Изучение влияния гармонической возмущающей силы на амплитуду перемещения системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Математическое моделирование технического объекта

1.1 Понятие модели, её свойства, классификация

1.2 Классификация математических моделей

1.3 Численные методы в математическом моделировании

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Полная постановка задачи

2.2 Описание математической модели

2.3 Графическая схема решения

2.4 Описание графической схемы

3. Описание реализации задачи в MathCAD

3.1 Описание реализации базовой модели

3.2 Описание исследований

Заключение

Список литературы

математический виброзащитный mathcad

Введение

В настоящее время человека повсюду окружают сложные технические проектированные системы. Использование ЭВМ при проектировании является единственным выходом из сложившегося положения, когда повышение производительности труда проектировщиков и ограничение их числа достигается за счет реализации возможностей ЭВМ на базе системных методов проектирования. Цель использования ЭВМ - реализация высокопроизводительной технологии проектирования, а также уменьшение материальных затрат и трудоемкости проектирования.

Эффективным является использование ЭВМ при выполнении проектных расчетов и при вычерчивании проектной документации. При этом уменьшается количество требуемых документов, упрощается их форма, ускоряется процесс размножения документов. Передача рутинных, утомительных работ для выполнения на ЭВМ в процессе проектирования снижает возможность появления субъективных ошибок, вызванных невнимательностью или утомлением конструктора. При необходимости на ЭВМ можно несколько раз повторить расчеты или другие действия с целью проверки полученных результатов. В конечном счете все это должно приводить к уменьшению материальных затрат и снижению трудоемкости проектирования.

Математические расчеты в численном, символьном виде удобно выполнять в системе MathCAD.

Система MathCAD, разработанная в 80-х годах прошлого столетия американской фирмой MathSoft, является одной из самых используемых математических систем. Ее особенностью является то, что в системе решение задач вводится при помощи математических знаков и формул. MathCAD имеет широкие графические возможности.

1. Математическое моделирование технического объекта

1.1 Понятие математической модели. Свойства. Классификация

Несмотря на достигнутые в настоящее время успехи в области автоматизации проектирования, процесс создания новых конструкций, машин и механизмов не может обойтись без проведения моделирования исследуемых объектов.

Моделирование представляет собой процесс замещения объекта исследования некоторой его моделью и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте. Модель -- это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта.

Математическое моделирование представляет собой процесс формирования математической модели и использование ее для анализа и синтеза. Синтез заключается в создании описания объектов, а анализ - в определении свойств и исследовании работы объекта по их описанию, т.е. при синтезе создаются, а при анализе оцениваются проекты объектов [1].

Математическая модель системы может быть представлена в виде аналитической, алгоритмической или цифровой модели. Сначала создается аналитическая модель, представляющая замкнутую систему дифференциальных, алгебраических и трансцендентных уравнений, описывающих функционирования технической системы. В результате получается алгоритмическая модель. Программная реализация алгоритмической модели представляет собой цифровую модель.

Математические модели по своей форме представления делятся на инвариантную, алгоритмическую, аналитическую и графическую модели объекта проектирования.

Инвариантная математическая модель - это система дифференциальных или алгебраических уравнений. Инвариантная форма не зависит от метода решения этих уравнений.

Главные функции моделей -- описательная, конструктивная и эвристическая.

Описательная функция модели состоит в том, что в исследуемом объекте выделяются и обобщаются существенные компоненты и взаимосвязи между ними.

Конструктивная функция модели состоит в её способности служить ориентиром, применять добытые знания в новых ситуациях.

Эвристическая функция модели способствует прогнозированию.

В зависимости от основной дидактической функции различают три вида моделей: описательные, конструктивные и эвристические. Описательные модели дают возможность сжато излагать информацию и воспроизводить её. Конструктивные модели больше ориентированы на применение знаний, эвристические -- на овладение новыми знаниями, обобщение и систематизацию. При этом форма моделей может быть различной: модельная схема, знаковая модель, графическая, образная и т.д.

В алгоритмической форме соотношения модели имеют связь с выбранным методом решения и записываются в виде последовательности вычислений - алгоритма.

Аналитическая модель - это явная зависимость искомых переменных от заданных величин. Такого рода модели основываются на различных физических законов. Также их можно получить входе прямого решения дифференциальных уравнений. При решении уравнений используются табличные интегралы. К аналитическим моделям относятся регрессионные модели, получаемые на основе результатов опытов.

Графическая модель представляется в виде графиков, диаграмм, схем, динамических моделей [2].

