Практическое применение эконометрики

3

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Оглавление

ЗАДАЧА № 1 3

ЗАДАЧА № 3 13

ЗАДАЧА № 4 15

ЗАДАЧА № 5 18

ЗАДАЧА № 6 20

ЗАДАЧА № 1

По территориям Восточно-Сибирского региона известны данные за 1999 г. (табл.).

Район	Объем розничного товарооборота, млрд.руб., Y	Среднедушевой денежный доход за месяц, тыс.руб., Х
1. Респ.Бурятия	8,6	1,07
2. Респ.Тыва	1,3	0,75
3. Респ.Хакасия	4,3	1,24
4. Красноярский край	28,4	1,67
5. Иркутская обл.	33,4	1,72
6. Читинская обл.	5,5	0,69
Итого	81,5	7,14
Средняя	13,58	1,19
д	12,51	0,4025

Задания:

Расположите территории по возрастанию фактора Х. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной форме связи.

Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме связи.

Определите параметры линейного уравнения парной регрессии а1 и а0.

Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации, проанализируйте их значения.

Надежность уравнения в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости б=0,05.

Рассчитайте по уравнению регрессии теоретические значения результата (?) и по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - еср. , оцените ее значение.

Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора составит 1,055 от его среднего уровня ().

РЕШЕНИЕ

Для построения графика расположим территории по возрастанию значений фактора Х.

Район	Среднедушевой денежный доход за месяц, тыс.руб., Х	Объем розничного товарооборота, млрд.руб., Y
6. Читинская обл.	0,69	5,5
2. Респ.Тыва	0,75	1,3
1. Респ.Бурятия	1,07	8,6
3. Респ.Хакасия	1,24	4,3
4. Красноярский край	1,67	28,4
5. Иркутская обл.	1,72	33,4
Итого	7,14	81,5
Средняя	1,19	13,58
д	0,4025	12,51

Поле корреляции - график зависимостирозничного товарооборота (у) от среднедушевого месячного дохода (х).

Выдвинем гипотезу Н1 о том, что между приведенными показателями имеется линейная зависимость. Для ее описания следует использовать уравнение прямой вида:

у =а0 + а1 x + е

Все расчетные показатели рассчитаны с помощью программы EXCEL, полученные данные приложены к работе (Приложения 1-6).

По выборочным наблюдениям оп ределяем оценки (а, b).

Исходные данные и расчетные показатели представляем в разработочной таблице:

№ п/п	х	у факт.	х*х	х*у	у расч.	D	е
1	0,69	5,5	0,4761	3,795	-0,4216	5,9216	1,0766
2	0,75	1,3	0,5625	0,975	1,2586	0,0414	0,0318
3	1,07	8,6	1,1449	9,202	10,2196	-1,6196	0,1883
4	1,24	4,3	1,5376	5,332	14,9801	-10,6801	2,4838
5	1,67	28,4	2,7889	47,428	27,0215	1,3785	0,0485
6	1,72	33,4	2,9584	57,448	28,4216	4,9784	0,1491
Итого	7,14	81,5	9,4684	124,18	81,479934	0,020066	3,9781488
Среднее	1,19	13,58	1,5781	20,6967	13,5800	0,0033	0,6630
Cигма	0,4025	12,51

Расчет параметров уравнения:

а1=

а0 =

Получили теоретическое уравнение линейной регрессии:

В уравнении коэффициент а1 = 28,0031 показывает, что при увеличении среднедушевого дохода на 1 тыс.руб., товарооборот региона увеличивается в среднем на 28,0031 млрд.руб. от своей средней.

Свободный член уравнения а0 = -19,7437 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на розничный товарооборот.

Относительную оценку силы связи дает общий (средний) коэффициент эластичности. При линейной регрессии эластичность рассчитывается как:

Это означает, что при изменении среднедушевого дохода на 1 процентный пункт от своей средней, розничный товарооборот увеличивается на 9,5360 % от своей средней.

Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Коэффициент корреляции, равный 0,9004, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между среднедушевым доходом и розничным товарооборотом. Коэффициент детерминации, равный 0,8107, устанавливает, что вариация розничного товарооборота на 81,07% из 100% возможных предопределена вариацией среднедушевого дохода в месяц. Роль прочих факторов, влияющих на розничный товарооборот, определяется в 18,93%, что является сравнительно небольшой величиной.

