Поле корреляции и уравнение регрессии в экономических моделях

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

на тему: «Поле корреляции и уравнение регрессии в экономических моделях»

Задача 1

По регионам страны изучается зависимость ВРП на душу населения (y - тыс. руб.) от инвестиций в основной капитал (x - тыс. руб.):

№ региона	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x, тыс. руб.	9,4	2,5	3,9	4,3	2,1	6,0	6,3	5,2	6,8	8,2
y, тыс. руб.	35,8	22,5	28,3	26,0	18,4	31,8	30,5	29,5	41,5	41,3

Решение

Пункт 1. Постройте поле корреляции, характеризующее зависимость ВРП на душу населения от размера инвестиций в основной капитал.

Пункт 2. Определите параметры уравнения парной линейной регрессии. Дайте интерпретацию коэффициента регрессии и знака при свободном члене уравнения.

Оценка параметров уравнения парной регрессии производится обычным методом наименьших квадратов (МНК).

Для определения параметров полулогарифмической функции используется система нормальных уравнений следующего вида:



Для этого составим таблицу и определим a и b:

	y	x	yx	x2	y2			Аi
1	35,8	9,4	336,520	88,360	1281,640	41,559	-5,759	16,087
2	22,5	2,5	56,250	6,250	506,250	22,248	0,252	1,122
3	28,3	3,9	110,370	15,210	800,890	26,166	2,134	7,541
4	26,0	4,3	111,800	18,490	676,000	27,285	-1,285	4,944
5	18,4	2,1	38,640	4,410	338,560	21,128	-2,728	14,827
6	31,8	6,0	190,800	36,000	1011,240	32,043	-0,243	0,765
7	30,5	6,3	192,150	39,690	930,250	32,883	-2,383	7,813
8	29,5	5,2	153,400	27,040	870,250	29,804	-0,304	1,032
9	41,5	6,8	282,200	46,240	1722,250	34,282	7,218	17,392
10	41,3	8,2	338,660	67,240	1705,690	38,201	3,099	7,504
Итого	305,6	54,7	1810,790	348,930	9843,020	305,600	0	79,027
Среднее значение	30,56	5,47	181,079	34,893	984,302	-	-	-
	7,098	2,23	-	-	-	-	-	-
	50,381	4,973	-	-	-	-	-	-

Решаем систему уравнений:

10a+b54,7=305,6

54,7a+b348,93=1810,79

a=30,56-5,47b

54,7 * (30,56-5,47)+ b348,93=1810,79

1671,632-299,209b+b348,93=1810,79

49,721b=139,158

b= 139,158/49,721=2,798

a=15,25069

Уравнение регрессии примет вид: = 15,25069+2,798

Изменение значения x на 1 ед. y изменится на 2,798 ед. и говорит о положительном пересечении с линией y.

Пункт 3. Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и поясните его смысл. Определите коэффициент детерминации и дайте его интерпретацию.

Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между изучаемыми признаками. Его можно определить по следующей формуле:

,

где

Индекс корреляции:

Составим таблицу, подставив значение x в теоретическое уравнение регрессии и найдем индекс корреляции:

№	х	у	ху
1	9,4	35,8	336,52	88,36	1281,64	41,5062	-5,7062	5,24	27,4576	32,56072	15,93911	3,93	15,4449	10,9462	119,8193
2	2,5	22,5	56,25	6,25	506,25	22,2	0,3	-8,06	64,9636	0,09	1,333333	-2,97	8,8209	-8,36	69,8896
3	3,9	28,3	110,37	15,21	800,89	26,1172	2,1828	-2,26	5,1076	4,764616	7,713074	-1,57	2,4649	-4,4428	19,73847
4	4,3	26	111,8	18,49	676	27,2364	-1,2364	-4,56	20,7936	1,528685	4,755385	-1,17	1,3689	-3,3236	11,04632
5	2,1	18,4	38,64	4,41	338,56	21,0808	-2,6808	-12,16	147,8656	7,186689	14,56957	-3,37	11,3569	-9,4792	89,85523
6	6	31,8	190,8	36	1011,24	31,993	-0,193	1,24	1,5376	0,037249	0,606918	0,53	0,2809	1,433	2,053489
7	6,3	30,5	192,15	39,69	930,25	32,8324	-2,3324	-0,06	0,0036	5,44009	7,647213	0,83	0,6889	2,2724	5,163802
8	5,2	29,5	153,4	27,04	870,25	29,7546	-0,2546	-1,06	1,1236	0,064821	0,863051	-0,27	0,0729	-0,8054	0,648669
9	6,8	41,5	282,2	46,24	1722,25	34,2314	7,2686	10,94	119,6836	52,83255	17,5147	1,33	1,7689	3,6714	13,47918
10	8,2	41,3	338,66	67,24	1705,69	38,1486	3,1514	10,74	115,3476	9,931322	7,630508	2,73	7,4529	7,5886	57,58685
сумма	54,7	305,6	1810,79	348,93	9843,02	305,1006	0,4994	-2,8E-14	503,884	114,4367	78,57285		49,721	-0,4994	389,2809
среднее	5,47	30,56	181,079	34,893	984,302	30,51006

= 0, 879

Что еще раз подчеркивает о тесноте рассматриваемых признаков.

