Системы массового обслуживания

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

Во многих областях экономики, финансов, производства, технике важную роль играют системы, реализующие многократное выполнение достаточно однотипных задач. Подобные системы называются системами массового обслуживания (СМО). В качестве примеров в СМО можно привести системы, представляющие собой различные системы связи, автозаправочные станции, фирмы, компании, различные предприятия и организации сферы обслуживания и т.п.

Каждая СМО включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств, которые принято называть аппаратами (каналами, приборами) обслуживания. Роль аппарата могут играть различные устройства, лица, выполняющие те или иные операции, линии связи и т.д.

Изучение СМО начинается с анализа входящего потока требований. Входящий поток требований представляет собой совокупность требований, которая поступает в систему в большинстве случаев не регулярно, а в случайный момент времени, и нуждается в обслуживании. Обслуживание заявок также является случайным процессом, которое может зависеть от многих случайных, порой неизвестных нам, причин. После обслуживания аппарат освобождается и готов к приему следующего требования. Рассматривается входящий поток требований с целью установить закономерности этого потока и улучшить качество обслуживания.

Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к неравномерной загруженности СМО. В некоторый промежуток времени на входе СМО могут скапливаться не обслуженные заявки, которые «становятся» в очередь, либо по каким-то причинам выходят из системы, тем самым происходит перегрузка СМО. В другой же интервал времени на входе заявок может не быть, что приводит к недогрузке системы, таким образом, происходит простаивание аппаратов.

Каждая СМО, в зависимости от своих параметров, обладает определенной эффективностью функционирования, позволяющей ей более или менее успешно справляться с потоком.

СМО является предметом изучения теории массового обслуживания (ТМО). Теория массового обслуживания занимается разработкой рекомендаций по рациональному построению СМО, рациональной организации их работы и регулированию потока заявок для обеспечения высокой эффективности функционирования СМО.

В качестве характеристик эффективности функционирования СМО можно выбрать 3 следующих основных группы показателей:

Показатели эффективности использования СМО: среднее число заявок, которое может обслужить СМО за единицу времени;средняя продолжительность периода занятости СМО; коэффициент использования СМО среднее время, в течение которого СМО занята обслуживанием заявок и т.п.

Показатели качества обслуживания заявок: среднее время ожидания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в СМО; вероятность отказа требованию в обслуживании без ожидания; вероятность того, что поступившая заявка будет принята к обслуживанию сразу; закон распределения времени ожидания заявки в очереди; закон распределения времени пребывания заявки в СМО; средняя длина очереди; среднее число заявок, находящихся в системе и т.п.

Показатели эффективности функционирования пара «СМО-потребитель», где под «потребителем» понимаем всю совокупность заявок: средний доход, приносимый СМО в единицу времени и т.п.

СМО делятся на разные группы в зависимости от состава и от времени пребывания в очереди до начала обслуживания, и от характера обслуживания требований. По составу СМО бывают одноканальные(с одним обслуживающим аппаратом) и многоканальными (с более чем одним числом обслуживающих аппаратов). Многоканальные системы могут состоять из обслуживающих устройств как одинаковой, так и разной производительности. По времени пребывания требований в очереди до начала обслуживания системы делятся на три группы: 1) с неограниченным временем ожидания (с ожиданием), 2) с отказами; 3) смешанного типа.

В данной работе рассматривается СМО с ожиданием. Заявка, поступившая в момент занятости всех аппаратов такой системы, становится в очередь и ожидает освобождение аппарата. Поток требований неограничен, таким образом, длина очереди с течением времени будет неограниченно возрастать. Тогда, СМО не будет справляться с обслуживанием входящего потока. Поэтому считается, что число обслуживающих аппаратов не должно быть меньше, чем среднее число аппаратов, необходимых чтобы обслужить все поступившие требования, так как каждая заявка, поступившая на вход, должна быть обслужена.

Работа состоит из двух частей. В первой части выводится система дифференциальных уравнений. Находятся характеристики эффективности функционирования СМО. Во второй части рассматривается пример, на основе которого строится модель, имитирующая СМО с ожиданием, приближенную к реальным условиям.



