Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ - «НИНХ»

Кафедра высшей математики

Вариант №2

Контрольная работа по учебной дисциплине «Эконометрика»

Выполнил:

Студент группы ФКП-021

Ахметжанова Оксана

№ зачетной книжки:102259

Новосибирск 2012

Задача 1

В базе данных магазина, торгующего подержанными автомобилями, содержится информация об их потребительских свойствах и ценах. Для анализа зависимости цены автомобиля Y от его возраста X₁ и мощности двигателя X₂ из базы данных выбраны сведения о 16 автомобилях. Эти сведения приведены в таблице 1.

Таблица 1

Номер автомобиля, i	Цена (тыс. у.е.), yi	Возраст (лет), xi1	Мощность двигателя (л.с.), xi2
1	6,0	6,0	142
2	2,3	7,0	93
3	4,3	6,0	116
4	7,2	3,0	101
5	8,4	3,0	127
6	6,8	4,0	111
7	5,5	4,0	92
8	4,7	5,0	100
9	4,9	5,0	108
10	5,5	5,0	120
11	7,6	4,0	145
12	7,6	4,0	145
13	8,5	3,0	131
14	4,0	7,0	134
15	2,9	7,0	94
16	5,5	6,0	141

1. Парные зависимости

1.1 Построить поля рассеяний для цены Y и возраста автомобиля X₁, а также для цены Y и мощности двигателя X₂. На основе их визуального анализа выдвинуть гипотезы о виде статистической зависимости Y от X₁ и Y от X₂ и записать их математически.

1.2 Методом наименьших квадратов найти оценки линейных уравнений регрессии: , .

1.3 С помощью коэффициентов парной корреляции проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также между ценой и мощностью двигателя. Проверить их значимость с надёжностью 0,9.

1.4 Проверить статистическую значимость параметров и уравнений регрессии с надёжностью 0,9.

1.5 Построить доверительные полосы надёжности 0,95 для среднего значения цены автомобиля в зависимости от его возраста, а также от мощности двигателя. Изобразить графически линии регрессии и доверительные полосы вместе с полями рассеяний.

1.6 На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст 3 года, мощность двигателя 165 л.с. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей в зависимости от возраста и мощности двигателя с доверительной вероятностью 0,95.

2. Множественная зависимость.

2.1 По методу наименьших квадратов найти оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели

2.2 Проверить статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надёжностью 0,9.

2.3 Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной надёжностью 0,95.

3. Экономическая интерпретация.

На основе полученных в пунктах 1 и 2 статистических характеристик провести содержательный экономический анализ зависимости цены автомобиля от его возраста и мощности двигателя.

Решение

1. Парные зависимости

1.1. Построим поля рассеяний для цены Y и возраста автомобиля X₁, а также для цены Y и мощности двигателя X₂.

На основе визуального анализа выдвигаем гипотезы о линейной статистической зависимости Y от X₁ и Y от X₂ и записываем их математически.

1.2. Методом наименьших квадратов найдём оценки линейных уравнений регрессии:

, .

Оценки параметров можно получить по формулам.

Составим расчётную таблицу:

i	yi	yi2	xi1	xi12	xi1•yi	xi2	xi22	xi2•yi
1	6	36	6,0	36	36	142	20164	852
2	2,3	5,29	7,0	49	16,1	93	8649	213,9
3	4,3	18,49	6,0	36	25,8	116	13456	498,8
4	7,2	51,84	3,0	9	21,6	101	10201	727,2
5	8,4	70,56	3,0	9	25,2	127	16129	1066,8
6	6,8	46,24	4,0	16	27,2	111	12321	754,8
7	5,5	30,25	4,0	16	22	92	8464	506
8	4,7	22,09	5,0	25	23,5	100	10000	470
9	4,9	24,01	5,0	25	24,5	108	11664	529,2
10	5,5	30,25	5,0	25	27,5	120	14400	660
11	7,6	57,76	4,0	16	30,4	145	21025	1102
12	7,6	57,76	4,0	16	30,4	145	21025	1102
13	8,5	72,25	3,0	9	25,5	131	17161	1113,5
14	4	16	7,0	49	28	134	17956	536
15	2,9	8,41	7,0	49	20,3	94	8836	272,6
16	5,5	30,25	6,0	36	33	141	19881	775,5
Сумма	91,7	577,45	79,0	421	417	1900	231332	11180,3
Среднее	5,731	36,091	4,938	26,313	26,063	118,75	14458,25	698,769

Следовательно:

- зависимость цены от возраста.

