Определение тесноты связи параметров

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования России

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский Университет Сервиса и Экономики

Контрольная работа

По дисциплине «Эконометрика»

Выполнила:

студентка з. о. 2 курса

Специальности 080501

Группа 0611 ПТ

Дудина В.М.

Проверила:

Подгорная Е.А.

Санкт-Петербург

2012

Задача 1

корреляция детерминация парабола связь линейный

По территориям Южного федерального округа приводятся статистические данные за 2000 год:

Таблица 1

Задание:

1. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.

2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.

3. Рассчитайте параметры а₁ и а₀ парной линейной функции , степенной , линейно-логарифмической функции и параболы второго порядка .

4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (r и с) и детерминации (r² и с²), проанализируйте их значения.

5. Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости =0,05.

6. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии.

7. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата (), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите скорректированную среднюю ошибку аппроксимации - е'_ср., оцените её величину.

8. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора () составит 1,062 от среднего уровня ().

9. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для =0,05), определите доверительный интервал прогноза (; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала (), оценивая точность выполненного прогноза.

Решение:

1. Для построения графика расположим территории по возрастанию значений фактора . См. табл. 2. Если график строится в табличном процессоре EXCEL, то в исходной таблице фактор должен находиться на первом месте, а результат - на втором. Из графика может быть сделан вывод о возможной форме связи оборота розничной торговли (Y) с общей суммой доходов населения (X). В этом случае для описания зависимости следует построить несколько моделей разного вида и на основе оценочных характеристик выбрать оптимальную форму модели.

Таблица 2

2. Обычно моделирование начинается в построения уравнения прямой:, отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.

3. Расчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, оносительно неизвестных а₀ и а₁. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Д, Да₀ и Да₁ Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X², X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X.

Таблица 3

3. Расчёт определителя системы выполним по формуле:

9*6373,6 - 225,0*225,0 = 6737,76;

Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:

121,2*6373,6 - 3331,0*225,0 = 23012,4.

Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:

9*3331,0 - 121,2*225,0 = 2708,91.

4. Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:

; .

В конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:

В уравнении коэффициент регрессии а₀ = 0,415 означает, что при увеличении доходов населения на 1 тыс. руб. (от своей средней) объём розничного товарооборота возрастёт на 0,415 млрд. руб. (от своей средней).

Свободный член уравнения а₀ =3,415 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на объём розничного товарооборота.

5. Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:

В нашем случае, когда рассматривается линейная зависимость, расчётная формула преобразуется к виду:

Это означает, что при изменении общей суммы доходов населения на 1% от своей средней оборот розничной торговли увеличивается на 0,744 процента от своей средней.

6. Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Коэффициент корреляции, равный 0,9075, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между общей суммой доходов населения за год и оборотом розничной торговли за год. Коэффициент детерминации, равный 0,824, устанавливает, что вариация оборота розничной торговли на 82,4% из 100% предопределена вариацией общей суммы доходов населения; роль прочих факторов, влияющих на розничный товарооборот, определяется в 17,6%, что является сравнительно небольшой величиной.

7. Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости дохода от доли занятых рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера - F_{фактич.} и сравним его с табличным значением - F_табл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости б=0,05).

В нашем случае,

.

Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 33 раза больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия оборота розничной торговли и общей суммы доходов населения. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.₁=k-1=1 и d.f.₂=n-k=9-2=7 и уровне значимости б=0,05.

Значения представлены в таблице «Значения F-критерия Фишера для уровня значимости 0,05 (или 0,01)». См. приложение 1 данных «Методических указаний…».

В силу того, что , нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости оборота розничной торговли от общей суммы доходов населения и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.

8. Определим теоретические значения результата Y_теор. Для этого в полученное уравнение последовательно подставим фактические значения фактора X и выполним расчёт.

Например, . См. гр. 5 расчётной таблицы. По парам значений Y_теор. и X_факт. строится теоретическая линия регрессии, которая пересечётся с эмпирической регрессией в нескольких точках. См. график 1.

9. Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:

.

В нашем случае скорректированная ошибка аппроксимации составляет 10,2%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает её использование для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения ).

График 1

10. Построение логарифмической функции предполагает предварительное выполнение процедуры линеаризации исходных переменных. В данном случае, для преобразования нелинейной функции в линейную введём новую переменную , которая линейно связана с результатом. Следовательно, для определения параметров модели будут использованы традиционные расчётные приёмы, основанные на значениях определителей второго порядка. См. расчётную таблицу 4.

Расчётная таблица 4

Расчёт определителей второго порядка даёт следующие результаты:

; ; . Отсюда получаем параметры уравнения:

Полученное уравнение имеет вид

.

Оценочные показатели позволяют сделать вывод, что линейно-логарифмическая функция описывает изучаемую связь хуже, чем линейная модель: оценка тесноты выявленной связи с=0,9066 (сравните с 0,9075), скорректированная средняя ошибка аппроксимации здесь выше и составляет 10,5%, то есть возможности использования для прогноза данной модели более ограничены.

