Решение задач оптимизации

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Решение задач оптимизации

Различные аспекты оптимизации занимают очень важное место в бизнесе и деятельности современных организации и предприятий. Проблемы оптимизации присутствуют в самых различных процессах, которые можно грубо разделить на следующие категории.

· Оптимизация перевозок грузов.

· Оптимизация распределения ресурсов (в самом широком смысле -- от распределения производственных мощностей для выпуска нескольких (многих) видов товаров с различной прибыльностью до оптимизации состава стада крупного рогатого скота для наиболее прибыльного производства молока и мяса).

· Оптимизация расхода/раскроя материалов (очевидно, что этот класс задач является подкатегорией предыдущей категории.

Основным (наиболее часто используемым) способом решения задач оптимизации является так называемый симплекс-метод, обеспечивающий решение задач, относящихся ко всем вышеперечисленным категориям.

Универсальность применения симплекс-метода связана с самой природой таких задач, ведь оптимизация заключается в максимизации или минимизации значения какой-либо целевой функции (например максимизации прибыли/дохода или минимизации затрат) в условиях выполнения различных ограничений (например по количеству или стоимости доступных ресурсов).



2. Общие вопросы использования надстройки «Поиск решения» (Solver)

Формулировка задач оптимизации может представлять собой систему уравнений с несколькими неизвестными и набор ограничений на решения, поэтому решение задачи необходимо начинать с построения соответствующей модели (термин; на самом деле построение модели может заключаться всего лишь в грамотном размещении на рабочем листе исходных данных и формул, корректно отражающих зависимости различных величин).

Обычными задачами, решаемыми с помощью надстройки Поиск решения (Solver), являются:

· Ассортимент продукции. Максимизация выпуска товаров при ограничениях на сырье (или другие ресурсы) для производства изделий.

· Штатное расписание. Составление штатного расписания для достижения наилучших результатов при наименьших расходах.

· Планирование перевозок. Минимизация затрат на транспортировку.

· Составление смеси. Получение заданного качества смеси при наименьших расходах.

· Оптимальный раскрой материалов (ограничения -- количество деталей различной формы и размеров).

· Оптимизация финансовых показателей (например максимизация доходов за счет оптимизации средств на разные инвестиционные проекты).

Задачи, которые лучше всего решаются данным средством, имеют три свойства:

1. имеется единственная максимизируемая или минимизируемая цель (доход, ресурсы...);

2. имеются ограничения, выражающиеся, как правило, в виде неравенств (например, объем используемого сырья не может превышать объем имеющегося сырья на складе, или время работы станка за сутки не должно быть больше 24 часов минус время па обслуживание);

3. имеется набор входных значений-переменных, прямо или косвенно влияющих на ограничения и на оптимизируемые величины.

Ограничения в задачах

Под ограничениями понимаются соотношения типа А1>=В1, А1=А2, А3>=0. По крайней мере одна из ячеек в соотношении, определяющем ограничение, должна зависеть от переменных задачи, в противном случае это ограничение не может влиять на процесс решения.

Часто ограничения записываются сразу для групп ячеек, например:

А1:А10<=В1:В10 или

А1:Е1>=0.

Правильная формулировка ограничений является наиболее ответственной частью при формировании модели для поиска решения.

В одних случаях ограничения просты и очевидны, например ограничение на количество сырья. Другие типы ограничений менее очевидны и могут быть указаны неверно или, хуже того, могут оказаться пропущенными. Вот некоторые примеры ограничений такого типа:

· в модели с несколькими периодами времени величина материального ресурса на начало следующего периода должна равняться величине этого ресурса на конец предыдущего периода;

· в модели поставок величина запаса на начало периода плюс количество полученного должна равняться величине запаса на конец периода плюс количество отправленного;

· многие величины в модели по своему физическому смыслу не могут быть отрицательными, например количество полученных единиц товара (это кажется естественным, однако, если не указать данные ограничения, Поиск решения (Solver) вполне может предложить отрицательные значения в качестве обеспечивающих получение оптимального результата).

3. Ограничения в сравнении с логическими формулами

Ограничения имеют тот же синтаксис, что и логические формулы, но воспринимаются надстройкой Поиск решения (Solver) по-разному. В найденном решении логические формулы будут выполнены точно, а ограничения -- с некоторой возможной погрешностью. Величина этой погрешности задается параметром Относительная погрешность (Precision), по умолчанию значение этого параметра равно 0,000001. По этой причине не используются ограничения типа А1>0, поскольку подобные ограничения из-за наличия погрешности неотличимы от А1>=0.

Виды математических моделей

При решении оптимизационных задач с помощью надстройки Поиск решения (Solver) целесообразно (а в некоторых случаях -- необходимо) различать линейные и нелинейные модели. Под линейными понимаются модели, в которых связь между входными значениями переменных и результирующими значениями описывается линейными функциями.

Общий вид линейной функции:

Y=A*X1+В*X2+C*X3...

В этом выражении А, В и С -- константы, X1,X2,X3 -- переменные, Y -- результирующее значение.

Если выражение для целевой величины и выражения для ограничений являются линейными, то можно применять быстрые и надежные методы поиска решения. Для использования именно линейных методов следует установить параметр Линейная модель (Assume Linear Model) в окне Параметры поиска решения (Solver Options). Если этот параметр не установить, то даже для линейной задачи будут использоваться общие более медленные методы.

Надстройка Поиск решения (Solver) поможет решить и оптимизационные задачи, содержащие нелинейные зависимости и ограничения. Нелинейные зависимости могут встречаться достаточно часто. Например, оптимизация (с финансовой точки зрения) графика поставок часто сталкивается с нелинейностью зависимости стоимости одного изделия от объема партии (партия до 1000 шт. -- одна цена, от 1001 до 5000 -- другая и т.д.).

Для успешного использования надстройки Поиск решения (Solver) желательно, чтобы зависимости были гладкими или, по меньшей мере, непрерывными. Наиболее часто разрывные зависимости возникают при использовании функции ЕСЛИ(), среди аргументов которой имеются переменные величины модели. Некоторые проблемы могут возникнуть и при использовании в модели функций типа ABS() , ROUND () и т. п.

4. Решение оптимизационной задачи

Поиск решения на основе примера Модель сбыта

Откройте файл Solvsamp.XLS и перейдите на первый рабочий лист Краткий обзор (рис. 1).



Рис. 1. Рабочий лист задачи Модель сбыта (исходные данные)

В данном случае рассматривается модель сбыта. В ней представлена типичная модель сбыта, отражающая ожидаемое увеличение числа продаж от заданной величины (обусловленной, например, затратами на персонал) при увеличении затрат на рекламу и уменьшении прибыли.

Поиск решения (Solver) поможет определить необходимость увеличения рекламного бюджета или его перераспределения с учетом сезонной поправки.

