Построение экономико-математических моделей производственных задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образования

ГОУ ВПО

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Контрольная работа

по дисциплине:

ЭММ и ПМ

Исполнитель: Устинова О.С

Специальность: ГМУ

Проверил: Мануйлов Н.Н

Владимир 2012Задача №1

Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) S1 S2 и S3. Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице

Питательное вещество (витамин)	Необходимый минимум питательных веществ	Число единиц питательных веществ в 1 кг корма
		I	II
S1	9	3	1
S2	8	1	2
S3	12	1	6

Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 ден. ед.

Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание питательных веществ каждого вида было бы не менее установленного предела.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

Построим экономико-математическую модель задачи:

Пусть - количество корма 1 вида

- количество корма 1 вида;

Тогда общая стоимость:

Ограничения по необходимому минимуму питательных веществ:

S1

S2

S3

Построим ОДР задачи:

Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы координат.

Функциональные ограничения (неравенства) определяют область, являющуюся пересечением полуплоскостей с граничными прямыми:

I. 3x₁ + x₂=9

II. x₁ +2x₂=8

III. x₁ +6x₂=12

Пересечение указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой заштрихованная общая область для всех ограничений задачи ОДР.

1. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину V (4;6) c началом координат О (0,0).

2. Построим некоторую линию уровня 4x₁ +6x₂ = а. Пусть, например, а = 0.

Определим координаты точек max и min:

min: 3x₁ + x₂=9

x₁ + 2x₂=8 х₁ = 8 - 2х₂

3*( 8 - 2х₂ ) + х₂ = 9

24 - 6х₂ + х₂ = 9

15 = 5 х₂

х₂ = 3

х₁ = 8 - 2 х₂ = 8 - 2*3 = 2

ЦФ (2 ; 3) = 4*2 + 6*3 = 26

max - > ?

Ответ: min f(x) =26, x₁=2 x₂=3

max f(x) =+?

Дневной рацион должен состоять из 2 кг корма 1 типа и 3 кг корма 2 типа, при этом затраты будут минимальными и составят 26 ден.ед.

Задача №2

На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на ед. продукции	Запасы сырья
	1вид	II вид	III вид
I	1	2	1	430
II	3	0	2	460
III	1	4	0	420
Цена изделия	3	2	5

Требуется:

1) сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции;

2) сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности;

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане;

4) на основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

· проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

· определить, как изменится выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 5 ед., а II - уменьшить на 5 ед.;

· определить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 7 у.е., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 единицы

Решение

Составим ЭММ исходной задачи:

Решим эту задачу с помощью компьютерной информационной технологии в рабочем листе Excel



В результате получено следующее решение задачи: оптимальный план выпуска продукции ( 0; 100; 230 ); при этом ЦФ = 1350

2. Используем правило преобразования исходной задачи к двойственному виду:

430у₁ + 460у₂ + 420у₃ >min

у₁ + 3у₂ + у₃ ? 3;

2у₁ + 4у₃ ? 2;

у₁ + 2y₂ ? 5;

у₁, у₂, у₃ ? 0.

Посмотрим какие из ресурсов в исходной задаче не являются дефицитными. Для этого проверим выполнение ограничения в исходной задаче, подставив туда значения оптимального плана

0*1 + 2*100 + 230 < 430

3*0 + 2*230 < 460

0 + 4*100 < 420

430 < 430 у_i > 0

460 < 460 у_i > 0

400 < 420 у_i = 0

Согласно второй теореме о дополняющей нежесткости в двойственной задаче превращаются в строгое равенство те ограничения, которым соответствуют x_j > 0;

Х₂; Х₃ > 0

Поэтому для составления системы уравнений выбираем ограничения в двойственной задаче с этими же номерами: ( у₂; у₃ ). Получаем систему уравнений:

2у₁ + 4у₃ ? 2;

У₁ + 2у₂ ? 5.

2у₁ + 4у₃ = 2;

У₁ + 2у₂ = 5.

Решив данную систему получаем оптимальный план двойственной задачи:

У₁ у₂ у₃

1 2 0

Рассчитаем значение ЦФ двойственной задачи:

(430у₁ + 460у₂ + 420у₃ ) = 430*1 + 460*2 +0 = 1350

Таким образом значение ЦФ в исходной и двойственной задачах равны, соблюдается первая теорема двойственности, задача решена верно.

3. Нулевые значения в оптимальном плане означают:

Х₁ = 0 - выпуск изделия 1 нерентабелен. При принудительном выпуске единицы этой продукции ЦФ , то есть выручка предприятия уменьшится на нормированную стоимость в денежных единицах. Не выгодному ресурсу соответствует ограничение с тем же номером, то есть у него затраты больше чем цена.

а) Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане.

Двойственные оценки показывают на сколько изменяется ЦФ, то есть выручка предприятия, если запас ресурса увеличить на единицу.

Увеличение запасов сырья I типа, на 1 привело бы к росту максимальной суммы выручки на денежную единицу (у₁ =), а увеличение сырьевых ресурсов II типа на 1 привело бы к росту максимальной суммы выручки на денежные единицы. Тогда как увеличение сырьевых ресурсов III типа не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и сумму выручки. Поэтому, так как цена третьего сырья у₃=0, то сырье третьего типа не дефицитно. Дефицитное сырье первого и второго типа, так как в оптимальном плане исходной задачи используется полностью. Сырье второго типа более дефицитно (у₂ =2), чем сырье первого типа (у₁ =1).

б) Определим, как изменится общая стоимость продукции если запасы сырья I вида увеличить на 5 единиц, а запасы сырья II вида уменьшить на 5 единиц.

Составим систему уравнений из тех ограничений исходной задачи, для которых у_i > 0 то есть из строгих равенств. По прежнему будем считать что решение проводится в границах устойчивости двойственных оценок. Предполагаемые изменения запасов ресурсов находятся в пределах допустимого увеличения и допустимого уменьшения

Структура оптимального плана не изменится Х₁ = 0

Составим систему уравнений с учетом изменившихся запасов ресурсов.

х₁ + 2х₂ + х₃ = 430 + 5

3х₁ + 2х₃ = 460 - 5 х₁ = 0

2х₂ + х₃ = 435

2х₃ = 455

Х₃ = 227,5

2х₂ = 435 - 227,5 = 207,5

Х₂ = 103,75

Таким образом новый план выпуска продукции имеет вид:

х₁ =0; х₂ = 103,75; х₃ = 227,5

Выпуск изделия 2 увеличится на 3,75; выпуск изделия 3 уменьшится 2,5

Новое значение ЦФ:

( 3х₁ + 2х₂ + 5х₃ ) =3*0 + 2*103,75 + 5*227,5 = 207,5 + 1137,5 = 1345

1350 - 1345 = 5

таким образом, выручка от реализации готовой продукции уменьшится на 5 ден.ед.

в) оценим целесообразность включения в план изделия Г вида ценой 7 у.е., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 кг.

Затраты на изготовление единицы четвертого изделия

< ( 2*1 + 4*2 + 3*0 ) - 7 = 2 + 8 + 0 - 7 = 3

3 > 0, т.е. затраты на производство четвертого изделия больше его цены, следовательно, включать его в план производства нецелесообразно, так как затраты на его производство не окупаются.

Задача № 3

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида, третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятия холдинга.

Даны коэффициенты прямых затрат и конечный продукт .

А = , Y =

Решение.

Модель баланса производства и распределения продукции предприятия можно представить системой уравнений:

Х₁ = 0*Х₂ + 0,4*Х₂ + 0,1*Х₃ +160

Х₂ = 0,4*Х₁ + 0,1*Х₂ + 0*Х₃ +180

Х₃ = 0,3*Х₁ + 0*Х₂ + 0,1*Х₃ +150

Учитывая, что единичная матрица Е = ,

запишем матрицу (Е-А) =

Дальнейшие расчеты произведём с помощью метода Гаусса-Жордана:

Сделаем выводы:

матрица коэффициентов полных затрат В, которая равна

1,268 0,563 0,141

(Е-А)^-1 = 0,563 1,362 0,063

0,423 0,188 1,158

Судя по тому, что все элементы матрицы В положительны, матрица (Е-А) неотрицательно обратима. Поэтому, матрица А является продуктивной. Продуктивность матрицы А является необходимым и достаточным условием существования единственности и неотрицательности решения системы уравнений Y=(E-A)*X при любом неотрицательном векторе Y>=0.