Для оценки статистической надежности выявленной зависимости розничного товарооборота от среднедушевого дохода рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера -Fфакт. и сравним его с табличным значением - Fтабл. По результатам сравнения примем решение о гипотезе Н0: а0 = а1 = ryx = 0, то есть либо примем, либо отклоним ее с уровнем значимости б = 0,05.

В нашем случае Fфакт. =

Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата в 17 раз больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что имеется систематическое взаимодействие между фактором и результатом, подобные различия не могут быть случайными. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия:

Fтабл. = 5,99 при степенях свободы df1= k-1 = 2-1 = 1, df2 = n-k = 6-2 = 4, и уровне значимости б=0,05. В силу того, что Fфакт. = 17,1305 > Fтабл. = 5,99, нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости и ее параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.

Определим теоретические значения результата Yтеор. Для этого в полученное уравнение последовательно подставим фактическое значение фактора Х и выполним расчет.

См.графу 5 расчетной таблицы. По парам значений Yтеор. и Хфакт. Строится теоретическая линия регрессии, которая пройдет вблизи от эмпирической регрессии и пересечет ее в нескольких местах.

Оценку качества модели дадим с помощью средней ошибки аппроксимации:

В нашем случае она составляет 0,66%, что указывает на высокое, допустимое качество модели, которое позволяет использовать ее для прогнозных расчетов.

Если предположить, что прогнозное значение фактора Х составит 1,055 от среднего значения, то есть Хпрог. = 1,055*1,19 = 1,26, тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне:

ЗАДАЧА № 2

Приводятся значения социально-экономических показателей по территориям Западно-Сибирского, Восточно-Сибирского, Дальневосточного районов РФ за 1999 год.

Предлагается изучить влияние факторов на стоимость валового регионального продукта.

Территории	Валовой региональный продукт, млрд.руб.	Объем промышленной продукции, млрд.руб.	Основные фонды в экономике, млрд.руб.	Доля занятых в экономике от численности населения, %
А	Y	X1	X2	X3
1. Респ. Алтай	1,6	0,2	6,7	36,3
2. Алтайский край	22,4	21,5	207,0	39,6
3. Кемеровская обл.	45,6	63,9	290,4	41,9
4. Новосибирская обл.	35,2	23,8	264,4	38,7
5. Омская обл.	29,5	17,0	190,7	43,3
6. Томская обл.	21,2	15,5	143,2	41,8
7. Тюменская обл.	201,2	228,9	903,9	51,8
8. Респ.Бурятия	11,2	8,3	85,5	35,9
9. Респ.Тыва	1,8	0,6	14,1	34,7
10 Респ.Хакасия	8,2	10,7	59,1	39,4
11. Красноярский край	71,6	124,5	395,9	44,9
Продолжение Таблицы
12. Иркутская обл.	52,6	72,4	321,6	40,1
13. Читинская обл.	13,2	7,2	93,7	34,1
14. Респ.Саха	33,4	51,3	176,7	48,6
15. Приморский край	31,5	34,7	156,3	42,5
16. Хабаровский край	30,1	25,1	168,3	43,4
17. Амурская обл.	14,7	6,8	140,5	43,0
18. Камчатская обл.	11,1	10,7	55,3	47,3
19. Магаданская обл.	6,7	7,4	49,1	49,4
20. Сахалинская обл.	13,1	14,4	92,9	44,2
Итого	238,4	189,5	1633,9	569,4
Средняя	17,03	13,54	116,7	40,67
Среднее квдр.отклонение	10,88	9,555	74,03	4,407
Дисперсия	118,3	91,30	5480,8	19,42

В процессе предварительной обработки исходных данных получены следующие значения линейных коэффициентов парной корреляции:

	Х1	Х2	Х3
Y	0,9049	0,9310	0,2239
Х1	****	0,7749	0,2952
Х2	****	****	0,1315

Задание:

По значениям линейных коэффициентов парной корреляции выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Произведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель.

Выполните расчет бета-коэффициентов и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизированном масштабе. Проанализируйте с помощью бета-коэффициентов силу связи каждого факторас результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.

По значениям бета-коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме. Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайтес помощью общих (средних) коэффициентов эластичности.

Оцените тесноту множественной связи с помощью R, а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи - через F-критерий Фишера (для уровня значимсоти 0,05).

Рассчитайте прогнозное значение результата, предполагая, что прогнозные значения факторов составят 103% от их среднего уровня.

