Вариация результата Y (цена квартиры) на 76,4 % объясняется вариацией фактора Х₄ (общая площадь квартиры). Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера (из таблицы дисперсионного анализа).

122,9468

F_табл (; k₁; k₂)= F_табл ( = 0,1 ; k₁=m=1, k₂=n-m-1=38)= 2,842

Уравнение регрессии с вероятностью 0,9 в целом статистически значимое, т.к. F_расч>F_табл

Средняя относительная ошибка аппроксимации из таблицы остатков:

21,89%

Модель считается неточной, т.к. .

В среднем расчетные значения y для линейной модели отличаются от фактических значений на 21,89 %.

3.2) Параметры линейной парной регрессии для фактора Х₅- этаж квартиры:

Вывод итогов:

Вывод остатка:

Уравнение линейной парной регрессии для фактора Х₅ имеет вид:

y = 107,367-1,090Х₅

Параметры: а₀ = 107,367; а₅ = -1,090

Значение коэффициента детерминации находим в таблице Регрессионная статистика.

Коэффициент детерминации:

R² = r²_YХ5= = 0,005

Вариация результата Y (цена квартиры) на 0,5% объясняется вариацией фактора Х₅ (этаж квартиры).

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера (из таблицы дисперсионного анализа).

0,195

F_табл (; k₁; k₂)= F_табл ( = 0,1 ; k₁=m=1, k₂=n-m-1=38)= 2,842

Уравнение регрессии с вероятностью 0,9 статистически незначимое, т.к. F_расч<F_табл.

Средняя относительная ошибка аппроксимации из таблицы остатков:

54,1%

Модель считается неточной, т.к. .

В среднем расчетные значения y для линейной модели отличаются от фактических значений на 54,1 %.

3.3. Параметры линейной парной регрессии для фактора Х₆- площадь кухни.

Вывод итогов:

Вывод остатка:

Уравнение линейной парной регрессии для фактора Х₆ имеет вид:

y = -10,472+10,365Х₆

Параметры: а₀ =-10,472; а₆ =10,365

Значение коэффициента детерминации находим в таблице Регрессионная статистика.

Коэффициент детерминации:

R² = r²_YХ6= = 0,380

Вариация результата Y (цена квартиры) на 38,0% объясняется вариацией фактора Х₆ (площадь кухни).

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера (из таблицы дисперсионного анализа).

23,260

F_табл (; k₁; k₂)= F_табл ( = 0,1 ; k₁=m=1, k₂=n-m-1=38)= 2,842

Уравнение регрессии с вероятностью 0,9 статистически значимое, т.к. F_табл < F_расч

Средняя относительная ошибка аппроксимации из таблицы остатков

47,1%

Модель считается неточной, т.к. .

В среднем расчетные значения y для линейной модели отличаются от фактических значений на 47,1 %.

Из трех полученных моделей наилучшей является модель Х₄: y = -2,865+2,476Х₄, т.к у нее больший коэффициент детерминации и меньшая относительная ошибка аппроксимации.

4. Максимальное значение фактора Х₄:

X_max=91 кв.м

X_прогн=91·0,8=72,8 кв.м

Используя уравнение лучшей модели: y = -2,865+2,476Х₄, получаем

y_прогн=-2,865+2,476·72,8=177,3861 тыс.долл.

Точечный прогноз: (72,8; 177,3861).

Интервальный прогноз:

Нижняя граница прогноза:

Верхняя граница прогноза:

Табличный критерий Стьюдента:

Средняя квадратическая ошибка прогноза:

Стандартная ошибка отклонений:

Стандартная ошибка отклонений для фактора Х4 находится в таблице Регрессионная статистика.

Данные для расчета средней квадратической ошибки прогноза:

Х_ср =42,045 кв.м

=

Верхняя граница прогноза: =177,3861+83,475=226,8968

Нижняя граница прогноза: =177,3861-83,475=127,8754

Интервальный прогноз: (127,8754226,8968). На рисунке 2 представлены фактические и модельные значений, точки прогноза.

Рисунок 2 - Прогнозирование

5. Построение множественной регрессии

Параметры построения множественной регрессии для факторов Х4,Х5,Х6

Вывод итогов:

Линейное уравнение трёхфакторной модели регрессии имеет вид:

y = -6,582+2,314Х₄ - 0,925Х₅ + 1,459Х₆

Факторы считаются значимыми, если параметры при них значимы, при определённом значении б.

Проверяем значимость коэффициентов парной корреляции по критерию Стьюдента. Расчетные значения критерия Стьюдента приведены в графе t-статистика.

Табличное значение критерия Стьюдента:

t_табл(б; n-m-1)= t_табл(0,1; 36)= 2,242.

для параметра а₄ t_a4=7,805, t_a4> t_табл- параметр а₄ при факторе Х₄ значим;

для параметра а₅ t_a5=-0,761, t_a5< t_табл- параметр а₅ при факторе Х₅ не значим, фактор Х₅ надо исключить из модели;

для параметра а₆ t_a6=0,829, t_a6< t_табл- параметр а₆ при факторе Х₆ не значим, фактор Х₆ надо исключить из модели.

В модель включаем фактор Х₄. Параметры линейной парной регрессии для фактора Х₄- жилая площадь квартиры, кв.м рассмотрены ранее.

Уравнение линейной парной регрессии для фактора Х₄ имеет вид:

y = -2,865+2,476Х₄ - если фактор жилая площадь квартиры увеличится на 1 кв. м, то цена квартиры увеличится на 2,476 тыс. долл.

