Построение моделей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Продукция двух видов (краска для внутренних (І) и наружных (E) работ) поступают в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта - A и B. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн соответственно. Расходы продуктов A и B на 1 т соответствующих красок приведены в таблице.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на тонну краски, т	Максимально возможный запас, т
	Краска E	Краска I
A	1	2	6
B	2	1	8

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску E более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны 3000 ден. ед. для краски E и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение:

Пусть х1-краска Е

х2-краска I

max (3000x1+2000x2)

x1+2x2?6

2x1+x2?8

x2?2

x1 - x2?1

x1?0

x2?0

1. Строим ОДР

Берем первое ограничение

x1+2x2?6 - полуплоскость с границей x1+2x2=6 (I)

х1 =0 х1=6

х2=3 х2=0

подставляем координаты (0; 0) в неравенство, получаем 0?6 => областью решения неравенства служит нижняя полуплоскость.

2x1+x2?8 - полуплоскость с границей 2x1+x2=8 (II)

х1=4 х1=0

х2=0 х2=8

подставляем координаты (0; 0) в неравенство, получаем 0?8 => областью решения неравенства служит нижняя полуплоскость.

x2?2 - полуплоскость с границей х2=2 (III)

х2=2

x1 - x2?1 - полуплоскость с границей x1 - x2=1 (IV)

х1=0 х1=4

х2=1 х2=5

подставляем координаты (0; 0) в неравенство, получаем 0?1=> областью решения неравенства служит нижняя полуплоскость.

Заштрихуем общую область для всех неравенств, обозначим вершины многоугольника латинскими буквами и определим их координаты, решая систему уравнения двух пересекающихся соответствующих прямых. Например, определим координаты точки D, являющейся точкой пересечения первой и второй прямой.

x1+2x2=6

D= 2x1+x2=8

х1= 3,3

х2= 1,4

Вычислим значение ЦФ в этой точке:

F(х)=3000х1+2000х2=9900+2800=12700

Аналогично поступим для других точек, являющихся вершинами.

Координаты этих вершин имеют следующие значения:

т.А (0; 1)=>F(x)=2000

т.Е (4; 0)=>F(x)=12000

т.В (1; 2)=>F(x)=7000

т.С (2; 2)=>F(x)=10000

Приравниваем ЦФ к нулю

3000х1+2000х2=0

х1=0 х1=3

х2=0 х2=-2

через эти две точки проведем линию 3000х1+2000х2=0 (пунктирная прямая).

Построим вектор-градиент

Координаты вектора являются частными производными функции F(х), т.е. (3000; 2000). Для удобства можно строить вектор, пропорциональный вектору

1/500 =(6; 4)

Максимум ЦФ находится в точке ОДР D, в направлении вектора-градиента

maxF(х)=12700

достигается при х1=3,3; х2 = 1,4.

х2

II

IV

1/500 =(6; 4)

В

Ответ: Для максимального дохода 12700, фабрика должна производить 3,3 т. краски Е и 1,4 т. краски I.

Если решить задачу на минимум, то минимум ЦФ будет достигаться в точке О (0; 0),=>min F(x)=0 достигается при х1=0; х2=0.

Задача 2

На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Вид ресурсов	Нормы расхода ресурсов на ед. продукции	Запасы ресурсов
	I вид	II вид	III вид
Труд	1	4	3	200
Сырье	1	1	2	80
Оборудование	1	1	2	140
Цена изделия	40	60	80

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

· проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

· определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план её выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;

· оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.

Решение

1. Пусть: х₁ шт. - продукции I вида;

х₂ шт. - продукции II вида;

х₃ шт. - продукции III вида.

F(x)=40x₁+60x₂+80x₃>max

при ограничениях:

1x₁+4x₂+3x₃<=200;

1x₁+1x₂+2x₃<=80;

1x₁+1x₂+2x₃<=140;

х₁>=0;

х₂>=0;

х₃>=0.

2. Решение задачи в Excel:

Вводим исходные данные:

Опишем целевую функцию с помощью функции - СУММПРОИЗВ.

Вводим зависимости для ограничений.



Далее в строке МЕНЮ выбираем СЕРВИС>ПОИСК РЕШЕНИЯ и вводим следующие данные:

Вводим параметры:



В итоге получим:

Отчет об устойчивости:

Получаем,

X₁ =40;

X₂ =40;

X₃ = 0.

Таким образом, оптимальный план выпуска продукции, с максимальной выручкой 4000 ед. выглядит так:

40 шт. - продукции I вида,

40 шт. - продукции II вида.

0 шт. - продукции ІІІ вида.

2. Т.к. число переменных двойственной задачи равно числу функциональных ограничений простой задачи, следовательно, в двойственной задачи будет 3 переменных.

Матрица коэффициентов левых частей функциональных ограничений двойственной задачи получается из матрицы коэффициентов левых частей функциональных ограничений исходной задачи путем транспонирования.

Значение целевой функции изменяется на противоположное. В результате, получаем:

F(x)=200y₁+80y₂+140y₃>min

при ограничениях:

1у₁+1у₂+1у₃>=40;

4y₁+1y₂+1y₃>=60;

3y₁+2y₂+2y₃>=80;

y₁>=0;

y₂>=0;

y₃>=0;

Т. к. оптимальный план равен х = (40,40,0), то

y₁ (1*40+4*40+3*0-200) = 0

у₁ (0) = 0, => информации нет

у₂ (1*40+1*40+2*0-140) = 0

у₂ (0) = 0, => информации нет

у₃ (1*40+1*40+2*0-140) = -60

у₃ (-60) ?0, => y3 = 0 => ресурс используется не полностью

40 * (1у₁+1у₂+1у₃-40) = 0;

40* (4y₁+1y₂+1y₃-60) = 0;

0 * (3y₁+1y₂+2y₃-80) = 0.

Если компоненты исходной задачи не равны 0, то соответственные ограничения двойственной задачи превращаются в равенство:

экономический модель выручка оптимизационный

у₁+у₂+у₃=40

4y₁+y₂+y₃=60

y₃ = 0

Выражаем у₁

y₁ = 40 - y₂

выражаем y₂

4*(40 - y₂)+ y₂=60

160-4y₂+y₂=60

-3y₂=-100

y₂=100/3

y₁ =40-100/3=> y=20/3

Оптимальный план: y =(20/3; 100/3; 0)

min (200*20/3+80*100/3+140*0) = 4000

Оптимальный запас ресурсов, при минимальной выручке, равной 4000 ед. выглядит так:

Труд = 20/3;

Сырье = 100/3;

Оборудование = 0 ед.

3. y₃ =0, следовательно, запасы оборудования не дефицитны, т.е. используются не полностью.

4.

· шу₁, у₂ > 0, следовательно, труд и сырье дефицитны, т.е. полностью вырабатываются при реализации оптимального плана.

у₁ > у₃ (20/3>100/3), следовательно, запас трудового ресурса более дефицитен, чем запас сырья.

· ЦФ=40*40+60*40+60*0=4000

Если увеличить запасы сырья на 18 ед., то выручка изменится:

18*100/3=600

х₁+4х₂+3х₃=200

х₁+х₂+х₃=80+18

находим х₁

х₁=200-4х₂

находим х₂

200-4х₂+х₂=98

х₂=34 =>х₁=200-4*34

х₁= 64

Новый оптимальный план х =(64; 34; 0)

ЦФ=40*64+60*34+80*0=4600

· Уa_ij*у - С_j

а_ij = (2; 2; 2);

y = (20/3; 100/3; 0)

C_j = 70

2*20/3+2*100/3+2*0-70=10

10 > 0, следовательно, включение в план изделия четвертого вида не выгодно

Размещено на Allbest.ru