Коэффициент детерминации равен квадрату индекса корреляции

это говорит о том, что доля вариаций результата, объясненная вариацией фактора x, включенного в уравнение регрессии равна 77,2%, остальные 22,8% приходятся на долю прочих факторов, неучтенных в уравнении регрессии.

Пункт 4. Найдите среднюю ошибку аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации равна:

(см. таблицу)

Ошибка в пределах 10%, это говорит о хорошем качестве модели.

Пункт 5. Рассчитайте стандартную ошибку регрессии.

= = 3,78 %

Что еще раз подчеркивает хорошее уравнение регрессии.

Пункт 6. С вероятностью 0,95 оцените статистическую значимость уравнения регрессии в целом, а также его параметров. Сделайте вывод.

Оценим статистическую значимость коэффициента регрессии. Для этого воспользуемся t-критерием Стьюдента

Среднее квадратичное отклонение:

Найдем стандартную ошибку коэффициента регрессии:

Фактическое значение t-критерия для коэффициента регрессии:

, значит, коэффициент статистически значим.

Найдем фактическое значение для параметра а

, значит, коэффициент статистически значим.

Теперь оценим статистическую значимость построенной модели регрессии в целом, с помощью F-критерия Фишера

, где - это коэффициент детерминации

> , значит с вероятностью 95% уравнение регрессии статистически значимо.

Пункт 7. С вероятностью 0,95 постройте доверительный интервал ожидаемого значения ВРП на душу населения в предложении, что инвестиции в основной капитал составят 80% от максимального значения. Сделайте вывод.

Рассчитаем стандартную ошибку точечного прогноза:

для этого рассчитаем 80% инвестиций от максимального значения и это равно

9,4 тыс. руб.

Тогда

=

Найдем точечный прогноз, подставив значение 7,52 в уравнение регрессии

= 15,25069+2,798 = 36,29 тыс. руб.

А теперь найдем доверительный интервал: ± 9,5

Тогда с вероятностью 25% значение ВРП, при инвестициях в основной капитал 7,52 тыс. руб. составит 36,29 ± 9,5 тыс. рублей.

Задача 2

Зависимость валовой продукции сельского хозяйства (y - млн. руб.) от валового производства молока (x₁ - тыс. руб.) и мяса (x₂ - тыс. руб.) на 100 га сельскохозяйственных угодий по 26 районам области характеризуется следующим образом:

= - 2,229 + 0,039 x₁ + 0,303 x₂ R² = 0,956.

Матрица парных коэффициентов корреляции и средние значения:

	y	x1	x2	Среднее
y	1			25,8
x1	0,717	1		364,9
x2	0,930	0,489	1	45,3

Решение

Пункт 1. Оцените значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера с вероятностью 0,95. Сделайте выводы.

- коэффициент детерминации

Статистически значимо = 3,40

Пункт 2. Найдите скорректированный коэффициент множественной корреляции.

Находится как корень из скорректированного коэффициента множественной детерминации.

Пункт 3. Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе и сделайте вывод.

Т.к. мы можем построить уравнение регрессии в стандартизированном масштабе.

Примет вид:

, где

валовой продукт уравнение регрессия корреляция

Тогда уравнение примет вид:

= 0,344

Следовательно, наибольшее воздействие на количество валовой продукции сельского хозяйства оказывает мясо на 100 га сельхоз. угодий.

Пункт 4. Найдите частные средние коэффициенты эластичности и корреляции; сделайте выводы.

Найдем коэффициент эластичности:

С ростом производства (валового) молока на 1% валовая продукция в среднем увеличивается на 0,55%

С ростом мяса на 1% на 100га сельхоз. угодий валовая продукция увеличивается на 0,53%

Соответственно наибольшее воздействие оказывает валовое производство молока.

Это несколько противоречит информации полученным по стандартизированным коэффициентам регрессии.

Найдем частные коэффициенты корреляции:



При закреплении фактора на постоянной основе корреляции y и фактора оказывается более высокой 0,834 против 0,717.

