Размещено на http://www.allbest.ru/

Экономико-математическое моделирование

Роль прикладных математических исследований в экономике

Имитационное моделирование экономических процессов.

Можно выделить по крайней мере четыре аспекта применения математических методов в решении практических проблем.

1. Совершенствование системы экономической информации. Математические методы позволяют упорядочить систему экономической информации, выявлять недостатки в имеющейся информации и вырабатывать требования для подготовки новой информации или ее корректировки. Разработка и применение экономико-математических моделей указывают пути совершенствования экономической информации, ориентированной на решение определенной системы задач планирования и управления. Прогресс в информационном обеспечении планирования и управления опирается на бурно развивающиеся технические и программные средства информатики.

2. Интенсификация и повышение точности экономических расчетов. Формализация экономических задач и применение ЭВМ многократно ускоряют типовые, массовые расчеты, повышают точность и сокращают трудоемкость, позволяют проводить многовариантные экономические обоснования сложных мероприятий, недоступные при господстве "ручной" технологии.

3. Углубление количественного анализа экономических проблем. Благодаря применению метода моделирования значительно усиливаются возможности конкретного количественного анализа; изучение многих факторов, оказывающих влияние на экономические процессы, количественная оценка последствий изменения условий развития экономических объектов и т.п.

4. Решение принципиально новых экономических задач. Посредством математического моделирования удается решать такие экономические задачи, которые иными средствами решить практически невозможно, например: нахождение оптимального варианта народнохозяйственного плана, имитация народнохозяйственных мероприятий, автоматизация контроля за функционированием сложных экономических объектов.

Сфера практического применения метода моделирования ограничивается возможностями и эффективностью формализации экономических проблем и ситуаций, а также состоянием информационного, математического, технического обеспечения используемых моделей. Стремление во что бы то ни стало применить математическую модель может не дать хороших результатов из-за отсутствия хотя бы некоторых необходимых условий.

В соответствии с современными научными представлениями системы разработки и принятия хозяйственных решений должны сочетать формальные и неформальные методы, взаимоусиливающие и взаимодополняющие друг друга. Формальные методы являются прежде всего средством научно обоснованной подготовки материала для действий человека в процессах управления. Это позволяет продуктивно использовать опыт и интуицию человека, его способности решать плохо формализуемые задачи.

В современной литературе не существует единой точки зрения по вопросу о том, что понимать под имитационным моделированием. Так существуют различные трактовки:

- в первой - под имитационной моделью понимается математическая модель в классическом смысле;

- во второй - этот термин сохраняется лишь за теми моделями, в которых тем или иным способом разыгрываются (имитируются) случайные воздействия;

- в третьей - предполагают, что имитационная модель отличается от обычной математической более детальным описанием, но критерий, по которому можно сказать, когда кончается математическая модель и начинается имитационная, не вводится;

Имитационное моделированием применяется к процессам, в ход которых может время от времени вмешиваться человеческая воля. Человек, руководящий операцией, может в зависимости от сложившейся обстановки, принимать те или иные решения, подобно тому, как шахматист глядя на доску, выбирает свой очередной ход. Затем приводится в действие математическая модель, которая показывает, какое ожидается изменение обстановки, в ответ на это решение и к каким последствиям оно приведет спустя некоторое время. Следующее текущее решение принимается уже с учетом реальной новой обстановки и т. д. В результате многократного повторения такой процедуры руководитель как бы "набирает опыт", учится на своих и чужих ошибках и постепенно выучиваться принимать правильные решения - если не оптимальные, то почти оптимальные.

Попробуем проиллюстрировать процесс имитационного моделирования через сравнение с классической математической моделью.

Этапы процесса построения математической модели сложной системы:

1. Формулируются основные вопросы о поведении системы, ответы на которые мы хотим получить с помощью модели.

2. Из множества законов, управляющих поведением системы, выбираются те, влияние которых существенно при поиске ответов на поставленные вопросы.

