Статистическое моделирование экономических показателей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

В силу невозможности проведения натурального эксперимента математическое моделирование является единственный способ исследования экономических систем. Знание логики их развития в сочетании с применением экономико-математических моделей позволяет объективно оценить внутренние и внешние факторы повышения эффективности достижения целевых результатов «движения» социально-экономических объектов.

Цель данной курсовой работы заключается в том, чтобы исследовать показатели финансового состояния двух предприятий, выявить зависимости между результативным показателем одного предприятия и факторами другого, а также связь между этими факторами. Необходимо провести статистический анализ исследования показателей, корреляционно-регрессионный анализ этих показателей, выполнить сглаживание динамического ряда и осуществить прогноз на следующий период по каждому показателю и выявить наилучший метод прогнозирования.

1. Статистический анализ исследуемых показателей

1.1 Исходные данные моделирования

В качестве объекта моделирования рассматривается система взаимосвязей финансовых показателей двух предприятий-контрагентов - ЗАО «Гелиос» и МП Агрофирмы «Пурсей».

Результативный показатель (Y) - рентабельность собственного капитала ЗАО «Гелиос» - определяет сумму балансовой прибыли, заработанную каждым рублем собственного капитала, представляет собой кратную модель в числителе отраженная суммами балансовой прибыли, а в знаменателе - средняя за период величина собственного капитала.

Второй показатель (X1) - рентабельность основной деятельности МП Агрофирма «Пурсей» - показывает прибыльность организации. Определяется отношением результата от деятельности организации к чистой выручке.

Третий показатель (X2) - рентабельность всех операций по прибыли до налогообложения МП Агрофирма «Пурсей» - показывает, на сколько эффективно и прибыльно используются средства собственника.

Четвертый показатель (X3) - рентабельность оборотного капитала МП Агрофирма «Пурсей» - иллюстрирует способность компании получать прибыль от осуществления основной деятельности, т.е. своих обычных хозяйственных операций.

Таблица 1 Исходные данные

Временной период	1	2	3	4	5	6	7
Рентабельность собственного капитала (У)	1,352	1,499	1,124	-0,211	-0,094	-0,15	-0,219
Рентабельность основной деятельности (X1)	0,553	-0,408	-1,954	-0,879	0,374	-0,014	-0,014
Рентабельность всех операций по прибыли до налогообложения (Х2)	0,538	-0,344	-1,19	-0,301	0,344	0,055	0,556
Рентабельность оборотного капитала (X3)	0,586	-0,115	-0,352	-0,220	-0,101	-0,149	-0,207

1.2 Числовые характеристики вариационных рядов

В данном разделе для доказательства отсутствия мультиколлиниарности факторов рассчитывается коэффициент парной корреляции, отражающий характер стохастической линейной связи между ними. Таблица 2 соответствует матрице корреляции размерности 3 x 3, которая заполнена в соответствии со свойствами её элементов по данным таблицы1.

Таблица 2 Коэффициенты парной корреляции

	Y	X1	X2	X3
Y	1	-0,193	-0,353	0,413
X1	-0,193	1	0,946	0,657
X2	-0,353	0,946	1	0,573
X3	0,413	0,657	0,573	1

Коэффициенты корреляции между результативным показателем ЗАО «Гелиос» и факторными признаками второго предприятия, не превышающие абсолютной величины значения 0,85. Для статистического исследования показателей как случайных величин (вариационных рядов) может быть использована система числовых характеристик, сравнительный анализ которых позволяет важные выводы о свойствах и закономерностях соответствующих финансовых процессов в целях формирования адекватных экономических моделей. К таким характеристикам можно отнести средние величины, показатели вариации, показатели формы распределения и показатели взаимосвязи.

Таблица 3 Коэффициенты средних величин

Показатель	Среднее арифметическое	Мода	Медиана
Y	0,472	-	-0,094
X1	-0,335	-0,014	-0,014
X2	-0,049	-	0,055
X3	-0,080	-	-0,149

Анализируя полученные значения таблицы 3, можно сделать вывод об отрицательной прибыльности, отражающей убыточность данного предприятия. Мода рентабельности основной деятельности показывает, что в 6 и 7 периоде показатель остается на прежнем уровне. Среднее значение этого же показателя говорит об убыточности. Среднее значение рентабельности всех операций по прибыли до налогообложения характеризует отрицательную прибыль организации, хотя в целом имеет место тенденция роста показателей и возможность увеличения прибыли. Рентабельность основного капитала показывает не эффективное использование капитала текущих активов организации, что говорит об убытках и издержках производства.

Таблица 4 Коэффициенты вариации

Показатель	Минимальное значение	Максимальное значение	Размах ряда	Дисперсия	Стандартное отклонение	Коэффициент вариации
Y	-0,219	1,499	1,718	0,6509	0,807	1,711
X1	-1,954	0,553	2,507	0,7366	0,858	-2,565
X2	-1,190	0,556	1,746	0,3880	0,623	-12,750
X3	-0,352	0,586	0,938	0,0933	0,305	-3,831

Показателями формы распределения случайных величин считаются коэффициенты асимметрии и эксцесса, расчётные величины которых приведены в таблице 5.

Таблица 5

Показатель	Асимметрия	Эксцесс
Y	0,434	-2,545
X1	-1,213	1,359
X2	-1,006	0,748
X3	2,208	5,464

Асимметрия рентабельность собственного капитала ЗАО «Гелиос» и рентабельность оборотного капитала второго предприятия положительная, что указывает на наличие правосторонней асимметрии, т.е. в выборке показателей с положительным отклонением от среднего больше, следовательно, можно предположить наличие резервов увеличения данных показателей. А асимметрия уровня рентабельности основной деятельности и рентабельность всех операций по прибыли до налогообложения МП Агрофирма «Пурсей» - отрицательная, т.е. присутствует левосторонняя асимметрия, из чего следует, что в выборке показателей с отрицательным отклонением от среднего больше. Положительное значение эксцесса для показателей Х1, Х2 и Х3 свидетельствуют о том, что в данных выборках преобладают значения, несущественно отличающиеся от среднего, а в выборке показателя Y частоты значительных и незначительных отклонений значений от среднего примерно одинаковы по сравнению с эталонным (нормальным) распределением.