- зависимость цены от мощности.

1.3. С помощью коэффициентов парной корреляции проанализируем тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также между ценой и мощностью двигателя. Проверить их значимость с надёжностью 0,9.

Коэффициент парной корреляции определяем по формуле:

Проанализируем тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля.

Рассчитаем матрицу парных коэффициентов корреляции:



Делаем вывод о сильной отрицательной (обратной) связи.

Проанализируем тесноту линейной связи между ценой и мощностью двигателя.

Рассчитаем матрицу парных коэффициентов корреляции:

Делаем вывод об умеренной прямой связи.

Проверим значимость коэффициентов корреляции с надёжностью 0,9.

Проверка осуществляется по формуле:

В нашем случае для первого коэффициента:

Условие выполняется, следовательно, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля.

В нашем случае для второго коэффициента:

Условие выполняется, следовательно, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля.

1.4. Проверим статистическую значимость параметров и уравнений регрессии с надёжностью 0,9.

Проверим с помощью критерия Фишера значимость уравнения регрессии (адекватность модели исследуемой зависимости):

1)

Рассчитаем коэффициенты детерминации для зависимости y от x₁:

т.е. вариация цены на 79,7% объясняется возрастом автомобиля;

Рассчитаем фактическое значение F - статистики Фишера по формуле:

Пусть доверительная вероятность р=0,9. По таблице найдём: F_t(0,1; 1; 14)=3,1

Т.к. F_Ф >F_t (0,1; 1; 14), то признается статистическая значимость уравнения.

Проверим статистическую значимость параметров полученной модели:

Для парной регрессии существует связь между статистиками Стьюдента и Фишера:

,

Для зависимости y от x₁ получаем: . Т.к. это значение больше =1,761, поэтому гипотезу о равенстве нулю коэффициента б₁ отвергаем.

2)

Рассчитаем коэффициенты детерминации для зависимости y от x₂:

т.е. вариация цены всего лишь на 28,6% объясняется мощностью автомобиля;

Рассчитаем фактическое значение F - статистики Фишера:

Пусть доверительная вероятность р=0,9. По таблице найдём: F_t (0,1; 1; 14)=3,1

Т.к. F_Ф >F_t (0,1; 1; 14), то признается статистическая значимость уравнения.

Проверим статистическую значимость параметров полученной модели:

Для парной регрессии существует связь между статистиками Стьюдента и Фишера:

,

Для зависимости y от x₂ получаем: . Т.к. это значение больше =1,761, поэтому гипотезу о равенстве нулю коэффициента в₁ также отвергаем.

1.5. Построим доверительные полосы надёжности 0,95 для среднего значения цены автомобиля в зависимости от его возраста, а также от мощности двигателя. Изобразим графически линии регрессии и доверительные полосы вместе с полями рассеяний.

Доверительные интервалы среднего значения цены для рассчитываем по формуле:

где - соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала в точке; - значение независимой переменной x₁, для которой определяется доверительный интервал; - квантиль распределения Стьюдента с доверительной вероятностью 1- и числом степеней свободы n-2. При =0,1 t_0,05;14=1,761.

Значение стандартной ошибки S_y определяется по формуле:

где ; - остаточная дисперсия уравнения регрессии.

Рассмотрим первое уравнение парной регрессии.

- зависимость цены от возраста.