11. Выполним расчёт параметров уравнения параболы второго порядка. В этом случае используются определители третьего порядка, расчёт которых выполняется по стандартным формулам и требует особого внимания и точности. См. расчётную таблицу 5. По материалам табл. 5 выполним расчёт четырёх определителей третьего порядка по следующим формулам:

Д = n*Уx²*Уx⁴ + Уx*Уx³*Уx² + Уx*Уx³*Уx² - Уx²*Уx²*Уx² - Уx*Уx*Уx⁴ - Уx³*Уx³*n = = 331.854.860,7;

Дa₀ = Уy*Уx²*Уx⁴ + Уx*Уx³*У(y*x²)+ У(y*x)*Уx³*Уx² - У(y*x²)*Уx²*Уx² -

У(y*x)*Уx*Уx⁴ - Уx³*Уx³*Уy = 751.979.368,8

Дa₁ = n*У(y*x)*Уx⁴ + Уy*Уx³*Уx² + Уx*У(y*x²)*Уx² - Уx²*У(y*x)* Уx² - Уx*Уy* Уx⁴ - У(y*x²)*Уx³*n = 167.288.933,1

Дa₂ = n*Уx²*У(y*x²) + Уx*Уyx*Уx² + Уx*Уx³*Уy - Уx²*Уx²*Уy - Уx*Уx*У(y*x²) - Уx³*У(y*x)*n = - 656.926,8

В результате получаем следующие значения параметров уравнения параболы:

;

;

Уравнение имеет следующий вид: . Для него показатель детерминации составляет 82,7%, F_фактич.= 14,3, а ошибка аппроксимации 10,7%.

Как видим, по сравнению с линейной функцией построить уравнения параболы гораздо сложнее, а изучаемую зависимость она описывает почти с той же точностью, хотя надёжность уравнения параболы значительно ниже (для линейной модели F_фактич.= 32,8, а для параболы F_фактич.= 14,3). Поэтому в дальнейшем анализе парабола второго порядка использоваться не будет.

Расчётная таблица 5

12. Проведём расчёт параметров степенной функции, которому также предшествует процедура линеаризации исходных переменных. В данном случае выполняется логарифмирование обеих частей уравнения, в результате которого получаем уравнение, где линейно связаны значения логарифмов фактора и результата. Исходное уравнение после логарифмирования приобретает следующий вид: . Порядок расчёта приведён в таблице 6.

Расчётная таблица №6

В результате расчёта получены следующие значения определителей второго порядка:

12,4075;

2,5371;

9,25642.

Параметры степенной функции составляют:

; .

Уравнение имеет вид: lnY=ln a₀ + a₁*ln X = 0,2045 + 0,7460*X , а после процедуры потенцирования уравнение приобретает окончательный вид:

или .

Полученное уравнение несколько лучше описывает изучаемую зависимость и более надёжно по сравнению с линейной моделью. Степенная модель имеет детерминацию на уровне 84,0% (против 82,4% по линейной модели), F_факт.=36,6 (против 33,1 для линейной модели) и ошибку аппроксимации на уровне 10,7% (сравните с 10,9% для уравнения прямой).

Очевидно, что преимущества степенной модели по сравнению с линейной не столь значительны, но её построение заметно сложнее и требует значительно больших усилий. Поэтому окончательный выбор, в данном конкретном случае, сделаем в пользу модели, которая является более простой при построении, анализе и использовании, то есть в пользу линейной модели:

Заключительным этапом решения данной задачи является выполнение прогноза и его оценка.

Если предположить, что прогнозное значение общей суммы доходов населения, например, Новгородской области, (см. табл.2 строка 2) возрастёт с 14,8 млрд. руб. на 5,7% и составит 15,6 млрд. руб., то есть X_{прогнозн}.= 14,8*1,057=15,6, тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне:Y_{прогнозн.} =3,415+0,402*15,6=9,7 (млрд. руб.). То есть, прирост фактора на 5,7% приводит к приросту результата на 4,2 процента (.

Рассчитаем интегральную ошибку прогноза - , которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии-и ошибки прогноза положения регрессии -. То есть, .

В нашем случае

,

где k- число факторов в уравнении, которое в данной задаче равно 1. Тогда (млрд. руб.).

Ошибка положения регрессии составит:

=

= = = 0,914 (млрд. руб.).

Интегральная ошибка прогноза составит:

= = 2,1 (млрд. руб.).

Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит: = 2,365*2,1 = 5,011 ? 5,0 (млрд. руб.). Табличное значение t-критерия для уровня значимости б=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 9-1-1=7 составит 2,365. (См. табл. приложения 2). Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза не превысит млрд. руб.

Это означает, что фактическая реализация прогноза будет находиться в доверительном интервале . Верхняя граница доверительного интервала составит

= 9,7 + 5,0 = 14,7(млрд. руб.).

Нижняя граница доверительного интервала составит:

= 9,7 - 5,0 = 4,7(млрд. руб.).

Относительная величина различий значений верхней и нижней границ составит: = раза. Это означает, что верхняя граница в 3,12 раза больше нижней границы, то есть точность выполненного прогноза весьма невелика, но его надёжность на уровне 95% оценивается как высокая. Причиной небольшой точности прогноза является повышенная ошибка аппроксимации. Здесь её значение выходит за границу 5-7% из-за недостаточно высокой типичности линейной регрессии, которая проявляется в присутствии единиц с высокой индивидуальной ошибкой. Если удалить территории с предельно высокой ошибкой (например, Калининградскую область с ), тогда качество линейной модели и точность прогноза по ней заметно повысятся.

Размещено на Allbest.ru