Выбор лучшей модели (линейная, степенная, показательная, гиперболическая) для отображения прогнозных значений

Размещено на http://www.allbest.ru/

9

Задача. Вариант № 2

модель отображение прогнозное значение

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн.руб.) от объема капиталовложений (Х, млн.руб.).

Требуется:

Для характеристики Y от Х построить следующие модели:

- линейную,

- степенную,

- показательную,

- гиперболическую.

2. Оценить каждую модель, определив:

- индекс корреляции,

- среднюю относительную ошибку,

- коэффициент детерминации,

- F-критерий Фишера.

3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.

4. рассчитать прогнозные значения результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличится на 110% относительно среднего уровня.

5. Результаты расчетов отобразить на графике.

Задание к задаче

Таблица 1

y	26	28	36	34	38	44	42
х	40	39	43	46	50	53	57

Решение:

Построение линейной модели парной корреляции.

Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле:

0,916

Для оценки значимости используем коэффициент Стьюдента

5,1056, ,

при равно 2,01500, так как значит, коэффициент парной корреляции значим и надо на него обратить внимание, величины Y и X связаны между собой.

По вычислениям сделанным выше видно, что между объемом капиталовложений и выпуском продукции достаточно сильная положительная связь. Уравнение линейной регрессии имеет вид:

0,907

,

тогда уравнение линейной регрессии имеет вид:

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличивается в среднем на 907 тыс.руб. Это свидетельствует об прямой связи данных показателей и эффективности работы предприятия.

Расчеты производились исходя из данных, указанных в таблице 2,3

Таблица 2

№п/п	Y	X	Y-Yср	(Y-Yср)І	X-Xср	(X-Xср)І	(Y-Yср)(X-Xср)
1	26	40	-9,43	88,898	-6,86	47,020	64,653
2	28	39	-7,43	55,184	-7,86	61,735	58,367
3	36	43	0,57	0,327	-3,86	14,878	-2,204
4	34	46	-1,43	2,041	-0,86	0,735	1,224
5	38	50	2,57	6,612	3,14	9,878	8,082
6	44	53	8,57	73,469	6,14	37,735	52,653
7	42	57	6,57	43,184	10,14	102,878	66,653
Сумма	248	328	0,00	269,714	0,00	274,857	249,429
Среднее	35,43	46,86		38,531		39,265	35,633

Таблица 3

№п/п	Y	X	В	А	Yрасч	е=Y-Yрасч	e/Y*100%
1	26	40	0,907	-7,09	29,19	-3,190	-12,269
2	28	39			28,283	-0,283	-1,011
3	36	43			31,911	4,089	11,358
4	34	46			34,632	-0,632	-1,859
5	38	50			38,26	-0,260	-0,684
6	44	53			40,981	3,019	6,861
7	42	57			44,609	-2,609	-6,212
Сумма					247,866	0,134	-3,815
Среднее					35,409		-0,545

Рассчитаем коэффициент детерминации:

0,8391

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83,91% объясняется вариацией фактора Х (объем капиталовложений).

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощь. F-критерия Фишера:

26,08,

так как

для ; , ,

то уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к.

.

Определим среднюю относительную ошибку:

Данный показатель отражает, на сколько в среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений (на 0,545%).

Построение степенной модели парной регрессии.

Уравнение степенной модели имеет вид:

.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

.

Таблица 4

№п/п	Факт Y(t)	lg (Y)	Переменная Х(t)	lg (X)
1	26	1,415	40	1,602
2	28	1,447	39	1,591
3	36	1,556	43	1,633
4	34	1,531	46	1,663
5	38	1,580	50	1,699
6	44	1,643	53	1,724
7	42	1,623	57	1,756
Сумма	248,00	10,80	328,00	11,67
Среднее	35,429	1,542	46,857	1,667

Обозначим

Y=lg, Х=lgx, А=lga.

Тогда уравнение имеет вид:

Y=A+bX

- линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя таблицу 5.

Таблица 5

	y	Y	x	X	YX	Xкв	Y расч	е=Y-Yрасч	e/Y*100%	e кв
1	26	1,415	40	1,602	2,267	2,567	28,546	-2,546	-9,792	6,482
2	28	1,447	39	1,591	2,303	2,531	27,599	0,401	1,433	0,161
3	36	1,556	43	1,633	2,542	2,668	31,435	4,565	12,681	20,839
4	34	1,531	46	1,663	2,546	2,765	34,392	-0,392	-1,153	0,154
5	38	1,580	50	1,699	2,684	2,886	38,435	-0,435	-1,145	0,189
6	44	1,643	53	1,724	2,834	2,973	41,539	2,461	5,592	6,055
7	42	1,623	57	1,756	2,850	3,083	45,770	-3,770	-8,976	14,213
Итого	248,00	10,80	328,00	11,67	18,03	19,47	247,72	0,284	-1,360	48,093
Среднее	35,429	1,542	46,857	1,667	2,575	2,782	35,388



Уравнение регрессии будет иметь вид:

.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения и получим уравнение степенной модели регрессии.