Поиск оптимального решения

Допустим, что необходимо определить бюджет на рекламу в каждом квартале, соответствующий наибольшей годовой прибыли. Поскольку задаваемая в 3-й строке сезонная поправка входит в расчет числа продаж (строка 5) в качестве сомножителя, целесообразно увеличить затраты на рекламу в 4-м квартале, когда прибыль от продаж наибольшая, и уменьшить соответственно в 3-м квартале. Поиск решения (Solver) позволит найти наилучшее распределение затрат на рекламу по кварталам. В связи с тем, что точно неизвестно, будет ли такая модель зависимости прибыли от затрат на рекламу работать и в следующем году, целесообразно ввести ограничение расходов на рекламу.

Чтобы найти наилучшее решение:

1. Выделите оптимизируемую ячейку. В данном примере это ячейка F15 (общая прибыль за год; обратите внимание, что при исходных данных затрат на рекламу общая сумма прибыли равна 69 662 р.).

2. Выберите команду Сервис, Поиск решения (Tools, Solver) (для Excel 2003) или вкладку Данные, Поиск решения (для Excel 2007, 2010). При этом появится незаполненное диалоговое окно Поиск решения (Solver Parameters) (рис. 2).



Рис. 2. Диалоговое окно Поиск решения (указана только целевая функция)

3. В поле Оптимизировать целевую функцию уже находится ссылка на выделенную на первом шаге ячейку. При необходимости эту ссылку можно изменить.

4. Установите тип взаимосвязи между целевой функцией и решением путем выбора переключателя в группе До. Назначение этих переключателей описано в табл. 1. В данном случае нам требуется найти максимальное значение целевой ячейки.



Таблица 1.

Переключатель	Описание
Максимум	Поиск максимального значения для целевой функции
Минимум	Поиск минимального значения для целевой функции
Значения:	Поиск заданного (фиксированного, рассчитываемого по формуле целевой функции) значения для целевой функции

5. В поле Изменяя ячейки переменных укажите ячейки-параметры, которые могут изменяться в процессе поиска решения. В данном примере это ячейки $B$11:$E$11 (расходы на рекламу в каждом квартале).

6. Нажмите кнопку Добавить, чтобы ввести ограничения для задачи. При этом откроется диалоговое окно Добавление ограничения (рис. 3). Введите первое ограничение. В данном примере значение в ячейке F11 (общие расходы на рекламу) не должно превышать 40 000.

Рис. 3. Диалоговое окно Добавление ограничения

7. В поле Ссылка на ячейки укажите ячейку F11, а в поле Ограничение введите число 40 000. Знак отношения <=, установленный по умолчанию, в данном случае можно не изменять (рис 4). Нажмите кнопку ОК.

Рис. 4. Заполненное диалоговое окно Добавление ограничения



8. В результате появится заполненное диалоговое окно Параметры поиск решения (рис. 5).

Рис. 5. Заполненное диалоговое окно Параметры поиска решения

9. Нажмите кнопку Найти решение. По окончании поиска решения появится диалоговое окно Результаты поиска решения (Solver Results) (рис. 6).



Рис. 6. Диалоговое окно Результаты поиска решения

10. Выберите переключатель Сохранить найденное значение, чтобы сохранить найденные значения, или переключатель Восстановить исходные значения, чтобы оставить значения, которые были на рабочем листе.

11. Нажмите кнопку ОК.

Решение, найденное с помощью средства Поиск решения, приведено в табл. 2.

Таблица 2.

Квартал	1	2	3	4
Расходы на рекламу	7273	12346	5117	15263

В итоге произошло перераспределение расходов на рекламу по кварталам, в результате чего прибыль увеличилась с 69 662 до 71 447 без увеличения общего (на год) бюджета на рекламу.

После нажатия кнопки ОК в окне Результаты поиска решения (рис. 6) параметры модели автоматически сохраняются в именованных формулах на рабочем листе (и соответственно модель может быть сохранена в этом файле). Чтобы позднее запустить процесс поиска решения с другими ограничениями, необходимо открыть диалоговое окно Поиск решения и отредактировать необходимые.

После того как решение найдено, можно сохранить ссылки на изменяемые ячейки, чтобы использовать их в составе сценария. Для этого нужно нажать кнопку Сохранить сценарий (Save Scenario) в диалоговом окне Результат поиска решения (Solver Results) (рис. 6). В предъявленном диалоговом окне (рис. 7) необходимо ввести имя сценария и нажать кнопку ОС.

Рис. 7. Диалоговое окно Сохранения сценария

Изменение ограничений

Поиск решения (Solver) позволяет экспериментировать с различными параметрами задачи для определения наилучшего варианта решения. При этом, изменив ограничения, можно оценить изменение результата.

Оценим, как изменится изменение ограничения годового рекламного бюджета с 40 000 на 55 000 на размере общей прибыли.

Для этого выполните следующие действия:

· Выберите команду Данные, Поиск решения.

· В диалоговом окне Поиск решения в списке имеющихся ограничений Ограничения выделите нужное ограничение и нажмите кнопку Изменить.

· В предъявленном диалоговом окне Изменение ограничения измените условия ограничения (в данном случае замените число 40 000 на 55 000) и нажмите кнопку ОК.

· Нажмите кнопку Выполнить.

· В предъявленном окне Результаты поиска решения (рис. 6) выберите переключатель Сохранить найденное значение и нажмите кнопку ОК.

Результат представлен на рис. 8. Сумма прибыли при новом ограничении выросла с 71 447 до 76 097.

Рис. 8 Результат решения задачи при новом ограничении



Ограничения можно удалить. Для этого в диалоговом окне Поиск решения (Solver Parameters) выделите ненужное неравенство и нажмите кнопку Удалить (Delete). Чтобы сбросить все параметры в диалоговом окне Поиск решения (Solver Parameters), нажмите кнопку Восстановить (Reset All).

Виды ограничений

Помимо ограничений, представимых в виде равенств или неравенств (с помощью знаков >=, <= и =)', можно использовать условие целочисленности.



ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. МЕТОД ЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

симплекс метод линейный оптимизация

1.1 Фирма «Фасад»

Фирма «Фасад» производит двери для продажи местным строительным компаниям. Репутация фирмы позволяет ей продавать всю производимую продукцию. На фирме работает 10 рабочих в одну смену (8 рабочих часов), 5 дней в неделю, что дает 400 часов в неделю. Рабочее время поделено между двумя существенно различными технологическими процессами: собственно производством и конечной обработкой дверей. Из 400 рабочих часов в неделю 250 отведены под собственно производство и 150 под конечную обработку. «Фасад» производит 3 типа дверей: стандартные, полированные и резные. В таблице приведены временные затраты и прибыль от продажи одной двери каждого типа.

