а=-2, а проигрыш - не меньше Я=0.

Поэтому решение игры определяется в смешанных стратегиях. Цена игры v заключена между нижней а и верхней Я ценами, т.е. -2?v?0. Максиминный критерий Вальда совпадает с критерием выбора максиминной стратегии, позволяющей получить нижнюю чистую цену в парной игре с нулевой суммой. По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т. е. a = max min a_ij = -2, т.е. стратегия А₃, т.е. необходимо закупать 7 ед. товара. Определим матрицу рисков. Элементы r_ij матрицы рисков равны разности между максимально возможным выигрышем и тем выигрышем, который статистик получит в тех же условиях П_i, применяя стратегию А_ij, т. е.:

r_ij = Я_j -а_ij,

Где:

Я_j = max a_lij.

Критерий минимального риска Сэвиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т. е. обеспечивается minmax r_ij=2, т.е. стратегия Аз

Матрица рисков:

Критерии Вальда и Сэвиджа ориентируют статистика на самые неблагоприятные состояния природы, т. е. эти критерии выражают пессимистическую оценку ситуации.

Критерии Гурвица является критерием пессимизма-оптимизма. За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:

max ( min a_ij + (l - ) mах a_il)

Где:

=1 - критерий пессимизма Вальда.

В данном случае mах(0,5*(-6)+0,5*0; 0,5*(-4)+0,5*0; 0,5*(-2)+0,5*0; 0,5*(-3)+0,5*0)=mах(-3; -2; -1; -1,5)= -1, т.е. стратегия А₃, т.е. необходимо закупать 7 ед. товара.

Таким образом, мы выбираем стратегию А₃, т.е необходимо закупать 7 единиц товара.

Задача №3

математическая платежный матрица

Сетевая модель комплекса работ с исходным событием 0, завершающим событием 6, и с указанными в таблице 65 продолжительностями работ показана на рисунке. Рассчитать величину критического пути и определить параметры событий и работ. Результаты представить графически и в виде таблицы.

Рисунок - Сетевая модель:

Таблица - Исходные данные:

Решение:

Критический путь м₂=(0-2-4-5-6), длиной 18. На рисунке показан линией. Продолжительности выполнения работ t_ij известны и приписаны у соответствующих дуг графика; (рис). Определим, прежде всего, ранние сроки свершения событий Ь_х сетевого графика. Исходное событие означает момент начала выполнения комплекса операций, следовательно, t_p(0) = 0. Очевидно, что событие (1) свершится спустя 2 ед. времени после свершения события (0), так как время выполнения операции (0,1) равно 2 ед. Следовательно:

t_p(0)=t_p(0)+t(0,l)=0+2=2

Для события (2) и (3) аналогично. Событию (4) предшествуют два пути: м₁=(0,1) и м₂=(0,2). Продолжительность первого пути равна t(l,4)=2+0=2 ед. времени, а второго - 3+2=5 ед. времени. Поскольку событие (4) может свершиться не раньше момента окончания всех входящих в него операций, то:

t_p(4)=max{t_p(2)+t(2,4);

t_p(l)+t(l,4)}=max{5;2}=5 и т.д.

Определим поздние сроки свершения событий j сетевого графика. В нашем примере t_n(6)=t_kp=18.

Определим этот показатель для оставшихся событий. Из события (5) исходит одна операция, следовательно, t_П(5)= t. Из события (4) исходят две операции, поэтому:

t_n(4)=min{t_П(6)-t(4,6); t_П(5)-t(4,5)}=min{18-5;12-7}=min{13;5}=5

Определим резерв времени события i:

R(1)= t_n(1)- t_p(1)=5-3=2; R(2)= t_П(2)- t_p(2)= 3-3=0; и т.д

Анализируя резервы времени события, видно, что резервы времени есть только у событий, не принадлежащих критическому пути. Критические работы, как и критические события, резервов времени не имеют.

Все остальные временные параметры легко определяются по найденным значениям t_П и t_p на основании приведенных выше формул. Представим расчеты временных параметров сетевого графика в виде таблицы.

Временные параметры сетевого графика для событий.

Таблица:

Временные параметры сетевого графика для работ.

Таблица:

Список литературы

математический платежный матрица

1. Кузнецов, В.П. Экономико-математические методы и модели/ В.П. Кузнецов.-Мн.: Минский институт управления, 2000.

2. Минюк, С.А. Математические методы и модели в экономике: Учеб.пособие/Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К.-Мн.: ТетраСи-стемс, 2002.- 432 с.

3. Пугачева, О. В. Экономико-математические методы и модели: практическое пособие для студентов экономических специальностей вузов / О. В. Пугачева; М-во образования РБ, Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, -Гомель: ГТУ им. Ф. Скорины, 2006. -108 с.

4. Экономико-математические методы и модели: Учеб.пособие/Под общ.ред. А.В.Кузнецова.-Мн.:БГЭУ, 2000.-512 с.

5. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб.пособие для вузов/Под ред. В.В.Федосеева.-М.:ЮНИТИ, 2001.-382 с.

Размещено на Allbest.ru