Особенности постановки и решения экономических задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1.

Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) S₁ S₂ и S₃. Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице

Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 ден. ед.

Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание питательных веществ каждого вида было бы не менее установленного предела.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

Решение:

Введём обозначение:

х₁ - количество корма первого вида подлежащего включению в дневной рацион (кг)

х₂ - количество корма второго вида подлежащего включению в дневной рацион (кг)

Таким образом дневной рацион представляет собой вектор Х (х₁; х₂).

В данной задаче критерий оптимальности - минимум затрат на дневной рацион.

С учетом введенных обозначений ЭММ задачи имеет вид:

min f (х_1,; х _2,) = 4х₁ + 6х₂

3х₁ + х₂ ? 9 - ограничение по содержанию питательного вещества S₁

х₁ + 2х₂ ? 8 - ограничение по содержанию питательного вещества S₂

х₁ + 6х₂ ? 12 - ограничение по содержанию питательного вещества S₃

х₁ ? 0; х₂ ? 0 - прямые ограничения

Приведенная задача линейного программирования (ЗЛП) - задача с двумя переменными, а значит мы ее можем решить графическим методом. Построим область определения этой задачи (ОДР.). Прямые ограничения задачи говорят о том, что ОДР будет находится в I четверти прямоугольной системы координат.

Функциональные ограничения неравенства определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми:

I 3х₁ + х₂ = 9, проходящей через точки (3; 0) и (0;9)

II х₁ + 2х₂ = 8, проходящей через точки (8; 0) и (0;4)

III х₁ + 6х₂ = 12, проходящей через точки (12; 0) и (0;2)

Представим ОДР на рисунке:

При помощи пакета MS Excel с использованием инструмента поиск решений находим значение целевой функции:

Значение целевой функции в точке В (2;

3) равно:

Вывод: В дневной рацион должно входить 2 кг корма I вида и 3 кг корма II вида. С таким дневным рационом связаны затраты в 26 ден. ед. Задача на максимум не разрешима, т.к. не существует конечного максимума на неограниченном множестве допустимых решений (вследствие неограниченности целевой функции на ОДР.).

Задача 2.

1. Постановка экономической задачи

Необходимо решить транспортную задачу - минимизировать расходы на доставку продукции заказчикам со складов фирмы, учитывая следующие затраты на доставку одной единицы продукции, объем заказа и количество продукции, хранящейся на каждом складе.

Таблица тарифов на перевозку продукции и объемов запасов на складе и заказов:

2. Экономико-математическая модель задачи

Транспортная задача относится к двухиндексным задачам линейного программирования, так как в результате её решения необходимо найти матрицу X c компонентами Xij. Обозначим через Xij - объем продукции, перевозимой со склада i (i=1, 2, 3,4) в магазин j (j=1, 2, 3,4).

Стоимость всего плана (целевая функция) выразится двойной суммой:

Z_min=, где

С_{ij -} тарифы на перевозку продукции со склада i в магазин j.

Систему ограничений получаем из следующего условия задачи:

а) все грузы должны быть перевезены, т.е. ;

б) все потребности должны быть удовлетворены, т.е.

Так как объем заказов меньше запасов на складе, имеем задачу открытого типа.

Ограничения по строкам:

Х₁₁+Х₁₂+Х₁₃+Х₁₄ ?25

Х₂₁+Х₂₂+Х₂₃+Х₂₄ ?30

Х₃₁+Х₃₂+Х₃₃+Х₃₄?40

Х₄₁+Х₄₂+Х₄₃+Х₄₄?50

Ограничения по столбцам:

Х₁₁+Х₂₁+Х₃₁+Х₄₁=20

Х₁₂+Х₂₂+Х₃₂+Х₄₂=15

Х₁₃+Х₂₃+Х₃₃+Х₄₃=30

Х₁₄+Х₂₄+Х₃₄+Х₄₄=25

Функциональные ограничения:

Х_ij0, Х_ij - целые

Для приведения задачи к закрытому типу введем фиктивный магазин с потребностями 145-90=55 единиц продукции.

3. Компьютерная информационная технология решения задачи линейного программирования

двухиндексная задача критерий оптимальность

Заполним рабочий лист Excel данными и формулами следующим образом:

Опишем технологию решения задачи с помощью надстройки Excel "Поиск решения".

В строке меню "Сервис" выберем команду "Поиск решения". Появится диалоговое окно "Поиск решения".

Установим целевую ячейку G15 равной минимальному значению. Изменяя ячейки B11: F14.

Введем ограничения следующим образом:

Окно Поиск решения с заполненными полями:

Затем щелкаем по кнопке Параметры. Появляется диалоговое окно Параметры поиска решения.

В нем установим флажки "Линейная модель" и "Неотрицательные значения".

Нажмем кнопку ОК.

На экране появляется диалоговое окно Поиск решения. Направим курсор мыши на кнопку Выполнить.

Появляется диалоговое окно Результаты поиска решения, где мы укажем тип отчёта - отчет по результатам, так как отчеты по устойчивости и по пределам неприменимы для задач с целочисленными ограничениями.

Результаты расчетов:

4. Рекомендации лицу, ответственному за принятие решений

Минимальные расходы на доставку составят 82 ден. ед., если перевезти со склада "Выхино" 10 ед. в магазин "Сумки" и 15 ед. - в "Моду"; со склада "Арбатская" 30 ед. в магазин "Анна"; со склада "Сокол" 10 ед. в магазин "Сумки" и 25 ед. - в "Галантерею". При этом останутся невостребованными 40 ед. продукции со склада "Каховская" и 15 ед. со склада "Сокол".

Размещено на Allbest.ru