= 0,950

При закреплении фактора на постоянной основе корреляции y и фактора оказывается чуть более высокой 0,950 против 0,930.

Пункт 5. Постройте таблицу дисперсионного анализа для оценки целесообразности включения в модель фактора x₂ после фактора x₁, если известно, что = 1350,5.

Составим таблицу дисперсного анализа:

Источник вариации	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия на 1 степень свободы	F-критерий
Общая	35113	25	-	-
Регрессия	33568,02	2	16784,014	249,87
	18051,2	1	18051,2	268,73
	15516,82	1	15516,82	231,00
Остаточная	1544,97	23	67,17	-



Фактическое значение больше табличного и следовательно целесообразно включать в модель фактор после фактора.

Пункт 6. Оцените значимость интервала при факторе x₂ через t-критерий Стьюдента и дайте интервальную оценку коэффициента регрессии с вероятностью 0,95. Оценим значимость параметра при факторе через t-критерий Стьюдента.

значит значениестатистически значимо. Теперь найдем интервальную оценку с вероятностью 0,95. Стандартная ошибка будет равна:

0,303

0,264 с вероятностью 0,95

Пункт 7. Найдите стандартную ошибку регрессии.

, где

- остаточная дисперсия на 1 степень свободы. По данным таблицы получаем:

Стандартная ошибка регрессии в пределах нормы.

Задача 3

Рассматривается модель вида

где

С_t - расходы на потребление в текущий период,

С_t-1 - расходы на потребление в предыдущий период,

R_t - доход текущего периода,

R_t-1 - доход предыдущего периода,

Y_t - инвестиции текущего периода.

Ей соответствует следующая приведенная форма (построена по районам области)

Решение

Пункт 1. Проведите идентификацию модели.

Модель имеет три эндогенные Н (С_t, Y_t, R_t). Причем переменная R_t задана тождеством. Поэтому практически статистическое решение необходимо только для первых двух уравнений системы, которые необходимо проверить на идентификацию. Модель содержит две предопределенные D (С_t-1, R_t-1) переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое и достаточное условия идентификации.

Первое уравнение.

Н: эндогенных переменных - 2 (С_t, R_t), отсутствующих предопределенных переменных - 1 (R_t-1).

Следовательно, по счетному правилу D + 1 = H (1 + 1 = 2) уравнение идентифицируемо.

Второе уравнение.

Н: эндогенных переменных - 1 (Y_t); переменная R_t в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной R_t-1.

отсутствующих предопределенных переменных - 1 (С_t-1).

Следовательно, по счетному правилу D + 1 > H (1 + 1 > 1) уравнение сверхидентифицировано.

Третье уравнение.

Третье уравнение представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет.

Следовательно, рассматриваемая в целом структурная модель сверхидентифицируема по счетному правилу.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации.

Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

	Сt	Yt	Rt	Rt-1	Сt-1
Первое уравнение	-1	0	b11	0	b12
Второе уравнение	0	-1	b21	-b21	0
Третье уравнение	1	1	-1	0	0

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть равен числу эндогенных переменных модели минус 1, т. е. 3-1=2.

Первое уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид:

Уравнение	Отсутствующие переменные
	Yt	Rt-1
Второе	-1	-b21
Третье	1	0

Определитель матрицы не равен 0 (Det A = -10 - (1-b₂₁) 0), ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации.

Второе уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид:

Уравнение	Отсутствующие переменные
	Сt	Сt-1
Первое	-1	b12
Третье	1	0

Определитель матрицы не равен 0 (Det A = -10 - (1b₁₂) 0.), ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации.

Первое уравнение идентифицируемое, следовательно, для его решения применяется косвенный метод наименьших квадратов.

Косвенный метод наименьших квадратов (МНК):

- Составить приведенную форму модели и определить численные значения параметров каждого уравнения системы обычным МНК.

- Путем алгебраических преобразований переходим от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели и получаем численные оценки структурных параметров.

Для решения второго уравнения, а оно у нас сверхидентифицируемое, применяется - двухшаговый метод наименьших квадратов.

Двушшаговый метод:

- Составить приведенную форму модели и определить численные значения параметров каждого уравнения системы обычным МНК.

- Выявляем эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухшаговым МНК, и находим расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели.

- Обычным МНК определяем параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

Пункт 2. Укажите способы оценки параметров каждого уравнения структурной модели.

Первое уравнение идентифицируемое, следовательно, для его решения применяется косвенный метод наименьших квадратов.