1. СМО с ожиданием

1.1 Постановка задачи

Рассматриваем обслуживающую систему, состоящую из аппаратов, в которую поступает простейший поток требований интенсивности. Каждый аппарат одновременно может обслуживать только одно требование. Если в момент поступления очередного требования в системе все аппаратов заняты, то это требование «становится» в очередь и ждет начала обслуживания. Рассматриваем случай неограниченного входящего потока, т.е. в системе одновременно может находиться любое число требований. Время обслуживания одного требования подчинено показательному закону распределения с параметром .

Для полной характеристики очереди необходимо знать закон распределения времени ожидания начала обслуживания? и, число требований k (как находящихся в обслуживании, так и ожидающих обслуживания). Эти показатели эффективности обслуживающей системы определяются через такие характеристики, как математическое ожидание длины очереди, математическое ожидание числа требований, находящихся в системе обслуживания, математическое ожидание числа свободных обслуживающих аппаратов.

1.2 Основные понятия и свойства

Последовательность событий будем называть потоком. Поток, состоящий из требований на обслуживание - потоком требований. Поток требований, нуждающихся в обслуживании и поступающих в обслуживающую систему, называется входящим потоком. Входящий поток- это совокупность заявок на обслуживание, поступающих в обслуживающую систему.

Определение: Стационарным потоком называется поток, для которого вероятность поступления определенного количества требований в течение определенного промежутка не зависит от начала отсчета времени, а зависит от длины промежутка.

Таким образом, поток называется стационарным, если закон распределения группы величин

совпадает с законом распределения

т.е. распределение случайных величин зависит от и не зависит от величины , где - любой произвольный отрезок времени.

В некоторых реальных потоках число требований, поступивших в систему после произвольного момента времени, не зависит от того, какое число требований поступило в систему до момента.

Определение: Потоком без последействия называется поток, обладающий свойством независимости характера потока требований от числа ранее поступивших требований и моментов времени их поступления.

Таким образом, поток требований называется потоком без последействия в тех случаях, когда закон распределения группы

при и любом не зависит от значений величины при. Стационарный поток без последействия обладает одним важным свойством, заключающимся в том, что его можно полностью охарактеризовать системой функцийпри, есть вероятность того, что за промежуток времени при поступит точно требований.

Определение: Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским, если он обладает свойством отсутствия последействия, состоящим в том, что для настоящего фиксированного момента времени, вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от ее состояния в настоящем и не зависит от того, как этот процесс развивался в прошлом.

В целом ряде случаев, когда мы имеем дело с конкретной системой обслуживания, характер потока требований таков, что в любой момент времени может поступить только одно требование.

Определение: Поток называется ординарным, если в этом потоке невозможно или почти невозможно, одновременное появление двух или большего числа требований.

Обозначить через вероятность появления за промежуток времени не меньше двух требований. Таким образом, поток требований называется ординарным, если

или при Другими словами, вероятность того, что появится больше одного требования за малый промежуток времени , если бесконечно малая величина более высокого порядка, чем

Определение: Простейшим потоком требований называется поток, одновременно обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия.

Время обслуживания есть, прежде всего, характеристика функционирования каждого отдельного аппарата обслуживающей системы. Оно показывает, сколько времени затрачивается на обслуживание одного требования данным обслуживающим аппаратом. Этот показатель обслуживания ничего общего не имеет с оценкой качества обслуживания, а характеризует лишь пропускную способность одного обслуживающего аппарата. При этом предполагается, что если обслуживание требования, поступившего в систему, закончилось, то заявка на обслуживание удовлетворена полностью.

В силу самых различных причин время обслуживания может меняться от одного требования к другому. Эти причины, в первую очередь, связаны с тем, что поступающие требования не будут полностью идентичными. Например, компьютеры и ноутбуки, поступающие в сервисный центр для ремонта, как правило, имеют самые разнообразные неисправности, и даже в тех случаях, когда неисправности идентичны, время, требуемое для их устранения, может быть различным.

Если обозначить время обслуживания через ?, то полной его характеристикой будет закон распределения

В данной работе рассматривается показательный закон распределения времени обслуживания F(t), который имеет вид

где 1/? - среднее время обслуживания, постоянная.