1.2 Классификация математических моделей

При проектировании технических объектов используют множество видов математических моделей, в зависимости от уровня иерархии, степени декомпозиции системы, аспекта, стадии и этапа проектирования.

На любом уровне иерархии объект проектирования представляют в виде некоторой системы, состоящей из элементов. В этой связи различают математические модели элементов и систем.

В общем случае уравнения математической модели связывают физические величины, которые характеризуют состояние объекта и не относятся к перечисленным выше выходным, внутренним и внешним параметрам. Такими величинами являются: скорости и силы -- в механических системах; расходы и давления -- в гидравлических и пневматических системах; температуры и тепловые потоки -- в тепловых системах; токи и напряжения -- в электрических системах.

Величины, характеризующие состояние технического объекта в процессе его функционирования, называют фазовыми переменными (фазовыми координатами). Вектор фазовых переменных задает точку в пространстве, называемом фазовым пространством. Фазовое пространство, в отличие от геометрического, многомерное. Его размерность определяется количеством используемых фазовых координат.

Обычно в уравнениях математической модели фигурируют не все фазовые переменные, а только часть из них, достаточная для однозначной идентификации состояния объекта. Такие фазовые переменные называют базисными координатами. Через базисные координаты могут быть вычислены значения и всех остальных фазовых переменных.

К математическим моделям предъявляются требования адекватности, экономичности, универсальности. Эти требования противоречивы, поэтому обычно для проектирования каждого объекта используют свою оригинальную модель.

Математические модели технических объектов, используемые при проектировании, предназначены для анализа процессов функционирования объектов и оценки их выходных параметров. Они должны отображать физические свойства объектов, существенные для решения конкретных задач проектирования. При этом математическая модель должна быть как можно проще, но в то же время обеспечивать адекватное описание анализируемого процесса.

Аналитическая модель представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин (обычно зависимости выходных параметров объекта от внутренних и внешних параметров). Такие модели получают на основе физических законов, либо в результате прямого интегрирования исходных дифференциальных уравнений, используя табличные интегралы.

Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, динамических моделей, диаграмм и т.п. Для использования графических моделей должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической и компонентов инвариантной математических моделей.

Структурные модели отображают только структуру объектов и используются при решении задач структурного синтеза. Параметрами структурных моделей являются признаки функциональных или конструктивных элементов, из которых состоит технический объект и по которым один вариант структуры объекта отличается от другого. Эти параметры называют морфологическими переменными. Структурные модели имеют форму таблиц, матриц и графов. Они позволяют аккумулировать накопленный опыт, используя описания всех существующих аналогов, известных из патентной литературы, и гипотетических объектов.

Функциональные модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений.

Теоретические модели получают на основе описания физических процессов функционирования объекта, а экспериментальные -- на основе изучения поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как кибернетический "черный ящик". Эксперименты при этом могут быть физические (на техническом объекте или его физической модели) или вычислительные (на теоретической математической модели).

При построении теоретических моделей используют физический и формальный подходы.

Физический подход сводится к непосредственному применению физических законов для описания объектов, например, законов Ньютона, Гука, Кирхгофа, Фурье и др.

Формальный подход использует общие математические принципы и применяется при построении как теоретических, так и экспериментальных моделей.

Линейные модели содержат только линейные функции фазовых переменных и их производных. Характеристики многих элементов реальных технических объектов нелинейные. Математические модели таких объектов включают нелинейные функции фазовых переменных и (или) их производных и относятся к нелинейным

1.3 Численные методы в математическом моделировании

С помощью математического моделирования решение научно-технической задачи сводится к решению математической задачи, являющейся её моделью. Для решения математических задач используются следующие основные группы методов: графические, аналитические и численные.

Графические методы в ряде случаев позволяют оценить порядок искомой величины. Основная идея этих методов состоит в том, что решение находится путём геометрических построений. Например: для нахождения корней уравнения f(x)=0 строится график функции y=f(x), точки пересечения которого с осью абсцисс и будут искомыми корнями.

При использовании аналитических методов решение задачи удаётся выразить с помощью формул. В частности, если математическая задача состоит в решении простейших алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и т.д., то использование известных из курса математики приёмов сразу приводит к цели. К сожалению, на практике это очень редкие случаи.

Главным инструментом для решения сложных математических задач являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений. Многие численные методы разработаны давно, однако при вычислении вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоёмких задач. [6]

Метод Рунге-Кутта.