	Время на производство (мин)	Время на обработку (мин)	Прибыль
Стандартные	30	15	$45
Полированные	30	30	$90
Резные	60	30	$120

a. Сколько дверей различных типов нужно производить, чтобы максимизировать прибыль?

b. Оптимально ли распределение рабочего времени между двумя технологическими процессами (производство и конечная обработка)? Как изменится прибыль, если распределить рабочее время между этими процессами оптимально?

c. На предстоящей неделе «Фасад» должен выполнить контракт на поставку 280 стандартных, 120 полированных и 100 резных дверей. Для выполнения заказа «Фасад» может закупить некоторое количество полуфабрикатов дверей у внешнего поставщика. Эти полуфабрикаты «Фасад» может использовать только для производства стандартных и полированных, но не резных дверей. При этом изготовление стандартной двери требует лишь 6 мин процесса обработки, а полированной - 30 мин обработки (процесс собственно производства для этих полуфабрикатов не требуется). Полученная таким образом стандартная дверь приносит $15 прибыли, а полированная - $50. Предполагая, что по-прежнему 250 часов в неделю отведено под производство и 150 под обработку, определите сколько и каких дверей «Фасад» должен произвести самостоятельно, и сколько полуфабрикатов закупить для изготовления стандартных и полированных дверей?

d. Как изменится оптимальный план, полученный при выполнении предыдущего пункта, если правильно распределить время между собственно производством и обработкой дверей? Каково будет правильное распределение в данном случае?

1.2 Компания «Черные каски»

Горнопромышленная компания «Черные каски» собирается работать в некоторой области в течение следующих пяти лет. У нее имеется 4 шахты, для каждой из которых есть технический верхний предел на количество руды, которая может быть выдана «на гора» за год. Эти верхние пределы составляют: шахта Койот - 2 млн. тонн, шахта Мокрая - 2.5 млн. тонн, шахта Елизавета - 1.3 млн. тонн и шахта Ореховый лог - 3 млн. тонн.

Стоимость извлечения руды на разных шахтах различная, вследствие отличающихся глубины и геологических условий. Эти стоимости составляют (включая последующую обработку): шахта Койот - 6 $/тонна, шахта Мокрая - 5.5 $/тонна, шахта Елизавета - 7 $/тонна и шахта Ореховый лог - 5 $/тонна.

При этом руда из различных шахт имеет и разное содержание извлекаемого компонента. Для упомянутых выше шахт содержание извлекаемого компонента равно: 10%, 7%, 15% и 5% соответственно. Каждая руда перерабатывается по одному и тому же технологическому процессу, а затем смешивается, чтобы получить более-менее однородную руду с заданным и фиксированным содержанием извлекаемого компонента, так как технологический процесс на металлургическом предприятии подстроен под определенное содержание соединений металла в руде.

Так как руды с течением времени становятся беднее, металлургическое предприятие, на которое компания поставляет руду, собирается провести постепенный переход на обработку более бедных руд. Если в первый год предприятие ожидает 5 млн. тонн руды с содержанием извлекаемого компонента 9%, то во второй и третий годы - 5.63 млн. тонн руды с содержанием 8%, а в четвертый и пятый годы - 6.43 млн. тонн 7%-ной руды. Соответственно понизится и стоимость руды. Если в первый год руда покупается по $10 за тонну, то 8%-ная руда будет стоить $8.9 за тонну, а 7%-ная _ $7.8 за тонну. Запланируйте добычу руды на четырех шахтах в течение следующих пяти лет так, чтобы максимизировать прибыль.

Представьте, что владелец горнорудной компании получил предложение о продаже. По оценке экспертов покупатель предлагает цену, превышающую стоимость имущества компании на $70 млн. Однако владелец считает, что за пять лет он заработает большую сумму. Стоит ли в действительности продавать компанию? При оценке стоимости компании примите ставку дисконтирования равной 10% в год.



1.3 Сталепрокатный завод

Сталепрокатный завод производит стальные листы трех различных размеров: 100 дюймов, 80 дюймов и 55 дюймов. Поступил заказ на стальные листы размером 45, 30 и 18 дюймов в количестве 150, 200 и 185 штук соответственно.

Каким образом компания должна разрезать стальные листы, чтобы минимизировать отходы? Учтите, что желательно также при раскрое не получать слишком много лишних листов с размерами, заданными данным заказчиком.

Приведите наилучшее решение для случая, когда заказанные в этот раз размеры встречаются при заказах довольно часто и для случая, когда полученный заказ совершенно нестандартный.

1.4 На кондитерской фабрике

Действие 1-е.

Маленькая кондитерская фабрика должна закрыться на реконструкцию. Необходимо реализовать оставшиеся запасы сырья, для производства продуктов из ассортимента фабрики, получив максимальную прибыль. Запасы и расход каждого вида сырья для производства единицы продукции каждого вида, а также нормы прибыли для каждого продукта (прибыль на 1 пакет), представлены в таблице.

Сырье	Запасы, кг	Продукты, расход сырья, кг
		Ореховый звон	Райский вкус	Батончик	Белка	Ромашка
Темный шоколад	1411	0.8	0.5	1	2	1.1
Светлый шоколад	149	0.2	0.1	0.1	0.1	0.2
Сахар	815.5	0.3	0.4	0.6	1.3	0.05
Карамель	466	0.2	0.3	0.3	0.7	0.5
Орехи	1080	0.7	0.1	0.9	1.5	0
Прибыль/пакет у.е.	1	0.7	1.1	2	0.6

В разговоре с владельцем фабрики мастер, используя свой 20-летний опыт, предлагает «на глазок» выпустить по 200 пакетов каждого продукта, утверждая, что ресурсов «должно хватить», а прибыль получится, очевидно, 1080 у.е.

При разговоре присутствует сын владельца фабрики, только что закончивший программу «Бакалавр делового администрирования», который утверждает, что такие проблемы надо решать не «на глазок», а с помощью линейного программирования. Умиленный отец обещает сыну всю прибыль сверх 1080 у.е., если он предложит лучший план, чем многоопытный мастер.

Действие 2-е.

После решения задачи об оптимальном плане производства для родной кондитерской фабрики, юноша (сын владельца фабрики) испытал двойственное чувство. С одной стороны, прибыль, соответствующая найденному им производственному плану, почти на 430 у.е. больше, чем по плану мастера, т.е. он заработал более 400 баксов. Это здорово! С другой стороны, почему компьютер отказался от выпуска Батончика (его с раннего детства любимого лакомства)? Юноша был уверен, что «Батончик» - один из лучших продуктов, который выпускает фабрика его отца. Если его не окажется на прилавках, может пострадать имидж фабрики. Ведь не только он сам, но и все соседи в округе обожают эту конфету!