Основные выводы оформите в аналитической записке.

РЕШЕНИЕ:

Представленные значения линейных коэффициентов парной корреляции позволяют установить, что валовой региональный продукт более тесно связан с основными фондами в экономике Х2 (ryx2 = 0.9310) и с объемом промышленной продукции Х1 (ryx1 = 0.9149), наименее тесно результат связан с долей занятых Х3. Поэтому, в силу небольшой информативности фактора Х3, исключаем его из дальнейших расчетов, оставляя для рассмотрения только факторы Х1 и Х2.

Выполним расчет частных коэффициентов корреляции по следующим формулам:

Как видим, факторы Х1 и Х2, действительно, тесно связаны с результатом, а между собой взаимодействуют, но слабее, чем каждый из них - с результатом. Эти обстоятельства позволяют использовать Х1 и Х2 в качестве факторов уравнения множественной регрессии.

При построении двухфакторной регрессионной модели Y=a0 + a1 x1 + f2x2воспользуемся с целью упрощения расчетов методом стандартизованных переменных. В этом случае исходное уравнение приобретает вид:

Выполним расчет в-коэффициентов, используя значения известных по условию линейных коэффициентов парной корреляции:

В результате получено уравнение в стандартизированном масштабе:

Параметры данного уравнения представляют собой относительную оценку силы влияния каждого из факторов на результат. При увеличении объема промышленной продукции на одну сигму от своей средней величины валовой региональный продукт увеличится на 0,4593 своей сигмы.

С увеличением основных фондов в экономике на 1 сигму результат увеличится на 0,5752 сигмы.

Сравнивая в-коэффициенты, определяем, что увеличение валового регионального продукта происходит, прежде всего, под влиянием увеличения основных фондов в экономике, и в меньшей степени - в результате увеличения объема промышленной продукции.

По полученным значениям в-коэффициентов выполним расчет параметров уравнения в естественной форме:



Теперь параметр а0 определим по формуле:

Таким образом, получили уравнение:

Y=0,0874 + 0,5230 x1 + 0,0845x2

По значениям коэффициентов регрессии можно судить о том, на какую абсолютную величину изменяется результат при изменении каждого фактора на единицу.

С увеличением объема промышленной продукции на 1 млрд.руб., валовой региональный продукт увеличивается на 0,5230 млрд.руб., с увеличением основных фондов в производстве на 1 млрд.руб., валовой региональный продукт увеличивается на 0,0845 млрд.руб.

Точную оценку силы связи факторов с результатом дают коэффициенты эластичности. Выполним расчет средних коэффициентов эластичности.

Как показал расчет, влияние основных фондов в производстве на валовый региональный продукт оказалось более сильным по сравнению с влиянием объема промышленной продукции: с ростом основных фондов в производстве на 1% валовый региональный продукт возрастает на 0,5790%. При увеличении объема промышленной продукции на 1% валовой региональный продукт возрастает на 0,4158%. Различия в силе влияния невелики, но второй фактор влияет сильнее, чем первый. Поэтому регулирование величины валового регионального продукта через основные фонды в производстве будет более результативным, чем через уровень объема промышленной продукции.

Для оценки качества теоретического уравнения через среднюю ошибку аппроксимации необходимо рассчитать теоретические значения признака - результата Yтеор. Для этого в полученное уравнение множественной регрессии подставим фактические значения признаков-факторов: Х1 и Х2. Полученные результаты занесем в расчетную таблицу.