Выбор распределения (1) для описания длительности обслуживания произведен не случайно. Это связано с тем, что задача допускает простое решение, которое описывает ход интересующего нас процесса. Распределение (1) играет особую роль в ТМО, которая вызвана следующим свойством: при показательном распределении длительности обслуживания распределение длительности оставшейся части работы по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось. ([3], стр. 25)

1.3 Вывод системы дифференциальных уравнений

Поскольку в систему на обслуживание поступает простейший поток требований с параметром ?, это значит следующее: поток стационарный, ординарный, без последействия. Вероятность поступления точно требований за время равна

где ? -- математическое ожидание числа требований за единицу времени.

Мы обозначим черезвероятность того, что в момент времени t занято k аппаратов системы, а т.к. в данной системе может находиться на обслуживании любое число требований, то

В дальнейшем будет использована формула полной вероятности:

гдеесть условные вероятности того, что за время обслуживающая система перейдет от занятых аппаратов к .

Используя формулу (3), имеем вероятность того, что аппарат свободен в момент времени



Если в начальный момент он был свободен, то , т. е

Величинаесть условная вероятность того, что за времяаппарат не будет занят,т.е. за это время не поступит ни одного требования.

Вычислим условные вероятности. Положим и определим - вероятность того, что в системе через время не будет ни одного требования при условии, что в начальный момент она была свободна. Это событие, может произойти только в том случае, если за время не поступит ни одного требования.Тогда, очевидно, все обслуживающие аппараты будут свободны. Вероятность этого события равна

гдеесть вероятность поступления хотя бы одного требования за время , а, следовательно, есть вероятность отсутствия требований за это время.

Но возможно, что за время все-таки поступит одно требование, при этом оно будет обслужено и покинет систему. Тогда по истечении промежутка времени все обслуживающие аппараты будут свободны. Пусть требование поступило в начальный момент отрезка , тогда, используя (1), вероятность того, что оно будет обслужено за время, не превосходящее , равна



Разложим в ряд по степеням , получаем

Поэтому

Так как это знакопеременный ряд и сумма его по абсолютной величине не превосходит первого члена, то

Таким образом, получаем, что

Если требование поступило не в начальный момент промежутка , то вероятность того, что оно будет обслужено за оставшееся время, еще меньше. Но вероятность поступления хотя бы одного требования за время ?t равна



Таким образом, вероятность того, что за время требование поступит и будет обслужено, не превосходит

т. е. эта вероятность есть величина бесконечно малая более высокого порядка, чем . Вероятность же того, что за время поступят и будут обслужены больше двух требований, еще меньше. Следовательно, по теореме сложения вероятностей

(6)

Подставляя (6) в (4), получаем

откуда после преобразований, разделив обе части на, имеем

Переходя к пределу при , получаем



Решим полученное дифференциальное уравнение, проинтегрировав обе части равенства:

Потенцируем полученное равенство:

Из начального условия находим константу С, поэтому

Таким образом, если в начальный момент аппарат был свободен, то вероятность того, что он будет свободен через время , равна

т. е. она тем больше, чем меньше ?.

Формулу (7) можно описать так: вероятность того, что промежуток времени между двумя последовательными моментами поступления требований стационарного потока без последействия превзойдет , равна (7). Следовательно, функция распределения длины промежутка между двумя последовательными поступлениями требований равна



Для многих процессов имеет место очень важное свойство, которое заключается в том, что пристремятся к конечным пределам.Обозначим через постоянные числа, не зависящие от начального положения, в котором находилась обслуживающая система. Наличие этих пределов для рассматриваемой задачи вытекает из следующей теоремы. ([5], стр.61)

Теорема Маркова. Если существует такое , что, то длямарковского процесса предел

существует и не зависит от i.

Так какесть условная вероятность перехода отiзанятых аппаратов в системе обслуживания кkзанятым аппаратам, тоозначает, что при достаточно большом промежутке времени возможен переход отiзанятых аппаратов кk. Но так как это неравенство справедливо при любыхiи , то, следовательно, переход к занятым аппаратам возможен из любого начального состояния. Очевидно, что для рассматриваемой задачи это свойство справедливо. Действительно, система, состоящая из обслуживающих аппаратов, может из любого состояния перейти со временем, если взять это время достаточно большим, в любое другое возможное состояние.