Допустим, что функция имеет непрерывные частные производные до -го порядка включительно, тогда решение задачи Коши для уравнения (1) будет обладать непрерывными производными до -го порядка включительно и если значение при известно, , то справедливо равенство

,

. (5)

значения входящих сюда производных вычисляются из уравнения (1) последовательным дифференцированием:

,

,

,… (6)

Подставляя значения , ,…, определенные выражениями (6) в соотношении (5), можно вычислить значение . Однако такой расчет требует вычислений, сложность которых возрастает с увеличением порядка производных. Для сокращения вычислительной работы Рунге предложил значение в виде:

, (7)

где ,

; ,

, , , …, , , …, ,

, …, - некоторые параметры. Формула (3) получается как частный случай формулы (7) при , а формула (4) - при . Рассмотрим вопрос о выборе параметров , , . Для простоты ограничимся случаем . Введем обозначение:

, (8)

из выражения (7) следует, что

. (9)

учитывая соотношения (6), из равенства (8) найдем:

,

,

,

.

Условия (7) будут выполняться, если справедливы равенства:

,

,

;

; ;

. (10)

Эта система из шести уравнений с восемью неизвестными имеет бесчисленное множество решений. Наиболее употребительное решение

, , , , , , ,

порождает расчетные формулы

(11)

,

,

При получаются расчетные формулы:

,

(12)

,

,

Оценка погрешности на каждом шаге интегрирования уравнения (1) по методу Рунге-Кутта имеет порядок . Полную оценку погрешности можно произвести аналогично тому, как это было сделано выше для метода Эйлера. [7]

Для решения дифференциальных уравнений с начальными условиями система Mathcad имеет ряд встроенных функций:

rkfixed - функция для решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге-Кутта четвертого порядка с постоянным шагом;

Rkadapt - функция решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге-Кутта с переменным шагом;

Odesolve - функция, решающая ОДУ блочным методом.

Ниже приведено описание стандартной функции rkfixed с указанием параметров функции.

rkfixed(y, x1, x2, p, D)

Аргументы функции:

y - вектор начальных условий из k элементов (k - количество уравнений в системе);

x1 и x2 - левая и правая границы интервала, на котором ищется решение ОДУ или системы ОДУ;

p - число точек внутри интервала (x1, x2), в которых ищется решение;

D - вектор, состоящий из k-элементов, который содержит первую производную искомой функции или первые производные искомых функций, если речь идет о решении системы.

Результатом работы функции является матрица из p+1 строк, первый столбец которой содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы - сами решения.

При решении дифференциального уравнения первого порядка нужно создать вектор начальных условий из одного элемента Y₁, который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции rkfixed указывается имя вектора Y, границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0; 2), количество точек, в которых ищется решение - 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения - D.

В результате получается матрица z, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором - значения самой результирующей функции. При построении графика функции первый столбец полученной матрицы указывается как аргумент, второй столбец - как функция.

При решении системы дифференциальных уравнений нужно создать вектор начальных условий из двух элементов, например, вектор v, который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции rkfixed указывается имя вектора v, и границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0; 5), количество точек, в которых ищется решение - 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения - D. В результате получается матрица s, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомых функций, во втором и третьем столбцах - значения самих функций при соответствующем значении аргумента. При построении графика можно воспользоваться первым столбцом полученной матрицы как аргументом, а вторым и третьим столбцами - как функциями.

Для решения уравнения с помощью функции rkfixed нужно выполнить замену переменных и привести дифференциальное уравнение второго порядка к двум дифференциальным уравнениям первого порядка. Вид этих уравнений приведен ниже.

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Последовательность действий для решения дифференциального уравнения первого порядка такова:

сформировать вектор начальных условий из одного элемента, присвоив начальное значение искомой функции переменной с индексом, например: или (в зависимости от значения переменной ORIGIN);

определить вектор-функцию из одного элемента, которая содержит первую производную неизвестной функции:

набрать имя функции с двумя параметрами: первый параметр - аргумент искомой функции (независимая переменная), второй - имя вектора, содержащего искомую функцию (можно использовать имя вектора начальных условий), например, D(x,Y);

набрать оператор «:=» и выражение для первой производной (выразить из дифференциального уравнения), в котором вместо имени искомой функции подставлен первый элемент вектора-параметра, например, для уравнения вектор-функция будет определятся следующим образом: ( если ORIGIN=0, подставлять );

присвоить некоторой переменной значение функции rkfixed, указав в скобках следующие параметры:

первый - имя вектора начальных условий,

второй - левая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

третий - правая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

четвертый - количество точек, в которых ищется решение,

пятый - имя вектора-функции, описывающего первую производную, без параметров;

например: ,

(в результате получится матрица Z, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором - значения самой функции);

вывести матрицу, содержащую решение ДУ с помощь оператора «=»,

построить график найденной функции (см. тему 5), указав в качестве аргумента по оси абсцисс столбец , а в качестве значения функции по оси ординат - столбец (если ORIGIN=0, набирать соответственно и ).

Линейная регрессия общего вида реализуется с помощью функции linfit:

Linfit (VX, VY, F),

где VX, VY - координаты исходных точек;

F - вектор, содержащий функции f_i(x), записанные в символьном виде.

Функция linfit еще называется функцией аппроксимации по методу наименьших квадратов.

Результатом работы функции linfit является вектор коэффициентов К, при котором среднеквадратичная погрешность приближения исходных точек с координатами VX, VY, минимальна.

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Полная постановка задачи

Исследование математической модели виброзащитной системы:

С использованием системы MathCAD рассчитать значение функций перемещения, скорости и ускорения виброзащитной системы под воздействием начальных значений перемещения и скорости без учета возмущающей силы. Построить графики этих функций.

Рассчитать значение функций перемещения скорости и ускорения виброзащитной системы без воздействия начальных значений перемещения и скорости с учетом гармонической возмущающей силы F(t) = F0sin(wt). Построить графики новых функций.

Рассчитать значение функций перемещения двух масс виброзащитной системы под воздействием гармонической возмущающей силы с различными значениями частоты. Провести не менее 10 - 12 опытов, вычислить для каждой частоты значение максимальной амплитуды перемещения системы.

Построить графики функций перемещения, график амплитудно-частотной характеристики, показать явление резонанса. Сделать выводы по полученным результатам.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исходными данными для работы являются:

• C1=1600(КН/м)-жесткость первой пружины

• C2=410(КН/м)-жесткость второй пружины.

• m1=110(кг)-масса первого груза.

• m2=35(кг)-масса второго груза.

• K=2.5(КН/м)-коэффициент демпфирования.

• F0=40(КН)-амплитуда возмущающей силы.

• w -круговая частота возмущающей силы.

• f =35-175(с^-1 ) - частота возмущающей силы.

2.2 Описание математической модели

Данное устройство представлено массой m1, на которую действует нелинейная возмущающая сила F(t), вычисляемая по формуле:

F(t) = F0sin(wt),

где F0 - амплитуда возмущающей силы

w - круговая частота возмущающей силы. Круговая частота вычисляется по формуле:

w = 2?f, где f - частота возмущающей силы.

На фундаменте масса укреплена посредством упругой подвески жёсткостью c1. К массе m1 через пружину c2 с демпфером K присоединена масса m2.

2.3 Графическая схема решения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2.4 Описание графической схемы

1. С использованием системы MathCAD находим значение функций перемещения, скорости и ускорения виброзащитной системы под воздействием начальных значений перемещения и скорости без учёта возмущающей силы. Строим графики этих функций.

2. Рассчитываем значение функций перемещения скорости и ускорения виброзащитной системы без воздействия начальных значений перемещения и скорости с учётом гармонической возмущающей силы F(t) = F0sin(wt). Строим графики новых функций.

3. Рассчитываем значение функций перемещения двух масс виброзащитной системы под воздействием гармонической возмущающей силы с различными значениями частоты. Проводим 12 опытов, вычисляем для каждой частоты значение максимальной амплитуды перемещения системы.

4. Строим графики функций перемещения, график амплитудно-частотной характеристики, показываем явление резонанса и делаем выводы.

3. Описание реализации задачи в MathCAD

3.1 Описание реализации базовой модели

1. В задаче рассмотрим моделирование виброзащитной системы, состоящей из двух масс m1 и m2, соединённых между собой демпфером c коэффициентом демпфирования K и пружиной жёсткостью c2. На массу m1 действует возмущающая сила F(t). На фундаменте масса укреплена посредством упругой подвески жёсткостью c1.

Эта система описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка вида:

Сведем дифференциальные уравнения второго порядка к четырем дифференциальными уравнениями первого порядка:

В системе MathCAD получаем систему:



- перемещение первой массы

- перемещение второй массы

- скорость первой массы

- скорость второй массы

Рассчитываем значение функции перемещения, скорости и ускорения виброзащитной системы с двумя массами под воздействием начальных значений перемещения и скорости без учёта возмущающей силы. Для решения данного дифференциального уравнения применяем функцию rkfixed, которая реализует поиск решения дифференциальных уравнений четвёртого порядка методом Рунге-Кутта

(),

Где 0…60 - время, в промежутке которого мы ищем решение данного Д.У.

1000 - число точек внутри заданного промежутка времени, в которых ищется решение.

Результатом работы функции является матрица из пяти столбцов:

- первый столбец содержит время, за которое переместилось тело.

- второй столбец содержит перемещение первого тела.

- третий столбец содержит перемещение второго тела.

- четвертый столбец содержит скорость первого тела.

- пятый столбец содержит скорость второго тела.

Затем по формулам получаем ускорение первого и второго тела. По полученным результатам строим графики перемещения, скорости и ускорения (А1 и А2) двух тел. (Приложение А)

2. Рассчитываем значение функций перемещения скорости и ускорения виброзащитной системы без воздействия начальных значений перемещения и скорости с учётом гармонической возмущающей силы F(t) = F0sin(wt). Для этого также воспользуемся методом Рунге-Кутта. В результате получим новую систему уравнений:

- перемещение первой массы

- перемещение второй массы

- скорость первой массы

- скорость второй массы

По данным результатам строим графики новых функций. (Приложение В)

3.2 Описание исследований

Рассчитываем значение функций перемещения двух масс виброзащитной системы под воздействием гармонической возмущающей силы с различными значениями круговой частоты (w), зависящей от (f). Амплитуда возмущающей силы: F0 = 40. Проводим 12 опытов, для каждой частоты вычисляем значение максимальной амплитуды перемещения системы

где Z11 - значение максимальной амплитуды перемещения системы

n - номер, проводимого опыта;

где w - значение круговой частоты, n - номер, проводимого опыта.

Строим новые графики перемещения двух тел по результатом 12 опытов.

В конце практической части строим сводные графики и график амплитудно-частотной характеристики.

3.3 Выводы о проведённом исследовании

В данном проекте в большей степени содержатся расчёты значения функций перемещения, скорости и ускорения виброзащитной системы в зависимости от возмущающей силы. В результате были построены графики данной зависимости.

Целью проведения опытов в данном проекте является изучение влияния гармонической возмущающей силы на амплитуду перемещения системы.

Проводилось 12 опытов, в которых значение частоты менялось от 0.3 до 0.85.

По полученным результатам были построены графики перемещений масс m1 и m2 в зависимости от времени. Наблюдали уменьшение амплитуды с увеличением частоты возмущающей силы

Заключение

В данном курсовом проекте была решена задача об исследовании математической модели виброзащитной системы был проведён расчет перемещения, скорости и ускорения движения; построены графики зависимостей перемещения, скорости и ускорения движения. Также было проведено исследование на влияние изменения массы груза на перемещение его в среде виброзащитной системы.

Достоинство программного комплекса в том, что он является хорошим помощником инженеру в исследовании математической модели виброзащитной системы. С его можно достаточно точно определить скорость, ускорение и перемещение в интересующий нас момент времени, коэффициента упругости и т.д.

Список использованных источников

1. Михайлов М.И. Математическое моделирование и САПР процессов резания и инструментов: Учеб. пособие для вуз./ Под редакцией М.И. Михайлова - Гомель: ГГТУ им. П.О. Сухого,2004.-247 с.

2. Останин А.Н., Гурский Н.Н., Гугля В.А. Применение математических методов и ЭВМ: Учеб. пособие для вуз./ Под редакцией А.Н. Останина - Мн. Высш. шк., 1989.- 279 с.

3. Новожилов И.В., Зацепин М.Ф. Типовые расчеты по теоретической механике на базе ЭВМ: Учеб. пособие для вуз. - М. Высш. шк., 1986. - 136 с.

4. Трохова Т.А., Основные приемы работы в системе MathCAD, версии 6.0:

Практическое пособие.- Гомель: ГГТУ им. П.О. Сухого,1998.-42 с.

5. Токочаков В.И., Решение систем алгебраических и дифференциальных уравнений в среде MathCAD Windows: Практическое пособие.- Гомель: ГГТУ им. П.О. Сухого, 2000.-26 с.

6. Тарасик В.П. “Математическое моделирование технических систем”. Мн. 1997г.

7.“Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике”. / Под ред. Яблонского А.А. / М. Высшая школа, 1985г.

8. Маркова Л.В., Мастяница В.С. Расчеты в среде MathCAD 7.0. - Мн.: МИЦРИВШ БГУ, 1999.- 158с.

Размещено на Allbest.ru