А	Y	X1	X2	Yрасч	Yфакт. - Yрасч.	е, %	(Yфакт. - Yрасч.)2
1	1,6	0,2	6,7	0,7582	0,8419	0,5262	0,7087
2	22,4	21,5	207	28,8234	-6,4234	0,2868	41,2601
3	45,6	63,9	290,4	58,0459	-12,4459	0,2729	154,9004
4	35,2	23,8	264,4	34,8766	0,3234	0,0092	0,1046
5	29,5	17	190,7	25,0926	4,4075	0,1494	19,4256
6	21,2	15,5	143,2	20,2943	0,9057	0,0427	0,8203
7	201,2	228,9	903,9	196,1817	5,0183	0,0249	25,1838
8	11,2	8,3	85,5	11,6531	-0,4531	0,0405	0,2053
9	1,8	0,6	14,1	1,5927	0,2074	0,1152	0,0430
10	8,2	10,7	59,1	10,6775	-2,4775	0,3021	6,1378
11	71,6	124,5	395,9	98,6545	-27,0545	0,3779	731,9433
12	52,6	72,4	321,6	65,1278	-12,5278	0,2382	156,9458
13	13,2	7,2	93,7	11,7707	1,4294	0,1083	2,0430
14	33,4	51,3	176,7	41,8485	-8,4485	0,2529	71,3763
15	31,5	34,7	156,3	31,4429	0,0571	0,0018	0,0033
16	30,1	25,1	168,3	27,4361	2,6640	0,0885	7,0966
17	14,7	6,8	140,5	15,5161	-0,8161	0,0555	0,6659
18	11,1	10,7	55,3	10,3564	0,7437	0,0670	0,5530
19	6,7	7,4	49,1	8,1066	-1,4066	0,2099	1,9784
20	13,1	14,4	92,9	15,4687	-2,3687	0,1808	5,6105
Итого	238,4	189,5	1633,9	713,7236	-57,8236	3,3507	1227,0057
Средняя	17,03	13,54	116,7	35,6862	-2,8912	0,1675	61,3503
Среднее квдр.отклонение	10,88	9,555	74,03	*	*	*	*
Дисперсия	118,3	91,3	5480,8	*	*	*	*

Средняя ошибка аппроксимации определяется по формуле:

В нашем случае средняя ошибка очень мала, что позволяет использовать модель для прогнозных расчетов - результат будет максимально приближен к фактическому и надежен.

Тесноту выявленной зависимости валового регионального продукта от объема промышленной продукции и основных фондов в экономике оценивают множественный коэффициент корреляции и детерминации. Расчет коэффициента корреляции выполним по формуле:

Коэффициент множественной детерминации:

R2 = 0.97532 = 0.9511

Как показали расчеты, установлена весьма тесная зависимость валового регионального продукта от объема промышленной продукции и основных фондов в экономике. Это означает, что 95,11% вариации валового продукта объясняются вариацией данных факторов. Оставшиеся 4,89% вариации результата сформировались под влиянием прочих причин, роль которых весьма незначительна.

С целью оценки статистической значимости уравнения формулируем нулевую гипотезу, которая рассматривает предположение о случайной природе полученных результатов.

Но: а0 = а1 = а2 = R2 = 0.

Для проверки выдвинутой гипотезы определим фактическое значение F-критерия Фишера по формуле:

Фактическое значение критерия показывает, что детерминация, сформированная под воздействием двух факторов, почти в 165 раз больше, чем детерминация, связанная с действием прочих причин. Очевидно, что такое соотношение случайно сформироваться не может, а является результатом влияния существенных, систематических факторов.

Для принятия обоснованного решения Fфакт. Сравнивается с fтабл., которое формируется случайно и зависит от степеней свободы и уровня значимости 0,05.

Fтабл. = 3,59 при степенях свободы df1= k-1 = 3-1 = 2, df2 = n-k = 20-3 = 17, и уровне значимости б=0,05. В силу того, что Fфакт. = 165 > Fтабл. = 3,59, нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости и ее параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.

Рассчитаем прогнозные значения факторов на основе их средней величины:

Х1 = Х1ср * 1,03 = 13,54*1,03 = 13,95

Х2 = Х2ср * 1,03 = 116,7*1,03 = 120,2

После подстановки в уравнение имеем следующий результат:

Y=0,0874 + 0,5230*13,95 + 0,0845*120,2 = 17,54 млрд.руб.

Если объем промышленной продукции составит 13,95 млрд.руб., а основные фонды в экономике достигнут размера 120,2 млрд.руб., то следует ожидать валового регионального продукта в размере 17,54 млрд.руб.

ЗАДАЧА № 3

Приводится ситема рабочих гипотез:

Y1 = f (Y2, Y3, Y4, X1, X2, X4);

Y2 = f (Y1, X5);

Y3 = f (Y1,Y4, X1, X2, X5);

Y4 = f (Y1, Y2, Y3, X3, X5);

линейная гипотеза корреляция регрессия

Задание:

На основе рабочих гипотез постройте систему структурных уравнений и проведите их идентификацию.

Укажите, при каких условиях может быть найдено решение каждого из уравнений и системы в целом. Дайте обоснование возможных вариантов подобных решений и аргументируйте выбор оптимального варианта рабочих гипотез.

Опишите методы, с помощью которых будет найдено решение уравнений.

РЕШЕНИЕ:

Система структурных уравнений описывает в формализованном виде выдвигаемые рабочие гипотезы:

Y1 = a12 Y2 + a13 Y3 + a14 Y4 + b11 x1 + b12 x2 + b14 x4

Y2 = a21 Y1 + b25 x5

Y3 = a31 Y1 + a34 Y4 + b31 x1 + b32 x2 + b35 x5

Y4 = a41 Y1 + a42 Y2 + a43 Y3 + b43 x3 + b45 x5

Выполним идентификацию каждого структурного уравнения и системы в целом. Воспользуемся счетным правилом, по которому в каждом уравнении системы необходимо сравнить число эндогенных переменных - Y и число отсутствующих экзогенных переменных из общего для всей системы их перечня.

Первое уравнение.

Эндогенных переменных -- 4 (у1 , у2 , у3 , у4), отсутствующих предопределенных переменных из общего их списка, отсутствующих в уравнении - 2 (x3 , х5).

Выполняется необходимое равенство: 4 > 2 + 1, следовательно, уравнение неидентифицируемо.

Второе уравнение:

Эндогенных переменных -- 2 (у1 , у2), отсутствующих предопределенных переменных из общего их списка, отсутствующих в уравнении - 4 (х1 , x2 , х3 ,x4).

Выполняется необходимое неравенство: 2 < 4 + 1, следовательно, уравнение сверхидентифицируемо.

Третье уравнение:

Эндогенных переменных -- 3 (у1 , у3, у4), отсутствующих предопределенных переменных из общего их списка, отсутствующих в уравнении - 2 (x3 , х4).

Выполняется необходимое равенство: 3 = 2 + 1, следовательно, уравнение точно идентифицир

Четвертое уравнение:

Эндогенных переменных -- 4 (у1 , у2, у3, у4), отсутствующих предопределенных переменных из общего их списка, отсутствующих в уравнении - 3 (х1 , x2 , x4).

Выполняется необходимое неравенство: 4 = 3 + 1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Таким образом, система в целом неидентифицируема.

Если хотя бы одно из уравнений не имеет решения, система в целом также не имеет решения. Тогда необходимо внести коррективы в исходные рабочие гипотезы и отредактировать их таким образом, чтобы идентификация была возможна.

Теоретический анализ взаимосвязи, отраженной в уравнении № 1, позволяет рассмотреть варианты возможной корректировки. Во-первых, из правой части может быть исключена одна из эндогенных переменных. Во-вторых, возможна корректировка путем исключения из правой части уравнения одной из экзогенных переменных, которая по смыслу наиболее связана с результатаом. В результате подобной корректировки рабочей гипотезы уравнение № 1 становится точно идентифицируемым, а система в целом - сверхидентифицируема.

Для поиска решений сверхидентифицированной системы уравнений применяются: а) косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) - для точно идентифицируемых уравнений, и б) двухшаговый МНК (ДМНК) - для сверхидентифицируемых уравнений.

ЗАДАЧА № 4

По территориям Сибирского иУральского федеральных округов России имеются данные о следующих показателях за 2000 год:

Y1 - стоимость валового регионального продукта, млрд.руб.

Y2 - розничный товарооборот, млрд.оруб.

Х1 - основные фонды в экономике, млрд.руб.

Х2 - инвестиции в основной капитал, млрд.руб.

Х3 - среднедушевые денежные расходы за месяц, тыс.руб.

Изучения связи социально-экономических показателей предполагает проверку следующих рабочих гипотез:

Y1 = f (Y2, X2, X3);

Y2 = f (Y1, X1, X2);

Для их проверки выполнена обработка фактических данных и получена следующая система приведенных уравнений:

Y1 = -9,713 + 0,1382 Х1 + 2,025 X2 + 8,65 X3; R2 = 0,944; Fфакт. = 62,3.

Y2 = -5,310 - 0,150 Х1 -0,8853 X2+ 4,999 X3; R2 = 0,963; Fфакт. = 96,4.

Задание:

Построить систему структурных уравнений и провести ее идентификацию.

Проанализировать результаты решения приведенных уравнений.

Используя результаты построения приведенных уравнений, рассчитать параметры структурных уравнений (косвенный МНК); проанализируйте результаты.

Укажите, каким образом можно применить полученные результаты для прогнозирования эндогенных переменных Y1 и Y2.