Кроме того, он вспомнил, что на занятиях по количественным методам в менеджменте, преподаватель все время твердил об анализе полученного оптимального решения на устойчивость: малые изменения величины запасов могут привести к радикальному изменению решения! А вдруг этот вредный старый мастер не только план производства определяет на глазок, но и запасы сырья взвешивает кое-как? А что, если каких-то запасов не хватит для его оптимального плана? Он не доберет прибыли! Может быть тогда более прибыльным станет иной план? Какой?

И еще одна мысль. У него есть в кармане, что-то около 50 баксов. Может пустить их в дело? Докупить у знакомого оптовика какого-нибудь сырья, потихоньку подложить на склад (чтоб мастер не заметил), как будто, так и было. Тогда можно получить дополнительную прибыль (и премию от отца). Только вот какого сырья докупать? И сколько? И на сколько от этого возрастет прибыль?

Итак, ответьте на следующие вопросы.

Как надо изменить норму прибыли для любимого продукта сына хозяина фабрики (Батончика), чтобы он вошел в оптимальный план (ответьте, не решая задачу, анализируя лишь отчет об устойчивости)?

Введите это изменение в данные и решите задачу заново. Как изменился оптимальный план?

Какой ресурс является наиболее дефицитным (т.е. максимально влияет на прибыль)?

Можете ли Вы сказать (не решая задачу снова) как изменится прибыль от производства, если количество этого ресурса оценено а) с избытком в 10 весовых единиц; б) с недостатком в 5 единиц?

Есть ли другой способ добиться производства «Батончика» (кроме изменения нормы прибыли)?

Действие 3-е.

После проведенного анализа, сын владельца фабрики принес свой первый оптимальный план в цех и с гордостью показал мастеру. Мастер на мгновенье нахмурился («ишь, какой умный нашелся!»), но затем с облегчением вздохнул и громко засмеялся:

- Ну, что ж, молодой человек, замечательно! Будем реализовывать! Только учти, что по технологии до (или после) производства конфеты Белка (особенно в таком количестве как ты рекомендуешь), надо остановить производственную линию и тщательно ее вычистить, а то будет брак! А стоит такая очистка 400 у.е.! Так что с премией своей можешь попрощаться.

Вот это удар!

Что же делать? Надо срочно пересчитать оптимальный план с учетом этой постоянной издержки. Тем более (вспомнил мальчик), что для этого существует очень изящный метод, использующий целочисленные переменные.

1.5 Оптимизация производства на заводе «Прогресс»

Действие 1-е.

На рисунке представлена схема движения материалов, частей, узлов и агрегатов, проходящих трансформацию от сырья к готовой продукции на заводе «Прогресс».

Завод производит 3 продукта A, D, и F.



Схема показывает последовательность операций на имеющихся у завода универсальных станках, которым необходимо подвергнуть сначала сырье, а затем полуфабрикаты, для производства готовых продуктов, и время (в минутах), необходимое для каждой операции. Это время указано на схеме в скобках рядом с именем соответствующего станка.

Таким, образом, хотя положение станков на заводе, разумеется, фиксировано, они могут (и должны) выполнять различные операции (на разных стадиях технологического процесса) над сырьем, или полуфабрикатами для производства различных продуктов, после соответствующей настройки.

Например, два имеющихся одинаковых станка, обозначенных как Ресурс- 2, требуются для выполнения 4-х операций (см. рисунок). Для осуществления каждой из этих операций нужно некоторое время для перенастройки станка (setup time). В случае Ресурс- 2 необходимо 120 минут для перенастройки на любую из 4-х требуемых операций.

На схеме также показан максимальный рыночный спрос на каждый из продуктов фабрики (кол-во шт./неделю). Для производства одной единицы продукта A требуется по одной единице сырья ARM и CRM. Одна единица продукта D требует по одной единице сырья ARM, CRM и ERM. Одна единица продукта F требует только одну единицу сырья FRM. В первой таблице указано количество имеющихся на заводе станков каждого типа и время перенастройки каждого из станков на новую операцию.

Имеющиеся ресурсы
Тип станка	Время переналадки, минут	Количество станков
Ресурс- 1	15	1
Ресурс- 2	120	2
Ресурс- 3	60	2
Ресурс- 4	20	2
Ресурс- 5	0	1



Завод работает 5 дней в неделю, по 8 часов в день. Сверхурочная работа не допускается. Завод не имеет больших собственных складов и не может, поэтому, произвести за неделю больше, чем потребляет рынок. В следующей таблице указаны операционные расходы по эксплуатации станков каждого типа. Эти суммы должны выплачиваться в конце каждой недели после продажи выпущенной продукции и, таким образом, входят в себестоимость продукции.

Операционные расходы по эксплуатации станков
Тип станков	Зарплата, $	Накладные расходы $	Всего$
Ресурс- 1	500	1500	2000
Ресурс- 2	1000	1000	2000
Ресурс- 3	1000	1800	2800
Ресурс- 4	1000	2000	3000
Ресурс- 5	500	700	1200
Итого	4000	7000	11000

Первый шаг анализа

Какую максимальную прибыль может получить завод за неделю, если он удовлетворит полностью рыночный спрос на продукты A, D и F?

Способен ли завод удовлетворить этот спрос?

Найдите оптимальный план производства продуктов A, D и F за неделю, который обеспечит заводу максимальную прибыль. Какова эта реальная прибыль?

Второй шаг анализа (Предложение добросовестного рабочего)

Недавно на заводе прошло общее собрание персонала, на котором выступал директор и призывал всех работать более эффективно, добиваться большей производительности.

Мастер, отвечающий за работу универсального станка Ресурс-2, принял пламенную речь директора близко к сердцу и почувствовал угрызения совести, поскольку вверенный ему универсальный станок (чудо техники) простаивает.

(Определите, сколько процентов рабочего времени станок Ресурс-2 простаивает).

Мастер подсчитал, сколько необходимых полуфабрикатов для продуктов A, D и F может произвести его станок. Он также подсчитал, какую прибыль мог бы получить завод, если бы он произвел и продал такое количество продуктов A, D и F

(Подсчитайте и Вы).

Мастер подготовил предложение о немедленном увеличении снабжения его станка сырьем и материалами с целью гигантского увеличения объема производства. «Сумасшедшие деньги просто валяются у нас под ногами, а мы не хотим их подобрать из-за нашего разгильдяйства и неумения работать!» - лейтмотив его предложения.

Принять ли предложение мастера или отклонить (и мягко успокоить добросовестного работника)?

Третий шаг анализа (Предложение ненормального инженера-технолога)

Через несколько дней после собрания к директору пришел молодой инженер-технолог. Директор его недолюбливал. Вид у него всегда был какой-то рассеянный. Вместо того чтобы летать по цехам, ликвидировать сбои и аварии, организовывать людей на авралы, он частенько забивался в какой-нибудь тихий уголок и чего-то писал на бумажке.