Составим расчётную таблицу

Таблица 1

i	yi	xi1		еi	еi2	(xi-xср)2	Sy	1,761•Sy
1	6	6	4,503	1,50	2,24	1,129	0,606	1,067	3,436	5,570
2	2,3	7	3,347	-1,047	1,10	4,254	0,861	1,517	1,830	4,863
3	4,3	6	4,503	-0,203	0,04	1,129	0,606	1,067	3,436	5,570
4	7,2	3	7,971	-0,771	0,59	3,754	0,825	1,454	6,517	9,425
5	8,4	3	7,971	0,429	0,18	3,754	0,825	1,454	6,517	9,425
6	6,8	4	6,815	-0,015	0,00	0,879	0,580	1,022	5,793	7,838
7	5,5	4	6,815	-1,315	1,73	0,879	0,580	1,022	5,793	7,838
8	4,7	5	5,659	-0,959	0,92	0,004	0,482	0,849	4,810	6,508
9	4,9	5	5,659	-0,759	0,58	0,004	0,482	0,849	4,810	6,508
10	5,5	5	5,659	-0,159	0,03	0,004	0,482	0,849	4,810	6,508
11	7,6	4	6,815	0,785	0,62	0,879	0,580	1,022	5,793	7,838
12	7,6	4	6,815	0,785	0,62	0,879	0,580	1,022	5,793	7,838
13	8,5	3	7,971	0,529	0,28	3,754	0,825	1,454	6,517	9,425
14	4	7	3,347	0,653	0,43	4,254	0,861	1,517	1,830	4,863
15	2,9	7	3,347	-0,447	0,20	4,254	0,861	1,517	1,830	4,863
16	5,5	6	4,503	0,997	0,99	1,129	0,606	1,067	3,436	5,570
Сумма	91,7	79	91,7	0,00	10,54	30,938
Сред	5,731	4,938	5,731	0,00	0,659

Представим полученные результаты графически

Рассмотрим второе уравнение парной регрессии.

 - зависимость цены от мощности.

Составим расчётную таблицу:

Таблица 2

i	yi	xi2		еi	еi2	(xi-xср)2	Sy	1,761•Sy
1	6	142	6,916	-0,92	0,84	540,563	0,763	1,345	5,572	8,261
2	2,3	93	4,419	-2,119	4,49	663,063	0,814	1,433	2,985	5,852
3	4,3	116	5,591	-1,291	1,67	7,563	0,486	0,857	4,734	6,448
4	7,2	101	4,826	2,374	5,63	315,063	0,661	1,163	3,663	5,990
5	8,4	127	6,152	2,248	5,05	68,063	0,525	0,925	5,227	7,077
6	6,8	111	5,336	1,464	2,14	60,063	0,520	0,916	4,420	6,253
7	5,5	92	4,368	1,132	1,28	715,563	0,835	1,470	2,898	5,837
8	4,7	100	4,775	-0,075	0,01	351,563	0,678	1,195	3,581	5,970
9	4,9	108	5,183	-0,283	0,08	115,563	0,554	0,975	4,208	6,159
10	5,5	120	5,795	-0,295	0,09	1,563	0,482	0,850	4,945	6,645
11	7,6	145	7,069	0,531	0,28	689,063	0,824	1,452	5,618	8,521
12	7,6	145	7,069	0,531	0,28	689,063	0,824	1,452	5,618	8,521
13	8,5	131	6,356	2,144	4,60	150,063	0,574	1,010	5,345	7,366
14	4	134	6,509	-2,509	6,29	232,563	0,619	1,090	5,419	7,598
15	2,9	94	4,470	-1,570	2,46	612,563	0,793	1,397	3,072	5,867
16	5,5	141	6,865	-1,365	1,86	495,063	0,744	1,310	5,555	8,176
Сумма	91,7	1900	91,7	0,00	37,064	5707,000
Сред	5,731	118,75	5,731	0,00	2,316

Представим полученные результаты графически



1.6. На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст 3 года, мощность двигателя 165 л.с. Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей в зависимости от возраста и мощности двигателя с доверительной вероятностью 0,95.

Подставляем в первую модель возраст 3 года, получаем точечный прогноз:

тыс. у.е.

Подставляем точечный прогноз среднего цены и в уравнения границ доверительного интервала

и получаем интервальный прогноз с доверительной вероятностью 0,95:

, или тыс. у.е.; тыс. у.е.

Подставляем во вторую модель мощность 165 л.с., получаем точечный прогноз:

тыс. у.е.

Подставляем точечный прогноз среднего цены и в уравнения границ доверительного интервала

и получаем интервальный прогноз с доверительной вероятностью 0,95:

, или тыс. у.е.; тыс. у.е.

2. Множественная зависимость

2.1. По методу наименьших квадратов находим оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели

Система нормальных уравнений имеет вид.

Находим численные значения оценок в данной задаче. Обозначим:

; ; ;

Тогда

Для этого выполним следующие расчеты:



Множественная линейная регрессионная модель

имеет вид:

2.2. Проверим статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надёжностью 0,9.