Распределение продукции между отраслями холдинга на внутреннее потребление определяется из соотношения:

X_ij = a_ij*X_i, т.е. Х₁₁= а₁₁*Х₁= 0*325,352 = 0,

Х₁₂= а₁₂*Х₂= 0,4*344,6 = 137,84 и т.д.

В итоге плановая модель баланса производства и распределения продукции холдинга будет иметь следующий вид:

Проверка и Х по расчету совпадают. Баланс сошёлся.

Задача № 4

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице

Номер варианта	Номер наблюдения (t=1,2,...,9)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
8	8	13	15	19	25	27	33	35	40

Требуется:

1) Проверить наличие аномальных наблюдений.

2) Построить линейную модель =а + bt , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).4)Построить адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания и . Выбрать лучшие значения параметров сглаживания.

5) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7--3,7).

6) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

7) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

8) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение.

1) Проверим наличие аномальных наблюдений.

Для выявления аномальных уровней временных рядов используется метод Ирвина:

Метод Ирвина, например предполагает использование следующей формулы:

,

где среднеквадратическое отклонение рассчитываем, используя следующие формулы:

, .

Расчетные значения ₂, ₃ и т.д. сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина и если оказываются больше табличных, то соответствующие значение у_t уровня ряда считается аномальным. Значения критерия Ирвина для уровня значимости = 1,5, то есть с 5%-ой ошибкой приведены в таблице:

n	2	3	10	20	30	50	100
	2,8	2,3	1,5	1,3	1,2	1,1	1,0

Вычисления по указанным формулам указаны в таблице:

В данном случаи среднеквадратическое значение уровня ряда =

= 1090234;

Вывод: как видно из таблицы все расчетные значения критерия Ирвина меньше чем табличные, то есть < 1,5, поэтому аномалий не обнаружено.

2) Построим линейную модель вида Y_р(t) = a₀ + a₁t по методу наименьших квадратов.

Для расчета линейной модели используется следующая расчетная таблица:

Расчет линейной модели произведен по методу наименьших квадратов.

= = 3,97

23,89 - 3,97*5 = 4,06

Получили модель в общем виде:

Y(t) = а₀ + а₁t₁ = 4.06 3.97*t.

4)Построить адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания и . Выбрать лучшие значения параметров сглаживания.

Построим адаптивные модели Брауна с и . Расчетное значение в момент времени получается по формуле:

где k -- количество шагов прогнозирования (обычно k = 1).

Это значение сравнивается с фактическим уровнем, и полученная ошибка прогноза E(t)=Y(t) - Y_p(t) используется для корректировки модели. Корректировка параметров осуществляется по формулам:

где - коэффициент дисконтирования данных, отражающий большую степень доверия к более поздним данным. Его значение должно быть в интервале от 0 до 1.

Процесс модификации модели (t-- 1,2,..., N) в зависимости от текущих прогнозных качеств обеспечивает ее адаптацию к новым закономерностям развития.

Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам при помощи метода наименьших квадратов.

а₀₍₀₎ = 4; а₁₍₀₎ = 4.

Возьмем =0,4; к = 1; = 1 - = 0,6.

Дальнейшие вычисления проведены в таблице:

Таким образом получим сумму квадратов остатков = 15,87

Возьмем = 0,7; к = 1; = 1 - = 0,3

Дальнейшие вычисления произвели в таблице



Таким образом получили сумму квадратов остатков = 32,42.

Поскольку при = 0,4 сумма квадратов меньше чем при = 0,7, мы выбираем первую модель в качестве лучшей.

Оценим адекватность построенной модели4)Построить адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания и . Выбрать лучшие значения параметров сглаживания.

Построим адаптивные модели Брауна с и . Расчетное значение в момент времени получается по формуле:

где k -- количество шагов прогнозирования (обычно k = 1).