2. Корреляционно-регрессионный анализ исследуемых показателей

2.1 Исключение грубоошибочных данных

Аномальные (грубоошибочные) данные существенно искажают точность моделирования. Поэтому необходимо исключить их из выборок с использованием критерия Груббса.

Таблица 6 Критерий Груббса

Период	Y	Абсолютное отклонение от среднего	Х1	Абсолютное отклонение от среднего	Х2	Абсолютное отклонение от среднего	Х3	Абсолютное отклонение от среднего
1	1,352	0,880	0,553	0,888	0,538	0,587	0,586	0,666
2	1,499	1,027	-0,408	0,073	-0,344	0,295	-0,115	0,035
3	1,124	0,652	-1,954	1,619	-1,19	1,141	-0,352	0,272
4	-0,211	0,683	-0,879	0,544	-0,301	0,252	-0,220	0,140
5	-0,094	0,566	0,374	0,709	0,344	0,393	-0,101	0,021
6	-0,15	0,622	-0,014	0,321	0,055	0,104	-0,149	0,069
7	-0,219	0,691	-0,014	0,321	0,556	0,605	-0,207	0,127
Среднее значение	0,472		-0,335		-0,049		-0,080
Среднее квадратичное отклонение	0,807		0,858		0,623		0,305
Критерий Груббса	1,273		1,887		1,832		2,180

Поскольку расчетное значение критерия Груббса больше табличного это значит, что присутствуют грубоошибочные данные. Исключив аномальные наблюдения в 5 периоде, пересчитываем критерий Груббса.

Таблица 7 Критерий Груббса

Период	Y	Абсолютное отклонение от среднего	Х1	Абсолютное отклонение от среднего	Х2	Абсолютное отклонение от среднего	Х3	Абсолютное отклонение от среднего
1	1,352	0,880	0,553	0,888	0,538	0,587	0,586	0,666
2	1,499	1,027	-0,408	0,073	-0,344	0,295	-0,115	0,035
3	1,124	0,652	-1,954	1,619	-1,19	1,141	-0,352	0,272
4	-0,211	0,683	-0,879	0,544	-0,301	0,252	-0,220	0,140
6	-0,15	0,622	-0,014	0,321	0,055	0,104	-0,149	0,069
7	-0,219	0,691	-0,014	0,321	0,556	0,605	-0,207	0,127
Среднее значение	0,566		-0,453		-0,114		-0,076
Среднее квадратичное отклонение	0,841		0,876		0,655		0,334
Критерий Груббса	1,222		1,849		1,741		1,991

Табличное значение критерия Груббса составляет 2,17. Рассчитанные значения критерия Груббса из таблицы 7 не превышают данного показателя, следовательно, выборочные значения не содержат аномальных наблюдений.

2.2 Проверка на нормальность распределения

Проверка на нормальность распределения предусматривает проверку следующей системы неравенств:

,

Где , - средние квадратичные ошибки асимметрии и эксцесса, определяемые следующим образом:

,

Подставив полученные значения в систему неравенств, получим следующие данные:

По результатам расчётов неравенства выглядят следующим образом:

- для Y:

- для Х1: ;

- для Х2:

- для Х3:

Следовательно, по предварительным расчётам можно сделать вывод, что изучаемые ряды подчиняются нормальному закону распределения.

Для уточнения результатов необходимо провести проверку по критериям К. Пирсона, В.И. Романовского и А.Н. Колмогорова. Основные этапы соответствующего алгоритма и результаты расчётов можно интерпретировать следующим образом.

Этап 1. Определение количества интервалов, на которые разбивается выборка в 7 наблюдений.

Этап 2. Расчёт шага интервала

В таблице 7 приведены исходные данные и итоги расчётов вышеперечисленных этапов для результативного показателя Y.

Таблица 8

Среднее квадратичное отклонение	0,841	Среднее значение	0,566	Количество интервалов	3,585
Максимальное значение	1,499	Минимальное значение	-0,219	Шаг интервала	0,430

Этап 3. Формирование границ интервалов (t_j^в - верхняя граница интервала, t_j^н - нижняя).

Этап 4. Определение нормированных отклонений от верхних и нижних границ интервалов (t_j^в', t_j^н')

Этап 5. Определение эмпирических частот (f_j)

Итоги расчётов вышеперечисленных трёх этапов для результативного показателя представлены в таблице 9.

Таблица 9

tн	tв	t'н	t'в	F(t'н)	F(t'в)
-0,219	0,211	-0,933	-0,423	0,175	0,336
0,211	0,641	-0,422	0,089	0,336	0,535
0,641	1,071	0,089	0,600	0,536	0,726
1,071	1,501	0,600	1,111	0,726	0,867

Этап 6. Расчёт вероятности попадания случайных величин в каждый интервал (P_j).

Этап 7. Расчёт теоретических частот (f_j').

Этап 8. Определение критериев согласия и проверка выдвинутой гипотезы о соответствии эмпирического распределения теоретическому.

В таблице 9 приведены итоги определения параметров критериев согласия.

Таблица 10

Pj	f ' j	f j	(f j-f ' j)^2/f ' j	Сумма f ' j	Сумма f j	ABS (Сумма f ' j-Сумма f j)
0,161	0,966	3	4,285	0,966	3	2,034
0,199	1,193	0	1,193	2,159	3	0,841
0,190	1,141	0	1,141	3,300	3	0,300
0,141	0,845	3	5,495	4,145	6	1,855

Расчётное значение критерия К. Пирсона для результативного показателя Y составляет:

.