И вот написал…рационализаторское предложение: переоборудовать станок Ресурс-2 так, чтобы тот смог выполнять часть работы станка Ресурс-1. При этом все операции, в которых участвует станок Ресурс-1, сократятся на 1 мин., зато все операции станка Ресурс-2 увеличатся на 3 мин. На переоборудование 2-х станков Ресурс-2 нужно $15000.

Директор не поленился и подсчитал, что в результате при производстве по 1 шт. продуктов A, D и F на станке Ресурс-1 будет выиграно только 3 мин, а на станках Ресурс-2 проиграно 18 мин. Таким образом, длительность производственного цикла увеличится на 15 мин!

(Подсчитайте и Вы, по схеме технологического процесса на рисунке).

«И за это $15000? Да он и правда ненормальный!»

Вне себя, директор уже готов вызвать нерадивого инженера, наорать на него и заставить заниматься делом, а не глупыми выдумками. «А не послушается, так и выгнать, к чертовой матери!»

Остановить ли директора или, правильно, пусть выгоняет дурака?

Четвертый шаг анализа

После истории с ненормальным инженером-технологом, зам. директора по маркетингу и продажам то же решил включиться в процесс оптимизации работы завода. На собрании руководителей подразделений он отметил, что рост прибыли сдерживается не только ограниченностью производственных ресурсов, но и ограниченным спросом отечественного рынка на некоторые продукты завода.

«Рынок полностью потребляет все производимые нами продукты типа A и F. Если бы мы могли найти для них новые рынки сбыта, мы смогли бы производить их больше и получать больше прибыли!» Все восприняли замечание зам. директора как очень правильное. (Согласны ли Вы с ним?)

Зам. директора по маркетингу сказал также, что он слышал о том, что в Монголии есть спрос на продукты, которые производит завод. Он готов съездить в командировку в Монголию и разобраться на месте. Разумеется, предложение было одобрено.

Через две недели, зам. директора вернулся чрезвычайно воодушевленный. «В Монголии замечательный рынок для наших продуктов D и F! Они готовы покупать еженедельно 35 шт. D и 25 шт. F. Никаких дополнительных затрат для нас! Они будут забирать продукцию у нас прямо со склада, как наши отечественные потребители, каждую неделю!»

«Есть только одна маленькая проблема, Монголия бедная страна, поэтому они не могут платить столько же, сколько наши отечественные потребители. Они просят сбросить наши цены на одну треть. Но ведь и в этом случае мы будем иметь заметную прибыль! При этом есть твердая уверенность, что монголы будут использовать нашу продукцию для своего внутреннего производства, а не спекулировать купленными у нас товарами на нашем отечественном рынке».

Директор согласен, что любая прибыль будет одобрена акционерами.

Как изменить производственный план, и сколько продавать монголам?

Пятый шаг анализа

После долгих колебаний директор решается выйти на собрание акционеров с предложением купить еще один станок Ресурс-1 за $300,000. Это потребует удвоить количество рабочих, занятых на обслуживание и в операциях со станком Ресурс-1. Соответственно удвоятся операционные расходы. Акционеры потребуют информацию о том, когда окупятся инвестиции, и какую прибыль сможет приносить завод после этого

Найдите новый оптимальный план производства продуктов A, D и F за неделю, который обеспечит заводу максимальную прибыль. Какова теперь эта прибыль?

За сколько времени окупятся инвестиции? (Найдите не дисконтированный период окупаемости).

Сделайте расчет в двух вариантах:

завод отказался от предложения зам. директора по маркетингу от выхода на монгольский рынок, т.е. продукцию можно поставлять только на отечественный рынок;

монгольский рынок доступен для продукции завода.

Какое решение относительно целесообразности покупки второго станка Ресурс-1, приняли бы Вы в каждом из вариантов?



1.6 Аренда с предоплатой

Компания должна арендовать складское пространство на следующие 6 месяцев года. Известно, какие площади будут требоваться в каждом из этих месяцев. Однако, так как эти пространственные требования весьма различны, неясно, арендовать ли максимальную площадь на 6 месяцев, арендовать ежемесячно только те площади, которые востребованы в данном месяце или попытаться составить оптимальный план аренды на следующие 6 месяцев и заключать договоры по мере необходимости на один или несколько месяцев в соответствии с планом.

Требующиеся площади: 30, 20, 40, 10, 50 и 20 тыс.м2 в январе, феврале, …, июне месяце соответственно. Стоимость аренды 1 м2 на 1, 2, 3, 4, 5 и 6 месяцев: 7; 12.8; 18.6; 23.6; 27.5 и 31.2 $ соответственно, оплата вперед за весь срок в пределах 6 мес.

Учтите, что в январе расходы на аренду не должны превышать $400 тыс., а в феврале и в марте по $200 тыс.

1. Составьте план аренды, минимизирующий затраты.

2. Сравните с оптимальным планом различные варианты аренды, которые можно было бы предложить не решая задачу (скажем те, что были упомянуты в условии задачи).

3. Представьте, что никаких финансовых ограничений нет, сколько денег можно было бы сэкономить на соответствующем этому случаю плане аренды?

4. Рассмотрите вопрос о кредите, который можно взять в январе под 5% в месяц, чтобы реализовать этот лучший план. Помните, что в реальности вы можете выплатить в первые три месяца только 400, 200 и 200 тыс. соответственно, а в следующие 3 мес. ваши финансовые возможности не ограничены. Стоит ли взять кредит?



1.7 Большой портфель

Некий бизнесмен, удалясь от дел, решает вложить часть своих накоплений в размере $1 млн. в акции известных компаний. Его помощник собрал данные о доходности 15 компаний за последние 11 лет. Эти данные приведены в таблице.

Компания	Доход по акциям компании, %
	`90	`91	`92	`93	`94	`95	`96	`97	`98	`99	`00
APPLE	13	36	13	-46	15	4	-33	-29	92	202	-67
BOEING	10	0	-22	8	19	63	33	11	-25	4	61
BP AMOCO	20	-12	-28	40	35	30	46	23	14	40	-22
DEBEERS	-1	68	-59	64	11	33	9	-29	-26	83	2
DOW CHEM	-24	14	15	13	13	16	22	22	0	30	-15
DU PONT	1	30	12	1	14	32	46	31	-4	6	-27
EXXON	8	16	1	5	-4	28	22	29	23	7	14
FIAT	-39	-16	-23	24	62	-17	-5	16	4	-8	-10
FORD	-36	-11	75	47	-14	7	13	36	31	-13	-15
GE	-12	21	25	20	-7	50	50	43	23	48	14
G. MOTORS	-7	-11	9	68	-28	35	21	10	27	25	-28
INTEL	-3	11	74	72	0	95	108	28	41	33	-10
LOCKHEED	-21	45	17	35	-2	76	22	8	9	-62	56
MICROSOFT	58	106	38	-12	54	38	83	82	80	44	-39
PEPSICO	34	18	33	-2	-12	57	9	26	9	-16	23

Бизнесмен желает обеспечить доход не менее 18% в год при наименьшем риске. Он слышал, что портфель с наименьшим риском следует формировать по методу Марковица.