Это значение сравнивается с фактическим уровнем, и полученная ошибка прогноза E(t)=Y(t) - Y_p(t) используется для корректировки модели. Корректировка параметров осуществляется по формулам:

где - коэффициент дисконтирования данных, отражающий большую степень доверия к более поздним данным. Его значение должно быть в интервале от 0 до 1.

Процесс модификации модели (t-- 1,2,..., N) в зависимости от текущих прогнозных качеств обеспечивает ее адаптацию к новым закономерностям развития.

Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам при помощи метода наименьших квадратов.

а₀₍₀₎ = 4; а₁₍₀₎ = 4.

Возьмем =0,4; к = 1; = 1 - = 0,6.

Дальнейшие вычисления проведены в таблице:

Таким образом получим сумму квадратов остатков = 15,87

Возьмем = 0,7; к = 1; = 1 - = 0,3

Дальнейшие вычисления произвели в таблице

Таким образом получили сумму квадратов остатков = 32,42.

Поскольку при = 0,4 сумма квадратов меньше чем при = 0,7, мы выбираем первую модель в качестве лучшей.

Равенство математического ожидания остатков нулю выполняется для любой линейной модели. Проверим случайный характер остатков. Для проверки условия случайности возникновения отдельных отклонений от тренда часто используется критерий, основанный на поворотных точках. Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше соседних с ним элементов или, наоборот, меньше значений предыдущего и последующего за ним члена. Если остатки случайны, то поворотная точка приходится примерно на каждые 1,5 наблюдения. Если их больше, то возмущения быстро колеблются, и это не может быть объяснено только случайностью. Если же их меньше, то последовательные значения случайного компонента положительно коррелированны .

Существует определенная зависимость между средней арифметической р, дисперсией _р² количества поворотных точек р и числом членов исходного ряда наблюдений n. В случайной выборке средняя арифметическая (математическое ожидание) числа поворотных точек равна р = 2/3 (n - 2), а их дисперсия вычисляется по формуле:

_р² = .

Учитывая эти соотношения, критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представит, как

,

где р - фактическое количество поворотных точек в случайном ряду.

= 2

6 > 2.

Неравенство соблюдается, ряд остатков можно считать случайным, модель адекватна по этому признаку.

Проверка независимости ряда остатков. Наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях от модели роста проще всего проверить с помощью критерия Дарбина-Уотсона (d-статистика), в основе которой лежит расчетная формула.

Преобразуем значение коэффициента d^| = 4 - 3.23 = 0.77

Данное значение находится в диапазоне от 0 до критического значения d_| 1,08, значит остатки зависимы, модель не адекватна по этому признаку.

Проверим соответствие остатков нормальному закону распределения с помощью R/S критерия:

R/S = (E_max - E_min)/ S = 2,13 / 23,89 = 2,31

Среднеквадратическое отклонение S берется из формулы:

В данном случаи значение критерия выходит за диапазон критических уровней. Остатки не подчиняются нормальному закону распределения, модель не адекватна по этому признаку.

6) Оценим точность построенной модели на основе относительной ошибки аппроксимации.

Оценка точности модели имеет смысл только для адекватных моделей. В случаи временных рядов точность модели определяется как разность между фактическим и расчетным значениями. В качестве статистических показателей точности чаще всего применяют стандартную ошибку прогнозируемого показателя, или среднеквадратическое отклонение от линии тренда.

где т -- число параметров модели, и среднюю относительную ошибку аппроксимации.

= 0,98

= * 100% = 3,7 < 5

Данное значение < 5%, поэтому точность модели высокая.

Пункты 4 и 5 для модели Брауна.

· Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы. Для чего строится t-статистика:

= 0,04

Статистика Стьюдента табличная при числе степеней свободы = 8 и уровне значимости = 0,3, ровна 1,08. Так как t расчетная < чем t табличная нулевая гипотеза остатков принимается. Модель адекватна по этому признаку

Проверим случайный характер остатков. Число поворотных точек р = 6, критическое число = 2.

6 > 2

Свойство случайности остатков выполняется.