3. В пополнение к этим законам, если необходимо, для системы в целом или отдельных ее частей формулируются определенные гипотезы о функционировании.

Критерием адекватности модели служит практика.

Трудности при построении математической модели сложной системы:

- Если модель содержит много связей между элементами, разнообразные нелинейные ограничения, большое число параметров и т. д.

- Реальные системы зачастую подвержены влиянию случайных различных факторов, учет которых аналитическим путем представляет весьма большие трудности, зачастую непреодолимые при большом их числе;

- Возможность сопоставления модели и оригинала при таком подходе имеется лишь в начале.

Эти трудности и обуславливают применение имитационного моделирования.

Оно реализуется по следующим этапам:

1. Как и ранее, формулируются основные вопросы о поведении сложной системы, ответы на которые мы хотим получить.

2. Осуществляется декомпозиция системы на более простые части-блоки.

3. Формулируются законы и "правдоподобные" гипотезы относительно поведения как системы в целом, так и отдельных ее частей.

4. В зависимости от поставленных перед исследователем вопросов вводится так называемое системное время, моделирующее ход времени в реальной системе.

5. Формализованным образом задаются необходимые феноменологические свойства системы и отдельных ее частей.

6. Случайным параметрам, фигурирующим в модели, сопоставляются некоторые их реализации, сохраняющиеся постоянными в течение одного или нескольких тактов системного времени. Далее отыскиваются новые реализации.

Задача 1

В таблице 1 приведена прибыль предприятия за ряд лет и факторы ее определяющие.

1. Построить многофакторную модель (линейного типа), описывающую зависимость прибыли от изменения приведенных факторов.

2. Оценить адекватность модели, используя критерий Стьюдента

3. Выявить положительно и отрицательно влияющие на прибыль факторы.

4. Определить наиболее прибыльные для предприятия товарные группы

5. Используя полученную модель и прогнозируемые в таблице 2 показатели оптимизировать портфель заказов (производственную программу) предприятия учитывая ограничения, приведенные в таблице 3. Для решения применить симплекс-метод и возможности оптимизации пакета MS EXCEL

6. Изменяя объемы выпуска К1, К2, К3 найти минимально предельные (граничные) объемы выпуска при которых предприятие еще выполняет план роста прибыли.

7. Оценить чувствительность модели.

Решение

1. Модель прибыли может быть представлена в линейном виде:

где а₀, а₁ - коэффициенты модели, х - влияющие факторы ( в нашем случае - уровень инфляции, средний размер заработной платы, стоимость энергоносителей и материалов, размер постоянных и переменных издержек).

Выделяем комбинацию ячеек глубиной 5 строк и шириной 10 (по количеству влияющих на прибыль факторов+1). В нашем примере это ячейки C13:L17. Вызываем встроенную функцию ЛИНЕЙН (Рис.1). Для выполнения встроенной функции линейного приближения нажимается одновременно комбинация клавиш SHIFT+CTRL+ENTER. Ячейки C13:L17 заполнятся расчетными данными.

Подписываем значения коэффициентов (а0-а9) справа налево (см. Рис.2).



Рис. 1. Построение многофакторной линейной модели прибыли

а9	а8	а7	а6	а5	а4	а3	а2	а1	а0
-25,717	7,994	-2,523	-4,634	2,288	10,800	12,861	0,000	0,000	137554,436

Рис.2. Вычисление коэффициентов многофакторной модели с использованием возможностей пакета MS EXCEL по методу наименьших квадратов

Подставляя вычисленные значения а₀-а₉ в линейную модель, получаем моделируемую прибыль для конкретного предприятия, в которой х₃, х₄, х₅ - комбинация товаров в производственной программе предприятия, существенно влияющая на прибыль:

Прибыль = 137554,436+12,861х₃+10,800х₄+2,288х₅?4,634х₆?2,523х₇+7,994х₈?25,717х₉.

2. Оценим адекватность модели, используя критерий Стьюдента.