Суть этого подхода состоит в том, что дисперсия доходности (т.е. риск) портфеля из двух, например, видов акций, может быть меньше, чем дисперсия любой из этих акций, в случае, когда доходность по акциям меняется в противофазе. Т.е. в то время, когда доходность по одной из акций падает, по другой она обычно растет. Это видно из стандартной формулы для расчета дисперсии суммы двух случайных величин. Если в первую акцию (дисперсия s12) вложено p % денег, а во вторую (дисперсия s22) q % денег, то дисперсию портфеля можно рассчитать по формуле:

В этой формуле через r12 обозначен коэффициент корреляции между доходностями двух акций. Дисперсия такого пакета будет меньше наименьшей из двух акций, если только коэффициент корреляции не слишком близок к единице и если распределение средств по акциям не слишком ассиметрично. Разумеется, наиболее сильно дисперсия уменьшается, если коэффициент корреляции отрицателен. Увеличение числа акций в пакете снижает его дисперсию еще больше. Этот эффект известен в финансах как диверсификация портфеля.

Для N видов акций эта формула имеет вид

_ ковариации доходности для всех пар видов акций, а x_i - доли капитала, вложенные в каждый вид акций.

1. Постройте таблицу Excel, позволяющую рассчитать риск портфеля и его средний доход. Для расчета взаимных и собственных дисперсий различных акций используйте функцию Excel =КОВАР( ).

2. Каковы риск (корень из дисперсии портфеля) и ожидаемый доход при вложении одинаковой суммы во все акции?

3. Сформулируйте на основе построенной таблицы задачу для Поиска решения (она получится квадратичной по переменным) и найдите портфель с минимальным риском, дающий не менее 18% дохода.

4. Каков будет доход портфеля, если добиваться наименьшего возможного риска? Как возрастет риск, если потребовать не менее 25% дохода?

1.8 Банк «Простор»

Банк «Простор» имеет проблемы с планированием работы персонала в связи с резким изменением потока клиентов в течение дня. Во время наибольшего притока клиентов их количество в единицу времени бывает обычно в 5-6 раз больше, чем в спокойные часы перед закрытием. С помощью теории очередей было рассчитано необходимое для качественного обслуживания количество персонала в каждом часовом промежутке с 9 до 19 часов. Результаты представлены в таблице.

Временной период, часов	9-10	10-11	11-12	12-13	13-14	14-15	15-16	16-17	17-18	18-19
Количество требуемого персонала, чел.	16	30	31	45	66	72	61	34	16	10

Служащие, занятые в банке полный день, работают либо с 9 до 17 часов, с перерывом на обед с 12 до 13 часов, либо с 11 до 19 часов, с перерывом на обед с 14 до 15 часов. Их часовая ставка составляет 8 $.

Возможно так же использование служащих, занятых неполный день (4 рабочих часа подряд). Их часовая ставка зависит от временного промежутка, на который их нанимают (см. в таблице).

Время найма	9-17	11-19	9-13	10-14	11-15	12-16	13-17	14-18	15-19
Оплата в час, $	8	8	6	7	9	10	8	6	6



1. Рассчитайте оптимальное количество служащих на полный день и с неполной занятостью и составьте расписание их работы. Какова общая заработная плата всех служащих в день?

2. Результаты расчета вызвали недовольство руководства, и управляющий потребовал, чтобы в любое время в банке работало не менее 4 служащих, занятых полный день. Составьте новое расписание. Какова теперь общая заработная плата всех служащих в день?

3. Новые результаты также показались руководству неудовлетворительными, т.к. общее число служащих превысило 100 чел., что должно привести к переходу организации в другую налоговую группу и общему увеличению различных налоговых выплат. Необходимо сократить количество персонала, работающего с клиентами, до 94 человек. Составьте новое расписание. Какова теперь общая заработная плата всех служащих в день?

1.9 Последовательность выполнения заказов

Небольшая мастерская, изготавливающая сварные изделия из листовой нержавеющей стали, перед началом недели имеет 10 заказов. В таблице приведено время, требующееся рабочим, чтобы выполнить каждый из заказов.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
Длительность исполнения, часов	8	6	9	10	6	2	6	5	5	3

Мастер обычно назначает срок выполнения заказа - 5 дней со дня его поступления. Т.к. заказы поступали в разное время, то и сроки их исполнения различны: заказы А и В должны быть выполнены в течение 2 дней, С, D и E - в течение 3 дней, F, G, H, I - 4 дней, и заказ J - через 5 дней. Рабочий день в мастерской длится 8 часов (т.е. первые два заказа нужно сделать по крайней мере за 16 раб. часов и т.д. ).

Тактика краткосрочного планирования предлагает для использования несколько правил приоритетов, которые должны помочь установить оптимальную последовательность работ. Вообще говоря лучшее правило следует выбирать с учетом конкретных экономических условий.

Правило FCFS - Первый заказ, принятый исполнителем _ первым и выполняется, а далее по очереди.

Правило EDD - Заказ с более ранним сроком исполнения выполняется раньше, при равенстве сроков раньше исполняют заказ с меньшей длительностью исполнения.

Правило SPT - Более короткий по времени исполнения заказ выполняется раньше, при равенстве времени работы раньше делают более срочный заказ.

Правило LPT - Так как более длительные по затратам рабочего времени заказы часто более важны, чем быстро исполняемые заказы, то начинают с самого длительного, а затем переходят к более коротким.

1. Сформируйте последовательности исполнения заказов, рекомендуемые каждым из правил.

2. Рассчитайте сроки исполнения заказов и возникающие при этом задержки для полученных последовательностей исполнения. Каковы будут суммарные задержки для каждого плана?

3. Сформулируйте задачу линейной оптимизации, которая позволяет построить план, для которого суммарные задержки исполнения заказов будут минимальны. Отличается ли оптимальный план от четырех предыдущих? На сколько удается уменьшить задержки по сравнению с лучшим из простых эмпирических планов?



2. ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ И ЛОГИСТИКА; ЗАДАЧИ О НАЗНАЧЕНИЯХ И ОТБОРЕ

2.1 Дорстрой

С шести асфальтобетонных заводов должен вывозиться асфальт для строительства 5 участков автодорог области. Транспортные издержки при перевозках, разумеется, в общем различны (см. таблицу).