Проверим наличие или отсутствие автокорреляции в ряде остатков. Используем критерий Дарбина-Уотсона

= = 3,28

Поскольку значение критерия получилось > 2, перед входом в таблицу вычтем его из 4. Получим 4 - 3,28 = 0,72. Остатки зависимы модель не адекватна по этому признаку.

Проверим соответствие ряда остатков нормальному закону распределения. баланс экономический математический excel

Рассчитаем значение RS:

RS = (E_max - E_min)/ S,

где E_min - максимальное значение уровней ряда остатков E(t);

E_max - минимальное значение уровней ряда остатков E(t)

S - среднеквадратическое отклонение.

= 2,72

Так как значение RS-критерия находится между критическими уровнями, нулевая гипотеза о нормальном законе распределения остатков принимается.

Оценим точность модели



= = 1,51 - среднеквадратическое отклонение от линии тренда.

Рассчитаем среднюю относительную ошибку аппроксимации

= = 5,15

Следовательно точность модели удовлетворительная, так как погрешность находится между 5 - 15 %.

Модель нуждается в совершенствовании, прогноз строится формально.

7) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p=70%).

Для линейной модели:

Построение точечного и интервального прогнозов. Если в ходе проверки разрабатываемая модель признана достаточно надежной, на её основе разрабатывается точечный прогноз. Он получается путем подстановки в модель значений времени t, соответствующих периоду упреждения k : t = n + k. Так, с в случае трендовой модели в виде полинома первой степени - линейной модели роста - экстраполяция на k шагов вперед имеет вид:

= 40,6 + 3,97*(9 + 2) = 47,67

Для учета случайных колебаний при прогнозировании рассчитываются доверительные интервалы, зависящие от стандартной ошибки , горизонта прогнозирования k, длины временного ряда n и уровня значимости прогноза а. Будущие значения Y_n+k c вероятностью (1 - а) попадут в интервал.

Рассчитаем доверительный интервал прогноза

Р = 70% значит что = 1 - 0,7 = 0,3 - уровень значимости.

t, S_{Y = = 1.2*0.99* = 1.45,}

здесь табличные значения статистики Стьюдента при уровне значимости = 0,3, число степеней свободы = 7, составляет t = 1,12, среднеквадратическое число остатков = 0,99

Y₁₁ Є [47.67 - 1.45; 47,67 + 1,45]

Y₁₁ Є [46,24; 49,13]

Вывод: данный прогноз выполнен формально, модель неадекватна и нуждается в совершенствовании.

Пункт 6 для модели Брауна:

Построим точечный прогноз. Для прогнозирования используется модель, полученная на последнем шаге (при t = N).

Прогнозные оценки по модели (5.3.1) получаются путем подстановки в нее значения k = 1, 2; а интервальные - по тем же формулам, что и для кривых роста

Y_p (10) = 39,81 + 3,98*1 = 43,79

Y_p (11) = 39,81 + 3,98*2 = 47,77

Рассчитаем интервал прогноза: ( = 0,3; = 7)

U (2) t, S_{Y =} = 1,119*1,51* = 2,204

K = 2 (t = 11)

Нижняя граница: 47,77 - 1,51 = 45,57

Верхняя граница: 47,77 + 1,51 = 49,98

время	факт	а0	а1	расчет	отклонение
		201,50	29,90
1	238	237,74	34,12	231,40	6,600
2	249	249,91	19,49	271,86	-22,860
3	287	286,30	30,75	269,41	17,592
4	340	339,08	45,44	317,05	22,951
5	342	343,70	18,23	384,52	-42,523
6	373	372,56	25,31	361,93	11,073
7	360	361,51	1,08	397,87	-37,870
8	380	379,30	12,22	362,59	17,409
9	403	402,54	19,56	391,52	11,478
10	419,1	419,22	17,64	422,10	-3,005
11	451	450,43	26,69	436,86	14,139
12	460	460,68	15,73	477,12	-17,124
13	379,8	383,66	-46,10	476,42	-96,615
14	410,7	407,77	0,71	337,56	73,139
15				408,48

Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Отобразим графически наблюдаемые данные , модельные данные и прогноз.



Размещено на Allbest.ru