Разработка стохастической модели. Оценка нормальности распределения

Очень трудно представить какую-либо человеческую деятельность, в которой бы не использовалось моделирование. Наиболее популярным методом исследования и оптимизации функционирования систем является имитационное моделирование. Имитационное моделирование включает в себя два основных процесса: первый -- конструирование модели реальной системы, второй -- постановка экспериментов на этой модели. При этом могут преследоваться следующие цели: понять поведение системы; выбрать стратегию, обеспечивающую наиболее эффективное функционирование системы. Как правило, имитационное моделирование осуществляется с помощью компьютеров. Условия применения имитационного моделирования:

1. Не существует законченной математической постановки данной задачи, либо еще не разработаны аналитические методы решения сформулированной математической модели.

2. Аналитические модели имеются, но процедуры столь сложны и трудоемки, что имитационное моделирование дает более простой способ решения задачи.

3. Аналитические решения существуют, но их реализация не возможна вследствие недостаточной математической подготовки имеющегося персонала.

Таким образом, основным достоинством имитационного моделирования является то, что этим методом можно решать более сложные задачи. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать случайные воздействия и другие факторы, которые создают трудности при аналитическом исследовании. При имитационном моделировании воспроизводится процесс функционирования системы во времени. Причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Модели не решают, а осуществляют прогон программы с заданными параметрами, меняя параметры, осуществляя прогон за прогоном. Имитационное моделирование имеет ряд существенных недостатков, которые также необходимо учитывать.

1. Исследования с помощью этого метода обходятся дорого.

Причины:

· для построения модели и экспериментирования на ней необходим высококвалифицированный специалист-программист;

· необходимо большое количество машинного времени, поскольку метод основывается на статистических испытаниях и требует многочисленных прогонов программ;

· модели разрабатываются для конкретных условий и, как правило, не тиражируются.

2. Велика возможность ложной имитации. Процессы в логистических системах носят вероятностный характер и поддаются моделированию только при введении определенного рода допущений. Поэтому разработка и применение имитационных моделей в большей степени искусство, чем наука. Следовательно успех или неудача в большей степени зависит не от метода, а от того, как он применяется.

Метод имитационного моделирования применяется на этапах разработки сложных проектов. Например, человеческий организм, который описывается большим числом параметров, в частности конечный диастолический объем (КДО) - это параметр, характеризующий состояние сердечной мышцы. Исследование функционального состояния сердечной мышцы производится с помощью эхокардиографа, дающего ультразвуковое изображение структур сердца. Эхокардиография диагностирует пороки сердца, сердечную недостаточность, причины шумов сердца. Сердечнососудистые заболевания - одна из основных причин инвалидности и преждевременной смерти жителей экономически развитых стран. Сегодня доля этих заболеваний в структуре смертности составляет 40-60%, при этом продолжающийся рост заболеваемости и поражение людей всё более молодого возраста, что делает сердечнососудистые заболевания важнейшей медико-социальной проблемой здравоохранения.

В ходе выполнения данной работы была разработана стохастическая модель для оценки нормальности распределения конечного диастолического размера. А так же определили, оказывает ли лазерная терапия крови влияние на состояние сердечной мышцы.

1. РАЗРАБОТКА СТОХАСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

оптимизация стохастический распределение систолический

Если некоторые элементы системы ведут себя стохастически (случайно), возникает проблема, как проверить совместимость экспериментальных данных с некоторым теоретическим распределением. Для этого строят гистограмму по экспериментальным данным.

Гистограмма - выборочная функция плотности распределения случайных величин.

По гистограмме высказывается гипотеза относительного распределения случайной величины.

Если случайная величина дискретная, то записывают частоту появления, каждого его значения - это гистограмма для дискретной величины.

В нашей работе случайная величина непрерывная:

1. Разбиваем диапазон ее значений на равные интервалы фi , число которых k берут в интервале от 15 до 20 (для наших данных от 5 до 10).

2. Записываем частоту появления каждого интервала, как число попаданий ni в соответствующий интервал фi.

3. Рассчитываем относительную частоту каждого интервала fi = ni / N , где N общее число значений. На каждом отрезке фi строится прямоугольник высотой ni / N * фi.

Построим гистограмму на основе выданных конечных диастолических объемов с помощью эхокардиографа.

Количество экспериментальных данных = 74

Минимальное значение 39,1 , максимальное 57,7.

Разбиваем диапазон значений на равные интервалы. Следовательно, разбиваем для удобства, на 8, где диапазон каждого из интервалов фi = (57,7-39,1)/8=2,325

Записываем частоту появления эксперимента на каждом интервале и рассчитываем относительную частоту появления данных на каждом интервале fi=ni/74.

Все подробные расчёты производились с помощью приложения MS Excel.

Полученные данные:

Таблица 1 - Значения частот появления в интервалах

Рисунок 1 - Гистограмма по экспериментальным данным

2. ОЦЕНКА НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Схема решения:

1. Строят по результатам эксперимента гистограмму.

2. Выдвигают гипотезу о соответствии выборочного закона распределения какому-либо теоретическому.

3. Проверяют гипотезу какого-либо из критериев - критерии ч² или критерии Колмогорова-Смирнова.