Компьютерное моделирование

Размещено на http://www.allbest.ru/

10

Размещено на http://www.allbest.ru/

Факультет Довузовского Образования

Сибирского института школы бизнеса и информационных технологий

Контрольная работа

Предмет: Математические методы

Компьютерное моделирование

Операция - это

а) какое-либо действие, направленное к достижению какой-то цели;

б) система направленных действий, объединенных единым замыслом;

в) система направленных действий, объединенных единым замыслом для достижения определенной цели.

Искусственно созданный объект в виде схем, чертежа, логико-математиеских знаковых формул и т.п., который, будучи аналогичным исследуемому объекту, отображает и воспроизводит в более простом виде свойства, взаимосвязи и отношения между элементами исследуемого объекта - это

а) общее определение модели;

б) определение детерминированной модели;

в) определение имитационной модели.

Написать классификацию моделей в зависимости от используемой области математики.

Арифметические и алгебраические модели предназначены для исследования как числовых множеств, так и множеств более общей природы, т.е. будут являться инструментом исследования количественных по преимуществу отношений реально существующих объектов, явлений или процессов.

Геометрические модели используются как иллюстративный инструмент, способствующий уяснению реальных ситуаций, описываемых в постановке задач.

Тригонометрические модели. Они имеют свои особенности по отношению к геометрическим моделям, но их содержание и форма не остаются неизменными. В математике их роль просматривается в оценке, например, отношения сторон прямоугольных треугольников, они полезны для решения задач об измерениях расстояний удаленных, труднодоступных объектов или вообще недостижимых для прямого измерения. Тригонометрические приемы связывали величины отношений сторон с величинами углов треугольника, и таким образом они входили в геометрическую измерительную практику.

Модели математического анализа. В этой области математики речь идет в основном и главном о переменных величинах и о функциональных зависимостях, относительно которых вводятся помимо уже известных две новые операции: дифференцирование функций и интегрирование. То есть этим моделям присущи различные аналитические выражения, или попросту формулы, составленные из символов переменных величин, функций и знаков, обозначающих операции дифференцирования и интегрирования. Все явления и процессы в социальной сфере постоянно меняются, эти изменения описываются в математике функциями, и математический анализ является инструментом их исследования.

Вероятностно-статистические модели определяют задачи, где речь идет о необходимости принимать во внимание элемент случайности. С помощью вероятностно-статистических моделей снимаются или отодвигаются элементы случайности, находятся связи и причины явлений.

Дискретные математические модели. Свойство моделей быть дискретными состоит в том, что их элементы существуют независимо друг от друга. Это свойство отражает две возможные ситуации:

а) дискретность структуры изучаемого объекта;

б) дискретность информации, получаемой о нем.

К какому типу задач относится следующая задача: «Имеется m предприятий, на которых нужно произвести n продуктов в заданном ассортименте l1, l2, …, ln. Известна производительность aij i-го предприятия в единицу времени, если оно изготовляет j-й продукт. Предполагается, что max aij > 0, т.е. каждый продукт может производиться хотя бы на одном предприятии. Требуется указать время, отведенное на производство каждого вида продукта на каждом предприятии так, чтобы получить максимальный суммарный объем продукции в заданном ассортименте в единицу времени»?

а) задача линейного программирования;

б) задача динамического программирования;

в) марковские случайные процессы.

Решить задачу линейного программирования графическим методом:

L = 2x1 + x2 - x3 max;

x1 + x2 + x3 7;

2 x1 - x3 2;

x2 + 2x3 = 5;

x1, x2, x3 0.

Решение:

Приведем задачу к канонической форме:

L = 2x1 + x2 - x3 max;

x1 + x2 + x3 +x4= 7;

2 x1 - x3 -x5= 2;

x2 + 2x3 = 5;

x1, x2, x3 0.

Перейдем к преобразованию условия неотрицательности. Этому условием не охвачена только одна переменная x2

Приведем задачу к однородным условиям, для этого воспользуемся 2-ым приемом: Выразим из 3-его уравнения x2

Подставим во все уравнения и функцию так, чтобы эту переменную убрать:



x1, x3 0.

