Максимизирование дохода

Максимизирование дохода, полученного до попадания процесса в поглощающее состояние. Марковские моменты прихода и ухода заявок. Построение полумарковского ядра, математического ожидания накопленного дохода, дробно-линейного функционала достижения.

Рубрика Экономико-математическое моделирование
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 05.06.2012
Размер файла 1,5 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Файл не выбран
Обзор

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Постановка задачи.

Задана система М* I М I 2 I 1

M - моменты поступления заявок образуют простейший поток однородных событий с параметром л, который является управляющим воздействием.

М - функция распределения длительности обслуживания требования образуют простейший поток однородных событий с параметром

В системе имеется 2 обслуживающих прибора и 1 место в очереди.

Цель: максимизировать доход.

Марковскими моментами tk являются моменты прихода и ухода заявок.

Состояние системы оk = о(tk) - количество заявок в системе в марковские моменты.

Множество состояний системы:

(0) - система пуста (нет ни одного требования);

(1) - в системе 1 требование находится на обслуживании, в очереди нет заявок;

(2) - в системе 1 требование находится на обслуживании, в очереди 1 заявка;

(3) - в системе 1 требование находится на обслуживании, в очереди 2 заявки;

Введем «фиктивное» четвертое место в очереди. Попадание требования на это место означает его потерю.

(4) - потеря требования (поглощающее состояние)

Пространство управлений системы:

uU = (0; ) - длительность обслуживания требования.

Нам необходимо максимизировать доход, полученный до попадания процесса в поглощающее состояние.

Построение полумарковского ядра.

- вероятность того, что процесс оt перейдет из состояния i в состояние j за время, не превышающее t при управляющем воздействии u.

- вероятность того, что за время t придет ровно k заявок.

Выпишем матрицу переходных вероятностей:

Для выхода из состояния (0) необходим приход хотя бы одного требования.

- не зависит от управления

Остальные переходные вероятности зависят от управления

- за время обслуживания текущей заявки в систему не поступило ни одной заявки;

- за время обслуживания текущей заявки в систему поступила ровно 1 заявка;

- за время обслуживания текущей заявки в систему поступили ровно 2 заявки;

- за время обслуживания текущей заявки в систему поступили ровно 3 заявки;;

- за время обслуживания текущей заявки в систему поступило не менее 4-х заявок;

= 0;

- за время обслуживания текущей заявки в систему не поступило ни одной заявки;

- за время обслуживания текущей заявки в систему поступила ровно 1 заявка;

- за время обслуживания текущей заявки в систему поступили ровно 2 заявки;

- за время обслуживания текущей заявки в систему поступило не менее 3-х заявок;

= = 0;

- за время обслуживания текущей заявки в систему не поступило ни одной заявки;

- за время обслуживания текущей заявки в систему поступила ровно 1 заявка;

- за время обслуживания текущей заявки в систему поступило не менее 2-х заявок;

= = = = 0; .

Проверка вычислений:

Вычисления верны, если выполняется условие нормировки:

) = 1

Аналогично

Условие нормировки выполняется для всех строк матрицы переходных вероятностей, следовательно вычисления верны.

Построение математического ожидания накопленного дохода.

Для построения условного математического ожидания накопленного дохода при условии, что процесс пребывает в состоянии i и через время t перейдет в состояние j, введем константы, характеризующие доходы и расходы:

1 - плата за единицу времени работы прибора во время обслуживания текущей заявки;

2 - плата за единицу времени простоя прибора;

- с3 - плата за единицу времени пребывания в очереди одной заявки;

с4 - доход, полученный от обслуживания одного требования.

- плата за время простоя системы.

Для ,

, где - событие, обозначающее приход ровно j-i+1 требований.

Поясним смысл данного выражения: При переходе процесса из состояния i в состояние j за время t мы получаем доход . При этом затраты составляют:

- плата за обслуживание заявки;

- плата за пребывание в очереди тех (i-1) заявок, которые находились там изначально;

- - плата за пребывание в очереди каждой из заявок, поступивших в систему за время t.

Так как - независимые одинаково распределенные случайные величины, то представимо в виде:

Найдем условное математическое ожидание . Смысл условия состоит в том, что за время t пришло ровно k требований.

максимизирование доход заявка математическое ожидание

Для ,

Для j = 4:

Найдем условное математическое ожидание

Для j = 4:

Таким образом после проведения вычислений мы получаем:

Вычисление si

Вычислим величины si - математическое ожидание накопленного дохода за время непрерывного пребывания процесса в состоянии i.

Построение функционала достижения.

Вычислим Ci - математическое ожидание накопленного эффекта до попадания процесса в поглощающее состояние при условии, что процесс стартовал из состояния i. Ci находится как решение системы уравнений:

, где

=

Пусть задано Ki = P (о0 = i) - начальное распределение вероятностей.

Тогда по формуле полного математического ожидания:

Покажем, что С является дробно-линейным функционалом относительно вероятностных мер Gi(u).

si - линейный функционал относительно меры Gi(u);

pij - линейный функционал относительно меры Gi(u) для любого j.

Тогда:

- линейный функционал относительно вероятностных мер G2(u) и G3(u);

) - линейный функционал относительно вероятностных мер G0(u), G2(u) и G3(u);

линейный функционал относительно вероятностных мер G0(u) и G1(u);

- - линейный функционал относительно вероятностных мер G0(u), G1(u), G2(u) и G3(u) и т.д.

С является дробно-линейным функционалом относительно вероятностных мер G0(u), G1(u), G2(u) и G3(u). Тогда, согласно теореме, если существует максимум дробно-линейного функционала относительно вероятностных мер Gi(u), то он достигается на вырожденных распределениях.

Стратегии Gi(u) имеют вид:

, т.е. время обслуживания заявки задается детерминировано.

Для таких стратегий:

Таким образом С - функция от переменных . Функцию необходимо максимизировать по При нахождении максимального значения получаем ответ задачи, а именно стратегию (*,*,*). Тогда в i-м состоянии принимаем решение . Выбор этого решения определяет наиболее эффективную работу системы.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.