Транспортные издержки
	Участок A	Участок B	Участок C	Участок D	Участок E
АБЗ 16	1200	1250	850	900	1350
АБЗ 17	1250	950	1250	850	700
АБЗ 18	1400	1000	1200	1050	850
АБЗ 19	1350	850	800	750	1200
АБЗ 20	1300	650	1300	1050	1300
АБЗ 21	1500	850	1000	1250	700

Заказы дорожно-строительных бригад на завтра:

	Участок A	Участок B	Участок C	Участок D	Участок E
Количество машин	79	28	61	77	72

Заводы в состоянии предоставить завтра

Источник	АБЗ 16	АБЗ 17	АБЗ 18	АБЗ 19	АБЗ 20	АБЗ 21
Кол-во машин	65	46	52	29	28	67

Менеджер подрядной организации хочет минимизировать транспортные расходы для данных условий.

1. Каковы наименьшие транспортные издержки?

2. Сколько машин и на какие участки будет недопоставлено?

3. После составления плана менеджер получил указание, по причинам неэкономического характера, план поставок асфальта для участка А необходимо выполнить полностью. Каковы транспортные издержки нового плана? Сколько машин и на какие участки будет недопоставлено в этом случае?

4. При утверждении нового плана у руководства, выяснилось, что из-за аварийного состояния моста перевозка асфальта с АБЗ 21 на участок Е по прямому маршруту невозможна. Объездной маршрут увеличивает стоимость рейса на 300 рублей. Насколько при этом возрастут транспортные расходы? Что выгоднее, оставить почти утвержденный план, несмотря на увеличении издержек, или составить новый план с учетом сложившейся ситуации?

5. Есть ли у задачи альтернативные решения?

2.2 Поставки двух видов продуктов

Менеджер отдела логистики составляет план перевозок продукции фирмы с 3 ее складских комплексов База 1, … База 3 к четырем клиентам: X, Y , Z и W. Речь идет о перевозках двух видов продукции: A и B. Стоимость перевозок для каждого вида продукции, исходя из расстояний и других обстоятельств, даны в таблице.

		Клиент X	Клиент Y	Клиент Z	Клиент W
		A	B	A	B	A	B	A	B
База 1	A	595		480		455		430
	B		780		665		640		815
База 2	A	435		530		480		485
	B		735		735		680		585
База 3	A	545		465		525		440
	B		715		755		815		795



Клиенты заказывают следующие количества товаров A, B.

	Клиент X	Клиент Y	Клиент Z	Клиент W
	A	B	A	B	A	B	A	B
Заказы, шт.	15	20	22	26	12	22	32	42

На базах же в настоящий момент имеются следующие запасы товара:

	База 1	База 2	База 3
	A	B	A	B	A	B
Запасы, шт.	21	21	33	42	17	57

1. Составьте план перевозок, минимизирующий транспортные издержки. Если спрос по отдельным позициям удовлетворить невозможно, руководствуйтесь минимумом издержек для себя.

2. Каков наихудший план перевозок?

2.3 Компью-Нет

Зам директора по персоналу фирмы «Компью-Нет» должен составить 6 пар-команд из техника-программиста и специалиста по маркетингу для работы по установке компьютерных сетей по индивидуальным требованиям клиентов. Пары составляются из вновь набранных сотрудников, среди которых проведен специальный психологический тест на взаимную совместимость. Индекс совместимости варьирует от 20 (выраженная враждебность) до 1 (возможность дружеских отношений), и для каждой потенциальной пары приведен в таблице.

	Аня	Маша	Катя	Лиза	Ольга	Софья
Иван	3	4	9	18	9	6
Михаил	16	8	12	13	20	4
Павел	8	6	13	1	6	9
Николай	16	9	6	8	1	11
Алексей	8	12	17	5	3	5
Петр	2	9	1	10	5	17

1. Определите такое распределение по парам, которое обращает в минимум суммарный индекс совместимости.

2. Каков наихудший индекс совместимости у отобранных пар?

3. Определите, сколько имеется лучших, в смысле суммарного индекса, решений.

4. Можно ли так подобрать пары, чтобы ни один индекс совместимости не превышал 6?

2.4 Распределение аудиторов по фирмам

Менеджер _ координатор аудиторской фирмы должен распределить аудиторов для работы на следующий месяц. Аудиторы различаются по квалификации и опыту работы. Прежде чем приступить к аудиту конкретной фирмы они должны затратить определенное время на подготовку и консультации. В данный момент имеются заявки от 10 клиентов. Менеджер - координатор, учитывая опыт работ аудиторов каждой конторы, оценил время, необходимое «среднему» аудитора каждой конторы для подготовки к аудиту конкретного клиента. Результаты представлены в таблице.

Конторы	Клиенты	Число сотрудников
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Гаапвилл	8	21	15	13	9	17	18	7	26	9	35
Финанстаун	14	18	17	19	12	6		15	24	13	20
Исабург	9	15	18	16	16	15	11	13	21	19	25
Нью-Баланс	11		14	7	23	9	6	18		7	10
Заявки	4	9	2	12	7	6	9	3	18	5



1. Распределите аудиторов так, чтобы суммарные временные затраты на подготовку были бы минимальны. Пропуски в некоторых клетках таблицы означают, что аудиторы данной конторы не имеют опыт аудита в отрасли, к которой относится данный клиент, и не должны к нему посылаться.

2. Найдите оптимальное распределение аудиторов в случае, если назначение клиенту аудиторов только из одной конторы нежелательно.

2.5 Заводы ЖБИ

Корпорация «Современные железобетонные изделия» имеет в окрестностях и черте города 5 небольших заводов ЖБИ (ЖБИ 1,ЖБИ 2, … ЖБИ 5). Кроме этого, у корпорации есть 3 охраняемых площадки-склада (Склад A, Склад B, Склад C) для временного хранения изделий, хотя корпорация старается работать на заказ. В настоящий момент в отделе продаж имеется заказ от строительной фирмы на поставку новых ж\б блоков высокой прочности в количестве 1050 шт. Учитывая прочие заказы заводы могут за обусловленный срок поставить следующее количество блоков:

ЖБИ 1	ЖБИ 2	ЖБИ 3	ЖБИ 4	ЖБИ 5
290	165	235	255	105

Корпорация имеет транспортный отдел, который помогает зарабатывать дополнительные деньги (стоимость перевозки для близко расположенных заказчиков включена в стоимость изделий), поэтому заказанные блоки должны быть доставлены на площадки семи клиентов строительной компании. Стоимости перевозок с заводов на склады и с заводов клиентам даны в таблицах.



