Основы эконометрики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Кафедра экономико-математических методов и моделей

Контрольная работа

по дисциплине "Эконометрика"

Задача 1

X	26	18	33	42	41	44	15	27	41	19
Y	43	28	51	62	63	67	26	43	61	33

По предприятиям лёгкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объёма выпуска продукции (Y, млн руб.) от объёма капиталовложений (X, млн руб.).

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (?? = 0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (?? = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости б = 0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически фактические и модельные значения Yточки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

· гиперболической;

· степенной;

· показательной.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Решение задачи:

1. Построим точечную диаграмму по исходным данным:

Рис. 1. Точечная диаграмма

Расположение точек на плоскости даёт основание предположить линейную зависимость между X и Y.

y = a₀ + a₁x

Найдём параметры уравнения линейной регрессии:

Составим таблицу, по которой будут производиться все дальнейшие вычисления:

Таблица 1

15	26	225	390	26,156	-0,156		0,024		0,006	243,36	470,89
18	28	324	504	30,299	-2,299	1	5,285	4,592	0,082	158,76	388,09
19	33	361	627	31,680	1,320	0	1,742	13,097	0,04	134,56	216,09
26	43	676	1118	41,347	1,653	1	2,732	0,111	0,038	21,16	22,09
27	43	729	1161	42,728	0,272	0	0,074	1,907	0,006	12,96	22,09
33	51	1089	1683	51,014	-0,014	0	0,000	0,082	0,000	5,76	10,89
41	61	1681	2501	62,062	-1,062	1	1,128	1,098	0,017	108,16	176,89
41	63	1681	2583	62,062	0,938	1	0,880	4,000	0,015	108,16	234,09
42	62	1764	2604	63,443	-1,443	1	2,082	5,669	0,023	129,96	204,49
44	67	1936	2948	66,205	0,795		0,632	5,009	0,012	179,56	372,49
306	477	10466	16119		0,004		14,581	35,565	0,241	1102,4	2118,1
30,6	47,7	1046,6	1611,9		0,0004

y = 5.441 + 1.381x

Уравнение регрессии: y = 5.441 + 1.381x говорит о том, что при увеличении объёма капиталовложений на 1 млн руб. объём выпуска продукции увеличится в среднем на 1,381 млн руб.

2. Вычислим остатки и найдём остаточную сумму квадратов:

Найдём дисперсию остатков по формуле:



Найдём по формуле:

Т.к. дисперсия остатков имеет достаточно низкое значение 1,823 и <10%, то отклонение остатков от их средней величины невелико, а значит, рассчитанные по построенной регрессионной модели значения будут близки к фактическим значениям, следовательно, дальнейший анализ построенной модели будет достаточно точным.

Построим график остатков:

Рис. 2. График остатков

3. Проверим предпосылки МНК:

· Остатки должны быть распределены случайно. Проверим это с помощью критерия пиков:

, где ,

5]=5

5>2 Т остатки распределены случайно.

· Остатки должны быть не коррелированны. Проверим это с помощью критерия Дарбина-Уотсона:

Т остатки не коррелированны.

· Должно быть выполнено условие гомоскедастичности, т.е. постоянство дисперсии для всех остатков. Проверим это по тесту Голдфельда-Квандта:

Разделим всю совокупность на две группы и определим по каждой из групп уравнения регрессии:

y = a₀ + a₁x

Таблица 2

15	26	225	390	25,492	0,258
18	28	324	504	30,046	4,186
19	33	361	627	31,564	2,062
26	43	676	1118	42,19	0,656
27	43	729	1161	43,708	0,501
105	173	2315	3800		7,664
21	34,6	463	760

y₁ = 2,722 + 1,518x

Таблица 3

33	51	1089	1683	50,814	0,035
41	61	1681	2501	61,91	0,828
41	63	1681	2583	61,91	1,188
42	62	1764	2604	63,297	1,682
44	67	1936	2948	66,071	0,863
201	304	8151	12319		4,596
40,2	60,8	1630,2	2463,8

y₂ = 5,043 + 1,387x

Определим остаточные суммы квадратов для первой регрессии

 и второй .

(при 5X₁ = 4 и 5X₂ = 4)

< Т гомоскедастичность имеет место.