Оценим значимость каждого из коэффициентов а₃-а₉. Например, чтобы проверить, имеет ли объем выпуска продукции К₁ статистическую значимость, разделим а₃=12,861 на 0 (оценка стандартной ошибки для коэффициента а₃). Ниже приводится наблюдаемое t-значение:

t = m4 / se4 = 12,861/0=?.

Так как абсолютное значение t достаточно велико, то делаем вывод, что коэффициент а₃ можно использовать для оценки прибыли. Таким образом, оценка всех коэффициентов равна ?. Критическое значение распределения Стъюдента с 72-7-1=64 степенями свободы равно t_кр=2,00 при уровне значимости б=0,05. Так как абсолютные величины всех t, равные ?, больше, чем t_кр, то все коэффициенты уравнения модели статистически значимы. Следовательно, все переменные, использованные в уравнении модели, полезны для предсказания прибыли. Коэффициент детерминации равен единице, что говорит об адекватности построенной модели.

3. Факторы, положительно влияющие на прибыль - это объемы продукции К₁, К₂ и К₃ и стоимость материалов. Отрицательно влияют на прибыль следующие факторы: постоянные и переменные издержки производства, стоимость энергоносителей.

4. Полученная модель может служить основой для максимизации производственной программы. Коэффициенты при х₃, х₄ и х₅ отражают прибыльность той или иной товарной группы для предприятия. Чем больше коэффициент, тем прибыльнее товар. В нашем примере товар К₁ наиболее прибыльный, при увеличении его на единицу, прибыль увеличится приблизительно на 12,861 тыс. руб.

5. По данным таблицы 2, где приведены планируемые изменения основных производственных показателей предприятия (ожидаемая прибыль, рост среднего уровня заработной платы, предполагаемые изменения цен на материалы и энергоносители), пересчитаем уровень зарплаты и остальные показатели. Так, увеличение зарплаты на 20%, вызовет ее изменение: 795,23·1,20=954,276 (ячейка Е12). Аналогичным образом пересчитываем ячейки J13, R13, L13, M13 (Рис.3). Ячейки G12, H12, I12 приравниваем к 0. Их значения мы будем оптимизировать. В ячейку C12 внесем формулу модели прибыли:

137554,436+12,861F12+10,800G12+2,288H12?4,634I12?2,523J12+7,994K12?25,717L12

в соответствии со значениями вычисленных по функции ЛИНЕЙН коэффициентов a0-a9 и ячеек со значениями влияющих факторов.

В ячейках A12 и A13 запишем ограничения из Таблицы 3. Соответственно в A12 внесем формулу: G12+4H12-5I12. А в ячейку A13 - формулу: G12-H12+I12. Выберем из главного меню MS Excel режим "ПОИСК РЕШЕНИЯ" и заполним открывшееся диалоговое окно в соответствии с требованиями Таблицы 3 (Рис.3). Нажмем клавишу ВЫПОЛНИТЬ и получим результат оптимизации производственной программы предприятия (Рис.4).

Рис. 3. Модель максимизации прибыли



Рис. 4. Оптимальное сочетание товаров в планируемом выпуске продукции

Таким образом, для получения максимальной прибыли, равной 71322905 тыс. руб., надо выпустить 5030000 ед. продукции К₁, 680000 ед. продукции К₂ и 150000 ед. продукции К₃.

6. Минимально предельные (граничные) объемы выпуска, при которых предприятие еще выполняет план роста прибыли находятся с помощью того же механизма, что был описан выше. Только прибыль не максимизируется, а устремляется к планируемому 60% пределу роста.

На Рис.5 отображена подготовка процедуры ПОИСК РЕШЕНИЯ для минимально предельных (граничных) объемах выпуска продукции, когда еще обеспечивается 60% рост прибыли (62890897,24·1,60=100625435,6 тыс. руб.). Решения задачи находится после нажатия клавиши ВЫПОЛНИТЬ.