Этот коэффициент значительно превышает табличные значения при числе степеней свободы 1 (f = k - 3) независимо от уровня доверительной вероятности. Следовательно, расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами существенно и его нельзя объяснить колебаниями выборочных данных, т.е. гипотеза о близости эмпирического распределения нормальному отвергается.

Значение критерия В.И. Романовского составляет:

.

Данная величина превышает значения 3, следовательно, выдвинутая гипотеза принимается.

Критерий А.Н. Колмогорова равен:

;

где D = max = 4,43.

Выполнение условия по критерию Колмогорова (4,43 > 2/) при уровне доверительной вероятности 0,9993 позволяет сделать вывод, что исследуемое распределение подчиняется нормальному закону распределения.

Аналогичную проверку по критериям К. Пирсона, В.И. Романовского и А.Н. Колмогорова необходимо провести по всем факторным показателям.

Расчёт критериев согласия и проверка выдвинутой гипотезы о соответствии эмпирического распределения теоретическому для Х1:

Таблица 11

Среднее квадратичное отклонение	0,876	Среднее значение	-0,453	Количество интервалов	3,585
Максимальное значение	0,553	Минимальное значение	-1,954	Шаг интервала	0,627

Таблица 12

tн	tв	t'н	t'в	F(t'н)	F(t'в)
-1,954	-1,327	-1,713	-0,998	0,043	0,159
-1,327	-0,700	-0,998	-0,282	0,159	0,389
-0,700	-0,073	-0,282	0,434	0,389	0,668
-0,073	0,554	0,434	1,149	0,668	0,875

Таблица 13

Pj	f ' j	f j	(f j-f ' j)^2/f ' j	Сумма f ' j	Сумма f j	ABS (Сумма f ' j-Сумма f j)
0,116	0,695	1	0,134	0,695	1	0,305
0,230	1,378	1	0,104	2,073	2	0,073
0,279	1,672	1	0,270	3,745	3	0,745
0,207	1,242	3	2,489	4,987	6	1,013

Расчётное значение критерия К. Пирсона для результативного показателя Х1 составляет:

2,997.

Этот коэффициент превышает табличные значения при числе степеней свободы 1 (f = k - 3 = 4 - 1) независимо от уровня доверительной вероятности. Следовательно, расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами существенно и его нельзя объяснить колебаниями выборочных данных, т.е. гипотеза о близости эмпирического распределения нормальному отвергается.

Значение критерия В.И. Романовского составляет:

.

Данная величина не превышает значения 3, следовательно, выдвинутая гипотеза не принимается.

Критерий А.Н. Колмогорова равен:

;

где D = max = 0,5.

Невыполнения условия по критерию Колмогорова (0,5 > 2/) при уровне доверительной вероятности 0,9993 позволяет сделать вывод, что исследуемое распределение не подчиняется нормальному закону распределения.

Расчёт критериев согласия и проверка выдвинутой гипотезы о соответствии эмпирического распределения теоретическому для Х2:

Таблица 14

Среднее квадратичное отклонение	0,655	Среднее значение	-0,114	Количество интервалов	3,585
Максимальное значение	0,556	Минимальное значение	-1,19	Шаг интервала	0,437

Таблица 15

tн	tв	t'н	t'в	F(t'н)	F(t'в)
-1,19	-0,754	-1,643	-0,976	0,050	0,164
-0,754	-0,318	-0,977	-0,311	0,164	0,378
-0,318	0,119	-0,311	0,355	0,378	0,639
0,119	0,556	0,356	1,022	0,639	0,847

Таблица 16

Pj	f ' j	f j	(f j-f ' j)^2/f ' j	Сумма f ' j	Сумма f j	ABS (Сумма f ' j-Сумма f j)
0,114	0,685	1	0,144	0,685	1	0,315
0,214	1,283	1	0,062	1,968	2	0,032
0,261	1,566	2	0,120	3,534	4	0,466
0,208	1,246	2	0,456	4,780	6	1,220

Расчётное значение критерия К. Пирсона для результативного показателя (Х2) составляет:

0,782.

Этот коэффициент превышает табличные значения при числе степеней свободы 1 (f = k - 3 = 4 - 1) независимо от уровня доверительной вероятности. Следовательно, расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами существенно и его нельзя объяснить колебаниями выборочных данных, т.е. гипотеза о близости эмпирического распределения нормальному отвергается.

Значение критерия В.И. Романовского составляет:

.

Данная величина не превышает значения 3, следовательно, выдвинутая гипотеза не принимается.

Критерий А.Н. Колмогорова равен:

;

где D = max = 2,033.

Выполнение условия по критерию Колмогорова (2,033 > 2/) при уровне доверительной вероятности 0,9993 позволяет сделать вывод, что исследуемое распределение подчиняется нормальному закону распределения.

Расчёт критериев согласия и проверка выдвинутой гипотезы о соответствии эмпирического распределения теоретическому для Х3:

Таблица 17

Среднее квадратичное отклонение	0,334	Среднее значение	-0,076	Количество интервалов	3,585
Максимальное значение	0,586	Минимальное значение	-0,352	Шаг интервала	0,235

Таблица 18

tн	tв	t'н	t'в	F(t'н)	F(t'в)
-0,352	-0,118	-0,826	-0,124	0,204	0,451
-0,118	0,117	-0,126	0,576	0,450	0,718
0,117	0,352	0,578	1,280	0,718	0,900
0,352	0,587	1,281	1,984	0,900	0,976

Таблица 19

Pj	f ' j	f j	(f j-f ' j)^2/f ' j	Сумма f ' j	Сумма f j	ABS (Сумма f ' j-Сумма f j)
0,246	1,478	4	4,306	1,478	4	2,522
0,268	1,607	1	0,229	3,085	5	1,915
0,181	1,088	0	1,088	4,173	5	0,827
0,076	0,458	1	0,641	4,631	6	1,369

Расчётное значение критерия К. Пирсона для результативного показателя (Х3) составляет:

6,264.