Расчётная таблица 3

i	yi	xi1	xi2	yiп	e 2	(yi -yiср) 2
1	6	6	142	5,503	0,247	0,052
2	2,3	7	93	2,406	0,011	11,057
3	4,3	6	116	4,437	0,019	1,675
4	7,2	3	101	7,086	0,013	1,835
5	8,4	3	127	8,152	0,062	5,860
6	6,8	4	111	6,408	0,154	0,458
7	5,5	4	92	5,629	0,017	0,010
8	4,7	5	100	4,869	0,029	0,743
9	4,9	5	108	5,197	0,088	0,285
10	5,5	5	120	5,689	0,036	0,002
11	7,6	4	145	7,802	0,041	4,288
12	7,6	4	145	7,802	0,041	4,288
13	8,5	3	131	8,316	0,034	6,681
14	4	7	134	4,087	0,008	2,704
15	2,9	7	94	2,447	0,205	10,786
16	5,5	6	141	5,462	0,001	0,072
Сумма	91,7	79	1900	91,292	1,004	50,798
Средее	5,73125	4,9375	118,75	5,706	0,063	3,175

По таблице критических точек определяем фактическое значение t-критерия Стьюдента:

t_0,9;13=1,771.

Рассчитаем стандартные ошибки коэффициентов регрессии по формуле:

j=0,1,…,m,

где z_jj - диагональные элементы обратной матрицы (X^TX)^-1, которые равны соответственно:

3,71617	0,03281	0,00018

,

,

,

Т.к. неравенство t_Ф > t_0,9;13=1,771 выполняется для всех коэффициентов, то коэффициенты уравнения регрессии статистически значимы, т.е. они существенно отличны от нуля.

Проверим статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надёжностью 0,9:

Проверка осуществляется по формуле:

,

где r_xy - коэффициент множественной корреляции.

Коэффициент множественной корреляции определяется по формуле:

Коэффициент детерминации равен: 0,98, следовательно, множественная регрессия объясняет 98% колебаний значений y. Это свидетельствует о значительном суммарном влиянии независимых переменных x₁ и x₂ на y.

Проверим статистическую значимость коэффициента множественной корреляции.

В нашем случае:

Условие выполняется, следовательно, коэффициент множественной корреляции существенно отличен от нуля.

Проверим уравнение регрессии на значимость:

для зависимости у от х₁ и x₂.

При уровне значимости =0,1 и количестве степеней свободы df₁=1, df₂=16-3=13 определяем, что табличное значение F-статистики Фишера будет равно F_т(0,1;1;13)=3,136. Т.к. F_т<F_ф то признается статистическая значимость уравнения регрессии, и оно может быть использовано в прикладных целях.

2.3. Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной надёжностью 0,95.

Точечный прогноз рассчитаем по формуле:

В нашем случае: тыс. у.е.

Интервальный прогноз рассчитаем по формуле

,

где , ,

Вычисляем:

;

Тогда

При этом t_0,95;13=1,771

Поэтому:

или ; тыс. у.е.

Оформим результаты в таблице.

Таблица 4

	Точечный прогноз		Интервальный прогноз
(1; 3; 165)	9,71	0,199	9,357	10,063

3. Экономическая интерпретация

На основе полученных в пунктах 1 и 2 статистических характеристик провести содержательный экономический анализ зависимости цены автомобиля от его возраста и мощности двигателя.

Цена от возраста

На основе визуального анализа поля рассеяния выдвигаем гипотезу о линейной зависимости цены от возраста, методом наименьших квадратов получаем уравнение парной регрессии: - зависимость цены от возраста. Первый коэффициент определяет цену автомобиля с возрастом 0 лет, эта цена равна 11,44 тыс. у.е., второй коэффициент означает изменение цены в зависимости от изменения возраста, при «старении» на 1 год цена уменьшается в среднем на 1,156 тыс. у.е., при этом данные коэффициенты существенно отличны от нуля, то есть статистически значимы. Коэффициент парной корреляции, равный -0,893, означает, что между возрастом и ценой существует сильная связь, носящая обратный характер: с увеличением возраста уменьшается цена, при этом коэффициент статистически значим, то есть существенно отличен от нуля.

В целом уравнение регрессии статистически значимо с надёжностью 0,9.

Если поступает автомобиль с возрастом 3 года, то его прогнозная цена составит 7,971 тыс. у.е., и будет находиться в интервале 6,517?9,425 тыс. у.е. с надёжностью 0,95.