· Остатки должны быть распределены по нормальному закону. Проверим это с помощью R/S-критерия:

, где

Критические границы отношения при б = 0,05 и ?? = 10: 2,67-3,57

= 2,927 попадает в заданный интервал ? остатки распределены по закону Гаусса, свойства нормальности распределения выполняются.

4. Проверим значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (б = 0,05).

y = 5.441 + 1.381x

(при ?? = 8)

и ? параметры уравнения регрессии считаются значимыми.

5. Рассчитаем коэффициент детерминации:

= 0,993 = 99,3% ? вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 99,3% объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Проверим значимость уравнения регрессии с помощью ??-критерия Фишера (б = 0,05):

(при ??₁ = 1 и ??₂ = 8)

> ? уравнение регрессии с вероятность 0,95 в целом статистически значимое.

Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации:

- это говорит о высокой точности аппроксимации.

В среднем расчётные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 2,41%.

Модель удовлетворяет требованиям точности и выполняются все 5 предпосылок МНК ? модель считается качественной.

6. Осуществим прогнозирование:

Рассчитаем доверительный интервал:

(при ?? = 8 и б = 0,1)

Таким образом, = 54,052 будет находиться в интервале (51,386;56,718).

7. Представим графически фактические и модельные значения Y точки прогноза:

Рис. 3. Прогноз

8. Составим уравнения нелинейной регрессии:

Гиперболическая модель:



Заменим ?? = 1/x и получим линейное уравнение:

Найдём параметры уравнения:

Составим таблицу, по которой будут производиться все дальнейшие вычисления для гиперболической модели:

Таблица 4

		??
15	26	0,067	1,733	0,004	470,89	41,135	-15,135	229,078	58,213
18	28	0,056	1,556	0,003	388,09	43,680	-15,680	245,855	55,999
19	33	0,053	1,737	0,003	216,09	44,349	-11,349	128,808	34,392
26	43	0,038	1,654	0,001	22,09	47,594	-4,594	21,108	10,684
27	43	0,037	1,593	0,001	22,09	47,921	-4,921	24,212	11,443
33	51	0,030	1,545	0,001	10,89	49,463	1,537	2,364	3,014
41	61	0,024	1,488	0,001	176,89	50,817	10,183	103,701	16,694
41	63	0,024	1,537	0,001	234,09	50,817	12,183	148,434	19,339
42	62	0,024	1,476	0,001	204,49	50,950	11,050	122,111	17,823
44	67	0,023	1,523	0,001	372,49	51,197	15,803	249,720	23,586
306	477	0,376	15,841	0,016	2118,1		-0,922	1275,391	251,188
30,6	47,7	0,038	1,584	0,002					25,119

Построим график получившегося уравнения регрессии:

Рис. 4. Гиперболическая функция

Степенная модель:

Произведём логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим Y = lg ??, ?? = lg x, A = lg a и получим линейное уравнение:

Найдём параметры уравнения:

Составим таблицу, по которой будут производиться все дальнейшие вычисления для степенной модели:

Таблица 5

	??		Y	??Y
15	1,176	26	1,415	1,664	1,383	26,185	-0,185	0,034	0,712
18	1,255	28	1,447	1,817	1,576	30,552	-2,552	6,514	9,115
19	1,279	33	1,519	1,942	1,635	31,982	1,018	1,036	3,084
26	1,415	43	1,633	2,311	2,002	41,701	1,299	1,687	3,020
27	1,431	43	1,633	2,338	2,049	43,054	-0,054	0,003	0,126
33	1,519	51	1,708	2,593	2,306	51,021	-0,021	0,000	0,040
41	1,613	61	1,785	2,879	2,601	61,305	-0,305	0,093	0,500
41	1,613	63	1,799	2,902	2,601	61,305	1,695	2,872	2,690
42	1,623	62	1,792	2,909	2,635	62,568	-0,568	0,322	0,916
44	1,643	67	1,826	3,001	2,701	65,079	1,921	3,689	2,867
306	14,567	477	16,558	24,357	21,489		2,247	16,251	23,071
30,6	1,457	47,7	1,656	2,436	2,149				2,307

Построим график получившегося уравнения регрессии:



Рис. 5. Степенная функция

Показательная модель:

Произведём логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим Y = lg ??, B = lg ??, A = lg a и получим линейное уравнение:

Найдём параметры уравнения:

Составим таблицу, по которой будут производиться все дальнейшие вычисления для показательной модели:

Таблица 6

		Y
15	26	1,415	21,225	225	0,058	243,36	28,219	-2,219	4,926	8,536
18	28	1,447	26,049	324	0,044	158,76	30,836	-2,836	8,044	10,129
19	33	1,519	28,852	361	0,019	134,56	31,761	1,239	1,534	3,754
26	43	1,633	42,470	676	0,000	21,16	39,062	3,938	15,505	9,157
27	43	1,633	44,104	729	0,000	12,96	40,234	2,766	7,650	6,432
33	51	1,708	56,350	1089	0,003	5,76	48,042	2,958	8,751	5,800
41	61	1,785	73,199	1681	0,017	108,16	60,858	0,142	0,020	0,233
41	63	1,799	73,773	1681	0,021	108,16	60,858	2,142	4,589	3,400
42	62	1,792	75,280	1764	0,019	129,96	62,684	-0,684	0,467	1,103
44	67	1,826	80,347	1936	0,029	179,56	66,501	0,499	0,249	0,745
306	477	16,558	521,648	10466	0,209	1102,4		7,945	51,736	49,290
30,6	47,7	1,656	52,165	1046,6						4,929

Построим график получившегося уравнения регрессии:

Рис. 6. Показательная функция

9. Найдём коэффициенты детерминации для построенных моделей:

Гиперболическая:

= 0,398 = 39,8% ? вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 39,8% объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Степенная:

= 0,992 = 99,2% ? вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 99,2% объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Показательная:

= 0,976 = 97,6% ? вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 97,6% объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Найдём коэффициенты эластичности для построенных моделей:

Гиперболическая:



Э = 0,157 ? при увеличении объёма капиталовложений на 1% объём выпуска продукции увеличится на 0,157%.

Степенная:

Э = 0,846 ? при увеличении объёма капиталовложений на 1% объём выпуска продукции увеличится на 0,846%.

Показательная:

Э = 0,398 ? при увеличении объёма капиталовложений на 1% объём выпуска продукции увеличится на 0,398%.

Найдём средние относительные ошибки для построенных моделей:

Гиперболическая:

В среднем расчётные значения для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 25,119%.

Степенная:

В среднем расчётные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 2,037%.

Показательная:

В среднем расчётные значения для показательной модели отличаются от фактических значений на 4,929%.

При сравнении всех трёх моделей по данным характеристикам видно, что степенная модель имеет большее значение коэффициента детерминации и большее значение коэффициента эластичности, а также меньшее значение средней относительной ошибки ? степенная модель является наилучшей для дальнейшего изучения.

Задача 2

Задача 2а и 2б

Для каждого варианта даны по две структурные формы модели (СФМ), которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.

Номер уравнения

Задача 2а

Задача 2б

переменные

переменные

y1

y2

y3

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

x1

x2

x3

x4

1

-1

b12

b13

a11

0

0

a14

-1

0

b13

0

a12

a13

a14

2

b23

-1

0

0

a22

a23

a24

b21

-1

b23

a21

0

a23

0

3

0

b32

-1

0

a32

a33

a34

b31

0

-1

0

a32

a33

a34

Решение задачи:

2а. Система одновременных уравнений:

y₁ = b₁₂ y₂ + b₁₃ y₃ + a₁₁ x₁ + a₁₄ x₄

y₂ = b₂₃ y₁ + a₂₂ x₂ + a₂₃ x₃ + a₂₄ x₄

y₃ = b₃₂ y₂ + a₃₂ x₂ + a₃₃ x₃ + a₃₄ x₄

В первом уравнении три эндогенные переменные: y₁, y₂ и y₃ (Н = 3). В нём отсутствуют экзогенные переменные: x₂ и x₃ (D = 2). Следовательно, необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.

Проверка на достаточное условие:

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	x2	x3
2	a22	a23
3	a32	a33

Определитель представленной в таблице матрицы не равен 0. Значит, достаточное условие выполнено, и первое уравнение идентифицируемо.

Во втором уравнении две эндогенные переменные: y₁ и y₂ (Н=2). В нём отсутствует экзогенная переменная x₁ (D = 1). Следовательно, необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.