Выразим допустимые базисы:

Базис вспомогательной задачи состоит из переменных x2, x5, x4, допустимое базисное решение имеет вид

X3=0, x5=0, x1=1, x2=5, x4=1

x1 + x2 + x3 =7 - прямая линия

x1 + x2 + x3 7 - Определяет полуплоскость

x1 + x2 + x3 +x4= 7 - Задает полуплоскость

Размещено на http://www.allbest.ru/

10

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение данной задачи - это область ОДР

Теперь найдем оптимальное решение, для этого надо подставить базис в функцию:

- свободный член, , которого в первоначальном виде у функции L не было; теперь при переходе к переменным х1, х2 он мог и появиться. Однако мы его тут же и отбросим: ведь максимум линейной функции L достигается при тех же значениях х1, х2, что и максимум линейной однородной функции (без свободного члена):

Размещено на http://www.allbest.ru/

10

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для того изобразить это условие геометрически прировняем это условие к нулю:

Построим на плоскости х1Oх2 прямую с таким уравнением.



Размещено на http://www.allbest.ru/

10

Размещено на http://www.allbest.ru/

x1=5,1 x2= 6,1 - это точка где свободные переменные принимают оптимальные значения. Мы нашли базисы, следовательно по формулам можно найти значения всех членов, которые принимают оптимальные значения: x3=1,1, x5=1,775, x4=-5,3

Вывод: функция принимает оптимальное значение в точках x1=5,1 и x2=6,1и при значениях остальных членов x3=1,1, x5=1,775, x4=-5,3.

Верно ли, что если одна из пары двойственных задач (прямая или двойственная) разрешима, то разрешима и другая задача, причем оптимальные значения целевых функций обеих задач совпадают?

а) нет, абсолютно неверно;

б) верно;

в) верно, но исходная задача имеет оптимальное решение только при том же значении целевой функции.

При проверке элементов индексной строки симплекс-таблицы на наличие положительных элементов, что мы тем самым делаем?

а) ищем оптимальное решение;

б) проверяем на разрешимость;

в) выбираем ведущий столбец.

Дерево - это

а) граф, у которого для любых двух вершин существует ребро;

б) ориентированный взвешенный граф;

в) граф, у которого ни одна начальная вершина не совпадает с конечной при любом пути из одной в другую.

Проверить правильность заполнения таблицы инциденций

Размещено на http://www.allbest.ru/

10

Размещено на http://www.allbest.ru/

а) в таблице три ошибки;

б) таблица заполнена верно;

в) в таблице пять ошибок.

Написать блок-схему алгоритма «Прима» поиска кратчайшего остовного пути в графе.

Размещено на http://www.allbest.ru/

10

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решить задачу о нахождении кратчайшего пути для графа, представленного ниже:



В этой задаче допустили ошибку:

Эта алгоритм с общей матрицы весов

Нарушено условие применение алгоритма, так как он применяется при наличии отрицательных стоимостей.

Ограничением для задачи о нахождении кратчайшего пути является:

а) элементы матрицы весов не должны содержать нулевых значений;

б) отсутствие циклов с отрицательным суммарным весом;

в) веса дуг должны быть только положительными.

Определить, какая задача и по какому алгоритму решается, если дано следующее:

Шаг 1: Пусть S = х1, l1(x1) = 0.

При k= 1, S= х1, x2, x3, x4;

l1(x2) = - 1; l1(x3) = 6; l1(x4) = 3.

Шаг 2: Г(S) = х2, x3, x4, x5, x6.

Для x2: T2 = Г-1х2S = х1, x4х1, x2, x3, x4 = x4;

l2(x2) = min [ - 1, { l1(x4) + c (x4, x2) }] = min [ - 1, (3 + 1)] = - 1.

а) задача о минимальном остове и алгоритм Крускала;

б) задача о максимальном потоке и алгоритм Форда-Фолкерсона;

в) задача о нахождении кратчайшего пути в графе и алгоритм Беллмана-Форда.

Критерием разрешимости транспортной задачи является: «ТЗ должна содержать меньше, чем (m + n - 1) положительных переменных для того, чтобы она была не вырождена»:

а) критерий записан верно;

б) критерий записан неверно, т.к. переменных должно быть больше, чем (m + n - 1);

в) критерий записан неверно, т.к. переменных должно быть ровно (m + n -1),

Найти начальное решение транспортной задачи методом северо-западного угла и методом минимального элемента.

	В1	В2	В3	Запас аij
А1	1	3	4	12
А2	2	5	3	8
А3	6	7	4	10
Заявки bij	6	9	15	30

Метод «северо-западного угла»:

x11=min{a1, b1}=min(12,6)=6 x21=min{a1-b1,b2}={12-6, 9}=6

x22=min{9-6,8}=3 x23=min{15,8-3}=5

x33=min{15-5,10}=10



Целевая функция будет равна: L=1*6+2*6+5*3+5*7+10*4=108

Т.е. при таком плане перевозок затраты на доставку груза от поставщиков к потребителям составят 108 условных единиц.