РЕШЕНИЕ:

Построение ситемы структурных уравнений выполняется в соответствии с рабочими гипотезами:

Y1 = a12 Y2 + b12 x2 + b13 x3

Y2 = a21 Y1 + b21 x1 + b22 x2

Выполним идентификацию каждого структурного уравнения и системы в целом. Воспользуемся счетным правилом, по которому в каждом уравнении системы необходимо сравнить число эндогенных переменных - Y и число отсутствующих экзогенных переменных из общего для всей системы их перечня.

Первое уравнение.

Эндогенных переменных -- 2 (у1 , у2), отсутствующих предопределенных переменных из общего их списка, отсутствующих в уравнении - 1 (x1 ).

Выполняется необходимое равенство: 2 = 1 + 1, следовательно, уравнениеточно идентифицируемо.

Второе уравнение:

Эндогенных переменных -- 2 (у1 , у2), отсутствующих предопределенных переменных из общего их списка, отсутствующих в уравнении - 1 (х3).

Выполняется необходимое равенство: 2 = 1 + 1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Таким образом, система в целом точно идентифицируема. Это означает, что она имеет единственное решение, которое может быть получено косвенным МНК.

Чтобы получить первое структурное уравнение из первого приведенного, необходимо отсутствующий в структурном уравнении признак Х1 выразить через Y2, используя результаты второго приведенного уравнения. Т.е.:

.

После его подстановки в первое уравнение и преобразования подобных членов получаем:

Y1 = -9,713 + 0,1382 * () + 2,025 X2 + 8,65 X3 = -14,6053 - 0,9213 Y2 + 1,2093 Х2 + 13,2557 Х3.

Как видим, полученный результат соответствует исходной рабочей гипотезе. Анализ показывает, что стоимость ВРП находится в прямой зависимости от розничного товарооборота, инвестиций в основной капитал, среднедушевых расходов населения. Указанные переменные объясняют 94,4% вариации результата, а характеристики установленной зависимости являются статистически значимыми, т.к. Fфакт. = 62,3 > Fтабл. = 3,48.

Следовательно, есть основания для отклонения нулевой гипотезы о случайной природе выявленной зависимости.

Аналогично определяем параметры второго структурного уравнения. Выражаем отсутствующий Х3 через Y1.

После его подстановки во второе уравнение и преобразования подобных членов получаем:

Y2 = -5,310 - 0,150 Х1 -0,8853 X2+ 4,999 * () = 0,3033 + 0,5779 Y1 - 0,2299 Х1 - 2,0556 Х2.

Уравнение описывает линейную зависимость розничного товарооборотаот стоимости ВРП, основных фондов в экономикеи инвестиций в основной капитал. Данный перечень переменных объясняет 96,3% вариации оборота розничной торговли, а соотношение Fфакт. = 96,4 > Fтабл. = 3,48 позволяет отклонить нулевую гипотезу о случайной природе выявленной зависимости.

Для выполнения прогнозных расчетов Y1 и Y2 наиболее простым является вариент, при котором прогнозные значения экзогенных переменных подставляются в приведенные уравнения. Точность и надежность прогнозов в этом случае зависит от качества приведенных моделей и от того, как сильно отличаются прогнозные значения экзогенных переменных от их средних значений.

ЗАДАЧА № 5

Приводятся данные о стоимости экспорта и импорта Ирландии за 1991-1999 гг.

Годы	Экспорт (Кт)	Импорт (Vт)
	К факт.	К теор.	V факт.	V теор.
1991	24,2	20,3	20,8	14,5
1992	28,3	28,7	22,5	23,1
1993	28,6	35,2	21,4	28,1
1994	34,4	40,6	25,5	31,6
1995	44,6	45,5	32,6	34,4
1996	48,7	49,8	35,9	36,6
1997	53,5	53,8	39,2	38,5
1998	64,6	57,6	44,6	40,1
1999	7,3	61,1	46,0	41,6

В уровнях ряда экспорта выявлен степенной тренд:

Кт = 20,26*t0,502

з2 = 0,884

В уровнях ряда импорта:

Vт = 14.54 + 12.32 ln t

з2 = 0,793

По указанным трендам произведено выравнивание каждого ряда, т.е. рассчитаны теоретические значения их уровней: К теор. и V теор.