Косвенный метод наименьших квадратов (МНК):

- Составить приведенную форму модели и определить численные значения параметров каждого уравнения системы обычным МНК.

- Путем алгебраических преобразований переходим от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели и получаем численные оценки структурных параметров.

Для решения второго уравнения, а оно у нас сверхидентифицируемое, применяется - двухшаговый метод наименьших квадратов.

Двухшаговый метод:

- Составить приведенную форму модели и определить численные значения параметров каждого уравнения системы обычным МНК.

- Выявляем эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухшаговым МНК, и находим расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели.

- Обычным МНК определяем параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

Пункт 3. Найдите структурные коэффициенты каждого уравнения, если известны следующие данные:

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Yt	4	4	6	10	9	8	7	6	8	12	8	16
Сt	14	13	15	20	20	14	16	12	12	21	12	17
Rt-1	15	14	16	22	26	18	18	15	19	28	18	26
Сt-1	12	11	12	15	17	12	14	10	11	20	12	16

Найдем структурные коэффициенты первого и второго уравнений на основании исходных данных.

Составим расчетную таблицу (R_t = C_t + Y_t ; обозначим dR_t = R_t - R_t-1):

№	Yt	Ct	Rt-1	Ct-1	Rt	dRt	YtdRt	(dRt)2	(Rt)2	(Ct-1Rt )	CtRt	(Ct-1)2	CtCt-1
1	4	14	15	12	18	3	12	9	324	216	252	144	168
2	4	13	14	11	17	3	12	9	289	187	221	121	143
3	6	15	16	12	21	5	30	25	441	252	315	144	180
4	10	20	22	15	30	8	80	64	900	450	600	225	300
5	9	20	26	17	29	3	27	9	841	493	580	289	340
6	8	14	18	12	22	4	32	16	484	264	308	144	168
7	7	16	18	14	23	5	35	25	529	322	368	196	224
8	6	12	15	10	18	3	18	9	324	180	216	100	120
9	8	12	19	11	20	1	8	1	400	220	240	121	132
10	12	21	28	20	33	5	60	25	1089	660	693	400	420
11	8	12	18	12	20	2	16	4	400	240	240	144	144
12	16	17	26	16	33	7	112	49	1089	528	561	256	272
?	98	186	235	162	284	49	442	245	7110	4012	4594	2284	2611

Коэффициенты уравнений найдем методом наименьший квадратов:

(решение системы найдено в программе MATLAB)

Таким образом, получена система структурных уравнений

Задача 4

Динамика номинальной среднемесячной заработной платы одного работника области характеризуется следующими данными:

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Тыс. руб.	3,2	3,1	3,5	3,5	3,7	4,0	4,1	4,0	4,1	4,2	4,3	5,4

Решение

Пункт 1. Определите коэффициент автокорреляции первого порядка и дайте его интерпретацию.

Коэффициент автокорреляции первого подряда вычислим по формуле:

где

Составим таблицу:

1	3,2						0
2	3,1	3,2	-0,89091	-0,59091	0,526446	0,793719	0,349173554
3	3,5	3,1	-0,49091	-0,69091	0,339174	0,240992	0,477355372
4	3,5	3,5	-0,49091	-0,29091	0,14281	0,240992	0,084628099
5	3,7	3,5	-0,29091	-0,29091	0,084628	0,084628	0,084628099
6	4	3,7	0,009091	-0,09091	-0,00083	8,26E-05	0,008264463
7	4,1	4	0,109091	0,209091	0,02281	0,011901	0,043719008
8	4	4,1	0,009091	0,309091	0,00281	8,26E-05	0,09553719
9	4,1	4	0,109091	0,209091	0,02281	0,011901	0,043719008
10	4,2	4,1	0,209091	0,309091	0,064628	0,043719	0,09553719
11	4,3	4,2	0,309091	0,409091	0,126446	0,095537	0,167355372
12	5,4	4,3	1,409091	0,509091	0,717355	1,985537	0,259173554
Сумма	47,1	41,7	0,000	0,000	2,049091	3,509091	1,709090909

Найдем индекс автокорреляции 1-го порядка:

Полученное значение свидетельствует о тесной зависимости между среднемесячной заработной платы работника по месяцам.

Пункт 2. Постройте линейное уравнение тренда. Дайте интерпретацию параметрам.

Воспользуемся решением Задачи 1 и найдем параметры уравнения линейного тренда:

Параметр а = 2,927 - это начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0

Величина b = 0,153 это средний прирост заработной платы за единицу времени (месяц).

Пункт 3. С помощью критерия Дарбина-Уотсона сделайте выводы относительно автокорреляции в остатках в рассматриваемом уравнении.