Этот коэффициент значительно превышает табличные значения при числе степеней свободы 1 (f = k - 3 = 4 - 1) независимо от уровня доверительной вероятности. Следовательно, расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами существенно и его нельзя объяснить колебаниями выборочных данных, т.е. гипотеза о близости эмпирического распределения нормальному отвергается.

Значение критерия В.И. Романовского составляет:

.

Данная величина превышает значения 3, следовательно, выдвинутая гипотеза принимается.

Критерий А.Н. Колмогорова равен:

;

где D = max = 6,633.

Выполнение условия по критерию Колмогорова (6,633 > 2/) при уровне доверительной вероятности 0,9993 позволяет сделать вывод, что исследуемое распределение подчиняется нормальному закону распределения.

2.3 Парный корреляционный анализ системы показателей

В данном разделе представлены графики полей корреляции, отражающие зависимость между результативным показателем и факторными признаками, а также изображены эллипсы рассеяния, позволяющие сделать предварительные выводы о наличии и характере стохастической зависимости.

На рис. 2.1, 2.2, 2.3 приведены соответствующие графики по данным таблицы 1.



Рис. 2.1 Корреляционная зависимость между Y и X1

Рис. 2.2 Корреляционная зависимость между Y и X2

Рис. 2.3 Корреляционная зависимость между Y и X3

Характер расположения точек корреляционных полей позволяет сделать предварительный вывод об отсутствии линейной зависимости между факторными признаками и результативным показателем. Проверку значимости парных коэффициентов корреляции для обоснования выбора фактора, оказывающего наиболее существенное влияние на изменение результативного признака лучше осуществлять аналитическим способом, более точного по сравнению с графическим.

Значимость линейного парного коэффициента корреляции, т.е. гипотеза об отсутствии в генеральной совокупности наблюдений линейной корреляционной зависимости, проверенная по t-критерию Стьюдента , представлена в таблице 20.

Таблица 20 Расчётные значения критерия Стьюдента

X1	0,182
X2	0,610
X3	0,938

Расчётные значения данного критерия не превышают табличное, равное 4,604 при уровне значимости 1% и числе степеней свободы 4 (f = 6-2). Следовательно, гипотеза об отсутствии в генеральной совокупности наблюдений линейной корреляционной зависимости принимается, т.е. выводы считаются незначимыми. В данном случае зависимыми от объёма выборки.

2.4 Регрессионный анализ показателей

Рентабельность оборотного капитала (X3) оказывает наиболее сильное влияние на изменение результативного показателя, так как ему соответствует максимальное по абсолютной величине значение парного коэффициента корреляции.



Рис. 2.4

Рис. 2.5

Рис. 2.6

Из множества построенных уравнений регрессии уравнения полиномиальное 2 и 3 порядка уравнение парной регрессии являются наиболее качественными по критерию максимума достоверности аппроксимации R^2.

Значимость уравнения определяется возможностью надёжного прогноза результативного показателя по значениям факторных признаков. Поэтому важным этапом является проверка значимости уравнения регрессии по критерию Фишера.

Для выбора лучшего уравнения регрессии (из множества значимых) могут быть использованы следующие критерии их качества:

- минимум остаточной дисперсии;

- минимум корреляционного отношения:

;

- минимум относительной ошибки аппроксимации:

Уравнения регрессии затем необходимо ранжировать по данным критериям. Минимальная сумма баллов соответствует лучшему уравнению регрессии.

Таблица 21

У = 1,0675x + 0,6471

Периоды	Фактическое значение (Y ф)	Значение X	Теоретическое значение (Y т)	(Yф - Yт)^2	ABS ((Yф - Yт) / Yф)
1	1,352	0,586	1,273	0,006	0,059
2	1,499	-0,115	0,524	0,950	0,650
3	1,124	-0,352	0,271	0,727	0,759
4	-0,211	-0,220	0,412	0,388	2,954
5	-0,15	-0,149	0,488	0,407	4,254
6	-0,219	-0,207	0,426	0,416	2,946
Сумма				2,895	11,621
S^2y	0,706
S^2 ост	0,579
F	1,220
E	1,937
k	0,905

Таблица 22

У = 3,3041x2 + 0,0127x + 0,2397

Периоды	Фактическое значение (Y ф)	Значение X	Теоретическое значение (Y т)	(Yф - Yт)^2	ABS ((Yф - Yт) / Yф)
1	1,352	0,586	1,382	0,001	0,022
2	1,499	-0,115	0,282	1,481	0,812
3	1,124	-0,352	0,645	0,230	0,426
4	-0,211	-0,220	0,397	0,369	2,881
5	-0,15	-0,149	0,311	0,213	3,074
6	-0,219	-0,207	0,379	0,357	2,729
Сумма				2,651	9,945
S^2y	0,706
S^2 ост	0,530
F	1,332
E	1,657
k	0,866

Сравнивая табличное значение критерия Фишера (при уровне значимости 5% составляющее 4,28) с расчётными критериями, можно сделать вывод о том, что в обоих уравнениях принимается выдвинутая гипотеза о значимости уравнений регрессии, так как расчётные значения критерия меньше табличного.

Таблица 23

У = -137,73x3 + 16,759x2 + 32,24x + 4,4217

Периоды	Фактическое значение (Y ф)	Значение X	Теоретическое значение (Y т)	(Yф - Yт)^2	ABS ((Yф - Yт) / Yф)
1	1,352	0,586	1,354	0,000	0,001
2	1,499	-0,115	1,145	0,125	0,236
3	1,124	-0,352	1,157	0,001	0,029
4	-0,211	-0,220	-0,393	0,033	0,865
5	-0,15	-0,149	0,446	0,355	3,971
6	-0,219	-0,207	-0,312	0,009	0,426
Сумма				0,523	5,528
S^2y	0,706
S^2 ост	0,105
F	6,754
E	0,921
k	0,385

Сравнивая табличное значение критерия Фишера (при уровне значимости 5% составляющее 4,21) с расчётными критериями, можно сделать вывод о том, что в этом уравнении не принимается выдвинутая гипотеза о значимости уравнений регрессии, так как расчётные значения критерия больше табличного.