Покажем, что вероятность того, что занято аппаратов системы имеет предел при. Это вытекает из следующей теоремы.([4], стр. 250)

Теорема. Для тогочтобы вероятностьпри

имела предел независимо от начальных состояний, необходимо и достаточно, чтобы к этим же пределам стремились условные вероятности при любом начальном состоянии . Вместе с теоремой Маркова эта теорема доказывает наличие стационарного решения в рассматриваемой задаче. Перейдем к составлению уравнения для определения. Найдем значение.Для вычисления воспользуемся тем, что

Справедливость этого равенства очевидна, так как оно означает, что если в некоторый момент занято k аппаратов, то через время система или остается в прежнем состоянии, т. е. будет занято k аппаратов, или перейдет в какое-нибудь другое возможное состояние i. Из этого равенства вытекает, что

Покажем, что все члены правой части полученного равенства, кроме иесть величины бесконечно малые более высокого порядка, чем.Действительно при есть вероятность того, что завремя в систему поступит не меньше двух требований (при),а вероятность этого



или за это время систему покинут не меньше двух обслуженных требований (при ).Из (1) и (5) вероятность последнего события равна

Так как, ,то

Следовательно, вероятность того, что за времясистему покинут не меньше чем два обслуженных требования, есть бесконечно малая величина более высокого порядка, чем.Таким образом, вероятностьпри имеет порядок т. е.

Учитывая это, равенство (10) можно переписать в следующем виде:

Вычислим величину, которая является вероятностью того, что из занятых аппаратов за время освободится, по крайней мере, один из них. Вероятность того, что за время занятый аппарат не освободится, равна вероятности того, что время обслуживания превзойдет , а так как вероятность того, что время обслуживания будет меньше, равна с параметром , то, следовательно, вероятность того, что оно будет больше , равна



Если в момент t занято k аппаратов, то вероятность того, что не освободится ни один из них, может быть найдена по теореме умножения вероятностей. Так как есть вероятность того, что один занятый аппарат за время не освободится, то вероятность того, что все аппаратов не освободятся, равна

Следовательно, вероятность того, что за это время освобождается хотя бы один из k аппаратов, равна

Так как вероятность освобождения двух и более аппаратов за время имеет порядок o(), то, следовательно, вероятность того, что за время освободится точно один аппарат из, равна

Осталось вычислить вероятность . Эта величина с точностью до равна вероятности поступления требования за время , т. е.

Представляя полученные выражения для ив (10), получаем



Подобные рассуждения дляприводят к уравнению:

Объединяя все полученные выражения, получаем следующие асимптотические формулы для переходных вероятностей:

При подстановке полученных систему формул (11) в (3), все члены, содержащие, оцениваются как , так как сумма конечного числа бесконечно малых величин одного порядка есть также бесконечно малая величина того же порядка.

При



При аналогично. В итоге получаем систему

Теперь произведем некоторые преобразования в системе уравнений (12), перенесем в первом уравнении слагаемоево втором уравнении перенесема в третьемвлево, после чего разделим обе части всех уравнений на. В результате получим

Перейдем к пределу при , в итоге получаем следующую систему дифференциальных уравнений:



Это дифференциальная система дифференциальных уравнений первого порядка относительно функций , с постоянными коэффициентами.

1.4 Стационарное решение системы уравнений

дифференциальный уравнение марков оптимизация обслуживание

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (13):

Предположим, что пределы

существуют при любых значениях . При переходе к пределу в системе дифференциальных уравнений

так как если бы он не был равен 0, тонеограниченно возрастала бы с ростом , а это невозможно. Ясно, что , поэтому пределы левых частей при равны 0, что имеет место при любых . Переходя в системе дифференциальных уравнений к пределу, получаем следующую систему алгебраических уравнений:



Так как обслуживающая система всегда находится в одном из возможных состояний, то к этим уравнениям необходимо добавить еще следующее условие:

Произведем в системе (14) замену неизвестных наследующим образом:

Тогда система алгебраических уравнений (14) преобразуется следующим образом:

Откуда, учитывая новые обозначения, имеем



Следовательно, единственное решение полученной системы при любом . Значит (14) примет вид:

Из этой системы уравнений получаем, что

т.е. при

а при

Для определения воспользуемся условием (15), откуда, подставляя полученные значения , имеем



Сумма в скобках уравнения (18) сходится к конечному пределу при условии сходимости ряда

но этот ряд является суммой членов геометрической прогрессии со знаменателем и первым членом Эта сумма вычисляется по формуле суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии при

Подставляя выражение (19) в формулу (18), после преобразований получаем, что

Находим :



Если величина в (18), то сумма ряда будет неограниченно возрастать, а величина равна 0. Действительно есть частное от деления единицы на бесконечно большую величину. Таким образом, получаем, что при любом , т.е. вероятность того, что в обслуживающей системе нет ни одного требования или находится любое конечное число требований, при равна 0. Это означает, что число требований неограниченно возрастает, т.е. очередь неограниченно велика и система не справляется с обслуживанием. Объединяя равенства (17) и (20), получаем вероятности для любых значений , т.е. вероятности того, что в системе находится требований.

Определим вероятность того, что все обслуживающие аппараты заняты. Это событие может иметь место тогда, когда в системе находятся требований одновременно. Эти события независимы, поэтому вероятность того, что все обслуживающие аппараты заняты, может быть найдена как сумма вероятностей

Обозначим через вероятность того, что все обслуживающие аппараты заняты, тогда

Суммируя геометрическую прогрессию, после преобразований получаем



при .

Из (17) и (22) следует, что

1.5 Определение функции распределения длительности ожидания

Определим закон распределения длительности ожидания начала обслуживания. Время ожидания начала обслуживания является в общем случае случайной величиной, которая зависит от того, как много требований находится в системе обслуживания в данный момент и как скоро закончится их обслуживание. Определим распределение времени ожидания начала обслуживания в установившемся процессе, т. е. будем рассматривать только вероятности.

Время ожидания начала обслуживания, случайная величина, таким образом необходимо найти вероятность того, что время ожидания начала обслуживания больше произвольного отрезка времени . Обозначим через условную вероятность того, что время ожидания , при условии, что в момент поступления требования в системе находилось требований. Вероятности того, что в обслуживающей системе находится требований, т.е. величина , применяя формулу полной вероятности (3), получаем



Если в момент поступления очередного требования в системе будет находиться меньше требований, то обслуживание очередного требования начинается немедленно, поэтому при

для любого . Таким образом, получаем, что

Определим условные вероятности при.

Пусть в момент поступления очередного требования в системе находится требований. При этом , тогда из них обслуживаются, aожидает своей очереди. Пусть обслуживание производится в порядке очереди, и тогда вновь поступившее требование поступит на обслуживание только после того, как будет закончено обслуживание -го требования. Обозначим через вероятность того, что за время закончится обслуживание ровно требований. Тогда условная вероятность по теореме сложения вероятностей равна

так как время ожидания будет больше в том случае, если за это время будет закончено обслуживание не больше требований.

В связи с тем, что время обслуживания подчинено показательному закону и не зависит от того, сколько требований находится в данный момент в очереди, то вероятность того, что за время не освободится ни один обслуживающий аппарат, по теореме умножения вероятностей равна

где есть вероятность того, что обслуживание не закончит один аппарат, a-- вероятность того, что обслуживание не закончат все аппаратов.

Поток обслуженных требований является простейшим. Он обладает всеми тремя свойствами, характеризующими простейший поток: стационарностью, отсутствием последействия и ординарностью. Стационарность его вытекает из свойства показательного времени обслуживания -- закон распределения времени обслуживания не зависит от того, сколько времени оно уже длилось. Отсутствие последействия в этом потоке очевидно, так как число ранее обслуженных требований не может повлиять на последующий ход обслуживания. Установим ординарность следующим образом:вероятность того, что будет закончено обслуживание двух требований за время , равна

т. е. есть бесконечно малая величина по сравнению с

Параметр потока обслуженных требований равен , поэтому вероятность того, что за время будет закончено обслуживание точно требований, можно вычислить по формуле (2), подставив в нее .