Рис. 5. Поиск минимально предельных (граничных) объемов выпуска, при которых предприятие еще выполняет план роста прибыли

Как видно из рис. 5 эта задача решения не имеет. Следовательно, достичь прибыли, равной 100625435,6 тыс. руб., при заданных ограничениях невозможно.

7. Оценим чувствительность модели.

Проведем анализ чувствительности модели. Для этого в Excel при решении задачи на максимизацию прибыли в окне РЕЗУЛЬТАТЫ ПОИСКА РЕШЕНИЯ выделим два типа отчетов: "Результаты" и "Устойчивость".

Отчет по результатам состоит из трех таблиц (рис. 6):

1) таблица 1 содержит информацию о целевой функции;

2) таблица 2 содержит информацию о значениях переменных, полученных в результате решения задачи;

3) таблица 3 показывает результаты оптимального решения для ограничений и для граничных условий.

имитационный моделирование экономический стьюдент



Рис. 6. Лист отчета по результатам

Если ресурс используется полностью (то есть ресурс дефицитный), то в графе "Статус" ("Состояние") соответствующее ограничение указывается как "связанное"; при неполном использовании ресурса (то есть ресурс недефицитный) в этой графе указывается "не связан". В графе "Значение" приведены величины использованного ресурса.

Таблица 3 отчета по результатам дает информацию для анализа возможного изменения запасов недефицитных ресурсов при сохранении полученного оптимального значения целевой функции. Так, если на ресурс наложено ограничение типа , то в графе "Разница" дается количество ресурса, на которое была превышена минимально необходимая норма. Например, анализ строки 25 (рис. 6) отчета по результатам показывает, что продукции К₂ выпущено на 679650 ед. больше, чем было заказано. Таким образом, обязательный заказ на производство продукции К₂ можно увеличить на 679650 ед., то есть заказывать до 679915 ед., и при этом оптимальное решение задачи не изменится.

Если на ресурс наложено ограничение типа , то в графе "Разница" дается количество ресурса, которое не используется при реализации оптимального решения. Так, анализ строки 20, 21 и 27 отчета по результатам показывает, что все ограничения складирование, на поточное производство и на максимальный объем выпуска продукции К₃ превратились при оптимальном решении в равенства. Из этого следует, что оптимальное решение чувствительно к изменению ограничения складирование, на поточное производство и к изменению верхней границы госзаказа продукции К₃ Отчет по устойчивости состоит из двух таблиц (рис.7).

Рис. 7. Лист отчета по устойчивости

Таблица 1 содержит информацию, относящуюся к переменным, таблица 2 - информацию, относящуюся к ограничениям.

Нормированная стоимость, которая показывает, на сколько изменится прибыль в случае принудительного включения единицы этой продукции в оптимальное решение. Например, нормированная стоимость для продукции К₂ равна 0 (строка 10). Это означает, что если мы, несмотря на оптимальное решение, увеличим план выпуска продукции К₂ на 1 ед., то новый план выпуска принесет не приведет к увеличению прибыли. Аналогично, увеличить план выпуска продукции К₃ на 1 ед., то новый план выпуска принесет нам прибыль на 172,8 тыс. руб. больше, чем в прежнем оптимальном решении

Допустимые уменьшение и увеличение - это предельные значения приращения целевых коэффициентов , при которых сохраняется первоначальное оптимальное решение. Например, допустимое увеличение коэффициентов а₃ и а₅ практически не ограничено (строки 9 и 11 на рис. 7). Допустимое же увеличение коэффициента а₄ целевой функции равно 40,624. Допустимые уменьшения коэффициентов а₃, а₄ и а₅ соответственно равны: 10,161, 14,850 и 17,820.

При выходе за указанные в отчете по устойчивости пределы изменения цен оптимальное решение может меняться как по номенклатуре выпускаемой продукции, так и по объемам выпуска (без изменения номенклатуры).

Таблица 2 отчета по устойчивости (рис.7) содержит информацию, относящуюся к ограничениям.