Перевозки заводы - клиентам:

Ед.	Клиент 1	Клиент 2	Клиент 3	Клиент 4	Клиент 5	Клиент 6	Клиент 7
ЖБИ 1	84	36	42	81	63	60	66
ЖБИ 2	63	48	33	24	33	21	33
ЖБИ 3	63	18	33	66	45	45	51
ЖБИ 4	39	33	57	63	42	51	45
ЖБИ 5	30	21	42	42	24	33	24

Строительная компания заказывает поставку блоков в два этапа: через 2 недели 545 блоков и еще через две недели 505 блоков. Заказы для отдельных клиентов даны в таблице.

штук	Клиент 1	Клиент 2	Клиент 3	Клиент 4	Клиент 5	Клиент 6	Клиент 7
1-ый Заказ	90	65	45	75	95	100	75
2-ой Заказ	55	45	70	75	40	35	185

Но корпорации выгодней выполнить весь заказ в течение 3-4 дней, а затем переналадить оборудование на изготовление другого изделия из пакета заказов. В этом случае приходится часть изделий отправлять клиентам немедленно после набора необходимой прочности, а остальные складировать на собственных площадках. Стоимости перевозок на склады корпорации так же даны в таблице.

Перевозки заводы - склады
ед	Склад 1	Склад 2	Склад 3
ЖБИ 1	78	15	42
ЖБИ 2	33	60	60
ЖБИ 3	60	9	24
ЖБИ 4	51	45	15
ЖБИ 5	33	39	12



Разумеется, в этом случае в обусловленные заказом сроки 505 складированных блоков должны будут доставлены клиентам прямо со складов. Стоимости перевозок блоков со складов к клиентам даны в следующей таблице.

	Клиент 1	Клиент 2	Клиент 3	Клиент 4	Клиент 5	Клиент 6	Клиент 7
Склад 1	27	57	63	21	30	39	24
Склад 2	69	21	27	66	48	45	51
Склад 3	42	18	42	54	33	39	36

1. Составьте план перевозок заводы-клиенты, заводы-склады и склады-клиенты так, чтобы издержки корпорации были минимальны. Учтите, что изготовленные заранее 505 блоков, реально можно складировать следующим образом: Склад A -150 шт., Склад B -150 шт. и Склад C -205 шт.

2. Определите, как изменились бы издержки, если оптимизировать задачу по частям: сначала перевозки заводы-клиенты, затем заводы-склады и склады-клиенты.

2.6 Две бригады

Для выполнения срочного заказа мастер должен набрать из 14 рабочих (Р1, Р2...Р14) бригаду в 5 человек. Среднее время, которое каждый из 14 рабочих тратит на ту или иную операцию (О1, О2,...О5), требующуюся для выполнения заказа, дано в таблице. Размер заказа равен 100 единицам, так что в реальности каждая операция будет выполнена 100 раз.

Время, минут	O1	O2	O3	O4	O5
P1	67	55	51	63	49
P2	61	77	52	72	66
P3	63	73	72	42	58
P4	52	44	72	50	55
P5	53	76	63	45	47
P6	70	55	77	46	67
P7	43	61	75	54	75
P8	69	70	55	47	61
P9	71	56	67	42	45
P10	68	63	77	61	69
P11	54	59	51	66	56
P12	57	53	61	62	59
P13	73	64	46	72	60
P14	70	65	78	45	49

1. Определите оптимальное распределение рабочих по операциям. Рассчитайте количество рабочего времени, требующегося на выполнение заказа. Можно ли при этом выполнить заказ за 10 рабочих дней? (Считайте, что рабочая смена равна 8 часам.)

2. Помогите мастеру набрать запасную бригаду из 5 человек, на случай, если заказ будет удвоен, а время на выполнение останется практически прежним. Представьте списки бригад. Рассчитайте количество рабочего времени, требующегося на выполнение удвоенного заказа в сложившихся обстоятельствах.

3. Что следует сделать, чтобы набрать две как можно более равные по силам бригады? Представьте списки новых бригад.

2.7 Отделочный камень для коттеджей

Николай Кузьмин, кандидат химических наук, 10 лет после защиты диссертации занимался рентгеновским анализом структуры жидкокристаллических полимеров. Тема научных исследований проблемной лаборатории одного из московских Вузов, в которой он работал, была связана с высокоэластическими полимерами нового типа, которые при определенных механических и электрических воздействиях меняли свою надмолекулярную структуру и демонстрировали свойства жидких кристаллов. Прикладного значения тема в то время не имела (хотя в отчетах, как водится, дело представлялось совсем иначе), но с научной точки зрения объекты были прелюбопытные.

Николай тесно контактировал с группой химиков-синтетиков, которые, руководствуясь результатами его структурных исследований, по его просьбе синтезировали все новые и новые ряды полимерных материалов этого типа. Однажды в результате такого синтеза появились «уроды», твердые как камни, которые не демонстрировали никаких высокоэластических или жидкокристаллических свойств, сколько их не нагревай и не растягивай. Сначала Николай хотел их просто выбросить, но для порядка решил все же зарегистрировать их структурные и прочностные характеристики. Обточив образец для того, чтобы поставить его в рентгеновский аппарат, наш химик поразился красотой рисунка полимерного камня. Он напоминал хорошо обработанный природный гранит…

Выступление Николая на научном семинаре лаборатории по результатам текущего этапа работы разочаровало его коллег. Никаких мезофаз, структурных превращений и пр. новые материалы не показывали.

- Может у них хоть прочность высокая? - спросил один из сотрудников.

Прочность у материалов была повыше, чем у природного гранита, но до высокоориентированных полимерных рекордсменов было очень далеко.

- Так зачем они тогда нужны?

- Ну, может как отделочный материал, их легко синтезировать разных цветов и с разными рисунками… - смущенно ответил Кузьмин, и забросил своих «уродов» в дальний угол лабораторного шкафа.

А на дворе был 1991 год. Еще через год научным сотрудникам стало недосуг удовлетворять собственное любопытство за государственный счет. Зарплаты не хватало, чтобы купить пару обуви детям. Нужно было думать, как кормить семью. И Николай вспомнил про тупиковую ветвь своих исследований. Он показал образцы искусственных камней своему школьному приятелю, инженеру-строителю, который в это время начал строить особняки для новых русских. Тот сказал, что если можно синтезировать их в больших объемах, то они вполне могут рассматриваться как недорогой, прочный и красивый отделочный материал.

Кузьмин воодушевился, и в своем гараже на даче соорудил установки для синтеза и обработки этих полимерных камней. Потом - участие в выставке, где его заметили люди из строительной фирмы и дали небольшой заказ. На вырученные деньги Николай год кормил семью и арендовал заброшенный автосервис под Черноголовкой, где и наладил свое первое промышленное производство.

Дальше _ больше. Камни продавались хорошо, и через три года у Кузьмина было 5 оптовых магазинов - складов («отделений компании», как он говорил) в Подмосковье: