Анализ системы автоматического регулирования копировально-фрезерным станком

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Темой данной курсовой работы является анализ системы автоматического регулирования копировально-фрезерным станком. Актуальность заключается в возможности использования полученных результатов для решения задач автоматизации.

Целью работы является получение практических навыков по анализу САУ. Задачами работы являются:

1. Написать уравнения, передаточные функции элементов. Составить структурную схему. Определить передаточные функции разомкнуто, замкнутой системы, передаточную функцию по ошибке.

2. Построить частотные характеристики (АЧХ, ФЧХ) системы, ЛАЧХ разомкнутой системы, переходную характеристику.

3. Исследовать систему на устойчивость. Определить запасы устойчивости.

4. Определить коэффициенты ошибок. Найти установившуюся ошибку X(t) при функции входного сигнала x_вх(t) = 1; t; t².

5. Определить показатели качества (время регулирования, перерегулирования, колебательность переходного процесса).

1. Составление математической модели системы регулирования

1.1 Нахождение передаточных функций элементов

ИМ (электромашинный усилитель) из дифференциального уравнения элемента

(1)

где U_a - выходная величина

U_B - входная величина

С помощью преобразований Лапласа найдём передаточную функцию электромашинного усилителя

(2)

Выполним преобразование

(3)

Вынесем Y за скобку

(4)

Найдём Y из (4)

 (5)

Подставим из (5) в (2) для нахождения передаточной функции электромашинного усилителя

(6)

Подставим числовые значения из задания в (6)

(7)

ОБ (электродвигатель переменного тока) из дифференциального уравнения элемента

(8)

Где - выходная величина

- входная величина

С помощью преобразований Лапласа найдём передаточную функцию электромашинного усилителя

(2)

Выполним преобразование



и подставим в (8)

(9)

Вынесем Y за скобку

(10)

Найдём Y из (10)

(11)

Подставим из (11) в (2) для нахождения передаточной функции электродвигатель переменного тока

(12)

Подставим числовые значения из задания в (12)

(13)

Д (индуктивный датчик) из дифференциального уравнения элемента

 (14)

где - выходная величина

- входная величина

С помощью преобразований Лапласа найдём передаточную функцию электромашинного усилителя

(2)

выполним преобразование

и подставим в (14)

(15)

Подставим из (15) в (2) для нахождения передаточной функции индуктивного датчика

(16)

Подставим числовые значения из задания в (16)

1.2 Составление структурной схемы

Для составления структурной схемы подставим в функциональную схему (рис. 1) элементы с найденными передаточными функциями.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Заменим передаточные функции конкретными значениями

Размещено на http://www.allbest.ru/

Преобразуем структурную схему к схеме с единичной обратной связью. Для этого воспользуемся правилом переноса входного воздействия с выхода элемента на его вход (рис. 4).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Получением задающего воздействия можно пренебречь и передаточную функцию фиктивного звена в системе не учитывать

Подставим в структурную схему (рис. 4) числовые значения

Размещено на http://www.allbest.ru/

1.3 Получение передаточной функции системы

Для нахождения передаточной функции разомкнутой системы воспользуемся рисунком 5 из него видно, что звенья соединены последовательно и передаточная функция разомкнутой системы найдётся как произведение передаточных функций составных звеньев.

(18)

Подставляем в (18) (6), (12) и (16)

(19)

После перемножения получим

(20)

Где

Структурная схема с передаточной функцией разомкнутой системы представлена на рисунке 6.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Подставим числовые значения в (20) и получим

(21)

Передаточная функция замкнутой системы связана с передаточной функцией разомкнутой системы формулой

(22)

Подставим (21) в (22)

23)

Подставим числовые значения в (23)

(24)

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке может быть найдена по формуле

(25)

Подставим (23) в (25)

(26)

Подставим в (26) числовые значения

(27)

Найдем характеристический полином передаточной функции разомкнутой системы

(28)

1.4 Введение структурной схемы в МВТУ

Для ввода структурной схемы в программу МВТУ её необходимо преобразовать (рис. 6).

Управляющее воздействие представлено в виде единичной функции. Локальное сравнивающее устройство обеспечивает отрицательную обратную связь, т.е. «работает» в режиме обычного вычитания. W_1 (s) - исполнительный механизм и W_2 (s) - объект управления представлены типовыми инерционными звеньями с единичной обратной связью. Для отображения результатов расчета использовать типовой блок библиотеки Данные - Временной график

Параметры составных элементов представлены на рисунке 7.

Нажав на панели кнопку «Новый» откроется чистое Схемное Окно. Открыв закладку «Источники входных воздействий» мы инициализировали соответствующую библиотеку типовых блоков. Выбираем блок «Ступенчатое воздействие» и помещаем его в схемное окно. Открыв закладку «Операции математические», выбираем блок «сравнивающее устройство» помещаем его в схемное окно. Открыв закладку «Динамические звенья», инициализируйте ее, перенесите требуемые блоки (апериодические звенья) в Схемное Окно по вышеописанной процедуре приблизительно на желаемые места. Выполним последний перенос блока в Схемное Окно: откроем закладку «Данные» и перенесём блок «Временной график» в схемное окно.

Проведение линий связи на структурной схеме

Переместим курсор на выходной порт любого блока и сделав щелчок левой клавишей «мыши», отпустим клавишу и «протянем» линию связи к верхнему входному порту другого блока. Снова сделайте однократный щелчок левой клавишей: на верхнем входе появится типичная входная стрелка.

Рис. 8. График переходного процесса

2. Построение амплитудо-фазочастотных характеристик (АФЧХ)

Для построения АФЧХ необходимо найти зависимость амплитуды от частоты и фазового угла от частоты. Для этого найдём выражения для частотной передаточной функции. Частотную передаточную функцию получим подстановкой в передаточную функцию системы в место p i

(24)

Подставим в (20) вместо p i

(25)

Избавимся от комплексности в знаменатели для этого раскроем скобки

С группируем действительную и мнимую части в знаменатели

(26)

Домножим на сопряженное выражение

(27)

Свернём знаменатель по формуле разности квадратов

 (28)

Преобразуем (28) к виду

(29)

Зная действительную и мнимую части найдём выражение для амплитуды и фазового угла

(29)

 (30)

2.1 Построение ЛАХ и ЛФХ

При помощи программы МВТУ была построена асимптотическая характеристика ЛАХ и ЛФХ.

3. Исследование устойчивости

3.1 Критерий Гурвица

По критерию Гурвица для того что бы система была устойчивой необходимо выполнение двух условий:

1) Что бы все коэффициенты характеристического уравнения были бы положительны;

2) Что бы все определители, полученные из матрицы Гурвица составленной из коэффициентов характеристического уравнения, были больше нуля.

Для исследования системы по критерию Гурвица рассмотрим характеристическое уравнение полученное приравниванием к нулю знаменателя передаточной функции разомкнутой системы

(31)

Из (32) найдём значение коэффициентов

Все коэффициенты положительны, первое условие выполняется.

 Матрица Гурвица

Найдём все определители, полученные из матрицы

3.2 Критерий Найквиста

Годограф Найквиста представлен на рисунке №. Для того чтобы определить устойчива ли система по критерию Найквиста необходимо чтобы АФЧХ не охватывало точку -1; i0.

Годограф Найквиста

По годографу можно сказать, что система устойчива.

Определение устойчивости по критерию Найквиста на основании логических характеристик. Для того чтобы система была устойчива необходимо чтобы частота среза была меньше частоты . По чертежу логарифмических характеристик (рис. 9) можно сделать вывод, что система устойчива.

3.3 Критерий Михайлова

Критерий Михайлова основан на рассмотрении годографа Михайлова. Для того чтобы система была устойчивой по критерию Михайлова необходимо, чтобы годограф Михайлова последовательно проходил все квадранты и уходил в бесконечность в квадранте номер которого равен порядку системы.

Для построения годографа Михайлова необходимо найти действительную и мнимую часть характеристического комплекса замкнутой системы, который будет получен приравниванием к нулю знаменателя передаточной функции замкнутой системы и подстановкой в него в место p

(24)

(28)

(32)

Подставим в 33 числовые значения

(33)

На основании полученного аналитического выражения и при помощи программы МВТУ построим годограф Михайлова.

Годограф Михайлова

Порядок системы на основании передаточной функции замкнутой системы n=2 и на основании годографа Михайлова можно сделать вывод, что система устойчива т.к. годограф уходит в бесконечность во II квадранте.

4. Определение точности системы и ее качества

4.1 Определение установившейся ошибки

Для того чтобы найти коэффициенты ошибок необходимо воспользоваться передаточной функцией замкнутой системы по ошибке (27).

Найдём коэффициенты передаточной функции замкнутой системы:

Найдем коэффициенты ошибок по формуле:

(34)

(35)

(36)

(37)

Зная коэффициенты ошибок можно записать выражение для вынужденной ошибки системы при входном сигнале X_вх(t)=1 (t).

(38)

В системе присутствуют статическая ошибка (S₀=1), скоростная ошибка (S₁=-109) и ошибка по ускорению (S₂=1900).

4.2 Определение точности

График переходного процесса представлен на рис. 8.

математический устойчивость гурвиц станок

По графику определим время переходного процесса, для этого определим его вид. Из графика видно, что процесс апериодический, поэтому время переходного процесса будет равно времени установления выходной величины равной 0.95 от Y_уст.

Найдём время переходного процесса при Y_уст=0.92

T_п.п.=0.12

Определим величину перерегулирования по формуле

(39)

Так как переходный процесс апериодический и Y_max=Y_уст то величина перерегулирования равна нулю.

4.3 Определение запаса по фазе и амплитуде

Запас по фазе и амплитуде найдём по рис. 9

Запаса по фазе и амплитуде соответствуют необходимым значениям для качественной системы(L_з>|15| Дб; _з>-20).

Заключение

1. Были составлены уравнения для передаточных функций элементов, определены передаточные функции разомкнутой, замкнутой системы и передаточная функция по ошибке. Составлена структурная схема.

2. Были построены частотные характеристики (АЧХ, ФЧХ) системы, ЛАХЧХ разомкнутой системы, переходная характеристика.

3. Система исследовалась на устойчивость по 3-ём критериям (Гурвица, Найквиста, Михайлова).

a. По критерию Гурвица система устойчива;

b. По критерию Найквиста система устойчива;

c. По критерию Михайлова система устойчива.

Были найдены запас по фазе(_з=60) и амплитуде (L=-20Дб).

4. Были определены коэффициенты ошибок:

a. Статическая ошибка (S₀=1);

b. Скоростная ошибка (S₁=-109);

c. Ошибка по ускорению (S₂=1900)

Была найдена установившаяся ошибка при функции входного сигнала X_вх(t)=1; t; t²:

5. Были определены показатели качества: время переходного процесса (T_п.п.=0.12), величину перерегулирования т.к. переходный процесс апериодический и Y_max=Y_уст то величина перерегулирования равна нулю.

Библиографический список

1. Федотов А.В. «Теория автоматического управления конспект лекций» 2007 год Омск.

2. Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Теория управления» составители Г.Н. Коуров, В.Ц. Зориктуев, Б.У. Шарипов Уфа 2001 г.

3. В.А. Бесекерский «Сборник задач по теории автоматического управления» Москва 1989 г.

Размещено на Allbest.ru