Цена от мощности

На основе визуального анализа поля рассеяния выдвигаем гипотезу о линейной зависимости цены от возраста, методом наименьших квадратов получаем уравнение парной регрессии: - зависимость цены от мощности. Первый коэффициент определяет цену автомобиля мощности 0 л.с., в нашем случае экономической интерпретации не имеет, второй коэффициент означает изменение цены в зависимости от изменения мощности, при увеличении мощности на 1 л.с. цена увеличивается в среднем на 0,051 тыс. у.е., при этом данные коэффициенты существенно отличны от нуля, то есть статистически значимы. Коэффициент парной корреляции, равный 0,535 означает, что между возрастом и ценой существует умеренная связь, носящая прямой характер: с увеличением мощности увеличивается цена, при этом коэффициент статистически значим, то есть существенно отличен от нуля.

В целом уравнение регрессии статистически значимо с надёжностью 0,9.

Если поступает автомобиль с мощностью 165 л.с., то его прогнозная цена составит 8,089 тыс. у.е., и будет находиться в интервале 5,846?10,331 тыс. у.е. с надёжностью 0,95.

Множественная регрессия

Получено уравнение, моделирующее зависимость цены от возраста и мощности одновременно: , уравнение статистически значимо, вариация y на 98% объясняется вариацией входящих сюда переменных x₁ и x₂.

Точечный прогноз даёт значение у=9,71 тыс. у.е., интервальный - (9,357; 10,063) тыс. у.е. - в этом интервале находится прогнозная цена с вероятностью 95%.

Задача 2

В базе данных магазина также содержится информация об объёме ежемесячных продаж автомобилей за прошлый год, представленная в таблице 5.

Таблица 5

Месяц, i	Объём продаж (тыс. у.е.), zt
1	606
2	639
3	702
4	790
5	980
6	973
7	1064
8	1070
9	1200
10	1180
11	1257
12	1167

1. Представить графически ежемесячные объёмы продаж автомагазина. На основе визуального анализа построенного графика выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости объёма продаж от времени и записать её математически.

2. Методом наименьших квадратов найти оценку уравнения линейного тренда

3. Для линии тренда построить доверительную полосу надёжности 0,975. Нарисовать её на графике вместе с линией тренда и исходным временным рядом.

4. С помощью уравнения тренда найти точечный и интервальный прогноз (надёжности 0,975) среднего объёма продаж для t = 15.

корреляция регрессия цена

Решение

1. Представим графически ежемесячные объёмы продаж автомагазина.

Построим ломаную кривую изменения объема продаж от времени

На основе визуального анализа построенного графика выдвигаем гипотезу о линейном виде статистической зависимости объёма продаж от времени и запишем её математически:

2. Методом наименьших квадратов находим оценки уравнения линейного тренда

Система нормальных уравнений имеет вид:

При этом коэффициенты находятся из уравнений.

Составим расчётную таблицу

Таблица 6

Месяц, t	Объём продаж (тыс. у.е.), zt	zt•t	t2
1	606	606	1
2	639	1278	4
3	702	2106	9
4	790	3160	16
5	980	4900	25
6	973	5838	36
7	1064	7448	49
8	1070	8560	64
9	1200	10800	81
10	1180	11800	100
11	1257	13827	121
12	1167	14004	144
Сумма(=78)	11628	84327	650

Получаем

Следовательно, уравнение тренда (регрессии) будет иметь вид

3. Для линии тренда построим доверительную полосу надёжности 0,975 и нарисуем её на графике вместе с линией тренда и исходным временным рядом.

Доверительные интервалы для объёма продаж рассчитываем по формуле.

где - соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала в точке ;

- квантиль распределения Стьюдента с доверительной вероятностью 1- и числом степеней свободы n-2. При =0,05 t_0,025;10=2,228.

Расчётная таблица 7

t	zt		еi	еi2	(ti-tср)2	Sz	2,228•Sz
1	606	632,654	-26,654	710,428	30,25	37,857	84,345	548,309	716,998
2	639	693,808	-54,808	3003,883	20,25	33,064	73,667	620,140	767,475
3	702	754,96	-52,962	2804,925	12,25	28,659	63,853	691,109	818,814
4	790	816,115	-26,115	682,013	6,25	24,848	55,362	760,754	871,477
5	980	877,269	102,731	10553,611	2,25	21,943	48,888	828,381	926,158
6	973	938,423	34,577	1195,564	0,25	20,335	45,306	893,117	983,729
7	1064	999,577	64,423	4150,333	0,25	20,335	45,306	954,271	1044,883
8	1070	1060,731	9,269	85,919	2,25	21,943	48,888	1011,842	1109,619
9	1200	1121,88	78,115	6102,013	6,25	24,848	55,362	1066,523	1177,246
10	1180	1183,038	-3,038	9,232	12,25	28,659	63,853	1119,186	1246,891
11	1257	1244,192	12,808	164,037	20,25	33,064	73,667	1170,525	1317,860
12	1167	1305,346	-138,346	19139,658	30,25	37,857	84,345	1221,002	1389,691
Сумма (=78)	11628	11628	0,000	48601,615	143
Среднее (=6,5)	969,0	969,0	0,000	4050,135	11,917

- стандартная ошибка

; - остаточная дисперсия уравнения регрессии.

Рассмотрим уравнение парной регрессии.

Иллюстрируем графически

4. С помощью уравнения тренда найти точечный и интервальный прогноз (надёжности 0,975) для среднего объёма продаж для t=15.

Точечный прогноз

тыс. у.е.

Интервальный прогноз

, или

тыс. у.е.

тыс. у.е.

Задача 3

Проверка моделей на автокорреляцию и мультиколлинеарность

1. Для регрессионных моделей:

и

с помощью критерия Дарбина - Уотсона проверить наличие или отсутствие автокорреляции на уровне значимости б=0,05.

2. Для регрессионной модели

проверим наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используем:

а) парный коэффициент корреляции (приближённо);

б) критерий «хи - квадрат» ч² на уровне значимости б=0,05.

Решение

1. Для регрессионных моделей

и

с помощью критерия Дарбина - Уотсона проверить наличие или отсутствие автокорреляции на уровне значимости б=0,05.

Статистика Дарбина - Уотсона имеет вид



Таблица 8

i
	ei	(ei-ei-1)2	ei	(ei-ei-1)2
1	0,497		-26,654
2	-0,106	0,364	-54,808	792,639
3	-0,137	0,001	-52,962	3,408
4	0,114	0,063	-26,115	720,716
5	0,248	0,018	102,731	16601,331
6	0,392	0,021	34,577	4644,947
7	-0,129	0,271	64,423	890,793
8	-0,169	0,002	9,269	3041,947
9	-0,297	0,016	78,115	4739,793
10	-0,189	0,012	-3,038	6585,947
11	-0,202	0,000	12,808	251,101
12	-0,202	0,000	-138,346	22847,485
13	0,184	0,149
14	-0,087	0,073
15	0,453	0,292
16	0,038	0,172
Итого:		1,454		61120,107

а)

Получаем

В задаче число наблюдений n=16, число объясняющих переменных m=2.

По таблице находим d₁=0,982; d_u=1,539. В нашем случае d₁<d<d_u, поэтому ничего нельзя сказать о наличии или об отсутствии автокорреляции.

б)

Получаем

В задаче число наблюдений n=12, число объясняющих переменных m=1.

Согласно теории [1], d - статистика Дарбина - Уотсона определена для объёмов выборки не менее 15, следовательно, в данном случае применение этой статистики не совсем корректно. Примем n=15, тогда при одной объясняющей переменной m=1 получим:

По таблице находим d₁=0,982; d_u=1,539. В нашем случае d_u<d<d_u, ничего нельзя сказать о наличии или об отсутствии автокорреляции.

2. Для регрессионной модели

проверим наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используем:

а) парный коэффициент корреляции (приближённо);

- уравнение регрессии.

Находим коэффициент парной корреляции между объясняющими переменными, для вычислений воспользуемся Excel (статистическая функция КОРРЕЛ), получаем:

Вычисляем t-статистику.

- можно говорить, что коэффициенты не коррелируют между собой, следовательно, мультиколлинеарность отсутствует.

б) критерий «хи - квадрат» ч² на уровне значимости б=0,05.

Рассчитаем определитель матрицы коэффициентов парной корреляции:

По формуле

получаем:

Табличное значение статистики равно: ч_табл²=3,84

Так как ч_факт²=0,202 меньше ч_табл²=3,84, то можно сделать окончательный вывод об отсутствии мультиколлинеарности.

Литература

1. Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко. Эконометрика; М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2002.

2. Эконометрика: Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения по всем специальностям / Н.В. Воронович, Г.Л. Русин - Новосибирск: НГУЭУ, 2005.

Размещено на Allbest.ru