Метод минимального элемента

Матрица стоимости перевозок:

Клетка с минимальной стоимостью - эта клетка 2,1

x11=min{a1,b1}=min{12,6}=6 x21=min{a2-b2,b1}=min{8-9,6}=-1

x12=min{a1-b1,b2}=min{12-6,9}=6 x13=min{a1-b1,b3}=6

	В1	В2	В3	Запас аij	Столбец остатков
А1	1 6	3 6	4 6	12	6
А2	2 -1	5	3	8
А3	6	7	4	10
Заявки bij	6	9	15	30
Строка остатков

L=6*1+6*3+6*4=48

Стоимость перевозок минимизировалась и составила 48 у.е.

Какой из методов нахождения начального решения транспортной задачи дает более близкое к оптимальному решение:

а) метод северо-западного угла;

б) метод минимального элемента;

в) и тот, и другой метод дают одинаковые результаты.

Каким методом следует воспользоваться для того, чтобы найти оптимальный план перевозок из имеющихся допустимых, если транспортная задача большой размерности?

а) распределительным методом;

б) методом потенциалов;

в) оба метода одинаково сходятся.

Условием применимости метода динамического программирования является:

а) возможность разбиения процесса принятия решения на ряд шагов, каждый из которых планируется отдельно без учета результатов, полученных на других шагах;

б) возможность разбиения процесса принятия решения на ряд шагов, каждый из которых планируется отдельно, но с учетом результатов, полученных на других шагах;

в) возможность разбиения процесса принятия решения на ряд однотипных шагов, каждый из которых планируется отдельно, но с учетом результатов, полученных на других шагах.

программирование алгебраический инциденция

Для какого хода вычислений записано основное функциональное уравнение Беллмана?

vа) прямой ход;

б) обратный ход;

в) для прямого и обратного ходов.

Записать функциональные уравнения Беллмана для следующей задачи: «Планируется распределить начальную сумму средств 0 между n предприятиями: П1, П2,…, Пn. Выделение предприятию Пк средств Uk приносит доход fk(Uk), k = 1, n. Определить, какое количество средств нужно выделить каждому предприятию, чтобы обеспечить максимальный суммарный доход».

Уравнения Беллмана будут выглядеть следующим образом

Решить задачу о распределении ресурсов по следующим данным:

а) 0 = 8 000 млн руб.;

б) n = 4;

в) f1(x) = 0,4x; f2(x) = 0,3x;

г) 1(x) = 0,5x; 2(x) = 0,8x.

Решение:

Показатель эффективности k-го шага равен

уравнение состояния принимает вид

Тогда рекуррентные соотношения Беллмана запишутся следующим образом:



Проведем этап условной оптимизации.

4-й шаг:

так как показатель эффективности является линейной функцией относительно x3 и эта переменная входит в выражение со знаком плюс, то он достигает максимума в конце интервала , т.е. при . 3-й шаг:

так как показатель эффективности является линейной функцией относительно x2 и эта переменная входит в выражение со знаком минус, то он достигает максимума в начале интервала , т.е. при . 2-й шаг:



так как показатель эффективности является линейной функцией относительно x2 и эта переменная входит в выражение со знаком минус, то он достигает максимума в начале интервала , т.е. при . 1-й шаг

так как показатель эффективности является линейной функцией относительно x1 и эта переменная входит в выражение со знаком минус, то он достигает максимума в начале интервала , т.е. при .

Этап безусловной оптимизации.

Так както и . Зная находим

Так каки то

Так как и то

Далее находим x4, поскольку, x4=4096

В результате средства по годам (табл. 5.6) оптимальным образом распределяются так:

Предприятие	1-й год	2-й год	3-й год	4-й год
1	0	0	0	4096
2	8000	6400	5120

Что неправильно в данном определении: «Марковским случайным процессом (или процессом с последствиями) называется случайный процесс, в котором все сечения имеют одни и те же возможные значения и для каждого момента времени t0 вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от его состояния в настоящем и не зависит от того, когда и каким образом система перешла в это состояние»?

а) все верно;

б) вероятность состояния системы в будущем зависит от того, когда и каким образом система перешла в это состояние;

в) не верно.

