Погрешности измерений физических величин

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Задача 1

Результаты измерений температуры t^oС являются случайными величинами, подчиняющимися нормальному закону распределения с математическим ожиданием mt = 27,1°С и средним квадратичным отклонением (с.к.о.) = 0,9 (^oС).

Вычислить вероятность выполнения неравенства

t_o1tt_o2, где t_o1=26,1, ^oC, t_o2=27,85^oC.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся интегралом вероятностей (функцией Лапласа). Для этого сформируем независимую переменную следующего вида:

И находим соответствующие значения Ф(z₁) и Ф(z₂).

;

Далее воспользуемся следующим свойством интеграла вероятностей:

Ф(z) = - Ф(z); т.е.

P(t₁tt₂) = Ф(z₂) - (-Ф(z₁));Ф(-z₁) = 1-Ф(z₁) = Ф(z₁) + Ф(z₂)-1 = 0,729

+0,813-1 = 0,542

Ответ: P(t₁tt₂) = 0,542

Задача 2

Результаты измерений температуры t (°С) являются случайными величинами и подчинены нормальному закону распределения с m_t= 20,1^oС, _t=0,8 °С. Определить интервал _t, для которого с вероятностью p = 0,79 удовлетворяется неравенство /t-m_t/_t.

Решение:

Используя интеграл вероятностей, находим:

,

Отсюда

===0,895

обращаясь к таблицам интеграла вероятностей, находим числовое значение аргумента в круглых скобках, т.е.

= 1,79, т.о. = 1,432

Ответ: интервал _t, для которого с вероятностью p = 0,79 удовлетворяется неравенство /t-m_t/_t равен 1,432

Задача 3:

Измерениям величины у подчинены нормальному закону распределения с математическим ожиданием m_y и дисперсией _y². Вычислить вероятность выполнения неравенства |y-m_y| 0,9 _y

Решение:

Сформируем случайную величину для функции интеграла вероятностей

По таблицам для интеграла вероятностей по значению

z = 0,1 находим соответствующее значение интеграла вероятностей Ф(z=0,1) = 0,54. Искомая вероятность P = 2Ф(0,1) - 1 = 0,08

Ответ:

Вероятность выполнения неравенства | y-m_y| 0,1 _y равна 0,08.

Задача 4

Результаты измерений давления р (МПа) являются случайными величинами, подчинёнными закону равномерного распределения и находятся в пределах, где р_o1= 1,35 МПа, р_o2= 2,6 МПа. Найти математическое ожидание m_p и дисперсию для измеренного давления.

Решение:

Формулы для вычисления математического ожидания и дисперсии имеют вид:

Подставив численные значения p₁ и p₂ получим:

Ответ: Для измеренного давления, математическое ожидание m_p = 1,975 и дисперсию = 0,13

Задача 5

Результаты измерений давления р(Па) являются случайными величинами и подчинены закону равномерного распределения с известными параметрами: = 0,25 МПа. Вычислить вероятность выполнения неравенства p_o1pp_o2, где р_o1= 1,56 МПа, ро2= 1,69 МПа.

Решение:

Искомая вероятность определяется как отношение площади на графике плотности вероятностей, ограниченной прямыми 1/ (x₂ - x₁) и р₁= 1,56, р2= 1,69 к площади, ограниченной предельными значениями / р_o1 и р_o2, которые находятся по известным отношениям

и , см. рис.

p, Мпа

Размещено на http://www.allbest.ru/

f(p)

p_o1 p₁ p₂ p_o2



с =

P = = = =0,08

Ответ: вероятность выполнения неравенства p_o1pp_o2 равна 0,08.

Задача 6:

Термометр, измеряющий температуру t(°С) в рабочем диапазоне от t_min=0°С до t_max= 650°С, имеет класс точности С = 0,6. Определить _max- граничную погрешность термометра.

Решение:

Значение приведенной погрешности в соответствии с определением класса точности определяется зависимостью:

/ 100 = 0,6 / 100 = 0,006

Искомое значение граничной абсолютной погрешности определяется по формуле

_max = *(t_max-t_min) = 0,006*(650-0) = 3,9^оС.

Ответ: граничная погрешность термометра равна 3,9^оС.

Задача 7

Манометр, измеряющий давление в рабочем диапазоне от p_min=0,05 Мпа до p_max= 2,2 МПа, имеет граничную погрешность p _max = 0,055 Мпа. Определить класс точности манометра.

Решение:

Приведенная погрешность манометра выражается следующим образом

ближайшим подходящим из стандартного ряда для величины *100 =2,56 является число 2,56, что дает основание считать данный манометр прибором классности 2,56.

Ответ: манометр является прибором класса точности 2,56.

Задача 8

Найти минимальную разность давлений р_min , которую можно измерить с погрешностью 3% по формуле p₁₂=p₁-p₂ c помощью двух манометров класса точности 0,5. Манометры имеют диапазоны измерений равные =1,9 Мпа.

Решение:

Измерение разности давления при помощи двух манометров осуществляется по формуле ₁₂ = p₁ - p₂, дает погрешность , где и - абсолютные погрешности измерения давления манометрами соответственно первым и вторым. Согласно определению класса манометров

=МПа.

Заданная относительная погрешность измерения при таком способе измерения разности давления будет %. Откуда искомая минимальная измеримая с заданной точностью разность давления

= Мпа.

Ответ: минимальную разность давлений р_min = 0,63 Мпа.

термометр манометр погрешность дисперсия

Задача 9

Вычислить граничную приведенную погрешность измерения давления со значением р=0,52 Мпа, осуществлённого с помощью манометра класса 0,6 имеющего диапазон измерений =2,7Мпа.

Решение:

В соответствии с определением класса манометра абсолютная погрешность

Мпа=0,6*2,7/100=0,016 Мпа.

Тогда искомая относительная погрешность

/p=0,016/0,52=0,031 (3,1%).

Ответ: граничная приведенная погрешность измерения давления равна 0,031 (3,1%).

Задача 10

По результатам 7 измерений были получены статистические характеристики температуры: математическое ожидание и с.к.о =1°С.

Вычислить: 1) при условии нормального распределения результатов измерений доверительную вероятность выполнения неравенства°С; 2) для заданной доверительной вероятности =0,8 определить доверительный интервал для дисперсии.

Решение:

1) первую часть задачи решаем, используя распределение Стьюдента, для чего сформируем случайную величину

.

По таблице распределения Стьюдента для N-1=7-1=6 по значению =2,04 находим искомую вероятность =0,92, для чего необходимо выполнить операцию линейной интерполяции между двумя значениями =0,90 (=1,943) и =0,95(=2,447).

2) вторая часть задачи решается с использованием распределения x² (хи-квадрат), называемое еще и распределением Пирсона, т.к. это распределение является наиболее употребляемым из ряда распределения Пирсона. Случайная величина, подчиняющаяся этому закону распределения формируется следующим образом

V =

Определение двустороннего интервала требует задания доверительной вероятности как нижней, так и верхней границ интервала. В простейшем случае

p₁=



Откуда для заданной =0,8 имеем p₁=0,1; p₂=0,9. По таблице распределения Пирсона по значению N-1=6 и p₁=0,1; p₂=0,9 находим V₁=2,204 и V₂=10,645. Искомый доверительный интервал для дисперсии имеет вид

, после подстановки числовых значений:

или p(0,562,7)=0,8

Ответ: доверительная вероятность выполнения неравенства°С равна 0,92; доверительный интервал для дисперсии p(0,562,7)=0,8

Задача 11

Тепловой поток Q(Вт), отводимый от теплообменного аппарата, может быть определён на основе косвенного измерения по формуле

Q=Gс(t_o-t₁) (*),

где G- расход рабочего тела (кг/с),

t_o,t₁--температура рабочего тела на входе и выходе теплообменного аппарата,

c-удельная теплоёмкость рабочего тела (Дж/кг)-является табличной характеристикой.

Величины G,t_o,t₁ -определяются с помощью прямых измерений расхода и температур при с.к.о. погрешностей измерения =0,001 кг/с, =0,1 °С. Вычислить - с.к.о. погрешности измерения Q при с== 4,19.10³ Дж/кг°С, G = 47 кг/с, t₁=12°С, t₂ = 14 °С.

Решение:

Исходим из того обстоятельства, что измеряемые параметры, входящие в формулу (*) статистически независимы. В этом случае дисперсия ² равна сумме дисперсий параметров, измеряемых прямыми методами, умноженных на весовые коэффициенты, равные квадратам частных производных от Q по этим параметрам, т.е.:

найдем частные производные:

Подставим численные значения измеренных велечин:

=4,19*10³*(14-12)=8,38*10³

=47*4,19*10³=196,93*10³

= -47*4,19*10³= - 196,93*10³

Просуммировав квадраты полученных числовых значений частных производных, умноженных на дисперсии, получим:

=(8,38*10³)²*0,001²+2*(196,93*10³)²*0,1²=590587274



Или 24302 (Дж)

Ответ: - с.к.о. погрешности измерения Q равно 24302 Дж.

Задача 12

Температура t(°С) может быть оценена с помощью косвенного измерения на основе формулы зависимости величины термосопротивления (ТС) меди R, от температуры в виде

R_t=R_o( ) (**),

где -температурный коэффициент сопротивления меди,

R_o--величина ТС при 0°С и формулы, связывающей напряжение Uизм, ток Iизм,

R_t и R_л- сопротивление подводящих проводников схемы для ТС:

(***).

Величины Uизм, Iизм, измеряемые вольтметром и амперметром, являются результатом прямых измерений с граничными погрешностями , . Вычислить -граничную погрешность измерения температуры t при Uизм= 7 В, I_изм= 0,67 А, R_л=0,5 Ом, =4,26 10^-3 (°С)^-1.

Решение:

Объединяя формулы (**) и (***), после преобразований получим:

Используем аналог полного дифференциала от функции:

(****)

Определим частные производные от t по U и I:

Находим численные значения частных производных и подставляем их в формулу (****):

=350,36

=-3660,4

= 350,36 * 0,01 + 3660,4 * 0,01= 40⁰С

Ответ: - граничная погрешность измерения температуры t равна 40⁰С.

Размещено на Allbest.ru