Следовательно,



есть вероятность появления точно требований в выходящем потоке. Иными словами, вероятность есть характеристика продвижения очереди на единиц за время . Таким образом, условная вероятностьравна

Подставляя выражение(25) дляв (23), получаем:

Теперь подставим значение из (16):

Изменим порядок суммирования, тогда



Последняя сумма есть сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем первым членом и суммой первых членов

поэтому

представляет разложение по степеням показателя, поэтому

Учитывая обозначение из (23), получаем

Для отрицательных значений вероятность того, что время ожидания больше , равна единице.

Следовательно, при у функцииимеется разрыв типа скачка. Скачок функции равен , так как при :, а при :, т. е. величина этого скачка равна вероятности того, что по крайней мере один обслуживающий аппарат свободен. Соответственно вероятность того, что время ожидания не превзойдет , равна



Последнее вытекает из того, что время ожидания начала обслуживания или ноль, или положительная величина и неравенство при не может иметь места. Эта функция также имеет разрыв при .

1.6 Характеристики функционирования многоканальной СМО с ожиданием

По закону распределения времени начала можно определить среднее время ожидания начала обслуживания при наличии обслуживающих аппаратов, которое равно

Таким образом, получаем, что среднее время ожидания начала обслуживания при обслуживающих аппаратах пропорционально вероятности того, что все обслуживающие аппараты заняты.

Величины позволяют вычислить среднее число требований, ожидающих начала обслуживания, т. е. математическое ожидание длины очереди:



Подставив в это выражение значение , получим

так как

Ряд

сходится при, а это условие означает, что очередь не растет неограниченно.

Таким образом, среднее число требований, ожидающих в очереди начала обслуживания, равно

Обозначим



и вычислим сумму ряда

Вычислим частную сумму и перейдем к пределу при, тогда

Частная сумма может быть преобразована следующим образом:

причем общее число таких слагаемых равно . Каждая сумма, стоящая в круглых скобках, является суммой членов геометрической прогрессии со знаменателем . Они отличаются друг от друга только первыми членами и числом членов. Применяя формулу суммы членов геометрической прогрессии к каждой скобке, получаем



Суммируя еще раз выражение, стоящее в круглых скобках, которое также является суммой членов геометрической прогрессии, получаем

Теперь для получения перейдем к пределу при, при этом заметим, что, так как , то

Тогда

Возвращаясь к и подставляя, получаем

Среднее число требований, находящихся в системе обслуживания (как обслуживаемых, так и ожидающих обслуживания), равно



Подставляя из (16),получаем

Суммы, стоящие в квадратных скобках, могут быть определены следующим образом: первая может быть вычислена как сумма членов геометрической прогрессии, а вторая вычислена выше и равна. Таким образом, среднее число требований, находящихся в системе обслуживания, равно

Среднее число аппаратов, свободных от обслуживания, равно

Подставляя значение , получаем



1.7 Параметры и характеристики функционирования СМО с ожиданием

Приведем таблицы параметров и полученных характеристик СМО.

Таблица 1. Параметры многоканальной СМО с ожиданием

№ п/п	Параметры	Обозначения, значения
1	Число аппаратов обслуживания
2	Интенсивность входящего простейшего потока требований
3	Производительность каждого канала
4	Максимальная длина очереди
5	Соотношение между

Таблица 2. Характеристики функционирований многоканальной СМО с ожиданием

№ п/п	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1	Коэффициент нагрузки СМО
2	Коэффициент нагрузки, приходящийся на один аппарат
3	Вероятность отказа
4	Вероятность того, что все аппараты свободны	(20)
5	Вероятности состояний	(16),(17)
6	Вероятность того, что заявка будет принята в СМО
7	Среднее число занятых аппаратов - среднее число заявок, находящихся под обслуживанием
8	Среднее число аппаратов, свободных от обслуживания
8	Вероятность того, что все аппараты заняты
9	Среднее время обслуживания одной заявки
10	Среднее числотребований, находящихся в очереди
11	Среднее время ожидания заявки в очереди
12	Среднее число заявок, находящихся в СМО
13	Среднее время пребывания заявки в системе



2. Пример применения СМО с ожиданием

Пусть сервисный центр, ремонтирующий компьютеры и ноутбуки, имеет трех мастеров. Количество компьютеров и ноутбуков, находящихся в эксплуатации, весьма велико. Число компьютеров, поступивших на ремонт, может быть очень большим. Практически это число можно считать неограниченным. Правда, вероятность того, что в центре обслуживания будет одновременно находиться очень много неисправных компьютеров и ноутбуков, мала, но потенциальная возможность того, что они поступят в сервисный центр, имеется.