ЗАДАНИЕ:

Изучите связь уровней рядов по связи отклонений фактических значений каждого ряда от теоретических (DK = К факт. - К теор.; DV = V факт. - V теор.).

Используя линейный коэффициент парной корреляции, оцените тесноту связи отклонений.

Статистическую значимость установленной связи оцените с помощью F факт. Фишера.

Проанализируйте полученные результаты.

РЕШЕНИЕ:

Тесноту связи рядов оценим с помощью линейного коэффициента парной корреляции отклонений от тренда.

.

Для решения задачи оформим расчетную таблицу, в которой выполним все необходимые расчеты:

(3) = (1) - (2)

(7) = (5) - (6)

(4) = (3) * (3)

(8) = (7) * (7)

(9) = (3) * (7)

Годы	К факт.	К теор.	DK	DK2	V факт.	V теор.	DV	DV2	DK*DV
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1991	24,2	20,3	3,9	15,21	20,8	14,5	6,3	39,69	24,57
1992	28,3	28,7	-0,4	0,16	22,5	23,1	-0,6	0,36	0,24
1993	28,6	35,2	-6,6	43,56	21,4	28,1	-6,7	44,89	44,22
1994	34,4	40,6	-6,2	38,44	25,5	31,6	-6,1	37,21	37,82
1995	44,6	45,5	-0,9	0,81	32,6	34,4	-1,8	3,24	1,62
1996	48,7	49,8	-1,1	1,21	35,9	36,6	-0,7	0,49	0,77
1997	53,5	53,8	-0,3	0,09	39,2	38,5	0,7	0,49	-0,21
1998	64,6	57,6	7	49	44,6	40,1	4,5	20,25	31,5
1999	7,3	61,1	-53,8	2894,44	46	41,6	4,4	19,36	-236,72
Итого	334,200	392,600	-58,400	3042,920	288,500	288,500	0,000	165,980	-96,190
Средняя	37,133	43,622	-6,489	338,102	32,056	32,056	0,000	18,442	-10,688
Сигма	*	*	18,388	*	*	*	4,294	*	*

Подставим полученные результаты в расчетную формулу, получаем:

r2 DK*DV = 0,13542 = 0,0183

Полученный результат позволяет сделать вывод о том, что в рассматриваемых рядах есть очень слабая связь, т.е. экспорт и импорт страны слабо связаны между собой, вариация уровней одного ряда всего на 1,83% определяют вариацию уровней другого ряда. поэтому прогнозировать один из товаропотоков на основе информации о другом - не следует, т.к. в результате прогноз будет неточным и ненадежным.

ЗАДАЧА № 6

Приводятся данные о среднегодовом уровне цен мирового рынка на бананы за 1961-1999 гг., центов за фунт. Необходимо изучить цикличность изменения цен за период.

Годы	Y факт.	Годы	Y факт.	Годы	Y факт.
1961	8,9	1974	8,4	1987	17,1
1962	8,4	1975	11,2	1988	21,7
1963	8,1	1976	11,7	1989	24,8
1964	7,8	1977	12,4	1990	24,6
1965	7,3	1978	13,0	1991	25,5
1966	7,0	1979	14,8	1992	21,7
1967	7,2	1980	17,0	1993	20,1
1968	6,9	1981	18,2	1994	19,9
1969	7,2	1982	17,0	1995	20,0
1970	7,5	1983	19,5	1996	21,4
1971	6,4	1984	16,8	1997	22,5
1972	7,3	1985	17,2	1998	21,6
1973	7,5	1986	17,3	1999	19,4

Предварительный анализ выявил несколько лаговых переменных, которые могут представлять интерес при моделировании циклических колебаний.

Лаговые переменные Y т-т	Линейный коэффициент парной корреляции
	Уровней исходного ряда и лаговой переменной rYtYt-t	Критическое значение для А=0,05 и df=n-t-2, где n=39
27	0,5534	0,5760
28	0,8561	0,6021
29	0,6534	0,6319
30	0,5077	0,6664

Задание:

Установите информативные лаговые переменные.

выберите наиболее информативную лаговую переменную и постройте с ней линейное уравнение парной регрессии (уравнение авторегрессии).

По уравнению авторегрессии выполните прогноз на четыре года.

Проанализируйте полученные результаты.

РЕШЕНИЕ:

Из представленных четырех лаговых переменных информативными являются только две: 28, 29, т.к. для них коэффициенты автокорреляции оказались больше, чем критические значения. Но среди этих двух следует выбрать единственную лаговую переменную, которая наиболее тесно связана с исходными уровнями ряда. Такой является 28-ая переменная Yt-28, для которойrYtYt-t = 0,8561, и является максимальной из представленных.

С выбранной лаговой переменной строим линейное уравнение авторегрессии, используя определители второго порядка. Для расчета сформируем базу данных и представим ее в расчетной таблице. С этой целью уровни исходного ряда сместим относительно первого уровня на 28 лет, т.е. до 1989 года. Сформировалось 11 пар значенийb Не-28, по которым выполним известный расчет.

Годы	Yt (Y)	Yt-28 (X)	Yt*Yt-28	Yt-28*Yt-28	Y теор.	Yт - Yтеор.	Еi
1961	8,9	*	*	*	*	*	*
1962	8,4	*	*	*	*	*	*
1963	8,1	*	*	*	*	*	*
1964	7,8	*	*	*	*	*	*
1965	7,3	*	*	*	*	*	*
1966	7	*	*	*	*	*	*
1967	7,2	*	*	*	*	*	*
1968	6,9	*	*	*	*	*	*
1969	7,2	*	*	*	*	*	*
1970	7,5	*	*	*	*	*	*
1971	6,4	*	*	*	*	*	*
1972	7,3	*	*	*	*	*	*
1973	7,5	*	*	*	*	*	*
1974	8,4	*	*	*	*	*	*
1975	11,2	*	*	*	*	*	*
1976	11,7	*	*	*	*	*	*
1977	12,4	*	*	*	*	*	*
1978	13	*	*	*	*	*	*
1979	14,8	*	*	*	*	*	*
1980	17	*	*	*	*	*	*
1981	18,2	*	*	*	*	*	*
1982	17	*	*	*	*	*	*
1983	19,5	*	*	*	*	*	*
1984	16,8	*	*	*	*	*	*
1985	17,2	*	*	*	*	*	*
1986	17,3	*	*	*	*	*	*
1987	17,1	*	*	*	*	*	*
1988	21,7	*	*	*	*	*	*
1989	24,8	8,9	220,72	79,21	25,4550	-0,6550	0,0264
1990	24,6	8,4	206,64	70,56	24,1887	0,4113	0,0167
1991	25,5	8,1	206,55	65,61	23,4290	2,0711	0,0812
1992	21,7	7,8	169,26	60,84	22,6692	-0,9692	0,0447
1993	20,1	7,3	146,73	53,29	21,4030	-1,3030	0,0648
1994	19,9	7	139,3	49	20,6432	-0,7432	0,0373
1995	20	7,2	144	51,84	21,1497	-1,1497	0,0575
1996	21,4	6,9	147,66	47,61	20,3900	1,0101	0,0472
1997	22,5	7,2	162	51,84	21,1497	1,3503	0,0600
1998	21,6	7,5	162	56,25	21,9095	-0,3095	0,0143
1999	19,4	6,4	124,16	40,96	19,1237	0,2763	0,0142
Итого	241,5	82,7	1829,02	627,01	241,5105	-0,0105	0,4644
Средняя	21,955	7,518	166,275	57,001	21,955	Еср.=	0,042
Сигма	46,467	5,256

3.Расчет параметров уравнения:

а1=

а0 =

Получили теоретическое уравнение линейной регрессии:

Это означает, что Yt - уровень цен данного года зависит от цены, имевшей место

28 лет назад, и составляет 2,5325 частей от ее уровня. Прочие факторы также влияют на Yt и определяют ее величину на уровне 2,9157 центов.

Тесноту связи оценим с помощью линейного коэффициента автокорреляции:

.

Линейный коэффициент автокорреляции составляет 0,0050, а квадрат его значенияr2 = 0,00502 = 0,00002, указывает, что всего лишь 0,02% вариации современного уровня цен определены вариацией уровня цен 28-летней давности.

Для выполнения прогноза на предстоящие 4 года подставим в уравнение авторегрессии в качестве фактора фактические значения уровней исходного ряда, начиная с 1972 года, т.е.:

Прогноз
фактора	результата
7,3	21,40
7,5	21,91
8,4	24,19
11,2	31,28

Средняя ошибка аппроксимации в 0,042% позволяет предположить, что точность выполненного прогноза будет в допустимых границах при высокой вероятности его реализации.

Размещено на Allbest.ru