Максимизирование дохода

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Постановка задачи.

Задана система М* I М I 2 I 1

M - моменты поступления заявок образуют простейший поток однородных событий с параметром л, который является управляющим воздействием.

М - функция распределения длительности обслуживания требования образуют простейший поток однородных событий с параметром

В системе имеется 2 обслуживающих прибора и 1 место в очереди.

Цель: максимизировать доход.

Марковскими моментами t_k являются моменты прихода и ухода заявок.

Состояние системы о_k = о(t_k) - количество заявок в системе в марковские моменты.

Множество состояний системы:

(0) - система пуста (нет ни одного требования);

(1) - в системе 1 требование находится на обслуживании, в очереди нет заявок;

(2) - в системе 1 требование находится на обслуживании, в очереди 1 заявка;

(3) - в системе 1 требование находится на обслуживании, в очереди 2 заявки;

Введем «фиктивное» четвертое место в очереди. Попадание требования на это место означает его потерю.

(4) - потеря требования (поглощающее состояние)

Пространство управлений системы:

uU = (0; ) - длительность обслуживания требования.

Нам необходимо максимизировать доход, полученный до попадания процесса в поглощающее состояние.

Построение полумарковского ядра.

- вероятность того, что процесс о_t перейдет из состояния i в состояние j за время, не превышающее t при управляющем воздействии u.

- вероятность того, что за время t придет ровно k заявок.

Выпишем матрицу переходных вероятностей:

Для выхода из состояния (0) необходим приход хотя бы одного требования.

- не зависит от управления

Остальные переходные вероятности зависят от управления

- за время обслуживания текущей заявки в систему не поступило ни одной заявки;

- за время обслуживания текущей заявки в систему поступила ровно 1 заявка;

- за время обслуживания текущей заявки в систему поступили ровно 2 заявки;

- за время обслуживания текущей заявки в систему поступили ровно 3 заявки;;

- за время обслуживания текущей заявки в систему поступило не менее 4-х заявок;

= 0;

- за время обслуживания текущей заявки в систему не поступило ни одной заявки;

- за время обслуживания текущей заявки в систему поступила ровно 1 заявка;

- за время обслуживания текущей заявки в систему поступили ровно 2 заявки;

- за время обслуживания текущей заявки в систему поступило не менее 3-х заявок;

= = 0;

- за время обслуживания текущей заявки в систему не поступило ни одной заявки;

- за время обслуживания текущей заявки в систему поступила ровно 1 заявка;

- за время обслуживания текущей заявки в систему поступило не менее 2-х заявок;

= = = = 0; .

Проверка вычислений:

Вычисления верны, если выполняется условие нормировки:

 ) = 1

Аналогично

Условие нормировки выполняется для всех строк матрицы переходных вероятностей, следовательно вычисления верны.

Построение математического ожидания накопленного дохода.

Для построения условного математического ожидания накопленного дохода при условии, что процесс пребывает в состоянии i и через время t перейдет в состояние j, введем константы, характеризующие доходы и расходы:

-с₁ - плата за единицу времени работы прибора во время обслуживания текущей заявки;

-с₂ - плата за единицу времени простоя прибора;

- с₃ - плата за единицу времени пребывания в очереди одной заявки;

с₄ - доход, полученный от обслуживания одного требования.

- плата за время простоя системы.

Для ,

, где - событие, обозначающее приход ровно j-i+1 требований.

Поясним смысл данного выражения: При переходе процесса из состояния i в состояние j за время t мы получаем доход . При этом затраты составляют:

- плата за обслуживание заявки;

- плата за пребывание в очереди тех (i-1) заявок, которые находились там изначально;

- - плата за пребывание в очереди каждой из заявок, поступивших в систему за время t.

Так как - независимые одинаково распределенные случайные величины, то представимо в виде:

Найдем условное математическое ожидание . Смысл условия состоит в том, что за время t пришло ровно k требований.

максимизирование доход заявка математическое ожидание

Для ,

Для j = 4:

Найдем условное математическое ожидание

Для j = 4:

Таким образом после проведения вычислений мы получаем:

Вычисление si

Вычислим величины s_i - математическое ожидание накопленного дохода за время непрерывного пребывания процесса в состоянии i.

Построение функционала достижения.

Вычислим C_i - математическое ожидание накопленного эффекта до попадания процесса в поглощающее состояние при условии, что процесс стартовал из состояния i. C_i находится как решение системы уравнений:

, где

=

Пусть задано K_i = P (о₀ = i) - начальное распределение вероятностей.

Тогда по формуле полного математического ожидания:

Покажем, что С является дробно-линейным функционалом относительно вероятностных мер G_i(u).

s_i - линейный функционал относительно меры G_i(u);

p_ij - линейный функционал относительно меры G_i(u) для любого j.

Тогда:

- линейный функционал относительно вероятностных мер G₂(u) и G₃(u);

) - линейный функционал относительно вероятностных мер G₀(u), G₂(u) и G₃(u);

линейный функционал относительно вероятностных мер G₀(u) и G₁(u);

- - линейный функционал относительно вероятностных мер G₀(u), G₁(u), G₂(u) и G₃(u) и т.д.

С является дробно-линейным функционалом относительно вероятностных мер G₀(u), G₁(u), G₂(u) и G₃(u). Тогда, согласно теореме, если существует максимум дробно-линейного функционала относительно вероятностных мер G_i(u), то он достигается на вырожденных распределениях.

Стратегии G_i(u) имеют вид:

, т.е. время обслуживания заявки задается детерминировано.

Для таких стратегий:

Таким образом С - функция от переменных . Функцию необходимо максимизировать по При нахождении максимального значения получаем ответ задачи, а именно стратегию (*,*,*). Тогда в i-м состоянии принимаем решение . Выбор этого решения определяет наиболее эффективную работу системы.

Размещено на Allbest.ru