Автозаправочная станция имеет одну бензоколонку с площадкой, допускающей пребывание в очереди на заправку не более трех автомашин одновременно. Если в очереди три автомашины, то очередная машина, прибывшая на станцию, проезжает мимо. В среднем на заправку прибывает одна автомашина в минуту, а сам процесс заправки длится 1,25 мин. Определить показатели эффективности для данной СМО.

Решение

Поскольку бензоколонка на Автозаправочной станции одна, система массового относится к одноканальным СМО. Если приезжает четвертая автомашина, то она получает отказ и покидает систему, следовательно, данная система является одноканальной СМО с отказами.

Для данного вида СМО можно вычислить следующие характеристики:

абсолютную пропускную способность А;

относительную пропускную способность Q;

вероятность того, что поступившая в систему заявка получит отказ Ротк.

В первую очередь необходимо найти интенсивность обслуживания заявок в СМО. Для этого разделим единицу на время обслуживания одной заявки tоб:

Зная интенсивность поступления заявок в СМО л и интенсивность обслуживания заявок в данной СМО , найдем относительную пропускную способность Q:

.

Это значит, что в установившемся режиме система будет обслуживать 44,4 % проходящих заявок.

Теперь вычислим абсолютную пропускную способность СМО:

Т.е. линия способна обслуживать в среднем 0,444 разговора в минуту.

Найдем вероятность отказа: единица минус относительная пропускная способность системы.

Ротк = 1 - Q =0.556.

Вероятность того, что заявка, пришедшая в систему, найдет ее занятой, равна 55,6 %.

Кроме вышеперечисленных характеристик можно также вычислить номинальную пропускную способность:

.

Она равна 0,8 заправок в минуту, что в два раза превышает фактическую пропускную способность, полученную для случайного процесса.

Что определяет данная формула?

а) это общий вид записи уравнений Колмагорова;

б) это уравнение описывает процессы «гибели и размножения»;

в) это уравнение описывает схему непрерывных марковских процессов.

Для каких целей проводится имитационное моделирование?

а) для прогнозирования поведения системы в будущем, в целях обучения персонала, с целью прикидочной проверки предполагаемых проектных решений;

б) для оптимизации динамических систем, для прогнозирования поведения системы в будущем, в целях обучения персонала;

в) для оптимизации динамических систем, для прогнозирования поведения системы в будущем, с целью прикидочной проверки предполагаемых проектных решений;

vг) для описания поведения системы, для прогнозирования поведения системы в будущем, с целью прикидочной проверки предполагаемых воздействий.

Какому закону распределения случайной величины соответствует данная функция распределения? Написать выражения для вычисления Р(x).

Закон Пуассона.

При каком условии в методе «хи-квадрат» гипотеза верна:

vа) когда наблюдаемая частота больше либо равна ожидаемой частоте для каждой группы или интервала;

б) когда расчетное значение «хи-квадрат» больше либо равно нулю;

в) когда расчетное значение «хи-квадрат» меньше табличного, нормативного.

Какие принципы необходимо соблюдать при прогнозировании: объективность, многовариантность, своевременность, непрерывность?

а) представлены все принципы;

б) не достает двух принципов (верифицируемость, эффективность);

в) не достает одного принципа (написать, какого именно).

Перечислить математические методы обработки статической информации в прогнозировании.

Составить прогноз продажи масла в магазине на 15-й день работы, если известно, что за прошедшие 10 дней объем продаж составил:

1-й день	2-й день	3-й день	4-й день	5-й день	6-й день	7-й день	8-й день	9-й день	10-й день
15 кг	13 кг	20 кг	18 кг	16 кг	10 кг	19 кг	14 кг	17 кг	15 кг

Решение:

Учитывая определенную стабильность потребления товара, составим прогноз продажи на основе его математического ожидания, т.е. среднего объема реализации за день:

Тогда:

Q=(15+13+20+18+16+10+19+14+17+15)/10=15,7~16 кг

Таким образом экстраполяция продажи масла в магазине показала, что на 11-й день работы, ровно как на 12-й и 13-й день, продажа товара может составить 16 кг.

Рассчитаем среднюю ошибку:

Теперь рассчитаем на 14-й и 15-й день

Q=(15+13+20+18+16+10+19+14+17+15+16+16+16)/13=16

Средняя ошибка:

Вывод

Прогноз ежедневной продажи составляет 16 кг и при неизменности формирующих спрос данных может иметь отклонение кг.

Размещено на Allbest.ru