Величина использованных представлена ресурсов в колонке "Результ. значение". Предельные значения приращения ресурсов , указанные в графе "Допустимое Уменьшение", показывают, на сколько можно уменьшить (устранить излишек) или увеличить (повысить минимально необходимое требование) ресурс, сохранив при этом оптимальное решение. Поскольку знак ограничений этих запасов имеет вид , то возникает вопрос, на сколько максимально может возрасти верхняя граница ограничения на складирование и поточное производство, чтобы обеспечить увеличение выпуска продукции. Ответ на этот вопрос показан в графе "Допустимое Увеличение". Ограничение на складирование можно увеличивать неограниченно, а ограничение на поточное производство имеет смысл увеличить самое большее на 3398250 ед. Это приведет к новым оптимальным решениям, увеличивающим прибыль по сравнению с полученной.

Ценность дополнительной единицы i-го ресурса (теневая цена) рассчитывается только для дефицитных ресурсов. После того как установлено, что увеличение ограничений на складирование и поточное производство приведет к новым планам выпуска, выясним, что выгоднее в первую очередь увеличивать: ограничение на складирование или на поточное производство? Ответ на этот вопрос дает графа "Теневая цена". Для складирования она равна 4,732 тыс. руб./ед., а для поточного производства - 8,129 тыс. руб./ед. Отсюда вывод: в первую очередь выгодно увеличивать ограничение на поточное производство.

Задача 2

1. По приведенной таблице построить методом тренда наилучшие модели спроса и предложения

2. Дать оценку адекватности модели, используя коэффициент Стьюдента

3. Найти равновесную цену графическим методом и методом подбора параметра MS Excel (поиска решения)

4. Вычислить равновесное предложение.

ЦЕНА	1	2	3	4	5	6	7	8	9
СПРОС	128	118	112	108,6	105,3	102,6	100	98,5	96
ПРЕДЛОЖЕНИЕ	23	30	36	38,4	41,3	45	47,8	50,6	53

Решение

1. Построим средствами MS Excel графическую зависимость цены от соотношения спроса (рис.8). Активизируем точки графика, щелкнув по ним левой клавишей мыши, затем нажмем правую клавишу и выберем режим "Добавить линию тренда". Для рассматриваемого случая наилучшим типом является логарифмический. В параметрах этого диалогового окна просим указать на графике уравнение тренда и величину достоверности аппроксимации (R-квадрат). Уравнение модели тренда и коэффициент аппроксимации (корреляции) представлены на графике (Рис.9).

Аналогичным образом строим уравнение тренда для кривой предложения (Рис.10). Как видно из рисунка, наилучшей линией тренда, аппроксимирующей предложение, является степенная (наибольший коэффициент аппроксимации 0,997).

Рис. 9. Прогнозирование спроса методом тренда

Рис. 10. Прогнозирование предложения методом тренда

2. Для анализа достоверности (адекватности) моделей спроса и предложения помимо коэффициента достоверности аппроксимации может быть определен: критерий достоверности Стьюдента (вероятность того, что реальная выборка точек спроса и предложения и моделируемая при тех же значениях цены, принадлежат одной и той же генеральной совокупности), рассчитывается как , где вероятность двух совместных событий, т.е. произведение коэффициентов достоверности аппроксимации этих процессов ; объем выборки для построения моделей (в нашем примере - 9·2=18)

Выдвигается две гипотезы (Н₀ - модель неадекватно отражает поведение экономического процесса в генеральной совокупности и не может использоваться для прогнозирования и Н₁ - модель адекватна и может использоваться в генеральной совокупности для прогнозирования экономических процессов.

Если принимается гипотеза Н₁, в противном случае - Н₀.

Критическое значение критерия Стьюдента при и уровне значимости, равном 1%, составляет 2,92, что позволяет доказать адекватность предложенной нелинейной модели поведения спроса и предложения, а на основании ее - прогнозировать равновесный спрос, предложение и цену.

3. Равновесной точкой для такой системы будет графическая точка пересечения степенной и логарифмической модели предложения и спроса (Рис. 11).