В таблице 24 представлены значения всех критериев оценки качества построенных уравнений и результаты их ранжирования.

Таблица 24

	Y=1,0675*X+0,6471	Y=3,3041*X^2+0,0127*X+0,2397	Y=-137,73*X^3+16,759*X^2+32,24*X+4,4217
E	1,937	3	1,657	2	0,929	1
k	0,905	3	0,866	2	0,385	1
S 2 ост	0,579	3	0,530	2	0,105	1

Таким образом, можно сделать вывод, что лучшим уравнением является 3 (полиномиальное уравнение 3 порядка), так как ему соответствует наименьшее суммарное количество баллов. Кроме парного, целесообразно также провести множественный регрессионный анализ, построив линейное уравнение множественной регрессии и оценив его значимость.

Таблица 25

2,033752547	-1,7527	0,5943	0,78937
1,500367542	1,61382	1,3789	0,50152
0,686728594	0,74383	#Н/Д	#Н/Д
1,4614135	2	#Н/Д	#Н/Д
2,425703141	1,10656	#Н/Д	#Н/Д

Следовательно, множественное уравнение регрессии имеет следующий вид:

Y = 0,5943*Х1 -1,7527*Х2 +2,0338*Х3 + 0,7894.

Результаты расчётов по функции «ЛИНЕЙН» можно интерпретировать следующим образом:

1) b_j 2,0338; -1,7527; 0,5943 - значения коэффициентов регрессии соответственно факторов Х3, Х2, Х1, отражающие степень абсолютного изолирования влияния факторов на изменение результативного показателя;

2) 0,7894 - постоянная уравнения регрессии;

3) 1,5004; 1,6138; 1,3789 - стандартные значения ошибок для коэффициентов регрессии, позволяющие оценить истинные значения соответствующих показателей;

4) 0,6867 - коэффициент детерминированности (его достаточно большое расхождение от единичного значения свидетельствует о значительных расхождениях между фактическими и оценочными значениями Y);

5) 0,50152 - стандартное значение ошибки для постоянной;

6) 1,4614 - используется для определения для того, является ли табличная взаимосвязь между зависимой и независимой переменными случайной или нет, в данном случае невозможно предположить закономерность такой взаимосвязи;

7) 2 - число степеней свободы;

8) 2,4257 - регрессионная сумма квадратов;

9) 1,107 - остаточная сумма квадратов.

Для оценки степени относительного влияния факторов на динамику результативного показателя целесообразно рассчитать коэффициенты эластичности:

Для первого фактора: ;

Для второго фактора: ;

Для третьего фактора: .

Следовательно, при увеличении Х1 на 1% результативный показатель увеличится на 162,8%, а при увеличении Х2 на 1% - на 35,30%. Негативное влияние на изменение Y оказывает динамика фактора Х3, так как соответствующий коэффициент эластичности составляет -0,0798.

2.5 Исследование остатков регрессионных моделей

Величина остатков регрессионной модели рассчитывается по лучшему уравнению, выбранному экспертным способом, в данном случае по уравнению Y=-137,73*X^3+16,759*X^2+32,24*X+4,4217. Результаты соответствующих расчетов приведены в таблице 26.

Таблица 26

Рентабельность оборотного капитала (Х3)	Рентабельность собственного капитала (Уф)	Теоретические значения результативного показателя (УТ)	Остатки модели Еt	Дисперсии остатков
0,586	1,352	1,354	-0,002	0,000003
-0,115	1,499	1,145	0,354	0,125260
-0,352	1,124	1,157	-0,033	0,001062
-0,220	-0,211	-0,393	0,182	0,033322
-0,149	-0,15	0,446	-0,596	0,354599
-0,207	-0,219	-0,312	0,093	0,008718
			-0,0001282

Рис. 2.7 Поле корреляции остатков от исследуемых показателей

Рис. 2.8 Поле корреляции остатков от исследуемых показателей

Отсутствие закономерности между случайными остатками и те6оретическими значениями результативного показателя с одной стороны, и с факторным признаком - с другой (Рис. 2.7 и Рис. 2.8) позволяют сделать выводы о случайном характере остатков и об их независимости от рентабельности собственного капитала.

Согласно данным, приведённым в таблице 26, можно сделать вывод о том, что требование гомоскедастичности остатков выполняется.

В таблице 26 представлены данные расчёта критерия Дарбина-Уотсона, который доказывает наличие или отсутствие автокорреляции остатков:

.

Таблица 27

Еt	Еt^2	(Еt-Е (t-1))^2	Коэффициент Дарбина-Уотсона
-0,002	0,000004		1,237
0,354	0,125316	0,125
-0,033	0,001089	0,025
0,182	0,033124	0,033
-0,596	0,355216	0,396
0,093	0,008649	0,069

Параметры d₁ и d_u при уровне значимости 5%, объеме выборки, равном 6, и одном факторе регрессионной модели составляют соответственно 0,61 и 1,40. Так как расчётное значение коэффициента Дарбина-Уотсона попадает во вторую зону (зону неопределённости), то гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отклоняется.

3. Сглаживание динамических рядов

3.1 Аналитическое сглаживание

Аналитическое сглаживание предусматривает построение в аналитической форме уравнения тренда, единственным отличием которого от уравнения регрессии является то, что в качестве независимой переменной рассматривается время.

Для У:

Рис. 3.1

Рис. 3.2



Рис. 3.3

Рис. 3.4

Рис. 3.5

Необходимые расчеты оценки параметров каждого из уравнений представлены в таблицах 28, 29,30.