Проверка на достаточное условие:

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	y3	x1
1	b13	a11
3	-1	0

Определитель представленной в таблице матрицы не равен 0. Значит, достаточное условие выполнено, и второе уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении две эндогенные переменные y₂ и y₃ (Н = 2). В нём отсутствует экзогенная переменная x₁ (D = 1). Следовательно, необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.

Проверка на достаточное условие:

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	y1	x1
1	-1	a11
2	b23	0

Определитель представленной в таблице матрицы не равен 0. Значит, достаточное условие выполнено, и третье уравнение идентифицируемо.

Вывод: система идентифицируема.

2б. Система одновременных уравнений:

y₁ = b₁₃y₃ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + a₁₄x₄

y₂ = b₂₁y₁ + b₂₃y₃ + a₂₁x₁ + a₂₃x₃

y₃ = b₃₁y₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ + a₃₄x₄

В первом уравнении две эндогенные переменные: y₁ и y₃ (Н = 2). В нём отсутствует экзогенная переменная x₁ (D = 1). Следовательно, необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.

Проверка на достаточное условие:

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	y2	x1
2	-1	a21
3	0	0

Определитель представленной в таблице матрицы равен 0. Значит, достаточное условие не выполнено, и первое уравнение не идентифицируемо.

Во втором уравнении три эндогенные переменные: y₁, y₂ и y₃ (Н = 3). В нём отсутствуют экзогенные переменные: x₂ и x₄ (D = 2). Следовательно, необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.

Проверка на достаточное условие:

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	x2	x4
1	a12	a14
3	a32	a34

Определитель представленной в таблице матрицы не равен 0. Значит, достаточное условие выполнено, и второе уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении две эндогенные переменные: y₁ и y₃ (Н = 2). В нём отсутствует экзогенная переменная x₁ (D = 1). Следовательно, необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.

Проверка на достаточное условие:

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	y2	x1
1	0	0
2	-1	a21

Определитель представленной в таблице матрицы равен 0. Значит, достаточное условие не выполнено, и первое уравнение не идентифицируемо.

Вывод: система не идентифицируема.

Задача 2в

n	y1	y2	x1	x2
1	98,9	68,2	6	8
2	57,9	46,0	1	7
3	96,3	69,6	5	9
4	140,5	104,7	4	20
5	118,5	82,1	6	12
6	63,9	48,8	3	5

По данным таблицы, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида:

y₁ = a₀₁ + b₁₂y₂ + a₁₁x₁ + е₁

y₂ = a₀₂ + b₂₁y₁ + a₂₂x₂ + е₂

Решение задачи:

Косвенный метод наименьших квадратов применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели. Данная идентифицируемая модель содержит две эндогенные и две экзогенные переменные.

Для построения модели мы располагаем информацией:

Таблица 7 Фактические данные для построения модели

n	y1	y2	x1	x2
1	98,9	68,2	6	8
2	57,9	46	1	7
3	96,3	69,6	5	9
4	140,5	104,7	4	20
5	118,5	82,1	6	12
6	63,9	48,8	3	5
У	576	419,4	25	61
ср. зн.	96	69,9	4,167	10,167

Структурную модель преобразуем в приведённую форму модели:

y₁ = d₁₁x₁ + d₁₂x₂ + u₁

y₂ = d₂₁x₁ + d₂₂x₂ + u₂

где u₁ и u₂ - случайные ошибки.

Для каждого уравнения приведённой формы при расчёте коэффициентов d можно применить МНК.

Для упрощения расчётов можно работать с отклонениями от средних уровней: y = y - y_ср и x = x - x_ср.