Моменты выхода компьютеров из строя -- случайны, поэтому поток заказов в центр является случайным. Будем считать этот поток простейшим. Пусть среднее число компьютеров, поступающих на ремонт за день, равно . Тогда вероятность того, что за дней поступит на ремонт точно компьютеров, будет равна

Видно, что с ростом эта вероятность при быстро убывает, так как при этом знаменатель начинает расти быстрее, чем числитель

Время ремонта одного компьютера есть случайная величина, так как это время зависит от характера неисправностей, опытности мастера и т. д. Пусть три мастера за день могут отремонтировать 12 компьютеров, и время ремонта подчинено показательному закону. Тогда среднее время ремонта одного компьютера равно четверти рабочего дня, следовательно, параметр показательного закона.

Возникает вопрос о том, какое время каждый владелец неисправного компьютера будет ждать окончания ремонта. Это основной вопрос, интересующий владельца. С точки зрения сервисного центра, представляет интерес вопрос о том, какое среднее количество компьютеров и ноутбуков будет находиться на ремонте. Также необходимо знать, насколько хорошо этот центр справляется с ремонтом всего потока компьютеров, какое количество их в среднем будет ждать начала ремонта в центре обслуживания и т. д.

Система обслуживания состоит из трех мастеров, работающих в центре. Требование на обслуживание не покинет системы до тех пор, пока не будет закончено обслуживание, так как неисправный компьютер или ноутбук находится на гарантии. Таким образом, данную систему обслуживания мы можем рассматривать как систему без потерь. Прежде чем приступить к вычислению всех интересующих нас показателей, рассмотрим, способен ли этотсервис справиться с ремонтом всех компьютеров. Напомним, что если , то очередь неограниченно возрастает. Это означает, что сервисный центр в этом случае не сможет обеспечить ремонта всех компьютеров. Проверим выполнение этого условия для нашего примера. Так как , , то

Следовательно, со временем количество неисправных компьютеров не будет неограниченно возрастать, и сервисный центр сможет обеспечить их ремонт. Т.е. трех мастеров достаточно, чтобы центр не был постоянно загружен работой, и владельцам неисправных компьютеров или ноутбуков не пришлось долго ждать окончания ремонта. Рассмотрим, как будет выглядеть процесс обслуживания. Начнем с вычисления вероятности того, что в момент поступления очередного компьютера на ремонт все мастера заняты. Эту величину можно найти по формуле :



так как

С помощью (20) вычислим:

Следовательно, вероятность того, что в момент поступления очередного компьютера все мастера свободны, равна , а вероятность того, что все они заняты, равна

т. е. заняты все мастера меньшеполовины всего рабочего времени. Закон распределения времени ожидания имеет следующий вид:

где ? -- время ожидания начала ремонта компьютера.



График распределения времени ожидания начала ремонта компьютера

.Так, например, вероятность того, что в течение рабочего дня ремонт компьютера, поступившего утром, не будет начат, равна

т. е. в среднем не больше 2компьютеров из 100 будут ждать начала ремонта больше одного рабочего дня. Среднее время ожидания начала ремонта равно

рабочего дня.

Вероятность того, что время ожидания начала ремонта превзойдет среднее время ожидания, равна

Следовательно, с вероятностью ремонт будет начат через 0,11111 часть рабочего дня. При 10-ти часовом рабочем дне это составляет околоодного часа. Точнее, вероятность того, что время ожидания начала ремонта, будет не больше 1,0 часа, не меньше 0,72, т. е. из 100 компьютеров к ремонту 72 из них приступят где-то через 1 час после их поступления в центр. Найдем математическое ожидание длины очереди, т. е. среднее число компьютеров или ноутбуков, ожидающих начала ремонта. Это число равно

Величина есть вероятность того, что на ремонте находится точно три компьютера

Следовательно, среднее число компьютеров, ожидающих начала ремонта, равно .