Таблица 28

У = -0,4714x + 2,137

R2 = 0,7956

Фактическое значение(Уф)	Временной период	Теоретическое значение (УТ)	(Уф-УТ)^2
1,352	1	1,666	0,098
1,499	2	1,194	0,093
1,124	3	0,723	0,161
-0,211	4	0,251	0,214
-0,150	5	-0,220	0,005
		сумма	0,571
		S 2 ост	0,11418464

Таблица 29

Y = -0,0809x^2 + 0,0137x + 1,571

R2 = 0,8284

Фактическое значение(Уф)	Временной период	Теоретическое значение (УТ)	(Уф-УТ)^2
1,352	1	1,504	0,023
1,499	2	1,275	0,050
1,124	3	0,884	0,058
-0,211	4	0,331	0,294
-0,150	5	-0,383	0,054
		сумма	0,479
		S 2 ост	0,096

Таблица 30

У= 0,1598x^3 - 1,5194x^2 + 3,7858x - 1,1142

R2 = 0,9601

Фактическое значение(Уф)	Временной период	Теоретическое значение(УТ)	(Уф-УТ)^2
1,352	1	1,312	0,002
1,499	2	1,658	0,025
1,124	3	0,883	0,058
-0,211	4	-0,054	0,025
-0,150	5	-0,195	0,002
		сумма	0,112
		S 2 ост	0,022

Для Х1:

Рис. 3.6

Рис. 3.7

Рис. 3.8



Рис. 3.9

Рис. 3.10

Необходимые расчеты оценки параметров каждого из уравнений представлены в таблицах 31,32,33.

Таблица 31

У= -0,3268Ln(x) - 0,0943

R2 = 0,0612

Фактическое значение (Уф)	Временной период	Теоретическое значение (УТ)	(Уф-УТ)^2
0,553	1	-0,094	0,419
-0,408	2	-0,321	0,008
-1,954	3	-0,453	2,252
-0,879	4	-0,547	0,110
-0,014	5	-0,620	0,368
		сумма	3,156
		S 2 ост	0,631

Таблица 32

У = 0,258x^2 - 1,8226x + 2,0133

R2 = 0,6495

Фактическое значение (Уф)	Временной период	Теоретическое значение (УТ)	(Уф-УТ)^2
0,553	1	0,449	0,011
-0,408	2	-0,600	0,037
-1,954	3	-1,133	0,675
-0,879	4	-1,149	0,073
-0,014	5	-0,650	0,404
		сумма	1,200
		S 2 ост	0,240

Таблица 33

У = -0,0916x3 + 1,2198x2 - 4,7264x + 4,3217

R2 = 0,7913

Фактическое значение (Уф)	Временной период	Теоретическое значение (УТ)	(Уф-УТ)^2
0,553	1	0,449	0,011
-0,408	2	-0,600	0,037
-1,954	3	-1,133	0,675
-0,879	4	-1,149	0,073
-0,014	5	-0,650	0,404
		сумма	1,200
		S 2 ост	0,240

Для Х2:

Рис. 3.11



Рис. 3.12

Рис. 3.13

Рис. 3.14



Рис. 3.15

Необходимые расчеты оценки параметров каждого из уравнений представлены в таблицах 34,35,36.

Таблица 34

У= 0,0622x - 0,3319

R2 = 0,0315

Фактическое значение (Уф)	Временной период	Теоретическое значение (УТ)	(Уф-УТ)^2
0,538	1	-0,270	0,652
-0,344	2	-0,208	0,019
-1,19	3	-0,145	1,091
-0,301	4	-0,083	0,047
0,055	5	-0,021	0,006
		сумма	1,816
		S 2 ост	0,363

Таблица 35

У= 0,2093x^2 - 1,4032x + 1,6219

R2 = 0,7931

Фактическое значение (Уф)	Временной период	Теоретическое значение (УТ)	(Уф-УТ)^2
0,538	1	0,428	0,012
-0,344	2	-0,347	0,000
-1,19	3	-0,704	0,236
-0,301	4	-0,642	0,116
0,055	5	-0,162	0,047
		сумма	0,412
		S 2 ост	0,082

Таблица 36

У= -0,058x^3 + 0,8179x^2 - 3,2403x + 3,0823

R2 = 0,8944

Фактическое значение (Уф)	Временной период	Теоретическое значение (УТ)	(Уф-УТ)^2
0,538	1	-5,879	41,174
-0,344	2	-3,831	12,159
-1,19	3	-0,844	0,120
-0,301	4	2,736	9,222
0,055	5	6,559	42,301
		сумма	104,976
		S 2 ост	20,995

Для Х3:

Рис. 3.16

Рис. 3.17



Рис. 3.18

Рис. 3.19

Рис. 3.20

Необходимые расчеты оценки параметров каждого из уравнений представлены в таблицах 37,38,39.

Таблица 37

У= -0,4013Ln(x) + 0,3638

R2 = 0,6322

Фактическое значение(Уф)	Временной период	Теоретическое значение(УТ)	(Уф-УТ)^2
0,586	1	0,364	0,049
-0,115	2	0,086	0,040
-0,352	3	-0,077	0,076
-0,220	4	-0,193	0,001
-0,149	5	-0,282	0,018
		сумма	0,184
		S 2 ост	0,037

Таблица 38

У = 0,0794x^2 - 0,6683x + 1,0585

R2 = 0,8166

Фактическое значение(Уф)	Временной период	Теоретическое значение(УТ)	(Уф-УТ)^2
0,586	1	0,417	0,028
-0,115	2	-0,277	0,026
-0,352	3	-0,937	0,342
-0,220	4	-1,611	1,934
-0,149	5	-2,281	4,546
		сумма	6,877
		S 2 ост	1,375

Таблица 39

У= -0,0394x^3 + 0,4931x^2 - 1,9172x + 2,0513

R2 = 0,9965

Фактическое значение(Уф)	Временной период	Теоретическое значение(УТ)	(Уф-УТ)^2
0,586	1	0,588	0,000003
-0,115	2	-0,126	0,000119
-0,352	3	-0,326	0,000666
-0,220	4	-0,250	0,000870
-0,149	5	-0,132	0,000282
		сумма	0,001940
		S 2 ост	0,000388

3.2 Сглаживание методом скользящей средней

Вместо фактических уровней ряда используется их среднее значение, рассчитанное за определённый интервал сглаживания. При проведении расчётов период сглаживания принят равным 3 и 5 кварталам.