Преобразованные данные представлены в таблице:

Таблица 8 Преобразованные данные для построения приведённой формы модели

n	y1	y2	x1	x2	y1*x1	x12	x1*x2	y1*x2	y2*x1	y2*x2	x22
1	2,9	-1,7	1,833	-2,167	5,317	3,361	-3,972	-6,283	-3,117	3,683	4,694
2	-38,1	-23,9	-3,167	-3,167	120,650	10,028	10,028	120,650	75,683	75,683	10,028
3	0,3	-0,3	0,833	-1,167	0,250	0,694	-0,972	-0,350	-0,250	0,350	1,361
4	44,5	34,8	-0,167	9,833	-7,417	0,028	-1,639	437,583	-5,800	342,200	96,694
5	22,5	12,2	1,833	1,833	41,250	3,361	3,361	41,250	22,367	22,367	3,361
6	-32,1	-21,1	-1,167	-5,167	37,450	1,361	6,028	165,850	24,617	109,017	26,694
У	0	0	0	0	197,500	18,833	12,833	758,700	113,500	553,300	142,833

Найдём коэффициенты первого приведённого уравнения, используя следующую систему нормальных уравнений:

Уy₁x₁ = d₁₁Уx₁² + d₁₂Уx₁x₂

Уy₁x₂ = d₁₁Уx₁x₂ + d₁₂Уx₂²

Подставим рассчитанные в таблице 2 значения сумм и получим:

197,5 = 18,833*d₁₁ + 12,833*d₁₂

758,7 = 12,833*d₁₁ + 142,833*d₁₂

Решим полученную систему:

-561,2 = 6*d₁₁ - 130*d₁₂

d₁₁ =

197,5 = 18,833* + 12,833*d₁₂

197,5 = 408,07*d₁₂ -1761,607 + 12,833*d₁₂

420,903* d₁₂ = 1959,107

d₁₂ = 4,655

d₁₁ =

d₁₁ = 7,325

Первое уравнение приведённой формы модели примет вид:

y₁ = 7,325x₁ + 4,655x₂ + u₁

Найдём коэффициенты второго приведённого уравнения, используя следующую систему нормальных уравнений:

Уy₂x₁ = d₂₁Уx₁² + d₂₂Уx₁x₂

Уy₂x₂ = d₂₁Уx₁x₂ + d₂₂Уx₂²

Подставим рассчитанные в таблице 2 значения сумм и получим:

113,5 = 18,833*d₂₁ + 12,833*d₂₂

553,3 = 12,833*d₂₁ + 142,833*d₂₂

Решим полученную систему:

-439,8 = 6*d₂₁ - 130* d₂₂

d₂₁ =

113,5 = 18,833* + 12,833* d₂₂

113,5 = 408,07* d₂₂ - 1380,532 + 12,833* d₂₂

420,904* d₂₂ = 1494,032

d₂₂ = 3,55

d₂₁ =

d₂₁ = 3,617

Второе уравнение приведённой формы модели примет вид:

y₂ = 3,617x₁ + 3,55x₂ + u₂

линейный регрессия экономический уравнение

Для перехода от приведённой формы к структурной найдём x₂ из второго уравнения приведённой формы модели:

x₂ =

Подставим это выражение в первое уравнение приведённой модели, найдём структурное уравнение:

y₁ = 7,325x₁ + 4,655*

y₁ = 7,325x₁ + 1,311y₂ - 4,742 x₁

y₁ = 1,311y₂ + 2,583x₁

Таким образом, b₁₂ = 1,311 и a₁₁ = 2,583.

Найдём x₁ = из первого уравнения приведённой модели:

x₁ =

Подставим это выражение во второе уравнение приведённой модели, найдём структурное уравнение:

y₂ = 3,617* + 3,55x₂

y₂ = 0,432y₁ - 2,011x₂ + 3,55x₂

y₂ = 0,432y₁ + 1,539x₂

Таким образом, b₂₁ = 0,432 и a₂₂ = 1,539.

Свободные члены структурной формы находим из уравнений:

a₀₁ = y_1,ср - b₁₂ y_2,ср - a₁₁ x_1,ср

a₀₁ = 96 - 1,311*69,9 - 2,583*4,167

a₀₁ = - 6,402

a₀₂ = y_2,ср - b₂₁y_1,ср - a₂₂x_2,ср

a₀₂ = 69,9 - 0,432*96 - 1,539*10,167

a₀₂ = 11,881

Окончательный вид структурной модели:

y₁ = a₀₁ + b₁₂y₂ + a₁₁x₁ + е₁ = -6,402 + 1,311y₂ + 2,583x₁ + е₁

y₂ = a₀₂ + b₂₁y₁ + a₂₂x₂ + е₂ = 11,881 + 0,432y₁ + 1,539x₂ + е₂

Размещено на Allbest.ru