Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Контрольная работа

По дисциплине:

«Экономико-математические методы и прикладные модели»

Вариант №1

Калуга 2009 г

Задача 1

Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.

Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В -- 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?

Решение

Введем обозначения:

х₁ -- инвестиции в акции автомобильного концерна А.

х₂ -- инвестиции в акции строительного предприятия В.

F -- прибыль

Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:

Ю max -целевая функция (прибыль)

= x₁ -2x₂ і0 - ограничения по сумме вложений

x₁ -

x₁ і 0; x₂ і 0;

Система неравенств включает ограничения по суммам вложений. Акции А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акции В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.

1.Для решения задачи графическим методом найдём область допустимых значений задачи.

Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы координат.

Функциональные ограничения определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми:

Графическое решение.

I. (0;300) (300;0)

т.(0;0) - входит в ОДР;

II. (200; 100), (0;0).

т.(1;0) - входит в ОДР;

III. (0;100) прямая параллельная оси ОХ.

т.(0;0) - входит в ОДР.

2. Приравняем целевую функцию к нулю F = 0,08x₁ + 0,1x₂ =0

через эти две точки проведем линию (L).

3. Построим вектор-градиент и соединим его с началом координат

? (с₁ ; с₂ );

? (0,08; 0,1)

4.При минимизации целевой функции необходимо в направлении вектора-градиента. В нашем случае движение линии уровня будет осуществляться до ее пересечения с точкой В, далее она выходит из области допустимых решений. Именно в этой точке достигается максимум целевой функции.

x₁ + x₂ = 300

x₂ =100

x₁ = 300 -x₂

x₁ = 300 - 100 = 200; F = 0,08*200 + 0,1*100 = 16 + 10 = 26.

5. Ответ: max (F) =26 и достигается при x₁ =200; x₂ =100;

Рекомендуется вложить в акции автомобильного концерна А, 200 тыс. ден. ед., в акции строительного предприятия В, 100 тыс. ден. ед., в первый год получим максимум прибыли 26 тыс. ден. ед.

6. Если поставить задачу минимизации, функциональную линию уровня необходимо смещать в направлении противоположном вектору-градиенту ?. Минимум целевой функции достигается в точке 0 (0;0) следовательно можно записать min (F) = 0 и достигается при x_{1 =} 0; x₂ = 0.

Задача 2

Задача 4

выручка сырье продукция баланс

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК (Y(t)) -- расчетные, смоделированные значения временного ряда).

4. Оценить адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S критерия взять табулированные границы 2,7--3,7).

5. Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6. По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Решение

1.Под аномальным уровнем понимается отдельное значение уровня временного ряда, которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает существенное влияние на значения основных характеристик временного ряда, в том числе и на соответствующую трендовую модель.

Для выявления аномальных наблюдений воспользуемся методом Ирвина:

где среднеквадратическое отклонение рассчитываем с использованием формул:

; .

Расчётные значения и т.д. сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина , и если оказывается больше табличных, то соответствующее значение уt уровня ряда считается аномальным. При п=9 для уровня значимость значение критерия Ирвина равно 1,5. Все расчётные значения представим в таблице:

Таблица 4.1

Отсюда < 1,5, что означает данный временной ряд, не содержит аномальных наблюдений.

Данные диаграммы рассеяния показывают, что аномальных наблюдений нет.

Диаграмма рассеяния

2. Построим линейную модель: , где

Промежуточные расчёты параметров линейной модели приведём в таблице.

Таблица 4.2

Таким образом, линейная модель имеет вид: . Последовательно подставляя в модель вместо фактора t его значения от 1 до n, получаем расчётные значения уровней :=4,94+5,3·1=10,24

=4,94+5,3·2=15,54

Отклонения расчётных значений от фактических наблюдений находим по формуле: =- (t=1,2,…..9).

4.Оценим адекватность построенных моделей

4>2

Неравенство выполняется, следовательно. Можно сделать вывод, что свойство случайности ряда остатков подтверждается.

Для проверки независимости уровней ряда остатков вычисляем значение критерия Дарбина-Уотса по формуле:

Расчёт представлен в таблице ниже. Критерий d=1,16, так как и попал в интервал (0,98-1,36), то по данному критерию нельзя сделать вывод о выполнении свойства независимости. Необходимо вычислить коэффициент автокорреляции первого порядка:

= 0,26

фактическое значение больше табличного. Это означает, что в ряду динамики имеется автокорреляция, следовательно, модель по этому критерию неадекватна. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определяем при помощи R/S критерия:

.

Размах вариации: , а среднее квадратическое отклонение

Следовательно, R/S=3,34. Это значение попадает в интервал между нижней и верхней границами табличных значений данного критерия (2,7-3,7). Следовательно, свойство нормальности распределения выполняется.

Анализ ряда остатков

5.Оценим адекватность линейной модели . Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда близко или равно нулю, и если значения остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.

Сформулируем остаточную последовательность в таблице.

Таблица 4.3

Проверку случайности проводим на основе критерия пиков (поворотных точек) их количество равно 4.

График остатков линейной модели

6.Осуществим прогноз спроса на следующие две недели.

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Ширину доверительного интервала находим по формуле:

.

.

Коэффициент является табличным значением 1 - статистика Стьюдента. Доверительная вероятность равна 70%,=1,05

В таблице ниже сводим результаты прогнозных оценок линейной модели:

Таблица 4.7 Прогнозные оценки линейной модели

7.Фактические значения показателя. Результаты моделирования и прогнозирования представляем графически.

Линейная трендовая модель

График подбора линейной модели

Преобразовательный график подбора линейной модели

Результаты моделирования и прогнозирования

Размещено на Allbest.ru