Система уравнений, моделирующих спрос и предложений, имеет вид:



Равновесная цена, также как и количественное выражение равновесного предложения, может быть найдена из полученной системы уравнений графическим способом (Рис. 12) и методом подбора параметра (поиска решения) (рис. 13). Равновесная цена после выполнения надстройки "Подбор параметра" (пункт главного меню "Сервис") равна 27,97.

4. Подставляя это значение в модель предложения, находим равновесное предложение в количественном выражении - 80,36 млн. руб.

Задача 3

Указать оптимальные размеры и потоки инвестирования, если прибыль от вложений (Х_i) в проекты (А_i) распределилась следующим образом:

Хi	A1	A2	A3	A4
0	12	18	15	16
25	28	42	35	52
50	56	62	68	71
75	94	108	92	88

Задание выполнить, используя:

1. принцип Беллмана

2. метод компьютерной оптимизации

Решение

Шаг 1. Пусть выделяется только 25 ден. ед. инвестиций. Их оптимальное вложение будет иметь вид:

.

Шаг 2. Пусть выделяется только 50 ден. ед. инвестиций. Их оптимальное вложение будет иметь вид:

Шаг 3. Пусть выделяется 75 ден. ед. инвестиций. Их оптимальное вложение будет иметь вид:



Таким образом, оптимальные инвестиционные потоки следующие:

Распределяемые средства, ден. ед.	1-й проект	2-й проект	3-й проект	4-й проект
25	0	0	0	0 и 25
50	0+0	0+0	0+0	0+0+25+25
75	0+0+0	0+0+0	0+0+0	0+0+0+25+25+25

Матрица прибылей будет равна:

Распределяемые средства, ден. ед.	1-й проект	2-й проект	3-й проект	4-й проект	Итого
25	12	18	15	16+52=68	113
50	12+12=24	18+18=36	15+15=30	16+16+52+52=136	226
75	12+12+12=36	18+18+18=54	15+15+15=45	16·3+52·3=204	339

Таким образом, оптимальными будут следующие размеры и потоки инвестирования. На первом шаге выделить четвертому проекту 25 ден. ед.;

Затем на втором шаге выделить четвертому проекту еще 25 ден. ед.;

На третьем шаге выделить четвертому проекту еще 25 ден. ед.

При этом прибыль от вложений в проекты будет максимальна и составит 339 ден. ед.

2. Теперь для решения этой задачи воспользуемся EXEL.

Для этого введем шаги тренда t_i, вложения x_i и прибыли A_i. Затем для каждого из четырех проектов построим средствами MS Excel графическую зависимость прибыли (А) от шага тренда (t=1, 2, 3, 4). Активизируем точки графика, щелкнув по ним левой клавишей мыши, затем нажмем правую клавишу и выберем режим "Добавить линию тренда". Для всех четырех проектов наилучшим типом является полиномиальный 3-й степени. В параметрах этого диалогового окна просим указать на графике уравнение тренда и величину достоверности аппроксимации (R-квадрат). С помощью полученных уравнений трендов находим теоретические значения прибыли при различных значениях шага тренда t_i. Уравнения моделей тренда, коэффициенты аппроксимации (корреляции) и теоретические значения прибыли представлены на рис. 14.

Рис. 14. Графические зависимости прибыли от вложений и полимиальные тренды этих зависимостей

Решение этих задач представлено на рис. 15.

Рис. 15. Оптимальное распределение капиталовложений между проектами

Таким образом, решение совпадает с найденным вручную.

Литература

Гринберг А.С., Плющ О.Б., Шешолко В.К. Экономико-математические методы и модели. Мн., 2003.

Экономико-математическое моделирование. Компьютерный практикум. Под ред. проф. А.С.Гринберга. Мн., 2005.

Экономико-математические методы и модели. Кузнецов А.В., Холод Н.И., Жихар Я.Н. и др. Под общ. ред. А.В. Кузнецова. - Мн.: БГЭУ, 1999.

Размещено на Allbest.ru