Определим еще среднее число мастеров, свободных от работы.

Следовательно, в среднем каждый мастер свободен часть рабочего времени, т. е. около часов при -часовом рабочем дне.

Для получения необходимых характеристик в примере была написана программа, рассчитывающая параметры с использованием теоретических результатов. Текст программы приведен в приложении 1.

Входящими данными программы являются следующие параметры:

- интенсивность входящего потока заявок (число заявок в день);

- интенсивность обслуживания (число заявок в день);

число аппаратов в системе.

Выходными данными являются:

среднее число требований в очереди,

среднее число заявок в системе,

среднее число аппаратов, свободных от обслуживания.

И в случае, когда очередь будет неограниченно возрастать, т.е. не будет выполняться условие , выводится число необходимых системе аппаратов. Результаты программы приведены в приложении 2.

Все эти вычисления показывают, что три мастера хорошо обеспечат ремонт компьютеров, при этом загрузка их будет довольно высокой, но и заказчики при этом не будут терпеть больших неудобств.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дрогобыцкий И.Н. Экономико-математическое моделирование. М.:Издательская группа АСТ, 2006.

2. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. М.:К.д. ЛИБРОКОМ, 2010.

3. Гнеденко Б.В., Коваленко, Л.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.:Изд-во «Наука», 1966.

4. Розенберг В.Я., Прохоров А.И. Что такое теория массового обслуживания. М.: Советское радио, 1962.

5. Хинчин А.Я. Математические методы теории массового обслуживания. М.: 1955



Приложение 1

#include <vcl.h>

#include<math.h>

#pragma hdrstop

#include "Unit1.h"

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma package(smart_init)

#pragma resource "*.dfm"

TForm1 *Form1;

//---------------------------------------------------------------------------

__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)

: TForm(Owner)

{

}

doublefaktorial(int numb)// заголовокфункции

{

if(numb==0)

return 1;

intrezult = 1; // инициализируемпеременнуюrezultзначением 1

for (inti = 1; i<= numb; i++) // циклвычислениязначения n!

rezult *= i; // накапливаем произведение в переменной rezult

returnrezult; // печать значения n!

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender)

{

doublelymbda = 8.0, nu = 4.0;// входные параметры

int n=3;// входные параметры

n=StrToInt(EditN->Text);

lymbda=StrToFloat(EditLambda->Text);

nu=StrToFloat(EditNu->Text);

double p0,pn,K,M1,M2,M3,Tn,summa=0,summa1=0,summa2=0;

while(lymbda/nu>=n)//условие загруженности системы

n++;

LabelN->Caption="Необходимо "+IntToStr(n)+" аппаратов";

for(int k=0;k<=n-1;k++)

summa+=(1/faktorial(k))*pow(lymbda/nu,k);

p0=1/(summa+(nu/(faktorial(n-1)*(n*nu-lymbda)))*pow(lymbda/nu,n));

K=nu/(faktorial(n-1)*(n*nu-lymbda))*pow(lymbda/nu,n)*p0;

Tn=K/(n*nu-lymbda);

pn=p0/faktorial(n-1)*pow(lymbda/nu,n);

M1=pn*lymbda/n*nu*pow(1-lymbda/(nu*n),2);

for(int k=1;k<=n-1;k++)

summa1+=((1/faktorial(k-1))*pow(lymbda/nu,k));

M2=M1+p0*summa1+(n*pn)/(1-lymbda/(nu*n));

for(int k=1;k<=n-1;k++)

M3=((n-k)/faktorial(k))*pow(lymbda/nu,k)*p0;

EditM1->Text=FloatToStr(M1);

EditM2->Text=FloatToStr(M2);

EditM3->Text=FloatToStr(M3);

}

//---------------------------------------------------------------------------



Приложение 2

Размещено на Allbest.ru