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем и фактором можно считать средней по силе.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 82,3% объясняется вариацией фактора Х. Рассчитаем F-критерий Фишера:

для ; , ,

значит уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к.

.

Средняя относительная ошибка:

В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 0,02%.

Построение показательной функции.

Уравнение показательной кривой:

.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

, обозначим: , , .

Получим линейное уравнение регрессии:

.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 6.

Таблица 6

№п/п	y	Y	x	Yx	х кв	Y-Yср	(Y-Yср)кв	X-Xср	(X-Xср)кв	Y расч	е=Y-Yрасч	(y-yрасч)кв	e/Y*100%
1	26	1,415	40	56,599	1600	-0,127	0,016	-6,857	47,018	29,708	-3,708	13,751	-14,262
2	28	1,447	39	56,439	1521	-0,095	0,009	-7,857	61,732	28,955	-0,955	0,913	-3,412
3	36	1,556	43	66,921	1849	0,014	0,000	-3,857	14,876	32,086	3,914	15,317	10,872
4	34	1,531	46	70,448	2116	-0,011	0,000	-0,857	0,734	34,655	-0,655	0,429	-1,925
5	38	1,580	50	78,989	2500	0,038	0,001	3,143	9,878	38,402	-0,402	0,161	-1,057
6	44	1,643	53	87,103	2809	0,101	0,010	6,143	37,736	41,476	2,524	6,373	5,737
7	42	1,623	57	92,525	3249	0,081	0,007	10,143	102,880	45,960	-3,960	15,683	-9,429
Итого	248	10,796	328	509,025	15644	0,002	0,073	0,001	274,857	251,242	-3,242	52,627	-13,477
Среднее	35,429	1,542	46,857	72,718	2234,857			0,000	39,265	35,892

Уравнение будет иметь вид:

.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

Определим индекс корреляции:

Данный показатель характеризует среднюю связь между показателем и фактором.

Индекс детерминации:

Вариация результата Y на 80,7% объясняется вариацией фактора Х.

Рассчитаем F-критерий Фишера:

для ; , ,

значит уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к.

Средняя относительная ошибка:



В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 0,187%.

Построение гиперболической функции.

Уравнение гиперболической функции:

.

Произведем линеаризацию модели путем замены

Х=1/х.

В результате получим линейное уравнение:

.

Рассчитаем его параметры по данным таблицы 7.

Таблица 7

№п/п	y	x	X	yX	X кв	y-yср	(y-yср)кв	y расч	e	(y-yрасч)кв	e/y*100%
1	26	40	0,025	0,650	0,0006	-9,429	88,906	28,788	-2,788	7,770	-10,721
2	28	39	0,026	0,718	0,0007	-7,429	55,190	27,489	0,511	0,261	1,825
3	36	43	0,023	0,837	0,0005	0,571	0,326	32,321	3,679	13,537	10,220
4	34	46	0,022	0,739	0,0005	-1,429	2,042	35,393	-1,393	1,941	-4,097
5	38	50	0,020	0,760	0,0004	2,571	6,610	38,916	-0,916	0,839	-2,411
6	44	53	0,019	0,830	0,0004	8,571	73,462	41,209	2,791	7,788	6,343
7	42	57	0,018	0,737	0,0003	6,571	43,178	43,891	-1,891	3,577	-4,503
Итого	248	328	0,152	5,271	0,0034	-0,003	269,714	248,007	-0,007	35,714	-3,344
Среднее	35,429	46,857	0,022	0,753	0,0005

Получим следующие уравнение гиперболической модели:

Определим индекс корреляции:

Исходя их данного показателя силу связи можно оценить средним уровнем. Индекс детерминации:

То есть вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 86,75% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерий Фишера:

для ; , ,

значит уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к.

Средняя относительная ошибка:

В среднем расчетные значения у для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 0,0004%.

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов:

Таблица 8

Параметры	Коэффициент детерминации	F-критерий Фишера	Индекс корреляции	Средняя относительная ошибка
Модель
Линейная	0,8391	26,08	0,916	0,545
Степенная	0,823	23,249	0,907	0,02
Показательная	0,805	20,641	0,897	0,187
Гиперболическая	0,8675	32,736	0,9314	0,0004

В качестве лучшей модели для построения прогноза можно взять гиперболическую модель, так как она имеет большее значение F-критерия Фишера и коэффициента детерминации.

Расчет прогнозного значения результативного показателя:

Прогнозное значение результативного признака (объема выпуска продукции) определим по уравнению гиперболической модели, подставив в него планируемую (заданную по условию) величину объема капиталовложений.

По условию нужно рассчитать прогнозное значение результативного признака (объема выпускаемой продукции), если прогнозное значение фактора увеличится на 110% относительно среднего уровня. Так как средний уровень значения фактора (объема капиталовложений-Х) составляет 46,86 млн. руб., то при увеличении на 110% он составит 51,55 млн. руб.:

Из этого уравнения следует, что при увеличении объема капиталовложений на 110% относительно среднего уровня объем выпуска продукции повысится в среднем до 40,13 млн. руб. Фактические, прогнозные значения по лучшей модели отобразим на графике:

Размещено на Allbest.ru