В таблице 40 приведены результаты сглаживания результативного показателя.

Таблица 40

Фактические значения	Сглаживание значения
	к=3	к=5
1,352
1,499	1,33
1,124	0,80	0,72
-0,211	0,25
-0,15	-0,18

Рис. 3.21 Сглаживание на основе скользящих средних для Y

В таблице 41 приведены результаты сглаживания первого факторного показателя (Х1).

Таблица 41

Фактические значения	Сглаживание значения
	к=3	к=5
0,553
-0,408	-0,60
-1,954	-1,08	-0,54
-0,879	-0,95
-0,014

Рис. 3.21 Сглаживание на основе скользящих средних для Х1

В таблице 42 приведены результаты сглаживания второго факторного показателя Х2.

Таблица 42

Фактические значения	Сглаживание значения
	к=3	к=5
0,538
-0,344	-0,33
-1,19	-0,61	-0,25
-0,301	-0,48
0,055



Рис. 3.22 Сглаживание на основе скользящих средних для Х2

В таблице 43 приведены результаты сглаживания второго факторного показателя Х3.

Таблица 43

Фактические значения	Сглаживание значения
	к=3	к=5
0,586
-0,115	0,04
-0,352	-0,23	-0,05
-0,220	-0,24
-0,149

Рис. 3.23 Сглаживание на основе скользящих средних для Х3

3.3 Экспоненциальное сглаживание динамического ряда

Сущность этого метода раскрывают его основные характеристики - экспоненциальные средние. Эти средние учитывают различия в степени влияния ретроспективных уровней ряда на их прогнозные значения, а именно, уменьшение значимости от конца временного ряда к его началу по экспоненте.

Для У:

Таблица 44

У = -0,4714x + 2,137

Временные периоды	Фактические значения	Экспоненциальные средние
		1-го порядка	2-го порядка
0		1,262	0,386
1	1,352	1,293	0,704
2	1,499	1,365	0,935
3	1,124	1,281	1,056
4	-0,211	0,759	0,952
5	-0,15	0,441	0,773
6	-0,219	0,210	0,576

Для Х1:

Таблица 45

У= -0,0165x - 0,3949

Временные периоды	Фактические значения	Экспоненциальные средние
		1-го порядка	2-го порядка
0		-0,364	-0,334
1	0,553	-0,043	-0,232
2	-0,408	-0,171	-0,211
3	-1,954	-0,795	-0,415
4	-0,879	-0,824	-0,558
5	-0,014	-0,541	-0,552
6	-0,014	-0,356	-0,484

Для Х2:

Таблица 46

У= 0,0622x - 0,3319

Временные периоды	Фактические значения	Экспоненциальные средние
		1-го порядка	2-го порядка
0		-0,216	-0,101
1	0,538	0,048	-0,049
2	-0,344	-0,089	-0,063
3	-1,19	-0,475	-0,207
4	-0,301	-0,414	-0,279
5	0,055	-0,250	-0,269
6	0,556	0,032	-0,164

Для Х3:

Таблица 47

У = -0,1124x + 0,3173

Временные периоды	Фактические значения	Экспоненциальные средние
		1-го порядка	2-го порядка
0		0,109	-0,100
1	0,586	0,276	0,031
2	-0,115	0,139	0,069
3	-0,352	-0,033	0,033
4	-0,220	-0,098	-0,013
5	-0,149	-0,116	-0,049
6	-0,207	-0,148	-0,084

4. Прогнозирование основных тенденций изменения показателей

4.1 Прогнозирование методом экстраполяции

Интервальный и точечный прогнозы с оценкой их качества необходимо выполнить по лучшему уравнению тренда на 1 квартал вперед. Согласно проведенным ранее расчетам, для прогнозирования результативного показателя необходимо выбрать линейное уравнение тренда.

Прогнозируемое значение уровня рентабельности собственного капитала за исследуемым квартал составляет 0,6914 (=-0,4714*6 +2,137), фактическое (на 01.01.1999 г.) - - 0,15. Следовательно, абсолютная ошибка составляет 0,5414 (=|0,15-0,6914|), относительная - 360,9% . При средней квадратичной ошибке аппроксимации линейного уравнения тренда 0,7956 прогнозное значение показателя с доверительной вероятностью 5% будет находиться в пределах от -1,414 (=-0,6914-2,571*0,7956) до 1,354 (-0,6914+2,571*0,7956). Так как фактическое значение уровня рентабельности собственного капитала ЗАО «Гелиос» принадлежит интервальному прогнозу, то точечный прогноз можно считать качественным.

Прогнозируемое значение факторного показателя (Х₁) составляет -0,4939 (=-0,0165*6+0,3949), фактическое (на 01.01.1999 г.) - -0,014. Следовательно, абсолютная ошибка составляет 0,4799 (=|-0,014+0,4939|). При средней квадратичной ошибке аппроксимации линейного уравнения тренда 0,0012 прогнозное значение показателя с доверительной вероятностью 5% будет находиться в пределах от -0,497 (-0,4939-2,571*0,0012) до -0,4908 (-0,4939+2,571*0,0012). Так как фактическое значение Х1 не принадлежит интервальному прогнозу, то точечный прогноз считается некачественным.