Уравнение регрессии по исходным данным совпадает с уравнением линейной детерминации:

Составим таблицу:

3,08	0,12	-	-	-	-	-	0,0144	-5,5	30,25
3,233	-0,133	0,12	-0,253	0,064009	0,0144	-0,01596	0,017689	-4,5	20,25
3,386	0,114	-0,133	0,247	0,061009	0,017689	-0,01516	0,012996	-3,5	12,25
3,539	-0,039	0,114	-0,153	0,023409	0,012996	-0,00445	0,001521	-2,5	6,25
3,692	0,008	-0,039	0,047	0,002209	0,001521	-0,00031	6,4E-05	-1,5	2,25
3,845	0,155	0,008	0,147	0,021609	6,4E-05	0,00124	0,024025	-0,5	0,25
3,998	0,102	0,155	-0,053	0,002809	0,024025	0,01581	0,010404	0,5	0,25
4,151	-0,151	0,102	-0,253	0,064009	0,010404	-0,0154	0,022801	1,5	2,25
4,304	-0,204	-0,151	-0,053	0,002809	0,022801	0,030804	0,041616	2,5	6,25
4,457	-0,257	-0,204	-0,053	0,002809	0,041616	0,052428	0,066049	3,5	12,25
4,61	-0,31	-0,257	-0,053	0,002809	0,066049	0,07967	0,0961	4,5	20,25
4,763	0,637	-0,31	0,947	0,896809	0,0961	-0,19747	0,405769	5,5	30,25
Сумма	0,042	-0,595	0,517	1,144299	0,307665	-0,0688	0,713434	0	143

Найдем коэффициент автокорреляции остатков 1-го порядка:

Критерий Дарбина-Уотсона и коэффициент автокорреляции остатков 1-го порядка связан следующим соотношением:

Как мы видим из диаграммы и из остатков, которая отсутствует

, а d = 2 значит, нет оснований отклонять (автокорреляция остатков отсутствует).

Пункт 4. Дайте интервальный прогноз ожидаемого уровня номинальной заработной платы на январь следующего года.

Тогда интервальный прогноз на январь следующего года составит:

4,916 тыс. рублей

Задача 5

Динамика численности незанятых граждан и объема платных услуг населению в регионе характеризуется следующими данными

Месяц	Число незанятых граждан тыс.чел., x1	Объем платных услуг населению млрд.руб., y1
Январь	44,0	6,5
Февраль	45,5	7,0
Март	47,9	7,0
Апрель	48,3	7,4
Май	49,1	7,5
Июнь	49,9	7,2
Июль	50,5	7,5
Август	51,9	7,9
Сентябрь	52,3	8,2
Октябрь	52,3	8,5
Ноябрь	53,5	8,9
Декабрь	54,7	9,2

В результате аналитического выравнивания получены следующие уравнения трендов и коэффициент детерминации(t=1?12):

а) для объема платных услуг населению

=6,3061+0,2196 t , R²=0,9259 ,

б) для численности незанятых граждан

=43,724+0,8937t , R²=0,989.

Решение

Пункт 1. Дайте интерпретацию параметров уровней трендов.

Коэффициент при показывает на какую величину в среднем изменяется результативный признак у при изменении факторного признака на единицу. Свободный член уравнения характеризует минимальное значение уровня.

Пункт 2. Определите коэффициент корреляции между временными рядами, используя:

а) непосредственно исходные уровни, б) отклонения от основной тенденции.

а)

б) Составим таблицу:

Найдем коэффициенты автокорреляции 1-го порядка по отклонениям от трендов:

тогда

аналогично ищем для

Следовательно, временные ряды отклонений от трендов можно использовать для получения количественной характеристики тесноты связи исходных временных рядов.

Найдем коэффициент корреляции по отклонениям от трендов

Пункт 3. Сделайте вывод о тесноте связи между временными рядами.

При измерении корреляции между двумя временными рядами следует учитывать возможное существование ложной корреляции, что связано с наличием во временных рядах тенденции, т.е. зависимости обоих рядов от общего фактора времени. Для того чтобы устранить ложную корреляцию, следует коррелировать не сами уровни временных рядов, а их последовательные (первые или вторые) разности или отклонения от трендов (если последние не содержат тенденции).

Таким образом, между временными рядами существует прямая слабая взаимосвязь.

Пункт 4. Постройте вывод о тесноте связи между временными рядами. Дайте интерпретацию параметров уравнения.

тогда

отсюда c = 0,00092 b = 0,0018 a = 7,63

Тогда уравнение примет вид:

Размещено на Allbest.ru