Полиномиальная аппроксимация

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабораторная работа № 3

по дисциплине

«Дискретный анализ»

по теме:

«Полиномиальная аппроксимация»

Вариант №8

Выполнила:

ст.гр ОИ-071

Коляда О.С.

Проверил:

Андриенко В.М.

Одеса 2010

Формулировка задачи

Определить полиномиальную аппроксимацию для линейной, гиперболической и параболической регрессий, исходя из следующих данных:

Таблица 1.

Исходные данные

Теоретические основания к поставленной задаче

Аппроксимация (от латинского "approximate" -"приближаться")- приближенное выражение каких-либо математических объектов (например, чисел или функций) через другие более простые, более удобные в пользовании или просто более известные. В научных исследованиях аппроксимация применяется для описания, анализа, обобщения и дальнейшего использования эмпирических результатов.

Как известно, между величинами может существовать точная (функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует одно определенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, когда одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное значение или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу. При ведении научных исследований, обработке результатов наблюдения или эксперимента обычно приходиться сталкиваться со вторым вариантом. При изучении количественных зависимостей различных показателей, значения которых определяются эмпирически, как правило, имеется некоторая их вариабельность. Частично она задается неоднородностью самих изучаемых объектов неживой и, особенно, живой природы, частично обуславливается погрешностью наблюдения и количественной обработке материалов. Последнюю составляющую не всегда удается исключить полностью, можно лишь минимизировать ее тщательным выбором адекватного метода исследования и аккуратностью работы. Поэтому при выполнении любой научно-исследовательской работы возникает проблема выявления подлинного характера зависимости изучаемых показателей, этой или иной степени замаскированных неучтенностью вариабельности значений. Для этого и применяется аппроксимация - приближенное описание корреляционной зависимости переменных подходящим уравнением функциональной зависимости, передающим основную тенденцию зависимости (или ее "тренд"). полиномиальная аппроксимация регрессия параболический

При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости. На практике линия регрессии чаще всего ищется в виде линейной функции Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + ... + b_NX_N (линейная регрессия), наилучшим образом приближающей искомую кривую. Делается это с помощью метода наименьших квадратов, когда минимизируется сумма квадратов отклонений реально наблюдаемых Y от их оценок (имеются в виду оценки с помощью прямой линии, претендующей на то, чтобы представлять искомую регрессионную зависимость):

(M -- объём выборки). Этот подход основан на том известном факте, что фигурирующая в приведённом выражении сумма принимает минимальное значение именно для того случая, когда Y = y(x1,x2,...xN).

Для решения задачи регрессионного анализа методом наименьших квадратов вводится понятие функции невязки:

Условие минимума функции невязки:

Полученная система является системой N + 1 линейных уравнений с N + 1 неизвестными b0...bN

Если представить свободные члены левой части уравнений матрицей

а коэффициенты при неизвестных в правой части матрицей

то получаем матричное уравнение: , которое легко решается методом Гаусса. Полученная матрица будет матрицей, содержащей коэффициенты уравнения линии регрессии:

Для получение наилучших оценок необходимо выполнение предпосылок МНК (условий Гаусса?Маркова). В англоязычной литературе такие оценки называются BLUE (Best Linear Unbiased Estimators) ? наилучшие линейные несмещенные оценки.

Компьютерная реализация полиномиальной аппроксимации

Рисунок 1.Ввод формулы для линейной регрессии.

Рисунок 2.Ввод формулы для параболической регрессии.

Рисунок 3.Ввод формулы для гиперболической регрессии.

Рисунок 4.Поиск решения для получения коэффициентов линейной регрессии.

Рисунок 5.Поиск решения для получения коэффициентов параболической регрессии.

Рисунок 6.Поиск решения для получения коэффициентов гиперболической регрессии.

Рисунок 7.Сохранение результатов поиска решения.

Рисунок 8.Результаты поиска решения.

Из таблицы видно, что наилучшую аппроксимацию дает линейная регрессия т.к. остаточная сумма Q_e=0,00000000000002785 в этом случае меньше, чем для гиперболической и параболической регрессий.

Литература

1. Попов А.А.

2. Excel: Практическое руководство, ДЕСС КОМ.-М.-2000.

3. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Mathcad7 в математике, физике и в Internet. Изд-во « Номидж», М.-1998, раздел 2.13. Выполнение регрессии.

4. Л.А. Сошникова, В.Н. Томашевич и др. Многомерный статистический анализ в экономике под ред. В.Н. Томашевича.- М. -Наука, 1980.

5. Колемаев В.А., О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский Теория вероятностей и математическая статистика. -М. - Высшая школа- 1991.

6. К Иберла. Факторный анализ.-М. Статистика.-1980.

Размещено на Allbest.ru