Применение регрессионного анализа при оценке рисков

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассматриваются два альтернативных проекта А и В (табл.1). Оценив их рисковость, необходимо выбрать наиболее привлекательный проект. Приняты следующие обозначения: рi - вероятности состояния внешней среды; xi - соответствующие доходности проектов.

управленческий риск актив

Таблица 1.

А	В
pi	0,15	0,15	0,3	0,21	0,19	pi	0,09	0,25	0,35	0,1	0,21
xi, %	5,50	6,20	7,8	10.30	12,70	xi, %	3,25	5,50	6,25	8,8	10,50

Решение:

1) Найдем разброс доходности бумаги А относительно среднего значения (рис. 1) по формуле:

2)

Рис. 1

3) Средний квадрат доходности бумаги А (рис. 2).



Рис. 2

4) Затем дисперсию доходности или среднеквадратическое отклонение для бумаги А (служит мерой риска) (рис. 3) по формулам:

или

Рис. 3

5) Коэффициент вариации показывает смысл риска на единицу ожидаемой доходности (рис. 4):

COV=



Рис. 4

Аналогично находим рассмотренные показатели для бумаги В.

Ответ: Бумага А является более рискованней, чем бумага В, поэтому, в данном случае бумага В предпочтительней.

Формирование оптимального портфеля ценных бумаг

По представленным в таблице данным необходимо:

1) Определить характеристики каждой ценной бумаги а_i , в_i , б_{i ,}

(б_i =а_i +(в-1)mf ), R² , общий, рыночный и собственный риски;

2) Сформировать портфель минимального риска из двух видов ценных бумаг при условии, что обеспечивается доходность портфеля m_p , не менее чем по безрисковым ценным бумагам (облигациям) m_{f ,} с учетом доходности m_r по рыночному индексу;

3) Построить линию рынка ценных бумаг - SML.

Таблица 2. Доходность рынка и акций, %.

Месяц	mf	mr	Доходность ценных бумаг
			mA	mB
1	1,98	0,22	0,62	-0,97
2	2,79	1,91	2,21	2,79
3	3,21	0,61	0,37	0,21
4	1,99	0,45	0,07	0,99
5	2,62	1,86	1,80	1,62
6	2,01	1,54	2,24	2,01
7	3,33	2,84	2,76	3,17
8	2,18	2,80	2,21	2,80
9	1,03	0,50	0,52	0,20
10	3,14	3,03	2,35	4,44
11	4,82	2,11	1,85	1,82
12	3,22	0,60	1,51	1,13

Решение:

Внесем все данные из таблицы 2 в Microsoft Excel.

а) значения оценок математического ожидания доходностей по безрисковой ценной бумаге mf и рыночному индексу mr ;

б) оценка квадрата риска (волатильности) доходности по рыночному индексу уmr 2 .

Находим средние значение доходности по рынку, облигациям и ценным бумагам.

Выполнение этих расчетов в MS Excel основывается на применении функций СРЗНАЧ и ДИСП (или ДИСПР -- для генеральной совокупности) из категории Статистические.

Обращаясь к Мастеру функций, вызываем функцию СРЗНАЧ (рис. 5), а затем аналогичным образом обратимся к функции ДИСП (рис. 6).

Рис. 5



Рис. 6

3. Оценка параметров регрессии доходностей акций компании на доходность по рыночному индексу. Для оценки таких характеристик каждой ценной бумаги, как ai, вi, бi, R 2, а также общего, рыночного и собственного риска используем инструмент Регрессия из Анализа данных (рис. 7).

Рис. 7 Анализ данных

Рис. 8 Регрессия

Аналогично находим регрессию по ценной бумаге В.

В результате получим следующие данные:

По бумаге А:

Рис. 9

Рис.10

По бумаге В:

Рис.11

Рис.12

Отсюда, а₁=0,332; в₁=0,078; R²₁=0,7703.

Наша модель для первой ценной бумаги будет иметь вид:

.

а₂=-0,347; в₂=1,320; R²₂=0,837.

Модель для второй ценной бумаги будет иметь вид:

.

Рядом с таблицей добавляем колонки ( mr-mr ср) и (mr-mr ср)^2

Найдем средние значения доходностей по рынку, облигациям и ценным бумагам.

Также найдем вариацию рынка по формуле:

Рис. 13

В нашем случае

Рыночная часть вариации i-ой ценной бумаги определяется по формуле , а собственная часть вариации - . Соответствующие риски определяются как корни из вариаций, т.е. рыночный риск , а собственный риск .

Найдем рыночный, собственный и общий риски.

Рыночный риск бумаги А будет равен 0,655, бумаги В=1,872



Рис. 14

Собственный риск находим из регрессионного анализа - дисперсия остатков: А=0,195, В=0,365

Рис. 15

Рис. 16

Общий риск складывается из рыночного и собственного рисков: А=0,851, В=2,237.



Рис. 17

Найдем из формулы

Если бi= 0, то бумага справедливо оценена, если бi >0, то недооценена, если бi <0, то переоценена рынком.

Бумага А:

, т.к. <0, то ценная бумага переоценена рынком.

Бумага В:

, т.к. >0, то ценная бумага недооценена рынком.

После нахождения характеристик приступим к задаче оптимизации.

где m₀ - доходность по облигациям.

Для этого опять воспользуемся электронными таблицами Excel.

Внесем все формулы:

Доходности, риска, суммы ценных бумаг (равно 1).

Рис. 18

Рис.19

Рис. 20

Вводим через поиск решения целевую ячейку - риск ценной бумаги, доходность >=1,6, Х1+Х2=1, Х1и Х2>0

Рис. 21

Рис. 22

Находим решение:

Рис. 23

Вывод: чтобы портфель был min риска = 1,116 необходимо, чтобы он состоял из 56 ЦБ - А и 44 ЦБ - В.

Построим линию рынка ЦБ по формуле

Возьмем следующие координаты:

Рис. 24

Модель доходности финансовых активов описывает зависимость между рыночным и требуемым доходностью. Согласно этой модели решение принимается под воздействием 2-х факторов, ожидаемой доходностью и риска.

Рис.

Размещено на Allbest.ru