Прогнозируемое значение факторного показателя (Х₂) составляет 0,0413 (=0,0622*6-0,3319), фактическое (на 01.01.1999 г.) - 0,055. Следовательно, абсолютная ошибка составляет 0,0137 (=|0,055-0,0413|). При средней квадратичной ошибке аппроксимации линейного уравнения тренда 0,0315 прогнозное значение показателя с доверительной вероятностью 5% будет находиться в пределах от -0,397 (0,0413-2,571*0,0315) до 0,1223 (0,0413+2,571*0,0315). Так как фактическое значение Х2 принадлежит интервальному прогнозу, то точечный прогноз считается качественным.

Прогнозируемое значение уровня собственного капитала (Х₃) составляет -0,3571 (=-0,1124*6+0,3173), фактическое (на 01.01.1999 г.) - -0,149. Следовательно, абсолютная ошибка составляет 0,2081 (=|-0,1490,3571|). При средней квадратичной ошибке аппроксимации линейного уравнения тренда 0,3956 прогнозное значение показателя с доверительной вероятностью 5% будет находиться в пределах от -1,3742 (-0,3571-2,571*0,3956) до 0,66 (-0,3571+2,571*0,3956). Так как фактическое значение Х3 принадлежит интервальному прогнозу, то точечный прогноз считается качественным.

4.2 Прогнозирование на основе экспоненциального сглаживания

Данный метод прогнозирования позволяет оценить качество прогноза до того, как произошло событие, т.е. априорно.

Использование экспоненциальных средних для прогнозирования результативного показателя отражено в таблице 48.

Таблица 48

Временной период	Фактическое значение	Экспоненциальные средние	ао	а1	Расчетные значения	Остатки
		1-го порядка	2-го порядка
0		1,262	0,386
1	1,352	1,293	0,704	1,883	0,317
2	1,499	1,365	0,935	1,795	0,232	2,200	-0,701
3	1,124	1,281	1,056	1,505	0,121	2,027	-0,903
4	-0,211	0,759	0,952	0,565	-0,104	1,626	-1,837
5	-0,15	0,441	0,773	0,108	-0,179	0,461	-0,611
6	-0,219	0,210	0,576	-0,156	-0,197	-0,071	-0,148

Использование экспоненциальных средних для прогнозирования первого показателя (Х1) отражено в таблице 49.

Таблица 49

Временной период	Фактическое значение	Экспоненциальные средние	ао	а1	Расчетные значения	Остатки
		1-го порядка	2-го порядка
0		-0,364	-0,334
1	0,553	-0,043	-0,232	0,146	0,102
2	-0,408	-0,171	-0,211	-0,131	0,021	0,247	-0,655
3	-1,954	-0,795	-0,415	-1,175	-0,205	-0,110	-1,844
4	-0,879	-0,824	-0,558	-1,090	-0,143	-1,379	0,500
5	-0,014	-0,541	-0,552	-0,529	0,006	-1,234	1,220
6	-0,014	-0,356	-0,484	-0,229	0,069	-0,523	0,509

Использование экспоненциальных средних для прогнозирования второго показателя (Х2) отражено в таблице 50.

Таблица 50

Временной период	Фактическое значение	Экспоненциальные средние	ао	а1	Расчетные значения	Остатки
		1-го порядка	2-го порядка
0		-0,216	-0,101
1	0,538	0,048	-0,049	0,144	0,052
2	-0,344	-0,089	-0,063	-0,116	-0,014	0,196	-0,540
3	-1,19	-0,475	-0,207	-0,742	-0,144	-0,130	-1,060
4	-0,301	-0,414	-0,279	-0,548	-0,072	-0,886	0,585
5	0,055	-0,250	-0,269	-0,230	0,010	-0,621	0,676
6	0,556	0,032	-0,164	0,228	0,105	-0,220	0,776

Использование экспоненциальных средних для прогнозирования третьего показателя (Х3) отражено в таблице 51.

Таблица 51

Временной период	Фактическое значение	Экспоненциальные средние	ао	а1	Расчетные значения	Остатки
		1-го порядка	2-го порядка
0		0,109	-0,100
1	0,586	0,276	0,031	0,520	0,132
2	-0,115	0,139	0,069	0,209	0,038	0,652	-0,767
3	-0,352	-0,033	0,033	-0,099	-0,036	0,246	-0,598
4	-0,220	-0,098	-0,013	-0,184	-0,046	-0,135	-0,085
5	-0,149	-0,116	-0,049	-0,183	-0,036	-0,230	0,081
6	-0,207	-0,148	-0,084	-0,212	-0,035	-0,219	0,012

Таблица 52

	Y	X1	X2	X3
Среднеквадратичное отклонение	0,622	1,205	0,833	0,385
абсолютная ошибка	0,526	1,018	0,704	0,325
относительная ошибка	148,926	636,501	211,437	131,538

4.3 Прогнозирование на основе уравнения регрессии

Прогнозирование на 1 квартал вперед результативного показателя происходит при использовании построенного в разделе 2.4 линейного множественного уравнения регрессии, а именно Y = 0,5941*Х1 -1,7527*Х2 -2,0338*Х3 + 0,7894.

Результаты расчетов по прогнозированию факторных признаков содержит таблица 53.

Таблица 53

Тенденция (Х1)	-0,411
Рост (Х1)	-
Тенденция (Х2)	-0,270
Рост (Х2)	-
Тенденция (Х3)	0,205
Рост (Х3)	-

Прогнозные значения результативного показателя, рассчитанные по уравнению множественной регрессии Y = = 0,5941*Х1 -1,7527*Х2 -2,0338*Х3 + 0,7894 при линейной и экспоненциальной траекториях факторных признаков, приведены в таблице 54.

Прогноз факторов по функции «тенденция»	1,434
Прогноз факторов по функции «рост»	-

Данный метод свидетельствует о нежелательности применения на практике данного метода прогнозирования для данных показателей, так как невозможен прогноз всех факторов по функции «Рост»

Сравнивая результаты прогнозирования, выполненного различными методами по величине относительной ошибки прогноза, можно сделать вывод о том, что наиболее достоверным для исследуемого показателя можно считать метод экспоненциальных средних.

Размещено на Allbest.ru