Задача 2. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

эконометрический матрица корреляция экономический

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд этого показателя приведен в таблице ниже.

Исходные данные:

1. Проверьте наличие аномальных наблюдений.

График временного ряда представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 - График временного ряда

Наличие аномальных наблюдений по методу Ирвина:

,

где - абсолютный цепной прирост

- среднее квадратическое отклонение

Ниже в таблице приведены расчетные значения для выявления аномальных наблюдений.

Расчетные значения:

=176/9=19,556

Табличное значение =1,5 (для б=0,05).

Т.к. все расчетные значения меньше табличных, то аномальных наблюдений нет.

2. Постройте линейную модель , параметры которой оцените МНК (- расчетные, смоделированные значения временного ряда).

Для оценки параметров линейной модели с помощью МНК (метода наименьших квадратов) необходимо составить систему нормальных уравнений и найти значения параметров модели a₀ и a₁.

МНК позволяет получить такие оценки параметров a₀ и a₁, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (Y) от расчетных (теоретических) минимальна:

Расчетные данные для построения системы нормальных уравнений:

Система нормальных уравнений для нахождения параметров модели

;

;

;

Уравнение модели выглядит следующим образом:

Для построения графика линейной функции по уравнению модели достаточно взять 2 значения: t = 1, ; t = 9 . График приведен на рисунке 2.

Рис. 2 График линейной трендовой модели

3. Оцените адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S - критерия возьмите табулированные границы 2,7-3,7).

Для оценки адекватности построенной модели необходимо рассчитать остатки и проверить, выполняются ли рядом остатков свойства. Составляем последовательность остатков: .

Результаты расчетов :

Проверяем свойства остатков:

1) Случайность значений остатков: критерий поворотных точек (пиков).

Точка считается поворотной, если она одновременно больше (меньше) предшествующей и последующей.

Необходимое условие для соблюдения свойства:

где m - количество поворотных точек (пиков)

n - количество наблюдений

m = 6 -число пиков

m > [3,797], m > 3 > неравенство выполняется, следовательно свойство выполняется. График остатков приведен на рисунке 3.

Рис. 3 График остатков

2) Независимость остатков определяется по критерию Дарбина - Уотсона:

Критические уровни: d₁=1,082 d₂=1,32

2 < < 4 находим d^' = 4 - = 1,966, сравниваем с d₁ и d₂.

d₂ < d^' < 2 - свойство выполняется, т.е. остатки независимы, автокорреляция отсутствует

3) Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определяется по R/S - критерию:

где - среднее квадратическое отклонение остатков;

и - максимальный и минимальный уровни ряда остатков

=1,268

=1,294

=-2,556

Т. к. 2,7 < 3,035 <3, 7 > свойство нормального закона распределения остатков выполняется

4) Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы: , ;

С этой целью строится t- статистика:

где =0,00044 - среднее арифметическое значение уровней ряда остатков .

t _табл (б; n-1) = t _табл (0,05; 8)= 2,306

t_расч<t _табл > свойство выполняется.

Выбранная трендовая модель является адекватной, т.к. рядом остатков выполняются все свойства по указанным критериям.

4. Оцените точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

Т.к. S5% - модель считается точной.

5. Осуществите прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитайте при доверительной вероятности p=70%). Прогноз по трендовой модели

Точечный прогноз получается путем подстановки в модель значений времени t, соответствующих периоду упреждения k: t = n + k.

Экстраполяция на k шагов вперед имеет вид:

1) точечный прогноз при k = 1, n = 9

= 10,306+1,850·10 = 28,806 - точечный прогноз (10; 28,806)

Находим нижнюю и верхнюю границу доверительного интервала:

,

где - ширина доверительного интервала,

где t_б - табличное значение критерия Стьюдента с уровнем значимости б и количеством степеней свободы (n-p), (n-количество наблюдений, p-количество параметров модели).

,

S_прогн- средняя квадратичная ошибка прогноза:

=1,356

t₉₊₁ = 10, = 5

28,806 2,365·1,676 = 28,806 3,963

Нижняя граница прогноза: 24,843

Верхняя граница прогноза: 32,769

Интервальный прогноз: (24,843; 32,769)

2) точечный прогноз при k =2, n = 9

= 10,306+1,850·11 = 30,656 - точечный прогноз (11, 30,656)

30,656 2,365·1,774 = 30,656 4,194

Нижняя граница прогноза: 26,462

Верхняя граница прогноза: 34,850

Интервальный прогноз: (26,462; 34,850).

Результаты прогноза представлены на рисунке 4.

Рис. 4 - Результаты прогноза

Список использованной литературы

1. Приходько А.И. Практикум по эконометрике: регрессионный анализ средствами EXCEL/А.И. Приходько. - Ростов н/Д.: Феникс, 2007. - 256 с.

2. Эконометрика: Методические указания по выполнению контрольной работы для самостоятельной работы студентов III курса специальности 080109 "Бухгалтерский учет, анализ и аудит", 080105 "Финансы и кредит" (второе высшее образование). - М.: ИНФРА-М; Вузовский учебник, 2007. - 72 с.

3. Эконометрика. Программа. Методические указания по изучению дисциплины для студентов 4-го курса второго высшего образования, обучающихся по специальностям "Финансы и кредит", "Бухгалтерский учет и аудит". - М.: "Финстатинформ", 2001. - 68 с.

4. Эконометрика: Учебник/Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 344 с.

5. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL / Практикум: Учебное пособие для вузов. - М.: ЗАО "Финстатинформ", 2000. - 136 с.

Размещено на Allbest.ru